Tin học trong tự động hóa thiết kế tàu thủy ppt

LỜI GIỚI THIỆU
Tập bài giảng về “ Tự động hoá thiết kế tàu thuỷ A1” do PGS.TS. Lê Hồng Bang –
Bộ môn Lý thuyết thiết kế tàu thủy khoa Đóng tàu Đại học Hàng hải Việt Nam biên soạn
nhằm mục đích trang bị cho các sinh viên hệ chính qui chuyên ngành Thiết kế thân tàu thủy
một số những kiến thức cơ bản nhất về tự động hóa tính toán các yếu tố thủy tĩnh và ổn
định của các loại tàu thủy thông dụng. Bài giảng này là một bộ phận của giáo trình về
“Tự động hóa thiết kế tàu thủy và công trình nổi “ sẽ ra mắt bạn đọc nay mai. Tập bài giảng
được chia thành 2 phần: Phần I mang tiêu đề “ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TOÁN". Phần này
sẽ giới thiệu việc ứng dụng phương pháp số để giải các bài toán về tự động hóa tính toán
các yếu tố thủy tĩnh và ổn định của tàu thủy bao gồm đa thức nội suy Lagrange, phương
pháp bình phương nhỏ nhất, các phương pháp gần đúng để tính các tích phân xác định. Phần
II mang tiêu đề “ HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG phần mềm AUTOSHIP”. Do thời lượng của
môn học có hạn vì vậy ở phần này người biên soạn chỉ tạm dừng lại ở chổ giới thiệu và
hướng dẫn sử dụng 3 module trong 5 module của phần mềm nêu trên bao gồm:
AUTOSHIP; AUTOHYDRO và AUTOPOWER. Hai module còn lại là ; AUTOPLATE và
AUTOSTRUCTURE sinh viên sẽ tự nghiên cứu áp dụng khi thấy cần thiết bởi lẻ trong
phần hai của “Tự động hoá thiết kế tàu thuỷ A2” chúng tôi sẽ tập trung hướng dẫn sử
dụng phần mềm SHIPCONSTRUCTOR dành cho tự động thiết kế công nghệ mà trong đó
có chứa hai Module có tính năng mạnh hơn AUTOPLATE và AUTOSTRUCTURE trong
AUTOSHIP. Riêng Phần II của Tập Bài giảng “Tự động hoá thiết kế tàu thuỷ A1” sẽ được
in thành một bộ riêng đủ để các sinh viên và các kỹ sư cũng như các học viên cao học
ngành Kỹ thuật tàu thủy sử dụng một cách có hiệu quả trong quá trình thực hiện các bài
toán cụ thể.
Để học và nghiên cứu có hiệu quả môn học này người biên soạn mong muồn bạn đọc
và các em sinh viên chuyên ngành Thiết kế tàu thủy hãy dành một phần thời gian để ôn lại
các kiến thức thuộc chương trình toán cao cấp dành cho kỹ sư, tham khảo các tài liệu nói
về phương pháp tính, tĩnh học tàu thủy, động lực học tàu thủy, giáo trình toán ứng dụng
trong kỹ thuật
Người biên soạn xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đối với các ý kiến góp ý để tập
bài giảng này sẽ ngày càng hoàn thiện hơn cả về nội dung lẫn phương pháp trình bày. Mọi
ý kiến góp ý xin bạn đọc gửi về cho tác giả theo địa chỉ sau: Bộ môn Lý thuyết thiết kế tàu

thủy khoa Đóng tàu Đại học Hàng hải hoặc E-Mail:

TÁC GIẢ
1
MỤC LỤC
Chương ,
mục
Tên chương, mục Trang
số
Chương 1 NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH VÀ TỰ ĐỘNG HOÁ THIẾT KẾ 4
1.1 Khái niệm về ngôn ngữ lập trình 4
1.2 Giới thiệu một số ngôn ngữ lập trình điển hình 4
Chương 2 TỰ ĐỘNG HÓA TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ THỦY TĨNH
VÀ TÍNH CÂN BẰNG-ỔN ĐỊNH CỦA TÀU
9
2.1 Phương pháp số dùng trong tự động hoá tính toán các yếu tố
thủy tĩnh và tính cân bằng-ổn định của tàu
9
2.1.1 Đa thức nội suy Lagrange 9
2.1.2 Phương pháp bình phương bé nhất 13
2.2 Các phương pháp tính gần đúng tích phân xác định 15
2.2.1 Đặt bài toán 15
2.2.2 Công thức hình thang 16
2.2.3 Đánh giá sai số 17
2.2.4 Ví dụ 17
2.2.5 Sơ đồ tóm tắt 18
2.2.6 Công thức Simson 19
2.2.7 Đánh giá sai số 19
2.2.8 Ví dụ 20
2.2.9 Sơ đồ tóm tắt công thức Simson 20

2.3. Ứng dụng các phương pháp tính gần đúng tích phân xác định để
tính toán các yếu tố tính nổi thủy lực và ổn định cho tàu thủy
21
2.3.1 Phương pháp hình thang 21
2.3.2. Phương pháp Simpson 22
2.3.3 Phương pháp Tre-bư-sev 25
2.4 Tính nổi tàu thuỷ 26
2.4.1 Tính các đại lượng hình học vỏ tàu 26
2.4.2 Tỉ lệ Bonjean 28
2.4.3 Thể tích phần chìm và các đại lượng liên quan đển thể tích 28
2.4.4 Biện pháp nâng cao độ chính xác của các phương pháp tích
phân gần đúng
31
2.4.5 Tính các đường thuỷ tĩnh trên máy cá nhân 35
2.4.6 Biểu đồ mang tên Firsov 40
2.5 Cân bằng-Ổn định tàu 41
2.5.1 Ổn định ngang ban đầu 41
2.5.2 Ổn định khi tàu nghiêng góc lớn 44
2.5.3 Đồ thị ổn định 46
2.5.4 Thuật toán xác lập họ đường Pan-tô-ka-ren 51
2.5.5 Dựng đồ thị ổn định trên cơ sở Pan-to-ka-ren 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO 54
b¶ng ký hiÖu thêng dïng
2
Ký hiệu Tên gọi Ký hiệu Tên gọi
3
A
V
Diện tích hứng gió M
TRIM

Mô men chúi trên 1 cm
A
W
Diện tích mặt đường nước M
chf
Mô men nghiêng cho phép
A
M
Diện tích mặt sườn giữa M
0y
Mô men tĩnh diện tích mặt đường
nước đối với trục 0y
a Khoảng cách từ trọng tâm đến
tâm nổi
M
0x
Mô men tĩnh diện tích mặt đường
nước đối với trục 0x
B
Chiều rộng tính toán M
x0y
Mô men tĩnh thể tích đối với xoy
B
max
Chiều rộng toàn bộ M
y0z
Mô men tĩnh thể tích đối với y0z
C
B
Hệ số béo chung X

G
Hoành độ trọng tâm
C
M
Hệ số béo sườn giữa X
B
Hoành độ tâm nổi
C
W
Hệ số béo đường nước X
f
Hoành độ trọng tâm đường nước
C
V
Hệ số béo thẳng đứng
θ
Góc nghiêng ngang của tàu
C
P
Hệ số béo dọc ψ Góc chúi của tàu
∆
Lượng chiếm nước trọng lượng Y
B
Tung độ tâm nổi
∆d
Khoảng cách giữa các đường
nước
y
i
Nửa tung độ đường nước khảo sát

ứng với sườn thứ i
∆L
Khoảng cách giữa các sườn
Z
M
,
KM
Cao độ tâm nghiêng ngang
D, d Chiều cao mạn, Chiều chìm
Z
B
,
KB
Cao độ tâm nổi
d
θ
cánh tay đòn ổn định động Z
C
Cao độ tâm nổi
h Chiều cao tâm nghiêng ngang
Z
G
,
KG
Cao độ trọng tâm
h
0
,
MG
Chiều cao tâm nghiêng ban đầu Z

V
Cao độ trọng tâm hứng gió
I
T
Mô men quán tính diện tích
đường nước đối với trục dọc
Ω Diện tích mặt sườn khảo sát
I
L
Mô men quán tính diện tích
đường nước đối với trục ngang
V Thể tích lượng chiếm nước
I
’
L
Mô men quán tính diện tích
đường nước đối với trục 0
’
- y
’
V
Z
Thể tích ngâm nước ứng với
đường nước z
kg Hệ số cao độ trọng tâm S
Z
Diện tích mặt đường nước tại z
L
Chiều dài tính toán m
z

Mô men tĩnh diện tích mặt sườn
Lmax Chiều dài toàn bộ C
z
Trọng tâm diện tích mặt sườn
L
kwl
Chiều dài đường nước thiết kế
r,
BM
Bán kính tâm nghiêng ngang
L
PP
Chiều dài giữa hai đường vuông
góc
R,
L
BM
Bán kính tâm chúi
Lk Cánh tay đòn ổn định hình dáng
l
θ
,
GZ
Tay đòn ổn định tĩnh
l
chf
Tay đòn mô men nghiêng cho
phép
M
hp

Mô men hồi phục
M
V
Mô men nghiêng do gió tác dụng
4
Chương 1
NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH VÀ TỰ ĐỘNG HOÁ THIẾT KẾ
1.1. KHÁI NIỆM VỀ NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH
Ngôn ngữ lập trình là những phần mềm để phát triển các ứng dụng. Ngôn ngữ lập trình
đã trải qua quá trình phát triển và không ngừng hoàn thiện, nó là công cụ quan trọng đối với
sự phát triển của công nghệ thông tin. Tự động hoá tính toán, thiết kế và hiển thị kết quả
tính đều thông qua ngôn ngữ lập trình. Những ngôn ngữ lập trình có ứng dụng rộng rãi và
hiệu quả có thể nêu lên sau đây.
1.2. GIỚI THIỆU MỘT SỐ NGÔN NGỮ LẬP TRÌNH ĐIỂN HÌNH
• FORTRAN (viết tắt từ FORmula TRANslation) ra đời từ những năm năm
mươi, chính xác hơn năm 1957, ứng dụng chủ yếu trong các ngành khoa học, kỹ thuật.
Phiên bản đầu của FORTRAN thường được nhắc đến với tên gọi FORTRAN II , song
phiên bản được dùng phổ biến nhất là FORTRAN IV. Các dàn máy IBM thời bấy giờ nhận
dạng phiên bản phổ thông này dưới tên viết ghép FORTRAN. Ngôn ngữ thích hợp cho việc
xử lý những bài toán cỡ lớn của thời đại, được dùng trong các chương trình tính toán thiết
kế ô tô, tàu thuỷ, máy bay, tính toán độ bền các công trình xây dựng, thiết kế tối ưu. Có thể
coi hơn 90% những chương trình lớn trong các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật được viết bằng
ngôn ngữ này.
Thực tế sử dụng đã nảy sinh vài vấn đề phiền toái. Các nhà sản xuất các chương trình
đa năng tự cho phép mình viết các bộ dịch cho FORTRAN theo sở trường của riêng mình.
Tuy phần lớn các nhà sản xuất vẫn dựa vào tiêu chuẩn của ANSI - American National
Standards Institute để biên soạn compiler cho FORTRAN IV song chẳng có bộ dịch nào
giống bộ dịch nào, vì người nào cũng cố xé rào khỏi chuẩn ANSI. Tình hình ấy bắt buộc
ANSI phải ra tay thống nhất, năm 1978 phiên bản cuối cùng mang tên ANSI X3.9 - 1978 đã
đặt dấu chấm cho sự bùng phát tự do. Phiên bản này có tên gọi FORTRAN 77, ngày nay

được dùng tương đối rộng rãi.
• Algol, viết tắt từ Algorithm, ra đời vào đầu những năm sáu mươi với sự tham
gia rất đông các nhà toán học, những người viết chương trình của châu Âu. Ngôn ngữ được
thiết kế rất trong sáng, dễ học, dễ thực hiện. Đây là phiên bản của bộ môn toán tính dùng
trong máy tính. Ngôn ngữ thích hợp cho việc giải quyết những vấn đề khoa học của thời đại.
Tất cả các thuật toán chuẩn ra đời trong thời kỳ này được chuyển thành chương trình viết
bằng Algol 60. Cho đến cuối những năm bảy mươi chương trình bằng ngôn ngữ Algol còn
được chạy trên các dàn máy lớn. Những chương trình mẫu giải quyết những vấn đề tính
toán theo phương pháp số, đặc biệt phần đại số tuyến tính, viết bằng Algol từ những năm
sáu mươi cho đến tận ngày nay vẫn là những chương trình ưu việt, chưa gì thay được.
Ngôn ngữ này là ngôn ngữ tốt song không sinh ra tại Mỹ, có lẻ đó là căn cứ để giải
thích câu hỏi tại sao ngôn ngữ này không tìm được chỗ đứng ở Mỹ, việc này đồng nghĩa với
sự hạn chế số người dùng và sự phát triển tiếp theo.
• COBOL (Common Business Oriented Language) ra đời năm 1960, áp dụng
chủ yếu trong lĩnh vực kinh doanh, thương mại. Ngôn ngữ này được hoàn thiện và còn tìm
thấy chỗ đứng tận hôm nay.
5
• BASIC (viết tắt từ Beginner's All-purpose Symbolie Instruction Code) do
Kemeny và Kurtz phát triển từ năm 1964 tại Mỹ, là ngôn ngữ dùng cho máy tính nhỏ. Basic
dễ học và sử dụng không khó lắm, song khả năng giải quyết công việc không lớn. Điều
phiền toái nữa là ngôn ngữ này thuộc dạng "dễ tính" nên được phát triển gần như không
kiểm soát được. Tồn tại quá nhiều "thổ ngữ" từ Basic nên khó chọn thứ tiếng chuẩn mực
cho ứng dụng.
Năm 1975 Gates W. viết ngôn ngữ cũng mang tên BASIC cho máy Altair, dạng
microcomputer đầu tiên. Ngôn ngữ mang tên BASIC ngày nay thực tế là các cải biên của
thứ tiếng mà Gates đã đưa ra thời đó.
• Ngôn ngữ PL ( Programming Language ) còn được viết dưới dạng PL1 hoặc
PL/I, cải biên cách viết PL1, được người khổng lồ lúc bấy giờ IBM đặt ra trong thời gian
1963 - 1966 sau thành công của FORTRAN và các ngôn ngữ khác tại Mỹ. Ngôn ngữ thừa
kế những kết quả tốt đẹp của FORTRAN, Algol , Cobol . Bản thân ngôn ngữ bậc cao này

cũng đã có tham vọng sử dụng ngôn ngữ assembly làm các phương tiện nối ghép, chạy
chương trình mẫu. Người ta đặt thêm số 1 cuối tên gọi với hàm ý "ngôn ngữ lập trình số 1".
Tuy ý tưởng hay, thiết kế chuẩn song thực tế không được như ý muốn chủ quan của những
người sinh non ra nó. Ngôn ngữ được quảng cáo rùm beng, song người dùng không nhiều vì
các compiler của PL làm việc quá tồi. Ngôn ngữ không thọ được bao lâu, ngày nay thế hệ
trẻ khỏi phải nghe quảng cáo ngôn ngữ number one nữa .
• Pascal ra đời chính thức 1971. Người có công thiết kế ngôn ngữ là Niklaus
Wirrth . Tên gọi của ngôn ngữ Pascal để ghi nhớ công lao của nhà toán học lớn thế kỷ 17
Blaise Pascal. Ngôn ngữ Pascal thuộc nhóm có cấu trúc chặt, là ngôn ngữ lập trình tiêu
chuẩn bất cứ người lập trình nào cũng nên biết. Theo nhận định của các nhà chuyên môn,
đây là thứ ngôn ngữ "lingua franca", làm cả chức năng "common tongue", là tiếng nói
chung cho lập trình. Ngày nay trong các trường học, trong các lớp học về lập trình, tại các
kỳ thi năng khiếu ngôn ngữ này còn là ngôn ngữ chính thức để truyền thụ và thi tài.
• C là ngôn ngữ lập trình đa năng, ứng dụng vào việc giải quyết những công việc
thực tế nảy sinh từ cuộc sống. C được coi là ngôn ngữ gần "ngôn ngữ máy", có khả năng
giải quyết mọi công việc mà những ngôn ngữ lập trình "bậc cao" sinh trước nó như
FORTRAN, PL1, Pascal đã làm, đồng thời còn giải quyết cả những việc mà đàn anh không
muốn chạm tới, những việc chỉ giành cho ngôn ngữ gần gũi máy như Assembler giải quyết.
Lịch sử phát triển của C có nhiều điều đáng nhắc. Yêu cầu thực tế của AT & T là phải
có ngôn ngữ dùng cho hệ điều hành UNIX, sử dụng trên máy DEC PDP - 11. Việc này được
giao cho Nennis Ritchie. Hệ điều hành, compiler và chương trình ứng dụng đều được
D.Ritchie viết bằng C năm 1972. Thực ra, trước đó Martin Richards đã được giao công việc
tương tự và kết quả của nó là ra đời ngôn ngữ có tên viết tắt BCPL. Trên cơ sở BCPL năm
1970 Ken Thompson soạn ngôn ngữ B (có thể bắt nguồn từ cái tên BCPL) và đã soạn đủ
phần mềm để điều hành DEC PDP - 7. Vào năm 1972 với sự cộng tác của K.Thompson ,
D.Ritchie đã đi từ B đến C. Nguồn gốc của tên gọi "C" chỉ đơn giản vậy. Năm 1978 nhà
xuất bản Prentice - Hall tung ra thị trường "The C Pragramming Language" do Brian W .
Kernighan và Dennis M.Ritchie, viết tắt là K & R cùng viết. Sách ra đời là món quà vô giá
đối với giới lập trình. C vượt ra khỏi ranh giới ban đầu là ngôn ngữ của hệ điều hành UNIX
để thâm nhập vào DOS và hệ điều hành của IBM. Năm 1983 American National Standarts

Institute (ANSI) thành lập uỷ ban này là khẳng định tính đúng đắn của C và uỷ ban chấp
nhận (có thêm bớt) ngôn ngữ C với tên "ANSI C". ANSI C chính thức có hiệu lực từ năm
1988. Cuối những năm tám mươi và đầu những năm chín mươi thế giới lập trình chứng kiến
6
sự bùng nổ ứng dụng C. Ngôn ngữ C đang lấn sân những ngôn ngữ lập trình đàn anh đã
một thời vang bóng.
Ngoài hệ điều hành UNIX của AT & T, nhiều hãng sản xuất phần mềm xây dựng các
bộ dịch C để đưa vào hoạt động. Các bộ dịch có độ tin cậy cao gồm :
• Turbo C ++ Professinal, Borland C++
• Zortech C cho máy IBM PC
• Microsoft C
• Mixsoftware's Power
Điểm mạnh của C được thể hiện trên nhiều mặt. C rất gần với ngôn ngữ Assembly và
giao tiếp dễ dàng với Assembly. C thao tác trên các bit nhanh chóng, chính xác và hiệu quả
như ngôn ngữ máy vẫn làm. C chấp nhận làm việc với mọi kiểu dữ liệu, với độ chính xác do
người dùng đặt. Với biến con trỏ C phát huy thế mạnh khi thao tác mảng, chuỗi, hàm, v v
So với các ngôn ngữ lập trình khác, C điều khiển con trỏ thuần thục, dễ dàng hơn. Con trỏ
giúp C đẩy nhanh tốc độ tính toán, giảm chi phí bộ nhớ. Con trỏ làm cho C vượt trội các
ngôn ngữ khác về tính mềm mại, dễ sử dụng và tạo cho C sức mạnh để chinh phục các vấn
đề phức tạp.
•
Ngôn ngữ C
++
Bản thân C
++
là sự phát triển ở mức cao từ C, song nó lại không hoàn toàn là C. Ngôn
ngữ C thuộc nhóm ngôn ngữ lập trình có cấu trúc chặt, còn C
++
lại tạo cho người viết những
thoả mái ngoài mong đợi .

Trong C chương trình được xây dựng với mục đích rất cụ thể, để giải quyết một việc
cụ thể nào đó. C ghi nhận dữ liệu và dữ liệu đó có thể ở dạng đơn giản hoặc phức tạp, xử lý
dữ liệu và thông báo ra cũng là dữ liệu là đối tượng phục vụ của nó. Còn C
++
, hiểu theo
nghĩa lập trình hướng đối tượng (OOP) thì lại nhắm vào đối tượng, mà đối tượng theo nghĩa
chung nhất là một cái gì đó có giới hạn.
Trong đối tượng người ta đưa dữ liệu vào và cả các phương pháp khai thác, sử dụng dữ
liệu nữa. Và lập trình hướng đối tượng không chỉ hạn chế làm một việc cụ thể mà giải quyết
bất kỳ việc gì cần cho đối tượng.
Trước khi mang tên C
++
ngôn ngữ này có tên ban đầu là "C with Classes" tức là "C với
các lớp". Lớp đi liền với chúng ta khi còn dùng C
++
.
C ra đời trên thực tế từ 1972 từ Bell Labs do Dennis Ritchie và Ken Thompson viết.
Ban đầu C chưa nổi tiếng ngay, nó phát triển âm thầm cho đến năm 1978 khi Brian
Keringhan và Dennis Ritchie tung ra "The C Programming Language". Từ đó ngôn ngữ C
phát triển nhanh và được tiêu chuẩn hoá bằng hội đồng của ANSI ( Mỹ ), từ 1983 đến năm
1988. Ngôn ngữ ANSI C được chính thức khai tên từ 1988.
C
++
tự nó đã là ngôn ngữ lập trình như tên gọi của cuốn sách, song nó thừa kế một cách
hoàn mỹ những gì tốt đẹp nhất của C và phát triển sự tốt đẹp ở mức cao hơn. Thực tế đã
chứng minh C là ngôn ngữ uyển chuyển, có khả năng thâm nhập vào các lĩnh vực tính toán,
quản lý song C
++
còn linh hoạt và uyển chuyển hơn. C là ngôn ngữ vô cùng mạnh song C
++

được coi là mạnh hơn.
Giống như các ngôn ngữ lập trình khác, C theo nghĩa cũ vẫn bị rào cản trong một vài
hạn chế, còn C
++
đang phá bỏ rào cản đó. Trong thực tế có thể coi C
++
là công cụ làm việc
thích hợp cho những người lập trình. Trong quản lý dữ liệu, C và nhiều ngôn ngữ khác sử
dụng struct (hay còn gọi là record nếu hiểu theo nghĩa chung nhất) để quản lý các đối tượng.
Công việc quản lý đó không có gì chê trách được. Song khác với struct, khi C
++
đưa vào lớp
(class) cả đối tượng và công cụ quản lý đối tượng nó liền phát huy thế mạnh đến mức không
ngờ được.
7
Ngôn ngữ lập trình nếu kể đầy đủ phải bao gồm từ ngôn ngữ máy và ngôn ngữ gần với
ngôn ngữ máy. Có thể xếp các ngôn ngữ máy tính vào trong năm nhóm, hay nói cách khác
trong năm thế hệ của ngôn ngữ lập trình.
Thế hệ đầu tiên giành chỉ các mã số 0 và số 1 mà mỗi bit của máy tính đều hiểu. Ngôn
ngữ này làm người thông ngôn duy nhất trong những năm bốn mươi đến đầu những năm
năm mươi. Tại thời điểm này máy chỉ có thể "hiểu" ngôn ngữ độc nhất là mã nhị phân
(binary code), gồm 0 và 1. Ngôn ngữ đầu tiên này còn mang tên gọi "ngôn ngữ máy".
Thế hệ thứ hai của ngôn ngữ máy tính đánh dấu bằng sự ra đời của ngôn ngữ
Assembly, ngày nay có người dịch là hợp ngữ. Assembly giúp cho máy tính nhận diện và
dịch sang ngôn ngữ máy các mã mnemonic như ADD (cộng, thêm vào), SUB (trừ), MOV
(dịch chuyển) v v Các chương trình sử dụng các mnemonic để viết được gọi là assembly,
còn chương trình dịch assembly sang ngôn ngữ máy có tên gọi là Assembler. Ngôn ngữ
Assembly ra đời trong những năm năm mươi và đến tận hôm nay còn giữ được vị trí rất cao
trong làng ngôn ngữ lập trình, mặc dầu bản thân nó là cầu nối giữa "ngôn ngữ bậc thấp" với
"ngôn ngữ bậc cao".

Thế hệ thứ ba đánh dấu bằng sự ra đời và thống trị của "ngôn ngữ bậc cao" (tiếng Anh
viết là HLL - high level languages), kể từ Algol, FORTRAN, Ngôn ngữ bậc cao còn được
gọi là ngôn ngữ thủ tục hoá. Sở dĩ có tên gọi như vừa nêu vì rằng cách diễn đạt bằng ngôn
từ khi dùng HLL không khác gì làm thủ tục tính toán. Người ta viết các lệnh dưới dạng
công thức tính như đang viết công thức toán vậy, không hề để ý đến nguyên lý làm việc của
ngôn ngữ máy là thứ ngôn ngữ duy nhất máy có thể hiểu. Ví dụ khi cần tính "số quả còn lại
C, nếu biết rằng tổng số quả A, em đã ăn B quả", người lập trình chỉ cần ra lệnh:
C = A - B
Để máy hiểu được ý trên nhất thiết phải dịch dòng lệnh này ra ngôn ngữ máy. Những
bộ dịch cho HLL mang một trong hai tên gọi "compiler" hoặc "interpreter". Thứ tự truyền
đạt lệnh đến máy có thể hình dung như sau: người lập trình → compiler hoặc interpreter →
Assembler → máy tính.
Bạn đọc cần phân biệt hai tên gọi vừa nêu "compiler" và "interpreter" cùng làm một
việc, trong tiếng Anh người ta dùng khái niệm "translation" (nghĩa của nó là dịch) để diễn
đạt việc ấy. Compiler dịch toàn bộ chương trình giống như cách dịch toàn bộ bài nói của
một ai đó từ tiếng nước này sang ngôn ngữ của nước chủ nhà. Trong khi đó interpreter dịch
từng câu lệnh một, giống kiểu người phiên dịch (tiếng Anh gọi là interpreter) chuyển từng
câu nói của một vị khách sang tiếng chủ nhà. Trường hợp bắt buộc phải có mặt cả hai thành
phần cho công việc dịch là người phát biểu bằng tiếng nước ngoài và người phiên dịch.
Compiler thực hiện công việc nhanh hơn, gọn hơn. Công việc kiểu sau chậm hơn vì phải
chờ thông tin qua lại giữa người phát biểu và phiên dịch viên. Tuy nhiên interpreter có ưu
điểm nổi trội là làm cho chương trình hoạt động thuận lợi và dễ dàng hơn. Vì không cần
thiết phải dịch xong toàn bộ chương trình mới chạy chương trình, interpreter chuyển từng
phần chương trình vào hoạt động nếu phần việc ấy đã được viết đúng bằng ngôn ngữ lập
trình. Trường hợp có lỗi trong câu lệnh, interpreter phát hiện lỗi ngay tức thì và yêu cầu
chỉnh lại ngay lúc đó. Sau mỗi lần chỉnh, nếu đúng, câu lệnh sẽ được thực thi ngay. Trong
thực tế người ta đang kết hợp cả hai cách làm việc nhằm đẩy mạnh tốc độ thực hiện và tạo
thuận lợi tối đa cho người dùng.
Tại đây bạn đọc cần làm quen thêm với khái niệm mã nguồn và mã đối tượng. Mã
chương trình được gọi là mã nguồn. Sản phẩm có xuất xứ từ mã nguồn, sau khi dịch gọi là

mã đối tượng. Tất cả phần mềm khi bán ra đều được ghi lại dưới dạng mã đối tượng. Với
8
các bản dịch người dùng không còn một khả năng nào để đọc, để nhận biết và không có
cách nào để cải biên, thay đổi.
Thế hệ thứ tư giành cho ngôn ngữ bậc rất cao (Very high level languages). Trong trào
lưu này, nhờ những Generator, người ta chỉ cần đưa những đặc trưng chính của công việc,
generator chuyển thông tin vào hệ thống làm việc của máy như đã miêu tả cho thế hệ trước,
máy tính "tự động" tạo ra những chương trình ứng dụng. Ý này, phục vụ công việc quản lý
cơ sở dữ liệu (tiếng Anh: Database Management) mang dáng dấp của ngôn ngữ thế hệ thứ
tư này. Các ngôn ngữ SQL (viết tắt từ Structured Query Language), QBE (Query-by-
Example) và QUEL (Query Language) là đại biểu xuất sắc nhất trong nhóm. Từ 1986 bắt
đầu quá trình tiêu chuẩn hoá SQL. Năm 1992 ANSI chính thức thông qua tiêu chuẩn cho
SQL-92. SQL đang được dùng trong các phiên bản Sybase SQL Server, Microsoft SQL
Server, IBM OS/2 Extended Edition Database Manager, DEC RDb/VMS và Oracle Server
for OS/2 vv Trong tài liệu này sẽ không đề cập đến ngôn ngữ này, người viết chỉ có thể
hứa nhanh chóng hoàn tất bản thảo giới thiệu tài liệu về các ngôn ngữ này.
Thế hệ thứ năm gắn liền với nhóm ngôn ngữ trí tuệ nhân tạo (AI-Artificial
Intelligence). Đây là ngôn ngữ không - thủ tục (khác với khái niệm ngôn ngữ thủ tục vừa
nêu trên), gắn liền với trạng thái của đối tượng trong vấn đề đang giải quyết, với quan hệ
giữa các đối tượng. Một trong các ngôn ngữ đang dùng có kết quả PROLOG, đang được
người Nhật chấp nhận, phát triển và hoàn thiện. Ngôn ngữ mang tên Nhật HIMIKO xuất
phát từ PROLOG, đang là cơ sở cho nhóm ngôn ngữ thế hệ thứ năm này. Trong lĩnh vực
quản lý dữ liệu, sự gắn bó giữa ngôn ngữ thế hệ thứ tư và thứ năm đã sinh ra DATALOG
chuyên phục vụ công tác hệ thống dữ liệu. Ngôn ngữ LDL (Logic Data Language) đang
chiếm vị trí xứng đáng trong lĩnh vực truyền dữ liệu.
Cần nói thêm, ngôn ngữ LISP cũng thuộc nhóm ngôn ngữ trí tuệ nhân tạo, được phát
triển từ những năm sáu mươi tại Mỹ, ngày nay đang đóng vai trò hết sức quan trọng trong
công cuộc tự động hoá thiết kế. Tài liệu về LISP và AutoLISP đề nghị bạn đọc tìm hiểu
thêm qua sách chuyên đề của cùng người viết.
Chương 2

9
TỰ ĐỘNG HÓA TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ THỦY TĨNH VÀ
TÍNH CÂN BẰNG-ỔN ĐỊNH CỦA TÀU
2.1. PHƯƠNG PHÁP SỐ DÙNG TRONG TỰ ĐỘNG HOÁ TÍNH TOÁN
CÁC YẾU TỐ THỦY TĨNH VÀ TÍNH CÂN BẰNG-ỔN ĐỊNH CỦA TÀU
Chương này sẽ giới thiệu với bạn đọc việc sử dụng các phương pháp tính thông dụng
khi xử lý những bài toán thường gặp trong tính toán các yếu tố tính nổi – thủy lực của tàu.
Các phương pháp được đề cập ở trong phạm vi tài liệu này bao gồm: phương pháp tích phân
gần đúng, phương pháp nội suy và phương pháp bình phương nhỏ nhất.
2.1.1. Đa thức nội suy Lagrange
Trong thực tế nhiều khi người ta phải giải bài toán ngược sau đây: Người ta không
biết chính xác hàm số f(x) mà chỉ biết một tập rời rạc hữu hạn của đồ thị biểu diễn nó và
một vài nét hết sức khái quát của hàm f(x); người ta muốn dựng lại hàm số f(x) và dĩ nhiên
không thể nào dựng đúng nguyên xi hàm f(x) (vì bản thân hàm số f(x) cũng chưa được biết)
nhưng người ta hy vọng rằng sẽ dựng được một hàm số có các tính chất như hàm số f(x) và
dĩ nhiên đồ thị biểu diễn hàm số được dựng nên ít ra thì cũng gần trùng với đồ thị của hàm
f(x) tại tập hợp các điểm rời rạc đã cho trước ví dụ như từ số liệu thống kê các đặc trưng
của một số đối tượng khảo sát bất kỳ nào đó; từ kết quả thí nghiệm tại phòng thí nghiệm;
từ số liệu thử mô hình tàu thủy tại bể thử v.v….
Ví dụ ta muốn phục hồi một hàm số f(x) tại mọi giá trị của x X [ a, b] nào đó mà chỉ
biết một số hữu hạn gồm (n +1) giá trị của hàm số đó tại các điểm rời rạc x
0
, x
1
, …, x
n
X
[a, b] . Các giá trị rời rạc này được cho dưới dạng bảng sau:
x x
0

x
1
x
2
… x
i
…. x
n
y y
0
y
1
y
2
… y
i
… y
n
Khi đó ta đặt vấn đề là tìm một đa thức bậc n :
P
n
(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a

n
x
n
, a
n
≠ 0 với a
0
, a
1
, …., a
n
X R sao cho P
n
(x) trùng với f(x)
tại các nút x
i
,
ni ,0=
nghĩa là P
n
(x
i
) = f(x
i
) = y
i
.
Đa thức P
n
(x) tìm được đó được gọi là đa thức nội suy. Ta chọn đa thức nội suy hàm

số f(x) vì đa thức là loại hàm số đơn giản nhất và dễ xác định nhất.
Như vậy ta sẽ có định lý sau: Nếu tồn tại đa thức nội suy P
n
(x) của hàm số f(x) thì đa
thức đó là duy nhất.
CM: Thật vậy nếu có hai đa thức P
n
(x) và Q
n
(x) cùng là đa thức nội suy của hàm f(x).
Lúc đó theo định nghĩa ta có:
P
n
(x
i
) = y
i
; Q
n
(x
i
) = y
i
.
Vậy hiệu số P
n
(x
i
) – Q
n

(x
i
) cũng là môt đa thức có bậc không vượt quá n và bị triệt
tiêu tại n + 1 giá trị khác nhau x
i
,
ni ,0=
(Vì P
n
(x
i
) – Q
n
(x
i
) = y
i
– y
i
= 0,
ni ,0=
). Do vậy đa
thức hiệu P
n
(x) – Q
n
(x) phải đồng nhất bằng không, nghĩa là P
n
(x
i

) ≡ Q
n
(x
i
).
Có thể tồn tại nhiều đa thức nôi suy nhưng do tính duy nhất nên chúng có thể đều
được quy về nhau được. Dưới đây chúng ta sẽ xây dựng đa thức nội suy theo kiểu
Lagrange, gọi là đa thức nội suy Lagrange và được ký hiệu là L
n
(x).
Đa thức nội suy Lagrange được viết dưới dạng:
f(x) = P
n
(x) + R
n
(x) (2.1)
10
hoặc dạng đầy đủ:
∑
∏
=
+
=
<<
+







−+=
n
i
n
n
i
iii
ba
n
f
xxxfxLxf
0
)1(
0
,
)!1(
)(
)()()()(
ξ
ξ
(2.2)
trong đó
∏
≠
=









−
−
=
n
ij
j
ji
j
i
xx
xx
xL
0
)(
(2.3)
Cụ thể như sau:

)() )(( ))((
),( )()( )()(
)(
1110
1110
niiiiiii
nii
i
xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxx
xL
−−−−−
−−−−−
=
+−
+−
,
ni ,0=
Hiển nhiên L
i
(x) là đa thức bậc n và




≠
=
=
ijkhi
ijkhi
xL
ji
0
1
)(
(2.4)
L
i
(x) được gọi là đa thức Lagrange cơ sở.

Đa thức
∑
=
=
n
i
iin
xfxLxP
0
)()()(
mang tên gọi đa thức Lagrange, còn số hạng thứ hai
của vế phải công thức (2.2) gọi là hàm sai số.
Đa thức P
n
(x) được hiểu là đa thức bậc n và được khai triển dưới dạng:
P
n
(x) = a
0
(x - x
1
)(x - x
2
) (x - x
n
) +
+ a
1
(x - x
0

)(x - x
2
) (x - x
n
) +
+ a
2
(x - x
0
)(x - x
1
) (x – x
3
) (x - x
n
) +

+ a
i
(x - x
0
)(x - x
1
) (x - x
i-1
)(x - x
i+1
) (x - x
n
)

a
n
(x - x
0
)(x - x
1
) (x - x
n-2
)(x - x
n-1
) (2.5)
Các hệ số a
0
, a
1
, a
2
, được xác định từ quan hệ:
P
n
(x
i
) = f(x
i
) = y
i
; i = 0, 1, 2, (2.6)
Lần lượt thay x = x
0

, x = x
1
, vào công thức (2.5) ta có thể xác định được công thức
tính các hệ số a
i
.
Ví dụ, từ P
n
(x
0
) = f(x
0
) = y
0
= a
0
(x
0
- x
1
)(x
0
- x
2
) (x
0
- x
n
) sẽ nhận được:

)) ()((
)(
02010
0
0
n
xxxxxx
xf
a
−−−
=
=
( )
ji
n
ij
j
xx
xf
−Π
≠
=0
0
)(
tương tự ta có thể viết:
)) ()((
)(

)) ()((
)(

110
12101
1
1
−
−−−
=
−−−
=
nnnn
n
n
n
xxxxxx
xf
a
xxxxxx
xf
a
Hệ số thứ i có dạng tổng quát:
11
)) ()() ()((
)(
1110 niiiiiii
i
i
xxxxxxxxxx
xf
a
−−−−−

=
+−
(2.7)
Thay các biểu thức vừa xác định vào vị trí a
0
, a
1
, , a
n
sẽ nhận được công thức nội suy
hay còn gọi đa thức Lagrange:

n
nnnn
n
n
n
n
n
n
y
xxxxxx
xxxxxx
y
xxxxxx
xxxxxx
y
xxxxxx
xxxxxx
xP

)) ()((
)) ()((

)) ()((
)) ()((
)) ()((
)) ()((
)(
110
21
1
12101
21
0
02010
21
−
−−−
−−−
++
+
−−−
−−−
+
−−−
−−−
=
(2.8)
hoặc dưới dạng tổng quát ta có:

∑
=
=
n
i
iin
xfxLxP
0
)()()(
, với
∏
≠
=








−
−
=
n
ij
j
ji
j
i

xx
xx
xL
0
)(
Những trường hợp riêng của hàm nội suy Lagrange:
Với n = 1:
x x
0
x
1
y y
0
y
1
Đa thức nội suy có dạng
1
01
0
0
10
1
1
)(
)(
)(
)(
)( y
xx
xx

y
xx
xx
xP
−
−
+
−
−
=
(2.9)
Hàm P
1
(x) là đoạn thẳng qua hai điểm (x
0
, y
0
) và (x
1
, y
1
), có tên gọi công thức nội suy
tuyến tính.
Thí dụ:
Cho bảng số:
x 1 2
y 17 27,5
Hãy lập đa thức nội suy tương ứng.
Lời giải:
Ở đây n = 1 nên đa thức nội suy sẽ có dạng đa thức bậc nhất. Như vậy đa thức được

viết như sau:
P
1
(x) =
)12(
)1(
5,27
)21(
)2(
17
−
−
+
−
− xx
Rút gọn biểu thức ta có:
P
1
(x)= 6,5+ 10,5x
Với n = 2:
x x
0
x
1
x
2
y y
0
y
1

y
2
Đa thức nội suy có dạng
12

2
1202
10
1
2101
20
0
2010
21
2
))((
))((
))((
))((
))((
))((
)( y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx

xP
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
=
(2.10)
Hàm thứ hai là đường parabol bậc hai qua ba điểm cho trước, gọi là nội suy bậc hai.
Thí dụ:
Cho bảng số:
x 1 2 3
y 17 27,5 76
Hãy lập đa thức nội suy tương ứng.
Lời giải:
Ở đây n = 2 nên đa thức nội suy sẽ có dạng đa thức bậc 2. Như vậy đa thức được viết
như sau:
P
2
(x) =
)23)(13(
)2)(1(
76
)32)(12(
)3)(1(
5,27
)31)(21(

)3)(2(
17
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−− xxxxxx
Rút gọn biểu thức ta có:
P
2
(x)= 19x
2
– 46,5x + 44,5
Với n =3
Thí dụ:
Cho bảng số:
x 1 2 3 4
y 17 27,5 76 210,5
Hãy lập đa thức nội suy tương ứng.
Lời giải:
Ở đây n = 3 nên đa thức nội suy sẽ có dạng đa thức bậc 3. Như vậy đa thức được viết
như sau:
3
231303
210
2
321202

310
1
312101
320
0
302010
321
3
))()((
))()((
))()((
))()((
))()((
))()((
))()((
))()((
)(
y
xxxxxx
xxxxxx
y
xxxxxx
xxxxxx
y
xxxxxx
xxxxxx
y
xxxxxx
xxxxxx
xP

−−−
−−−
+
−−−
−−−
+
−−−
−−−
+
−−−
−−−
=
(2.11)
P
3
(x) =
)34)(24)(14(
)3)(2)(1(
5,210
)43)(23)(13(
)4)(2)(1(
76
)41)(32)(12(
)4)(3)(1(
5,27
)41)(31)(21(
)4)(3)(2(
17
−−−
−−−

+
−−−
−−−
+
+
−−−
−−−
+
−−−
−−−
xxxxxx
xxxxxx
Rút gọn biểu thức ta có:
P
3
(x)= -3,5+ 41,5x - 29x
2
+ 8x
3
2.1.2. Phương pháp bình phương nhỏ nhất
2.1.2.1. Đặt bài toán
13
Giả sử có hai đại lượng (vật lý, hóa học, kỹ thuật …) x và y có mối liên hệ phụ thuộc
nhau theo một số qui luật đã biết nào đó ví dụ như:
1)
y = a + bx
2)
y = a + bx + cx
2
3)

y = a+ b cosx + csinx
4)
y = ae
bx
5)
y = ax
b
nhưng chưa biết các giá trị cụ thể của các tham số a, b,c. Muốn xác định chúng người ta cần
thực hiện các thí nghiệm, các đo đạc v.v…. một số cặp giá trị tương ứng (x
i
, y
i
), với i =1,2,
…, n theo bảng sau:

x x
1
x
2
… x
n
y y
1
y
2
… y
n
rồi áp dụng phương pháp bình phương bé nhất để xác định các tham số a, b, c.
2.1.2.2. Xét trường hợp y = a + bx
Giả sử y phụ thuộc x dạng bậc nhất y = a + bx và khi đó ta có

y
i
- a - bx
i
= ε
i
, i = 1,2, …, n là các sai số tại x
i
, do đó ta có
∑
−−=
2
)(
ii
bxayS
(2.12)
là tổng các bình phương của các sai số.
S phụ thuộc vào tham số a và b còn x
i
và y
i
đã biết.
Như vậy mục đích của phương pháp bình phương bé nhất là xác định các tham số a và
b sao cho S bé nhất. Muốn vậy a và b phải là nghiệm của hệ phương trình sau:

0;0 =
∂
∂
=
∂

∂
b
S
a
S
(2.13)
tức là:

∑ ∑
=+
ii
yxban


∑ ∑ ∑
=+
iiii
yxxbxa
2

Từ bảng 2.1.2 ta sẽ tính được các tổng
∑ ∑ ∑ ∑
iiiii
yxxyx ,,,
2
, thay vào hệ phương trình
(2.14) rồi giải hệ đó ta sẽ nhận được a và b.
Hệ (2.14) gọi là hệ chính tắc của phương pháp bình phương nhỏ nhất được viết cho
dạng y = a + bx.
2.1.2.3. Thí dụ

Cho biết sự phụ thuộc giữa hai đại lượng x và y có dạng y = a + bx và được cho ở
bảng 2.1
Bảng 2.1
x - 1,1 2,1 3,2 4,4 5,2
y 0,78 7,3 9,2 11,9 13,3
Hãy xác định các tham số a và b bằng phương pháp bình phương bé nhất.
Lời giải:
Bước 1. Lập bảng số như sau (Bảng 2.1.1):
14
(2.14)
Bảng 2.1.1
x
i
y
i
2
i
x
x
i
y
i
n = 5
- 1,1 0,78 1,21 - 0,858
2,1 7,3 4,41 15,33
3,2 9,2 10,24 29,44
4,4 11,9 19,36 52,36
5,2 13,3 27,24 69,16
Σ
∑

=
=
5
1
n
i
i
x
= 13,8
∑
5
1
i
y
= 42,48
∑
5
1
2
i
x
= 62,26
∑
5
1
ii
yx
= 165,432
Bước 2. Lập hệ phương trình sau:
5a + 13,8 b = 42,48

13,8a + 62,26 b = 165,432
Giải hệ phương trình này bằng một trong những pbhuwowng pháp đã biết chúng ta sẽ
xác định được tham số : a = 2,9939036 y3 và b = 1,9935131y 2.
Vậy ta viết được phương trình cuối cùng như sau:
y = 3 + 2 x (2.15)
Bây giờ chúng ta thử tính các giá trị mới của y tại các x
i
theo phương trình (2.15) và
so sánh chúng với các giá trị y
i
đã cho bởi bảng 2.1. (Xem bảng 2.1.2)
Bảng 2.1.2
x - 1,1 2,1 3,2 4,4 5,2
y (cũ) 0,78 7,3 9,2 11,9 13,3
y (mới) 0,8 7,2 9,4 11,8 13,4
Như vậy quan hệ (2.13) xấp xỉ khá tốt với các số liệu đưa ra ở bảng 2.1.3
2.1.2.4. Các dạng quan hệ khác
Các dạng quan hệ (2), (3) được giới thiệu ở mục 2.1.2.1. là các mối quan hệ tuyến
tính đối với các tham số a, b và c nên cũng có thể giải quyết một cách tương tự. Chẳng
hạn, nếu :
y = a + bx + cx
2
thí các tham số a, b và c là nghiệm của hệ phương trình chính tắc sau:
∑ ∑∑
=++
ii
i
yxcxban
2

∑ ∑∑∑
=++
iiii
i
yxxcxbxa
32
(2.16)


∑ ∑∑ ∑
=++
iiiii
yxxcxbxa
2432
Trường hợp các mối quan hệ (4) và (5) ta phải biến đổi đôi chút vì đó là những mối
quan hệ phi tuyến đối với các tham số a và b.
Giả sử y = a e
bx ,
với a > 0
Lấy lô-ga-rít thập phân hai vế ta được :
lg y = lg a + bx lge.
Đặt lg y = Y, lg a = A, blge = B , x = X Y Y = A + BX
15
Đây chính là mối quan hệ y = a + bx mà ta đã xét ở trên. Từ bảng số liệu về mối quan
hệ giữa y và x ta suy ra bảng số liệu về X và Y với chú ý:
X = x ; Y = lg y
Sau đó áp dụng cách làm ở trên và sẽ thu được A và B rồi từ đó suy ra a và b
2.1.2.5. Sơ đồ thuật toán của phương pháp bình phương nhỏ nhất
a) Cho mối quan hệ y = a + bx
1. Tính các tổng

∑ ∑ ∑ ∑
iiiii
yxxyx ,,,
2
2. Giải hệ chính tắc :

∑ ∑
=+
ii
yxban

∑ ∑ ∑
=+
iiii
yxxbxa
2
tìm a và b
3. Kết luận: Viết ra phương trình cuối cùng
b) Cho mối quan hệ y = a e
bx
1. Lấy lô-ga-rít hai vế của y = ae
bx
2. Chuyển bảng số giữa x và y thành bảng số X và Y
3. Tính các tổng
4. Giải hệ chính tắc để tìm A và B
5. Tính : a = a
A
, b = B/lge
6. Kết luận.
2.2. Các phương pháp tính gần đúng tích phân xác định

2.2.1. Đặt bài toán
Xét tích phân xác định :
∫
=
b
a
dxxfI )(
Nếu f(x) liên tục trên [a, b] và có nguyên hàm là F(x) thì công thức Niu-tơn - Lép-nít
cho:
∫
=
b
a
dxxfI )(
= F(b) – F(a) (2.17)
Nhưng nếu không tìm được nguyên hàm của f(x) ở dạng sơ cấp hoặc nguyên hàm đó
quá phức tạp thì tích phân I phải tính gần đúng. Sau đây sẽ trình bày hai công thức tính
gần đúng tích phân I dựa trên tư tưởng thay hàm f(x) bằng một đa thức nội suy.
2.2.2. Công thức hình thang
Ta chia [a, b] thành n đoạn con bằng nhau bởi các điểm chia x
i
:
a = x
0
< x
1
< ….< x
n-1
= b
x

i
= a + i h,
n
ab
h
)( −
=
, với i = 0, 1, …, n
Đặt y
i
= f(x
i
)
Ta có
∫
=
b
a
dxxfI )(
=
∫
1
0
)(
x
x
dxxf
+
∫
2

1
)(
x
x
dxxf
+…+
∫
−
n
n
x
x
dxxf
1
)(
(2.18)
Để tính mỗi tích phân ở vế phải ta thay hàm f(x) bằng một đa thức nội suy bậc nhất
P
1
(x). Với tích phân thứ nhất ta có:
16

∫∫
≈
1
0
1
0
)()(
1

x
x
x
x
dxxPdxxf

Đổi biến x = x
0
+ ht thì dx = hdt, ứng với x
0
là t
0
= 0 , ứng với x
1
là t = 1, nên ta có

22
1
0
1
)
2
()()(
10
00
1
0
0
2
0001

1
0
yy
hyyh
t
t
y
t
tyhdtytyhdxxP
x
x
+
=






∆+=
=
=
∆+=∆+=
∫∫
.
Vậy ta có :
2
)(
10
1

0
yy
hdxxf
x
x
+
≈
∫
Về mặt hình học điều đó có nghĩa là: Thay diện tích hình thang cong x
0
M
0
M
1
x
1
bởi
diện tích hình thang thường x
0
M
0
M
1
x
1
(Hình 2.1)
Hình 2.1
Đối với tích phân thứ i + 1 ta có:
2
)(

1
1
+
+
≈
∫
+
ii
x
x
yy
hdxxf
i
i
Vậy công thức (2.18) được viết lại như sau:

[ ]
)( )()(
2
)(
12110 nn
b
a
yyyyyy
h
dxxf ++++++≈
−
∫
Nghĩa là
T

b
a
IdxxfI ≈=
∫
)(
với






++++
+
=
−
121
0
)
2
n
n
T
yyy
yy
hI

và
n
ab

h
)( −
=
Công thức này gọi là công thức hình thang.
2.2.3. Đánh giá sai số
17
x
0
x
1
M
0
M
1
(2.19)
Người ta đã chứng minh được rằng:
bxaxfM
abh
M
II
T
≤≤=
−≤=−
,)(max
),(
12
''
2

2.2.4. Thí dụ

Hãy tính gần đúng :

∫
+
=
1
0
2
1 x
dx
I
Lời giải:
Ta đã biết giá trị đúng của tích phân này là π/4. Do đó nếu biết số π thì ta có:
I = 0,78539816 …
Bây giờ ta tính gần đúng I bằng công thức hình thang rồi so sánh kết quả.
Công việc được tiến hành như sau:
Chia đoạn [0, 1] thành 10 khoảng (n =10) con bằng nhau với h = 0,1. Lập bảng trị số
như sau ( bảng 2.2)
Bảng 2.2
x f(x) = 1/(1 + x
2
)
0 1,000000 = y
0
0,1 0,9900990 = y
1
0,2 0,9615385 = y
2
0,3 0,9174312 = y
3

0,4 0,8620690 = y
4
0,5 0,800000 = y
5
0,6 0,7352941 = y
6
0,7 0,6711409 = y
7
0,8 0,6097561 = y
8
0,9 0,5524862 = y
9
1,0 0,500000 = y
10
Áp dụng công thức hình thang (2.15) ta nhận được I y0,7849815 với sai số tương đối
0,054 %.
2.2.5. Sơ đồ tóm tắt công thức hình thang
Phương án 1: Cho trước số khoảng chia n
1) Xét tích phân
∫
=
b
a
dxxfI )(
;
2) Ấn định số khoảng chia n;
3) Chia [a, b] thành n phần bằng nhau và tính
n
ab
h

−
=
; x
i
= a + i h , i = 0, 1,…,n.;
y
i
= f (x
i
) , i = 0, 1, …, n.
4) Tính






++++
+
=
−121
0
)
2
n
n
T
yyy
yy
hI

;
5) Kết quả:
18
(2.20)
I y I
T
Phương án 2: Cho trước sai số
1) Xét tích phân
∫
=
b
a
dxxfI )(
;
2) Ấn định sai số cho phép ε;
3) Dùng công thức (2.16) để xác định khoảng chia n sao cho sai số bé hơn sai số
cho phép;
4) Tính
n
ab
h
−
=
; x
i
= a + i h , i = 0, 1,…,n.;
y
i
= f (x
i

) , i = 0, 1, …, n.
5) Tính






++++
+
=
−121
0
)
2
n
n
T
yyy
yy
hI
6) Kết quả :
I yI
T
Với sai số
ε
〈−
T
II
2.2.6. Công thức Simson

Ta chia [a, b] thành 2n đoạn con bằng nhau bởi các điểm chia x
i
:
a = x
0
< x
1
< …< x
2n

= b
x
i
= a + ih,
n
ab
h
2
)( −
=
, i = 0, 1, …, 2n
Giả sử y
i
= f(x
i
) . Ta có:
∫∫∫∫
−
+++=
n

n
x
x
x
x
x
x
b
a
dxxfdxxfdxxfdxxf
2
22
4
2
2
0
)( )()()(
(2.21)
Để tính mỗi tích phân ở vế phải ta thay f(x) bằng đa thức nội suy bậc hai P
2
(x). Với
tích phân thứ nhất ta có :
∫∫
≈
2
0
2
0
)()(
2

x
x
x
x
dxxPdxxf
Đổi biến x = x
0
+ h t thì dx = h dt, ứng với t = 0, ứng với x
2
là t = 2. Do đó:
0
2
232
1
2
)
2
)1(
()(
2
0
0
2
23
0
2
00
2
002
2

0
=
=






∆








−+∆+=∆
−
+∆+=
∫∫
t
t
y
tt
y
t
tyhdty
tt

ytyhdxxP
x
x
=
( )
2100
2
00
4
32
4
3
8
2
1
22 yyy
h
yyyh
++=






∆







−+∆+
.
Vậy ta có:
)4(
3
)(
210
2
0
yyy
h
dxxf
x
x
++≈
∫
.
Đối với các tích phân sau ta cũng tiến hành tương tự và nhận được:

)4(
3
)(
22122
22
2
++
++=
∫

+
iii
x
x
yyy
h
dxxf
i
i
Thay vào công thức (2.17) ta được
19
( )
[ ]
)4( )4(4
3
)(
21222432210 nnn
b
a
yyyyyyyyy
h
dxxf +++++++++≈
−−
∫
.
Vậy ta có:
S
b
a
IdxxfI ≈=

∫
)(
với
[ ]
) (2) (4)(
3
2242123120
−−
+++++++++=
nnnS
yyyyyyyy
h
I
(2.22)
trong đó
n
ab
h
2
)( −
=
Công thức (2.22) được gọi là công thức Simson.
2.2.7. Đánh giá sai số
Người ta đã chứng minh được

bxaxfM
abh
M
II
IV

S
≤≤=
−≤=−
,)(max
),(
180
4

2.2.8. Thí dụ
Xét tích phân
∫
+
=
1
0
2
1 x
dx
I
. Với bảng trị số (Bảng 2.2) đã cho ở trên ta có thể áp dụng
công thức Simson vì 10 = 2 *5. Ta được I y 0,78539815 với sai số tương đối 0,000002%
Đối chiếu với kết quả được xác định bởi công thức hình thang ta nhận thấy kết quả
tính theo công thức Simson chính xác hơn nhiều.
2.2.9. Sơ đồ tóm tắt công thức Simson
Phương án 1: cho trước số khoảng chia 2n
1) Xét tích phân
∫
=
b
a

dxxfI )(
;
2) Xác định số khoảng chia 2n;
3) Chia [a, b] thành 2n phần bằng nhau và
tính
n
ab
h
2
)( −
=
; x
i
= a + ih, với i= 0,1,…,2n; y
i
= f(x
i
), i= 0,1,…, 2n
4) Tính
[ ]
) (2) (4)(
3
2242123120
−−
+++++++++=
nnnS
yyyyyyyy
h
I
5) Kết quả I yI

S
Phương án 2: Cho trước sai số
1) Xét tích phân
∫
=
b
a
dxxfI )(
;
2) Ấn định sai số phép tính ε;
3) Dùng công thức (2.19) để xác định số khoảng chia 2n sao cho sai số < sai số cho
phép;
4) Chia [a, b] thành 2n phần bằng nhau và tính
20
∫
=
b
a
dxxfI )(
; x
i
= a + ih, với i= 0,1,…,2n; y
i
= f(x
i
), i= 0,1,…, 2n;
5) Tính
[ ]
) (2) 4)(
3

2242123120
−−
+++++++++=
nnnS
yyyyyyyy
h
I
;
6) Kết quả : I y I
S
với sai số
ε
<−
S
II
.
BÀI TẬP
1. Cho hàm số y = lg x với các giá trị tương ứng của x và y cho trong bảng sau:
x 50 55 60 65
y 1,6990 1,7404 1,7782 1,8129
Hãy tính đạo hàm của y tại x = 50 và so sánh với kết quả tính trực tiếp .
2. Cho tích phân:
∫
+
1
0
1 x
dx
Hãy chia đoạn con [0, 1] thành 10 đoạn con bằng nhau ( n=10) rồi tính gần đúng I
và đánh giá sai số bằng :

a) Công thức hình thang; b) Công thức Simson.
3. Cho tích phân
dx
x
x
∫
1
0
sin
1) Hỏi phải chia đoạn [0,1] thành mấy (n = ?) đoạn con bằng nhau để khi
tính I bằng công thức hình thang bảo đảm được sai số tuyệt đối < 3*10
-4
;
2) Với n ấy khi tính bằng công thức Simson thì sai số là bao nhiêu?
3) Hãy tính I với n đã chọn ở trên bằng công thức hình thang và công thức
Simson đến 6 chữ số lẻ thập phân.
2.3. ỨNG DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN
XÁC ĐỊNH ĐỂ TÍNH TOÁN CÁC YẾU TỐ TÍNH NỔI THỦY LỰC VÀ CÂN
BẰNG-ỔN ĐỊNH CHO TÀU THỦY
2.3.1. Phương pháp hình thang
Cho đường cong y = f(x) được thể hiện trên hình 2.2.
Tọa độ các tung độ có khoảng cách ∆L bằng nhau.
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường cong trong khoảng từ a đến b với trục
hoành ox sẽ được xác định như sau:
≅==
∫∫
b
a
b
a

x
x
x
x
dxxfdxyF )(

∑
∆
=+++++∆
=
+
∆++
+
∆+
+
∆≅
−
−
n
iinn
nn
yK
L
yyyyyL
yy
L
yy
L
yy
L

0
1210
1
21
10
2
)2 22(
2

22
(2.23)
trong đó: K
i
= 1, 2, 2, , 2, 1 - hệ số tính toán của phương pháp hình thang.
y
i
– giá trị tung độ tại vị trí thứ điểm thứ i trên trục ox.
21


Hình 2.2 – Phương pháp hình thang
2.3.2. Phương pháp Simpson
2.3.2.1. Qui tắc thứ nhất của Simpson (Simpson I)
Qui tắc này được áp dụng cho nhóm 3 tọa độ có khoảng cách bằng nhau .Cho đường
cong y = f(x) biểu thị trên hình 2.3. Giả sử đây là đường cong bậc 2 và có phương trình
biểu diễn như sau :
y = a
0
+ a
1

x + a
2
x
2
.
(2.24)
Khi thay x = 0; x = ∆L và x = 2∆L vào phương trình (2.24) ta thu được
y
0
= a
0
;
y
1
= a
0
+ a
1
∆L + a
2
∆L
2
y
2
= a
0
+ 2a
1
∆L + 4a
2

∆L
2
Suy ra
a
0
= y
0
;

L
yyy
a
∆
−+−
=
2
43
210
1
;

2
210
2
2
2
L
yyy
a
∆

+−
=
.
Diện tích hình phẳng bao hàm dưới đường cong trong khoảng từ a đến b được xác định như
sau:
===
∫∫
b
a
b
a
x
x
x
x
dxxfdxyF )(
≅++
∫
b
a
x
x
dxxaxaa )(
2
210
22
f(x)
x
y
∆L

∆L
∆L
y
0
y
1
y
2
y
3
a b

3
2
2
10
3
8
22 LaLaLa
∆ +∆+∆≅
. (2.25)
Hình 2.3 – Phương pháp Simpson I
Thay các giá trị a
0
, a
1
, a
2
vào (2.25) ta có :
F = (1y

0
+ 4y
1
+ 1y
2
) ∆L/3. (2.26)
Trong trường hợp chung có n khoảng chia đều nhau (với n là số chẵn) qui tắc thứ
nhất của phương pháp Simpson cho nhóm 3 tọa độ kế tiếp nhau các hệ số tính toán được
chọn như sau:
1 4 1
1 4 1
1 4 1
1 4 1
+ K
i
: 1 4 2 4 2 2 4 2 4 1
Hình 2.4. Sơ đồ xác định hệ số qui tắc Simpson I.
Như vậy công thức tổng quát để tính diện tích được chắn bởi đường cong (2.24)
trong khoảng a đến b áp dụng chi nhóm 3 tọa độ đều nhau được viết như sau :
===
∫∫
b
a
b
a
x
x
x
x
dxxfdxyF )(

≅++
∫
b
a
x
x
dxxaxaa )(
2
210

∑
∆
n
ii
yK
L
0
3
(2.27)
trong đó:
n
ab
L =∆
; K
i
= 1, 4, 2, 4, 2, ,4, 2, 4, 1 (theo hình 2.4)
2.3.2.2. Qui tắc thứ hai của Simpson (Simpson II)
Qui tắc này được áp dụng cho nhóm 4 tọa độ có khoảng cách bằng nhau .
23
y = a

0
+ a
1
x +a
2
x
2
x
y
∆L
∆L
y
0
y
1
y
2
a b
Cho đường cong y = f(x) biểu thị trên hình 2.4. Giả sử đây là đường cong bậc 3 và có
phương trình biểu diễn như sau :
y = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2

+a

3
x
3


(2.28)
Khi thay x = 0; x = ∆L; x = 2∆L và x = 3 ∆L vào phương trình (2.28) ta thu được
y
0
= a
0
;
y
1
= a
0
+ a
1
∆L + a
2
∆L
2
+ a
3
∆L
3
;
y
2
= a

0
+ 2a
1
∆L + 4a
2
∆L
2
+ 8a
3
∆L
3
;
y
3
= a
0
+ 3a
1
∆L + 9a
2
∆L
2
+ 27a
3
∆L
3
.
Suy ra
a
0

= y
0
;
L
yyyy
a
∆
+−+−
=
6
291811
3210
1
;
2
3210
2
2
452
L
yyyy
a
∆
−+−
=
;

2
3210
3

6
33
L
yyyy
a
∆
+−+−
=
.
Diện tích hình phẳng bao hàm dưới đường cong trong khoảng từ a đến b được xác
định như sau:
===
∫∫
b
a
b
a
x
x
x
x
dxxfdxyF )(
≅+++
∫
b
a
x
x
dxxaxaxaa )(
3

3
2
210
4
3
3
2
2
10
4
81
9
2
9
3 LaLaLaLa
∆+∆ +∆+∆≅
. (2.29)
.

Hình 2.5 Phương pháp Simpson II
Thay các giá trị a
0
, a
1
, a
2
và a
3
vào (2.29) ta có :
F = (1y

0
+ 3y
1
+ 3y
2
+ 1y
3
) 3∆L/8. (2.30)
Trong trường hợp chung có n khoảng chia đều nhau (với n là bội số của 3) qui tắc
thứ hai của phương pháp Simpson cho nhóm 4 tọa độ kế tiếp nhau, các hệ số tính toán được
chọn như sau:
24
x
a
y = a
0
+ a
1
x +a
2
x
2
+ a
3
x
3
y
∆L ∆L
y
0

y
1
y
2
b
∆L
y
3
Hình 2.6 Sơ đồ xác định hệ số Simpson II
Như vậy công thức tổng quát để tính diện tích được chắn bởi đường cong (2.28)
trong khoảng a đến b áp dụng chi nhóm 4 tọa độ đều nhau được viết như sau :
===
∫∫
b
a
b
a
x
x
x
x
dxxfdxyF )(
≅+++
∫
b
a
x
x
dxxaxaxaa )(
3

3
2
210

∑
∆
n
ii
yK
L
0
8
3
(2.31)
trong đó:
n
ab
L =∆
; K
i
= 1, 3, 3,2, 3, 3, 2, ,2, 3, 3, 2, 3, 3, 1 (theo hình 2.6)
Trong trường hợp số khoảng chia đều nhau với n là một số lẻ bất kỳ không phải là
bội số của 3, ta có thể kết hợp áp dụng đồng thời cả hai qui tắc của phương pháp Simson.
Ví dụ khi n = 5 ta có thể xác định các hệ số tính toán như sau (Hình 2.7):

Hình 2.7 Sơ đồ xác định hệ số khi n = 5
Trong cùng một khoảng tính toán, nếu có khoảng chia không đều nhau giữa các
nhóm tọa độ thì hệ số Simson sẽ được điều chỉnh tỷ lệ thuận với tỷ số giữa các khoảng chia
đó.
2.3.3. Phương pháp Tre-bư-sev

Giả sử ta có đường cong được biểu diễn trên hình 2.8.
Diện tích hình phẳng được chắn bởi đường cong y = f(x) trong khoảng từ - L/2 đến +
L/2 được xác định như sau:
) (
21
2/
2/
n
L
L
yyy
n
L
dxyF +++≅=
∫
+
−
. (2.32)
Trong công thức (2.32) khoảng cách giữa các tung độ không bằng nhau, vị trí các
tung độ thay đổi tùy theo số đường thẳng góc dùng trong tính toán n và đối xứng với nhau
qua trục oy. Vị trí các tung độ được cho trong bảng 2.3.
25
1 4 1
1 3 3 1
+
1 4 2 3 3 1