Về một lớp các md đại số tổng quát và lớp các md(5,kc) phân lá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

NGUYỄN ANH TUẤN

VỀ MỘT LỚP CÁC MD-ĐẠI SỐ TỔNG
QUÁT VÀ LỚP CÁC MD(5,kC)-PHÂN LÁ

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2017

Tai Lieu Chat Luong


Cơng trình này được hồn thành tại:
Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh

Người hướng dẫn khoa học:

1. PGS. TS. Lê Anh Vũ
2. TS. Nguyễn Hà Thanh

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Phản biện 3:

Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp trường họp
tại:…………………………………………………………………..

………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Thư viện Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh
- Thư viện Khoa học Tổng hợp TP. Hồ Chí Minh


i

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .................................................................................. 1
Chương 1 – KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ...................... 5
1.1
1.2.
1.3.
1.4.

Lớp MD ................................................................................ 5
Tôpô phân lá ......................................................................... 5
C*-đại số liên kết với phân lá ............................................... 7
Phương pháp K-hàm tử ......................................................... 8

Chương 2 – LỚP MD(n,1) VÀ LỚP MD(n,n-1) ..................... 10
2.1.
2.2.
2.3.

Phân loại lớp MD(n,1) ........................................................ 10
Phân loại lớp MD(n,n-1) ..................................................... 11
Một số nhận xét .................................................................. 11

Chương 3 – LỚP MD(5,kC)-PHÂN LÁ .................................. 14
3.1
3.2
3.3

Hình học của các MD(5,kC)-phân lá .................................. 14
C*-đại số liên kết với các MD(5,kC)-phân lá ..................... 17
Một số nhận xét .................................................................. 18

KẾT LUẬN ........................................................................... 21
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ ..... 22
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................. 23



1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Khoảng năm 1870, Sophur Marius Lie (1842–1899) trong khi nghiên
cứu về một số loại phép biến đổi hình học đã đặt nền móng cho một lý
thuyết đặc biệt về sau gọi là Lý thuyết Lie.
Ngày nay, Lý thuyết Lie, được hiểu là lý thuyết liên quan đến nhóm

Lie và đại số Lie, đã phát triển vượt bậc với phạm vi ứng dụng đa lĩnh
vực [3, 4, 12, 13] nên nhận được sự quan tâm đặc biệt của cộng đồng toán
học. Tuy nhiên, bài toán cơ bản của Lý thuyết Lie là phân loại nhóm Lie
và đại số Lie lại là bài tốn khó và cho đến nay vẫn cịn là bài tốn mở.
Kết quả cơ bản trong Lý thuyết Lie cho thấy khi hạn chế xét lớp các
nhóm Lie liên thơng đơn liên, chúng ta có một song ánh giữa tập các
nhóm Lie liên thông đơn liên và tập các đại số Lie. Bởi vậy, mỗi phép
phân loại trên một lớp nào đó các nhóm Lie liên thơng đơn liên (tương
ứng, đại số Lie) đều có thể “phiên dịch”' thành một phép phân loại trên
lớp các đại số Lie (tương ứng, nhóm Lie liên thông đơn liên). Trong luận
án này, tác giả tiếp cận bài toán phân loại trên lớp các đại số Lie.
Theo Định lý Levi–Malcev [16, 17] năm 1945 cùng với kết quả của
Cartan [6] năm 1894 và Gantmacher [10] năm 1939, bài toán phân loại
các đại số Lie tổng quát được quy về phân loại các đại số Lie giải được.
Có ít nhất hai cách tiếp cận bài toán phân loại các đại số Lie giải được:
phân loại theo số chiều hoặc phân loại theo cấu trúc. Nhìn chung, cách
cách tiếp cận theo số chiều rất khó vượt qua số chiều 6. Tuy nhiên, có thể
tiếp cận vấn đề phân loại theo cấu trúc, tức là phân loại các đại số Lie giải
được với một hay một vài tính chất bổ sung nào đó.
Luận án này tiếp cận việc phân loại các đại số Lie giải được theo cấu
trúc là số chiều của các K-quỹ đạo [15] của các nhóm Lie liên thơng, đơn
liên tương ứng với đại số Lie đó. Dựa trên quan sát số chiều của các Kquỹ đạo của nhóm Lie Heisenberg  2m  1 -chiều H 2 m1 và nhóm Lie

Kim cương thực 4-chiều, Diep [9] năm 1980 đã đề xuất việc khảo sát lớp
các nhóm Lie giải được (và đại số Lie tương ứng) có tính chất tương tự
mà được gọi là các MD-nhóm và MD-đại số. Cụ thể hơn, một MDn-nhóm
là một nhóm Lie thực giải được n-chiều mà các K-quỹ đạo chỉ có số chiều


2

0 hoặc số chiều cực đại. Đại số Lie của một MDn-nhóm được gọi là một
MDn-đại số.
Bài tốn phân loại lớp MD chỉ mới giải quyết được lớp MD4 bởi Vu
[23] năm 1990 và vẫn khơng có thêm kết quả nào đáng kể về lớp MDn
với n  4 cho đến 2007. Để giảm bớt tính phức tạp khi phân loại lớp
MDn, chúng ta xét thêm một hạn chế về số chiều của ideal dẫn xuất thứ
nhất của mỗi đại số Lie thuộc lớp MDn đó. Cụ thể hơn, chúng ta sẽ lần
lượt xét các lớp con MD  n, k  của lớp MDn bao gồm các MDn-đại số có
ideal dẫn xuất thứ nhất là k-chiều và phân loại lớp MDn dựa trên việc
phân loại từng lớp con MD  n, k  với 1  k  n  1 . Theo ý tưởng này,
gần đây, từ 2008 đến 2011, lớp MD5 đã được phân loại triệt để [24, 26].
Như vậy, những kết quả về phân loại lớp MD  n, k  trong trường hợp
tổng quát hay trong các trường hợp riêng cũng là những đóng góp cho bài
toán về phân loại đại số Lie thực giải được theo hướng tiếp cận bằng cấu
trúc [4, tr. 87].
Một điểm đặc biệt đáng chú ý khác đó là họ các K-quỹ đạo chiều cực
đại của một MD-nhóm lập thành một phân lá. Về mặt lịch sử, Lý thuyết
phân lá bắt đầu xuất hiện trong cơng trình của Reeb [19] năm 1952 và
ngày nay đã trở thành một công cụ kết nối lý thuyết phương trình vi phân
thơng thường và Tơpơ vi phân [18, Mở đầu]. Chính vì vậy, phân lá trở
thành một đối tượng cực kỳ thú vị trong Hình học hiện đại. Nói cách
khác, K-quỹ đạo là “chiếc cầu nối” giữa lớp MD và lớp phân lá. Bởi vậy,
bài tốn nghiên cứu lớp MD là có ý nghĩa khoa học.
Trong tơpơ phân lá, bởi vì mỗi lá chính là một họ nghiệm của một hệ
phương trình vi phân thích hợp nào đó nên tính chất hình học của các lá
cũng chính là đặc trưng tơpơ của họ nghiệm. Những tính chất hình học
đặc biệt nhất của các lá dẫn tới hai lớp phân lá quan trọng và có nhiều ý
nghĩa là phân lá trắc địa hoàn toàn và phân lá Riemann cũng được nhiều
nhà toán học quan tâm khảo sát.

Một hướng khác trong nghiên cứu tôpô phân lá là kết hợp lý thuyết
phân lá và đại số toán tử. Năm 1982, Connes [7] đã liên kết một cách
chính tắc mỗi phân lá  V, F  với một C*-đại số ký hiệu là C*  V F 
và đề ra ý tưởng là khảo sát C*  V F



vì C*  V F



cung cấp thơng tin


3

về không gian lá của phân lá đang xét. Một câu hỏi lập tức nảy sinh là
làm thế nào để mô tả cấu trúc của C*  V F  ?
Lý thuyết về các C*-đại số được khai sinh Gelfand & Neumark [11]
năm 1943. Và ngay lập tức nhận được rất nhiều sự quan tâm của cộng
đồng toán học. Năm 1975, Diep [8] đã sử dụng các K-hàm tử đồng điều
BDF của Brown & Douglas & Fillmore [5] để đặc trưng cấu trúc tồn cục
C*-đại số nhóm của nhóm Lie Aff  ¡



các phép biến đổi affine trên

đường thẳng thực. Năm 1976, Rosenberg [20] đã sử dụng “Z’ep’s
method” để đặc trưng cấu trúc tồn cục C*-đại số nhóm của nhóm Lie

Aff  £  các phép biến đổi affine trên đường thẳng phức và một vài

nhóm giải được khác.
Một câu hỏi rất tự nhiên là: có thể mơ tả C*-đại số Connes C*  V, F
liên kết với phân lá  V, F





bằng phương pháp K-hàm tử không? Đáng

chú ý, câu trả lời là khẳng định! Các cơng trình của Torpe [22] năm 1985,
Vu [23] năm 1990 và Hòa [1] năm 2014 đã thể hiện điều đó.
Những lập luận trên cho thấy việc kết hợp giữa hướng nghiên cứu
phân loại đại số Lie giải được theo cấu trúc với hướng nghiên cứu về cấu
trúc C*-đại số Connes liên kết với các phân lá tạo bởi các K-quỹ đạo
chiều cực đại của các MD-nhóm bằng phương pháp K-hàm tử là một vấn
đề có ý nghĩa khoa học. Vì vấn đề đặt ra là rất rộng và đòi hỏi nhiều kỹ
thuật phức tạp nên luận án này chỉ tập trung vào hai vấn đề cốt yếu như
sau:
 Những kỹ thuật của Vu [23] trên lớp MD(4,1)-đại số và lớp
MD(4,3)-đại số, Vu & Shum [24] trên lớp MD(5,1)-đại số và lớp
MD(5,4)-đại số được phát triển để nghiên cứu một lớp MD-đại số
tổng quát là lớp các MD-đại số có ideal dẫn xuất 1-chiều hoặc đối
chiều 1.
 Những kỹ thuật của Vu [23] trên lớp MD4-phân lá, Vu & Thanh
[25] trên lớp MD(5,3C)-phân lá và Hòa [1] trên lớp MD(5,4)-phân
lá được vận dụng, phát triển để nghiên cứu lớp MD(5,kC)-phân lá.

Đó cũng chính là cơ sở, xuất phát điểm để tác giả lựa chọn đề tài
nghiên cứu của luận án này là Về một lớp các MD-đại số tổng quát và lớp
các MD(5,kC)-phân lá.


4

Luận án này này có hai mục đích chính:
1. Thứ nhất, nghiên cứu bài toán phân loại các đại số Lie thực, giải
được theo cấu trúc là số chiều của các K-quỹ đạo. Cụ thể hơn, tác
giả nghiên cứu bài tốn phân loại lớp các MD-đại số tổng qt có
ideal dẫn xuất thứ nhất là 1-chiều hoặc đối chiều là 1.
2. Thứ hai, nghiên cứu một lớp các phân lá cụ thể theo cả hai hướng
trong tôpô phân lá. Chi tiết hơn, tác giả xét các MD(5,kC)-phân lá
tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực của các MD(5,kC)-nhóm với
1  k  4 . Cụ thể hơn, tác giả sẽ khảo sát tính chất hình học của
các lá của các MD(5,kC)-phân lá trên phương diện toàn cục đồng
thời nghiên cứu cấu trúc C*-đại số liên kết với các MD(5,kC)-phân
lá bằng phương pháp K-hàm tử.
Với mục đích nghiên cứu cụ thể như trên, luận án được bố cục bao
gồm phần mở đầu, chương chuẩn bị, hai chương nội dung và phần kết
luận. Cụ thể hơn:
 Phần mở đầu: giới thiệu về xuất xứ đề tài, mục đích nghiên cứu
và bố cục của luận án.
 Chương 1: trình bày vắn tắt những kiến thức chuẩn bị được sử
dụng trong những chương về sau.
 Chương 2 – 3: trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu được với
đầy đủ phép chứng minh.
 Phần kết luận: đề xuất những vấn đề mở có thể nghiên cứu tiếp
theo.

Các kết quả đạt được của luận án đã được báo cáo tại một số Hội nghị
Toán học trong nước và quốc tế như sau:
 Hội nghị Đại số – Hình học – Tơpơ tháng 11/2011 tại Đại học
Thái Nguyên, tháng 12/2014 tại Tuần Châu, Quảng Ninh và
tháng 10/2016 tại Cao Đẳng Sư phạm Đắc Lắc.
 Hội nghị Toán học phối hợp Việt – Pháp (VFJC) tháng 08/2012
tại Đại học Sư phạm, Đại học Huế.
 Hội nghị Toán học và Ứng dụng (ICMA-MU) tháng 01/2013 tại
Đại học Mahidol, Bangkok, Thái Lan.
 Hội thảo khoa học tháng 10/2012, tháng 11/2014 và tháng
10/2015 tại Trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh.


5

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Lớp MD
Định nghĩa 1.7 (Biểu diễn đối phụ hợp). Cho nhóm Lie G và G là
đại số Lie của G . Ký hiệu G * là không gian đối ngẫu của G . Tác

 

 

*
*
động K : G  Aut G , g  G a K ( g )  Aut G xác định bởi:

K  g  F , Y  F , Ad  g 1  Y , F  G * , Y  G

*
ở đó ký hiệu F , Y để chỉ giá trị của F  G tại Y  G còn Ad là
*

biểu diễn phụ hợp, được gọi là biểu diễn đối phụ hợp của G trong G .
Định nghĩa 1.8 (K-quỹ đạo). Mỗi quỹ đạo ứng với K-biểu diễn được gọi
*
là K-quỹ đạo của G trong G . K-quỹ đạo của G qua F ký hiệu là

F  K  g  F : g  G .

Định nghĩa 1.11 (Lớp MD). MD-nhóm là một nhóm Lie thực giải được
mà các K-quỹ đạo chỉ có số chiều 0 hoặc chiều cực đại. Đại số Lie của
MD-nhóm được gọi là MD-đại số. Lớp MD là tập tất cả các MD-đại số.
Nếu số chiều là n thì ta sẽ có MDn-nhóm, MDn-đại số, lớp MDn.
Định nghĩa 1.13 (Lớp MD  n, k  và MD  n, kC  ). Một MDn-đại số G

1
1
với dim G  k được gọi là MD  n, k  -đại số. Thêm nữa, nếu G giao

1
hốn (tương ứng, G khơng giao hốn) thì G được gọi là MD  n, kC  -

đại số (tương ứng, MD  n, kNC  -đại số). Lớp MD  n, k  và MD  n, kC 
tương ứng là tập tất cả các MD  n, k  -đại số và MD  n, kC  -đại số.
1.2.

Tôpô phân lá

  L A của V bởi các
Định nghĩa 1.5 (Phân lá). Phép phân hoạch F =

đa tạp con liên thông được gọi là một Cr-phân lá nếu với mọi x V , tồn
tại một Cr-bản đồ (hệ tọa độ địa phương)

  1 , 2  : U  ¡ p  ¡

n p


6

xác định trên một lân cận mở U của x sao cho mỗi thành phần liên thông
của U  L được mơ tả bởi phương trình 2  const . Đa tạp V được gọi
là đa tạp phân lá. Mỗi phần tử của F được gọi là một lá và mỗi thành
phần liên thông của U  L được gọi là một tấm. Các số p và n–p tương
ứng được gọi là số chiều và số đối chiều của F , ký hiệu tương ứng là
dim F và codim F .
Định nghĩa 1.32. Nếu có phân thớ trơn p : V  B sao cho mỗi thớ là
một lá của F thì ta bảo F được cho bởi phân thớ p . Nếu có nhóm Lie
G tác động trơn, tự do hoặc tự do địa phương lên V sao cho mỗi G -quỹ
đạo là một lá của F thì ta bảo F được cho bởi tác động của G.
Định nghĩa 1.34 (Không gian lá). Trên đa tạp phân lá V, chúng ta xét
quan hệ tương đương thuộc cùng một lá. Khi đó, tập thương V F với
tơpơ thương của V được gọi là không gian lá của phân lá V , F  .
Định nghĩa 1.8 (Phân lá tương đương). Hai phân lá cùng chiều F 1 và

F 2 trên V được gọi là tương đương hay cùng kiểu nếu có một vi phơi
(trơn) của V ánh xạ các lá của F 1 lên các lá của F 2 .

Định nghĩa 1.9 (Phân lá đo được). Phân lá V , F



được gọi là phân lá

đo được nếu đã trang bị một độ đo hoành  đối với phân lá V , F



là

một ánh xạ  -cộng tính B a   B  từ họ các tập con hoành Borel của
V đến  0,  sao cho các tiên đề sau đây thỏa mãn:
1. Tính đẳng biến Borel: nếu  : B1  B2 là song ánh Borel và

  x  thuộc lá chứa x với mọi x  B1 thì   B1     B2  .

2.   K    nếu K là tập con compact của một đa tạp con hoành.
Định nghĩa 1.10 (Phân lá trắc địa hoàn toàn). Phân lá F trên V , g 
được gọi là trắc địa hoàn toàn nếu tất cả các lá của F đều là những đa


7

tạp con trắc địa hoàn toàn của V , g  . Phân bố tiếp xúc TF của một
phân lá F trắc địa hoàn toàn được gọi là phân bố trắc địa.
Định nghĩa 1.11 (Phân lá khả trắc địa). Phân lá F trên đa tạp V được
gọi là khả trắc địa nếu tồn tại một mêtric Riemann g trên V sao cho F là
trắc địa hoàn toàn đối với g.

Định nghĩa 1.12 (Phân lá Riemann). Phân lá F trên đa tạp V được gọi
là phân lá Riemann nếu tồn tại mêtric Riemann g, gọi là mêtric kiểu phân


thớ, trên V sao cho phân bố trực giao T F  N F là phân bố trắc địa.
1.3. C*-đại số liên kết với phân lá
Cho  là phân lá k-chiều, định hướng được trên V. Với mỗi x V ,
chúng ta định nghĩa:



k
1/2
x   :  F x  £ |   v   

1/2



  v  , v  k F x ,   ¡ ,

ở đó  k F x là khơng gian vector thực 1-chiều các k-dạng tuyến tính thay
phiên trên F x . Gọi H là đồ thị của phân lá. Chúng ta trang bị cho khơng






1/2

gian vector Cc H, 
tích chập và phép đối hợp tương ứng là:

 f å g    





 

f  1  g  2 ,

f *    f  1

 1 o 2 


1/2
thì Cc H, 
trở thành một *-đại số.

Với mỗi x  V , gọi H x là phủ holonomy của lá chứa x. Chúng ta




1/2
có một biểu diễn tự nhiên  x của Cc H, 







trên không gian

L2 Hx , 1/2 các nửa mật độ với bình phương khả tích trên H x và xác






1/2
định được chuẩn f  sup  x  f  . trên Cc H, 
.

xV

Định nghĩa 1.13 (C*-đại số liên kết với phân lá [19, Mục 5-6]). C*-đại

số liên kết với phân lá  V, F  , ký hiệu C  V, F  , là đầy đủ hóa của
*

Cc  H, 1/2  đối với  .


8

Mệnh đề 1.14. Nếu  V, F  tương đương  V, F  thì C*  V, F   C*  V, F  .
Mệnh đề 1.15. Giả sử phân lá  V, F



được cho bởi tác động

 của

nhóm Lie G lên đa tạp phân lá V sao cho phỏng nhóm holonomy H của

 V, F  có dạng H  V  G . Khi đó C*  V, F   C0  V ã G .
Mệnh đề 1.16. Giả sử phân lá  V, F  được cho bởi phân thớ (với thớ
liên thông) p : V  B . Khi đó, phỏng nhóm holonomy H của  V, F 
chính là đa tạp con  x; y   V  V : p  x   p  y  của V  V và
C*  V, F   C0  B   K .
1.4. Phương pháp K-hàm tử
Để đặc trưng một C*-đại số A bằng phương pháp K-hàm tử, chúng ta
sẽ tìm cách nhúng A vào một dãy khớp ngắn, gọi là mở rộng (đơn):

0 
 J 
 A 
 B 
 0,

1.1

với J  A là một ideal đóng hai phía và B  A J là các C*-đại số đã

biết rõ ràng. Mở rộng 1.1 xác định duy nhất phần tử
nào đó và chúng ta có định nghĩa:
Định nghĩa 3.9 (Bất biến chỉ số). Phần tử

  Ext  B, J 

  Ext  B, J  được gọi là

bất biến chỉ số của C*-đại số A và được ký hiệu là Index A .
Hơn nữa trong K-lý thuyết đối với các C*-đại số, mở rộng 1.1 sinh
ra dãy khớp tuần hồn 6-thành phần các K-nhóm:

1.2 
Mặt khác, theo Định lý hệ số phổ dụng [21, Định lý 4.2], chúng ta có

 ánh xạ   Index A thành cặp  0 , 1  của 1.2  . Khi mở
rộng 1.1 có K j  B  là các nhóm abel tự do thì  là đẳng cấu và
đồng cấu


9

chúng ta có thể đồng nhất Index A với cặp  0 , 1  của 1.2  .
Trong nhiều trường hợp phức tạp, nếu không thể nhúng A vào một mở

rộng dạng 1.1 với J và B có dạng C0  X   K thì cần phải dùng tới
các mở rộng lặp gồm nhiều mở rộng đơn có dạng sau đây:

0 
 J1 

 A 
 B1 
 0,,
0 
 Jk 
 Bk 1 
 Bk 
 0.

1.3

ở đó, các C*-đại số J1 ,, Jk và Bk đều có dạng C0  X   K . Khi đó,
các phần tử  1 ,,  k trong các KK-nhóm Ext  B1 , J1  ,, Ext  Bk , Jk 

tương ứng với các mở rộng đơn trong 1.3 mới đủ xác định kiểu ổn
k





định của C*-đại số A cần mô tả như là một phần tử của  Ext B j , J j .
j 1

Dựa trên ý tưởng đó, chúng ta có định nghĩa:
Định nghĩa 1.18 (Hệ bất biến chỉ số). Tập hợp

 1,,  k 

được gọi là

hệ bất biến chỉ số của C*-đại số A và cũng được ký hiệu là Index A .


10

Chương 2
LỚP MD(n,1) VÀ LỚP MD(n,n–1)
Chương này trình bày kết quả nghiên cứu vấn đề thứ nhất của luận án,
đó là nghiên cứu bài toán phân loại các đại số Lie thực, giải được theo
cấu trúc là số chiều của các K-quỹ đạo.
Như đã đề cập trong phần Mở đầu, để giảm bớt tính phức tạp khi xét
bài tốn phân loại các MDn-đại số G tổng quát, chúng ta xét số chiều k
1
của ideal dẫn xuất thứ nhất G . Vì 1  k  n  1 nên lớp MDn tổng quát

khi đó được phân hoạch thành n 1 lớp con là các lớp MD  n, k  mà
mỗi phần tử của lớp con này là một MDn-đại số có ideal dẫn xuất thứ
nhất k-chiều. Từ đó, bài toán phân loại lớp MDn tổng quát được quy về
bài toán phân loại n 1 lớp con MD  n, k  .
Trong n 1 lớp con kể trên, hai trường hợp “dễ chịu nhất'” xảy ra khi
k  1 hoặc k  n 1 . Bởi vậy, trong chương này, tác giả trình bày hai
kết quả phân loại trên hai lớp con này, đó là phép phân loại trên lớp
MD(n,1) và lớp MD(n,n-1). Số chiều ở đây là n  4 hữu hạn tùy ý.
2.1. Phân loại lớp MD(n,1)
Định lý 2.1 (Phân loại các MD  n,1 -đại số). Cho G là một đại số Lie
1
thực giải được n-chiều với n  2 . Nếu dim G  1 thì G là MD  n,1 -

đại số và G chỉ có thể là đại số Lie affine thực hoặc đại số Lie

Heisenberg thực hoặc các mở rộng tầm thường của chúng.
Diễn đạt Định lý 2.12 theo một cách khác sẽ cho chúng ta một đặc
trưng mới của đại số Lie Heisenberg thực như sau:
Hệ quả 2.2 (Một đặc trưng mới của đại số Lie Heisenberg thực). Cho
G là một đại số Lie thực n-chiều với n  3 . Khi đó, các khẳng định sau
là tương đương:
1. G bất khả phân và G 1  ¡ .
2. G là một MD  n,1 -đại số bất khả phân.
3. G là đại số Lie Heisenberg n-chiều với n lẻ.


11

2.2. Phân loại lớp MD(n,n-1)
Định lý 2.3 (Điều kiện cần và đủ của lớp MD(n,n-1)). Cho G là một
đại số Lie thực giải được n-chiều với n  4 và dim G 1  n  1 . Khi đó:
1. Nếu G 1 giao hốn thì G là một MD(n,n-1)-đại số bất khả phân.
2. Nếu G là một MD(n,n-1)-đại số thì G 1 giao hốn.
Định lý 2.4 (Phân loại các MD(n,n-1)-đại số). Giả sử G  X 1 ,, X n

là một không gian vector n-chiều  n  4  và G 1  X 1,, X n1 là khơng
gian con đối chiều 1 của G . Khi đó, chúng ta có những khẳng định sau:
1. Mỗi (n-1)-ma trận thực khả nghịch A luôn xác định một cấu trúc
Lie trên G sao cho G là một MD(n,n-1)-đại số với ideal dẫn
xuất thứ nhất giao hốn và chính là G 1 và A chính là ma trận của
ánh xạ phụ hợp ad X n trên G 1 trong cơ sở  X 1 ,, X n1  đã chọn.
2. Hai (n-1)-ma trận thực khả nghịch A và B xác định hai cấu trúc
Lie đẳng cấu trên G khi và chỉ khi tồn tại số thực c  0 và một
(n-1)-ma trận thực khả nghịch C sao cho cA  CBC1 .
2.3. Một số nhận xét

Nhận xét 2.5. Trước tiên, kết quả đạt được trong Định lý 2.1 cho thấy lớp
các MD  n,1 -đại số khá đơn giản. Nếu xét về tính bất khả phân thì lớp
này chỉ có đại số Lie affine thực hoặc đại số Lie Heisenberg thực.
Nhận xét 2.6. Khẳng định 1 của Định lý 2.4 cho thấy mỗi MD

 n, n  1 -đại số

G đều có dạng tổng nửa trực tiếp:

G  ¡ . X 1 ad X  ¡ . X 2 L  ¡ . X n   ¡  ¡

n 1

.

1

Tiếp theo, hai ma trận thực khả nghịch A và B cùng cấp được gọi là đồng
dạng tỷ lệ nếu và chỉ nếu tồn tại số thực c  0 và ma trận thực khả
nghịch C cùng cấp với A và B sao cho cA  CBC1 . Do đó, khẳng định
 2  của Định lý 2.4 cho chúng ta một phân loại các MD  n, n  1 -đại số
bởi sự phân loại các ma trận thực khả nghịch theo quan hệ tương đương
đồng dạng tỷ lệ đã biết. Thật vậy, giả sử hai MD  n, n  1 -đại số


12

G1  ¡ 1 ¡

n 1

 2 trong cơ sở
cA  CBC

1

và G 2  ¡ 2 ¡

 X 2 ,, X n 

n 1

có ma trận biểu diễn của 1 và

lần lượt là A và B. Khi đó, đẳng thức

diễn tả rằng 1 tương đương với  2 , tức là G1  G 2 khi

và chỉ khi tồn tại số thực c  0 sao cho các dạng chuẩn Jordan của 1 và

c 2 trùng nhau.
Ví dụ 2.7. Sự phân loại của các MD(5,4)-đại số bất khả phân trong [24,
Định lý 3.1] cho chúng ta một minh họa rõ ràng của Định lý 2.4 khi
n  5 . Chẳng hạn, chúng ta xét MD(5,4)-đại số G1  ¡ 1 ¡ 4 với ma
trận biểu diễn của 1 có dạng như sau:

0
0
1  
0


 1

0
0 
,
1

4 6 4 
Bằng tính tốn, dạng chuẩn Jordan của 1 chính là ad X 1 của G 5,4,10
1
0
0

0
1
0

[24, Định lý 3.1], tức là G1  G 5,4,10 .



Ví dụ 2.8. Bằng cách áp dụng Định lý 2.4, chúng ta cũng có thể liệt kê
các MD(n,n-1)-đại số không đẳng cấu với n nhỏ  n  10  . Chẳng hạn,
xét hai MD(6,5)-đại số G1  ¡ 1 ¡

và G 2  ¡ 2 ¡

 5 1
0 2


 2  1 0

0 1
1 1
Bằng tính tốn, chúng ta có dạng chuẩn Jordan của 1
1 0
 4 1

1   2 1

 3 1
 8 2

1 1 0 
3 2 1 
0 1 1 ,

3 4 1 
7 5 4 

5

5

như sau:

3 2
0
1

0

0
1
3

5
0 
2  .

1
1 

1 1
và  2 lần lượt là:


13

2 1

 2



J1  
2 1 ,


2 1



2 

2

 2 1



.
J2  
2


3 1


3

Như vậy, chúng ta có hai họ MD(6,5)-đại số không đẳng cấu như sau:
 Họ G 6,5,1   X 1 , X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6  ¡ ad ¡ 5 với ma trận của toán
X1

tử ad X 1 trong cơ sở  X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6  có dạng như sau:

 1







 ;   ¡ \ 0 .
ad X 1  
 1


 1


 
 Họ G 6,5,2 ,   X 1, X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6  ¡ ad ¡
1

5

với ma trận của toán

X1

2

tử ad X 1 trong cơ sở  X 2 , X 3 , X 4 , X 5 , X 6  có dạng như sau:

1


ad X 1  





1

1

1
2




 ; 1 , 2  ¡ \ 0 , 1  2 .

1
2 



Nhận xét cuối chương. Chương này tiến hành phép phân loại trên lớp
MD(n,1) và lớp MD(n,n-1) bằng cách cố định số chiều n của các đại số
Lie đang xét. Một hướng khác trong phép phân loại trên lớp MD tổng
quát là dựa trên ý tưởng của Arnal & Cahen & Ludwig [2], đó là cố định
số chiều cực đại của các K-quỹ đạo. Ngoài ra, chúng ta cũng có thể kết
hợp cả cố định số chiều của các đại số Lie đã xét và cố định số chiều cực
đại của các K-quỹ đạo để phân loại.


14

Chương 3
LỚP MD(5,kC)-PHÂN LÁ
Chương cuối cùng này trình bày vấn đề nghiên cứu thứ hai: nghiên
cứu lớp MD(5,kC)-phân lá tạo bởi các quỹ đạo chiều cực đại của các
MD(5,kC)-nhóm.
Như đã đề cập trong phần Mở đầu, Diep [9] năm 1980 đã đề xuất việc
khảo sát lớp các nhóm Lie đặc biệt là lớp các MD-nhóm có các K-quỹ
đạo chiều cực đại lập thành một phân lá mà được gọi là MD-phân lá. Nhờ
ý tưởng đặc sắc của Connes [7] năm 1982 về việc kết hợp lý thuyết phân
lá và đại số toán tử, mỗi phân lá được liên kết một cách chính tắc với một
C*-đại số gọi là C*-đại số liên kết với phân lá. Những kết quả của Torpe
[22] năm 1985, Vu [23] năm 1990 và gần đây Hòa [1] năm 2014 cho
thấy C*-đại số liên kết với phân lá rất thích hợp với phương pháp K-hàm
tử.
Năm 2008, Vu & Shum [24] đã phân loại triệt để lớp MD(5,kC) thông
qua việc phân loại bốn lớp con là lớp MD(5,1), lớp MD(5,2), lớp
MD(5,3C) và lớp MD(5,4). Hiển nhiên, chúng ta cũng có bốn lớp
MD(5,kC)-phân lá tương ứng tạo bởi các K-quỹ đạo chiều cực đại của các
MD(5,kC)-nhóm. Trên cơ sở đó, năm 2014, Hịa [1] đã khảo sát K-lý
thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá. Tuy nhiên, kết quả đó chỉ dừng lại ở
hướng kết hợp lý thuyết phân lá và đại số toán tử. Bởi vậy, trong chương
này, bằng cách kết hợp đồng thời mở rộng các kết quả của Vu & Thanh
[25] và Hịa [1], tồn bộ lớp MD(5,kC)-phân lá sẽ được nghiên cứu trọn
vẹn theo cả hai hướng trong Tơpơ phân lá, đó là: nghiên cứu các đặc
trưng hình học tồn cục và bất biến đại số tốn tử.
3.1 Hình học của các MD(5,kC)-phân lá
Định lý 3.1 (K-quỹ đạo của các MD(5,kC)-nhóm). Với mỗi MD(5,kC)nhóm G tương ứng với các MD(5,kC)-đại số được liệt kê như trong [24,
Định lý 3.1], các K-quỹ đạo  F qua F có dạng cụ thể như sau:
1. Nếu G  G5,1 thì F    b ;   a ;  d ;  c ;  : a, b, c, d  ¡  .

2. Nếu G  G5,2 thì F    b ;   a  c ;  b ; ;  : a, b, c  ¡  .
3. Giả sử G là một MD(5,3C)-nhóm.


15

a) Nếu G lần lượt là một trong các nhóm G5,3,1  ,  , G5,3,2   ,
1

2

G5,3,3( ) , G5,3,4 , G5,3,5(  ) , G5,3,6(  ) , G5,3,7 thì  F tương ứng
như sau:
a

i.    1  e  ; y; e a ; e a ; ea  : y, a  ¡
1


1

1

ii.

2

  1  e   ; y; e ; e ; e  : y, a  ¡  .
a

a

a

a

a


iii.    1  e  ; y;  e a ; ea ; ea  : y, a  ¡




iv.


.



.


  1  e   ; y; e ; e ; e  : y, a  ¡  .
a

a

a

a



1  e a
v.   
 ; y; ea ; ea ;  a    ea  : y, a  ¡



vi.

 .



  1  e   ; y; e ; a    e ; e  : y, a  ¡  .
a

a

a

a

2


vii.    1  ea   ; y; ea ;(a   )ea ;  a   a    ea  : y, a  ¡  .

 2



b) Nếu G  G5,3,8(  , ) . Đồng nhất G

F   ;  ;  i ;  , chúng ta có:
F 

 x; y;e

ae i



*
5,3,8  , 





 ¡ £ ¡
2



và



(  i ); ea : y, a  ¡ .

4. Giả sử G là một MD(5,4)-nhóm.
a) Nếu G lần lượt là một trong các nhóm G5,4,1( 1 ,2 ,3 ) , G5,4,2( 1 ,2 ) ,

G5,4,3(  ) , G5,4,4(  ) , G5,4,5 , G5,4,6( 1 ,2 ) , G5,4,7(  ) , G5,4,8(  ) ,

G5,4,9( ) , G5,4,10 thì  F tương ứng như sau:
i.
ii.

 x;  e
 x;  e

a1



 : x, a  ¡  .

; ea2 ; ea3 ; ea : x, a  ¡ .

a1

; ea2 ; ea ; ea


iii.

iv.
v.
vi.
vii.
viii.

 x;  e
 x;  e

16

a



 : x, a  ¡  .

a

; e ; e ; e : x, a  ¡ .

a

; ea ; ea ; ea

a

a

 x;  e ; e ; e ; e  : x, a  ¡  .

 x;  e ; e ; e ; a    e  : x, a  ¡  .
 x;  e ; e ; e ;( a   )e  : x, a  ¡  .
 x;  e ;( a   )e ; e ;( a   )e  : x, a  ¡  .
a

a

a

a

a1

a2

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

2
ix.  x;  ea ; ea ;( a   )ea ;   a   a    ea  : x, a  ¡


.




 2
 


2
3
2
x.  x;   ;  a   ;  a   a   ;  a   a   a    ea  : x, a  ¡
2
6
2
 
 




.




b) Nếu G lần lượt là một trong các nhóm G5,4,11( 1 ,2 , ) , G5,4,12(  , ) ,
*
*
*
G 5,4,12(
G5,4,13(  , ) . Đồng nhất G 5,4,11(
 , ) , G 5,4,13(  , ) với
1 ,2 , ) ,

¡ £ ¡

và F   ;   i ; ;  . Khi đó, các  F tương ứng

2

như sau:
i.
ii.
iii.

 x;e
 x;e
 x;e

c) Nếu

G


  : x, a  ¡  .


ae i

(   i ); ea1 ; ea2  : x, a  ¡ .

ae i

(   i ); ea ; ea

ae i

(   i ); ea ; ea ( a   ) : x, a  ¡ .



G  G5,4,14(  , , ) .

*
5,4,14(  ,  , )

F 

Bằng

cách



đồng

nhất

 ¡  £  £ và F   ;   i ;  i  , chúng ta có:

 x;e

ae i





(   i ); ea(  i ) (  i ) : x, a  ¡ .

Định lý 3.2 (Lớp các MD(5,kC)-phân lá). Với G là một trong các
MD(5,kC)-nhóm liên thơng đơn liên tương ứng với các MD(5,kC)-đại số


17

bất khả phân đã nêu trong Mệnh đề 3.1, gọi F G là họ các K-quỹ đạo
chiều cực đại của G và VG : ị  . Khi đó,  VG , F G  là một phân lá
F G

đo được và gọi là MD(5,kC)-phân lá liên kết với G.
Định lý 3.3 (Phân loại các MD(5,kC)-phân lá).
1. MD(5,1)-phân lá  V1 , F1  được cho bởi phân thớ (trơn) trên ¡ \ 0 .
2. MD(5,2)-phân lá  V2 , F 2  được cho bởi phân thớ (trơn) trên ¡ 2  S1 .
3. Có đúng 2 kiểu phân lá trên 8 họ các MD(5,3C)-phân lá. Cụ thể
hơn, mỗi tập dưới đây xác định một kiểu phân lá:

 V , F  ,  V , F
b)  V , F
 .
a)

3

3,1 1 ,2 

3

8  , 

3

3,2(  )

 ,,  V , F  .
3

3,7

Các kiểu này được ký hiệu tương ứng là F 1 và F 2 . Hơn nữa, các

kiểu này được cho bởi các tác động trơn thích hợp của ¡ 2 trên đa
tạp phân lá V3 .
4. Có đúng 3 kiểu phân lá trên 14 họ các MD(5,4)-phân lá như sau:

 V , F
b)  V , F
4

4,1 1 ,2 ,3 

4

4,2 1 ,2 

 ,,  V , F  .

4

4,11 1 ,2 ,

4

4,12(  , )

, V , F

c)

 V , F

4,14(  ,  , )

a)

4

, V , F
 , V , F
 .

4

4

4,10

4,13(  , )

 .

Các kiểu này được ký hiệu tương ứng là F 3 , F 4 , F 5 . Hơn nữa,
kiểu F 3 được cho bởi phân thớ trên S 3 , kiểu F 4 và F 5 được
cho bởi các tác động thích hợp của ¡ 2 trên đa tạp phân lá V4 .
Định lý 3.4 (Hình học của các MD(5,kC)-phân lá). Tất cả các
MD(5,kC)-phân lá đã xét đều khả trắc địa và Riemann.
3.2 C*-đại số liên kết với các MD(5,kC)-phân lá
Để thuận tiện, chúng ta sử dụng một số ký hiệu như sau:


18

 Đối với MD(5,1)-phân lá F 1 và MD(5,2)-phân lá F 2 , các C*-đại
số liên kết với chúng tương ứng được ký hiệu là C  F1  và
*

C*  F 2  .

 Định lí 3.6 cho thấy 8 họ các MD(5,3C)-phân lá lập thành hai kiểu
F 1 và F 2 ; 14 họ các MD(5,4)-phân lá lập thành ba kiểu F 3 , F 4
và F 5 . Nhờ Mệnh đề 1.85, các C*-đại số liên kết với các
MD(5,3C)-phân lá kiểu F 1 và F 2 và các MD(5,4)-phân lá kiểu
*
*
F 3 , F 4 và F 5 sẽ được ký hiệu tương ứng là C  F 1  , C  F 2 

, C  F 3  , C  F 4  và C  F 5  .
*

*

*

Định lý 3.5 (Mô tả giải tích cấu trúc C  F1  , C  F 2  và C  F 3  ).
*

*

*

Với các ký hiệu như trên, chúng ta có:

C*  F1   C0  ¡ \ 0  K , C*  F 2   C0  ¡ 2  S1   K , C*  F 3   C  S3   K .

Định lý 3.6 (Index của C  F 1  , C  F 2  , C  F 4  , C  F 5  ).
*

*

1
 
1
Ext  Bj , J j   Hom ¢ , ¢ 2 .

 

*
1. Index C F

j

j



*

*

trong

KK-nhóm



2. Index C  F 4    3 ,  4  , trong đó:
*

0 1
2
2
 trong KK-nhóm Ext  B3 , J3   Hom ¢ , ¢ .
0
1


1
2
b)  4    trong KK-nhóm Ext  B4 , J4   Hom ¢ , ¢ .
1
 



a)  3  



3. Index C  F 5    5  1
*

trong





KK-nhóm

Ext  B5 , J5   Hom  ¢ , ¢  .

3.3 Một số nhận xét
Nhận xét 3.7. Trước tiên, kết quả đạt được trong Định lý 3.8 cho thấy lớp


19

các MD(5,kC)-phân lá là lớp phân lá sở hữu những tính chất hình học đặc
sắc, đó là lớp phân lá Riemann trắc địa hoàn toàn (vừa là phân lá trắc địa
hoàn toàn vừa là phân lá Riemann). Theo quan điểm Hình học vi phân,
đây là hai lớp phân lá quan trọng và có nhiều ứng dụng. Bởi vậy, lớp các
MD(5,kC)-phân lá là “nguồn cung” các ví dụ cụ thể và phong phú cho lý
thuyết phân lá tổng quát.
Nhận xét 3.8. Bên cạnh đó, việc kết hợp lý thuyết phân lá và đại số toán
tử trong nghiên cứu cấu trúc C*-đại số Connes liên kết với các
MD(5,kC)-phân lá cũng đã được thể hiện rõ. Cụ thể là:
*
*
 Các C*-đại số C  F1  liên kết với MD(5,1)-phân lá, C  F 2 
liên kết với MD(5,2)-phân lá và C  F 3  liên kết với các
*

MD(5,4)-phân lá kiểu F 3 được mơ tả (triệt để) tường minh giải
tích trong Định lý 3.5.

 Các C*-đại số C  F 1  và C  F 2  liên kết với các MD(5,3C)*

*

phân lá kiểu F 1 và F 2 được đặc trưng bởi bất biến chỉ số  1   2

; trong khi đó, C*-đại số C  F 4  và C  F 5  liên kết với các
*

*

MD(5,4)-phân lá kiểu F 4 và F 5 tương ứng được đặc trưng bởi

(hệ) bất biến chỉ số  3 ,  4  và  5 . Tất cả các bất biến này đều
được thể hiện cụ thể trong Định lý 3.6.
Chú ý là các kết quả được chỉ ra trong Định lí 3.6 vẫn cịn đúng đối với
tất cả các MD(5,kC)-nhóm liên thơng (khơng nhất thiết đơn liên), bất khả
phân. Cụ thể hơn, nếu G là một MD(5,kC)-nhóm liên thơng, bất khả phân
thì bức tranh các K-quỹ đạo của G hoàn toàn trùng khớp với bức tranh
các K-quỹ đạo của phủ đơn liên G% của G. Tiếp theo, họ các K-quỹ đạo
chiều cực đại của G cũng lập thành cùng một MD(5,kC)-phân lá như phủ
đơn liên G% của G. Do đó, các kết quả liên quan đến MD(5,kC)-phân lá
cũng như C*-đại số Connes liên kết với chúng đều không thay đổi.
Nhận xét cuối chương. Hai lớp phân lá tổng quát hóa quan trọng và có
nhiều ứng dụng của phân lá trắc địa hoàn toàn và phân lá Riemann là
phân lá umbilic hoàn toàn và phân lá bảo giác. Bởi vậy, các kết luận của

Định lý 3.8 vẫn đúng khi chúng ta thay “khả trắc địa” bởi “khả umbilic”


20

và “Riemann” bởi “bảo giác”. Nói cách khác, lớp các MD(5,kC)-phân lá
góp phần cung cấp những ví dụ tường minh cho lớp các phân lá đặc biệt
trên không gian Euclid. Xa hơn, lớp MD(n,1)-phân lá cũng có những tính
chất đặc biệt như vậy mà cụ thể là tính bảo giác. Vì vậy, khảo sát lớp
MDn-phân lá tổng quát cũng là một bài toán lý thú.


21

KẾT LUẬN
Luận án này đã giải quyết được những vấn đề như sau:
1. Phân loại triệt để lớp MD  n,1 và lớp MD  n, n  1 với số chiều
tùy ý. Việc phân loại hai lớp này góp phần bổ sung hai kết quả vào
bài toán phân loại các đại số Lie thực giải được theo hướng tiếp
cận bằng cấu trúc.
2. Phân loại và chỉ ra một số đặc trưng hình học của lớp các MD
 5, kC  -phân lá. Những đặc trưng hình học này bổ sung thêm
nguồn ví dụ và phản ví dụ về các phân lá đặc biệt trên một lớp đa
tạp Riemann là không gian Euclid.
3. Mô tả cấu trúc C*-đại số Connes liên kết với các MD  5, kC  -phân
lá bằng phương pháp K-hàm tử. Kết quả này góp phần khẳng định
thêm sự tương thích của phương pháp K-hàm tử với bài tốn mơ tả
cấu trúc C*-đại số liên kết với các MD-phân lá.