Sử dụng tính chất hàm số bậc 2 để giải một số bài toán điện xoay chiều

Sữ dụng tính chất hàm số bậc 2 để giải một số bài toán điện xoay chiều

Trang
1

A.PHẦN MỞ ĐẦU
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
- Từ năm 2010 các đề thi đại học đưa vào trắc nghiệm các dạng toán cho một đại lượng
của mạch xoay chiều biến thiên theo một đại lượng khác, đây là một dạng toán khó đối với
học sinh phổ thông.
- Các dạng toán trên có rất nhiều phương pháp giải, trong đó sử dụng tính chất đối xứng
của hàm số Parabol là một phương pháp giải ngắn và dễ hiểu đối với học sinh bậc phổ
thông vì hàm số này học sinh đã được học hàm số này vào lớp 9.
- Chính vì những lý do đó tôi mới thực hiện đề tài “ Sữ dụng tính chất hàm số bậc 2 để giải
một số bài toán điện xoay chiều “
- Trong quá trình thực hiện đề tài không khỏi có nhiều sai xót mong quý đồng nghiệp và
các bạn mong đọc giả thông cảm và góp ý để tài liệu được hoàn thiện hơn.
II.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
- Đưa ra được các phương pháp giải bài toán điện xoay chiều khi có hai giá trị
1 2
x x
cho
cùng một giá trị y. Khi
0
x x
thì giá trị y
max
. Tìm
0
x
theo

1 2
à x v x

- Biết cách vận dụng và khai thác các kiến thức toán vào đúng bài đúng dạng và đúng
phạm vi của nó.
III.ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
1.Đối tượng :
- Nghiên cứu các đề thi đại học 2010 đến 2012
- Nghiên cứu các kiến thức toán ứng dụng .
- Học sinh các khối 12 và đối tượng học sinh Chuyên Lý 11 tại trường.
2.Phạm vi :
- Nghiên cứu bài tập vật lý sơ cấp.
- Bài tập trong chương trình THPT hiện hành.
- Bộ đề thi tuyển sinh đại học.
IV.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Phương pháp chính là: tổng kết kinh nghiệm.
- Phương pháp hỗ trợ trao đổi kinh nghiệm từ các giáo viên.
Tp.HCM, Ngày 22 tháng 11 năm 2013
Tác giả
Sữ dụng tính chất hàm số bậc 2 để giải một số bài toán điện xoay chiều

Trang
2

B. CƠ SỞ LÝ THUYẾT TOÁN
Xét hàm số bậc 2 :
2
y ax bx c  
là hàm Parabol.
Đồ thị của hàm số có dạng :

Trường hợp 1 : y = 0 thì hàm số
2
0
y ax bx c
   
. Khi đó có hai nghiệm phân biệt theo định
lý Vi-et ta có:
1 2
1 2
2
c
x x
a
b
x x
a







  



Trường hợp 2: ( trường hợp tổng quát )
Đỉnh của Parabol luôn là :
0
2
b
x
a
 
(1)
Theo tính chất hàm số bậc 2, khi x
1
và x
2
cho cùng một giá trị của hàm số y thì ta có
1 2
b
x x
a
  
(2)
Từ (1) và (2) ta luôn có :
1 2
0
2

x x
x




x
y
O
y
max
y
x
1
x
2
x
0
x
y
O
y
min
y
x
1
x
2
x
0

Khi a < 0 Khi a > 0
Sữ dụng tính chất hàm số bậc 2 để giải một số bài toán điện xoay chiều

Trang
3

C. BÀI TOÁN
Bài toán 1:
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :
0
cos( )
u
u U t
 
 

R là một biến trở. Cuộn dây thuần cảm L và giá trị của tụ điện
C không đổi.
Gọi R
1
và R
2
là hai giá trị của biến trở cho cùng một giá trị
công suất của mạch P
1
= P
2
= P. Tìm công thức tính tích số R
1
.R

2
và tổng số (R
1
+ R
2
)? Từ đó
nhận xét về độ lệch pha giữa u và i ứng với hai giá trị của biến trở R đó?
Giải:
- Công suất tiêu thụ trên mạch là :
2
2
2 2
( )
L C
U
P RI R
R Z Z
 
 

- Vì P
1
= P
2
= P nên ta có thể xem như công suất trong phương trình trên là một số không
đổi ứng với hai giá trị R
1
và R
2
. Khai triển biểu thức trên ta có:

2 2 2
( ) 0
L C
PR RU P Z Z
   

- Nếu có 2 giá trị của điện trở cho cùng một giá trị công suất thì phương trình bậc 2 trên
có hai nghiệm phân biệt R
1
và R
2
. Theo định lý Viète (Vi-et):
2
1 2
2
1 2
. ( )
L C
R R Z Z
U
R R
P

 


 



- Từ công thức trên ta có:
2
1
L C
L C
Z Z
R
R Z Z



=>
1 2
tan cot
 


- Từ đó ta thấy rằng :
1 2
1 2
khi Z
2
khi Z
2
L C
L C
Z
Z

 


 


  





   





Với 
1
và 
2
là độ lệch pha giữa u và i ứng với hai giá trị R
1
và R
2
.
A
B

C
R

L

Sữ dụng tính chất hàm số bậc 2 để giải một số bài toán điện xoay chiều

Trang
4

Bài toán 2:
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :
0
cos( )
u
u U t
 
 
, cuộn dây
L thuần cảm có giá trị thay đổi R và C không đổi.


Câu1: Gọi L
1
và L
2
(L
1
 L
2
) là hai giá trị của độ tự cảm L cho cùng một giá trị công suất,
gọi L

0
là giá trị làm cho công suất cực đại. Tìm công thức tính L
0
theo L
1
và L
2
. Nhận xét
về sự liên hệ giữa 
1
và 
2
là độ lệch pha giữa u và i ứng với hai giá trị L
1
và L
2
ở trên.
Câu 2: Gọi L
1
và L
2
(L
1
 L
2
) là hai giá trị của độ tự cảm L cho cùng một giá U
L
, gọi L
0
là

giá trị làm cho hiệu điện thế U
L
cực đại. Tìm công thức tính L
0
theo L
1
và L
2
.
Giải:
Câu 1 : Công suất trên mạch có biểu thức:
2 2
2 2
( ) ( )
L C L
U RU
P R
R Z Z Y Z
 
 

Với
 
2 2 2 2 2
( ) 2 ( )
L L C L L C C
Y Z R Z Z Z Z Z R Z
      

Hàm số Y là hàm Parabol theo biến số Z

L
và có hệ số bậc 2 là a = 1 > 0 nên giá trị
0
L
Z
là
giá trị làm cho Y
min
nên P
max.
Theo tính chất hàm số Parabol ta có:
1 2 0
1 2
0
2
2
L L L
L L
Z Z Z L

   

Nhận xét : Công suất mạch cực đại khi xảy ra cộng hưởng điện nên:
0 1 2
1 2
2
ê
L C L L C
L C C L
Z Z Z Z Z

Z Z Z Z
n n
R R
   
 


Từ đó suy ra :
1 2 1 2
tan tan
   
    

Câu 2 : Hiệu điện thế hai đầu cuộn dây có biểu thức :
( )
L L L
L
U U
U Z I Z
Z MT Z
  

Với
2 2 2 2 2
2 2
( ) 2 ( )
( ) ( )
L C L L C C
L L
L L L

R Z Z Z Z Z R Z
Z
MT Z Y Z
Z Z Z
    
   

Khi đó
2 2 2 2 2
2 2
2 ( ) ( )
( ) 1 2
L L C C C C
L
L L L
Z Z Z R Z Z R Z
Y Z
Z Z Z
   
   

A
B

C
R

L

Sữ dụng tính chất hàm số bậc 2 để giải một số bài toán điện xoay chiều

Trang
5

Nếu ta đặt
1
L
x
Z

thì hàm số
2 2 2
( ) ( ) 2 1
C C
Y x R Z x Z x   

Vì hàm số Y(x) là hàm số bậc hai theo x có hệ số
2 2
( ) 0
C
a R Z
  
nên Y(x) sẽ đạt cực tiểu
Y
min
làm cho U
Lmax
.
Theo tính chất hàm số bậc 2 ta có:
1 2 0

2x x x
 
với x
0
là giá trị làm cho Y
min
và x
1
; x
2
là hai
giá trị cho cùng một giá trị Y nghĩa là cùng giá trị U
L
Từ nhận xét trên :
1 2 0
1 2
1 2 0 0
1 2
1 1 2
2 2
L L L
L L
x x x L
Z Z Z L L
      



Bài toán 3
Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :

0
cos( )
u
u U t
 
 
, R là điện trở, L là một cuộn dây thuần cảm
không đổi và C có giá trị thay đổi .
1. Thay đổi giá trị của C thấy có hai giá trị C
1
và C
2
cho cùng một giá trị công suất. Gọi
C
0
là giá trị làm cho công suất cực đại. Tính C
0
theo C
1
và C
2
? Nhận xét về sự liên hệ
giữa 
1
và 
2
là độ lệch pha giữa u và i ứng với hai giá trị C
1
và C
2

ở trên.
2. Thay đổi giá trị của C thấy có hai giá trị C
1
và C
2
thì hiệu điện thế trên tụ điện có giá trị
bằng nhau. Gọi C
0
là giá trị làm cho hiệu điện thế trên tụ điện cực đại. Tính C
0
theo C
1

và C
2
?
Giải :
Nhận xét: Ta thấy rằng tổng trở trên mạch là
2 2 2 2
( ) ( )
L C C L
Z R Z Z R Z Z     
do đó
bài toán này cũng giống bài toán 2. Từ nhận xét đó ta có kết quả tương tự:
Câu 1:
1 2 0
1 2
0
1 2
2 2

C C C
C C
Z Z Z C
C C
   


Từ đó suy ra :
1 2 1 2
tan tan
   
    

Câu 2 :
1 2 0
1 2
0
1 1 2
2
C C C
C C
C
Z Z Z

   

A
B

C

R

L

Sữ dụng tính chất hàm số bậc 2 để giải một số bài toán điện xoay chiều

Trang
6

A
B

C
R

L

Bài toán 4:
Xét mạch điện xoay chiều
0
cos( )
u
u U t
 
 
. Các giá trị R, L, C,
U
0
và
u


có giá trị không đổi. Giá trị tần số góc

thay đổi.
1. Thay đổi giá trị

có hai giá trị
1

và
2

cho cùng một giá trị của hiệu điện thế trên điện
trở R. Gọi
0

là giá trị để hiệu điện thế trên điện trở R cực đại. Tính
0

theo
1

và
2

?
2. Thay đổi giá trị

có hai giá trị
1


và
2

cho cùng một giá trị của hiệu điện thế trên cuộn
cảm L. Gọi
0

là giá trị để hiệu điện thế trên cuộn cảm cực đại. Tính
0

theo
1

và
2

?
3. Thay đổi giá trị

có hai giá trị
1

và
2

cho cùng một giá trị của hiệu điện thế trên tụ điện
C. Gọi
0


là giá trị để hiệu điện thế trên tụ điện cực đại. Tính
0

theo
1

và
2

?
Giải:
Câu 1: Hiệu điện thế trên R là :
2 2
1 ( )
( )
R
U U U
U R R
Z
Y
R L
C



  
 

Với hàm số:
2 2

1
( ) ( )
Y R L
C
 

  
. Vì R không đổi nên
1 2
( ) ( )
Y Y
 

khi
2 2
1 2
1 2
1 1
( ) ( )
L L
C C
 
 
  

1 2
1 2
1 2
1 2
1 2

1 2
1 1
( ) ( )
1
1 1
( ) ( )
L L
C C
L L
LC
C C
 
 
 
 
 
 

  





 



   






Theo đề giá trị
1 2
 

nên ta nhận nghiệm
1 2
1
LC
 

(1)
Khi hiệu điện thế trên điện trở cực đại mạch xảy ra cộng hưởng điện nên
2
0
1
LC


(2)
Từ (1) và (2) ta có công thức liện hệ :
2
0 1 2
  


Câu 2: Hiệu điện thế trên cuộn dây thuần cảm L là:

2 2
1 ( )
( )
L L L
U U U
U Z Z
Z
Y
R L
C



  
 

Ta đã đặt :
 
2 2
2
1
( )
( )
R L
C
Y
L





 

. Khai triển và tách phân số hàm số
( )
Y

thì :
Sữ dụng tính chất hàm số bậc 2 để giải một số bài toán điện xoay chiều

Trang
7

 
2
2
2 2
4
1 1 1
( ) 1
R
Y
L LC
LC



 
   
 

 

Đặt
2
1
x


suy ra hàm số
 
2
2
2
2
1 1
( ) 1
R
Y X x x
L LC
LC
 
   
 
 

Vì hàm số Y(X) là hàm số bậc hai có hệ số
 
2
1
0

a
LC
 
thì đỉnh của Parabol làm cho Y
min

nghĩa là giá trị U
Lmax

Theo tính chất hàm số bậc 2 ta có:
1 2 0
2x x x
 
. Với x
0
là giá trị làm cho Y
min
và x
1
; x
2
là hai
giá trị cho cùng một giá trị Y nghĩa là cùng giá trị U
L
.
Vậy kết quả cuối cùng thu được là :
2 2 2
0 1 2
2 1 1
  

 
trong đó
0

là giá trị làm cho U
Lmax
và
1 2
à
v
 
là hai giá trị cho cùng một giá trị U
L
.
Câu 3: Hiệu điện thế hai đầu tụ điện là:
2 2
1 ( )
( )
C C C
U U U
U Z Z
Z
Y
R L
C



  
 

Ta đã đặt :
2 2
2
1
( )
( )
1
R L
C
Y
C




 

 
 
 
. Khai triển và tách phân số hàm số
( )
Y

thì :
2 4 2 2 2
( ) ( ) ( 2 ) 1
Y LC R C LC
  

   

Đặt
2
x


suy ra hàm số
2 2 2 2
( ) ( ) ( 2 ) 1Y x LC x R C LC x   

Vì hàm số Y(X) là hàm số bậc hai có hệ số
 
2
0
a LC
 
thì đỉnh của Parabol làm cho Y
min

nghĩa là giá trị U
Cmax

Theo tính chất hàm số bậc 2 ta có:
1 2 0
2x x x
 
. Với x
0
là giá trị làm cho Y

min
và x
1
; x
2
là hai
giá trị cho cùng một giá trị Y nghĩa là cùng giá trị U
C
.
Vậy kết quả cuối cùng thu được là :
2 2
2
1 2
0
2
 



trong đó
0

là giá trị làm cho U
Lmax
và
1 2
à
v
 
là hai giá trị cho cùng một giá trị U

L
.
Sữ dụng tính chất hàm số bậc 2 để giải một số bài toán điện xoay chiều

Trang
8

Bài toán 5 : Mạch RLC nối tiếp có các giá trị R,L,C không đổi. Mắc hai đầu đoạn mạch vào
một máy phát điện xoay chiều một pha có roto quay đều. Giả sử suất điện động của máy sinh ra
chính là hiệu điện thế ở hai đầu đoạn mạch RLC.
- Khi roto quay với tốc độ n
1
( vòng/ phút) và n
2
( vòng/ phút) thì công suất tiêu thụ trên
mạch như nhau.
- Khi roto quay với tốc độ n
0
( vòng/ phút) thì công suất mạch cực đại.
Hãy tìm công thức tính n
0
theo n
1
và n
2
?
Giải
Suất điện động cực đại sinh ra của máy phát là :
0
2

E E NBS

 

Công suất trên mạch là
2 2 2 2
2
2
2
2
( ) ( )
2 2 ( )
1
E R NBS R NBS
P RI R
Z Y
R L
C




   
 
 
 
 

Với hàm số
2

2
2
1
( )
R L
C
Y




 
 
 
 

. Khai triển và tách phân số hàm số
( )
Y

ta thu được
2 2
2
2 4 2
1 2
( ) ( )
R C LC
Y LC
C


 

  
Đặt
2
1
x


thì hàm số
2 2 2 2
2
1
( ) ( 2 ) ( )Y x R C LC x LC
C

   

Vì hàm số Y(x) là hàm số bậc hai có hệ số
2
1
0
a
C
 
thì đỉnh của Parabol làm cho Y
min
nghĩa
là giá trị P
max

Theo tính chất hàm số bậc 2 ta có:
1 2 0
2x x x
 
. Với x
0
là giá trị làm cho Y
min
và x
1
; x
2
là hai
giá trị cho cùng một giá trị Y(x) nghĩa là cùng giá trị công suất P.
Từ đó ta có được
2 2 2
0 1 2
2 1 1
  
 
(1)
Do tần số góc
2 2
60
np
f
  
 
; với n tốc độ quay của roto, p là số cặp cực. (2)

Từ (1) và (2) ta thu được kết quả cuối cùng :
2 2 2
0 1 2
2 1 1
n n n
 

Sữ dụng tính chất hàm số bậc 2 để giải một số bài toán điện xoay chiều

Trang
9

D. KẾT LUẬN

-
Bằng thực tế giảng dạy ở trường THPT, tôi nhận thấy các cách giải bài toán điện xoay
chiều có dạng như trên thì phương pháp sữ dụng tính chất hàm số bậc hai là nhanh
chóng và hiệu quả, đặc biệt phù hợp với phương án trắc nghiệm.
-
Tuy nhiên phương pháp nào cũng có ưu và nhược điểm, do đó chúng ta phải chọn
phương pháp phù hợp nhất để giải quyết bài toán sao cho ngắn gọn và khoa học.
- Ngoài ra phương pháp này còn có thể áp dụng cho các dạng toán chuyển động ném
xiên, bài toán công suất của dòng điện không đổi…
- Vì thời gian viết đề tài ngắn nên không thể tránh được sai sót, tha thiết kính mong quý
đồng nghiệp trao đổi, góp ý chân thành để đề tài được hoàn thiện và có tác dụng hữu
hiệu hơn.
Xin chân thành cảm ơn!