Logic mờ Và ứng dụng

HOE


BERNADETTE BOUCHON - MEUNIER
DANG THANH HA

HO THUAN

LOGIC MO VA UNG DUNG

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIÁ HÀ NỘI


MỤC LỤC
Thay lời trưa
—

Chương Ì

lƯI ly

BIEU DIEN RE THOC BANG CACH DUNG CÁC TẬP CON MỜ

2. 1! Quan hệ mờ

2.
Phụ
|.
2.

2 Các đại lượng mờ

lục
Chứng minh mội số tính chất
Bai tap

Chuong 2

LY THUYET KHA NANG VA CAC BIEN NGON NGU
1. Ly thuyét kha nang
|. 1 Độ đo và phân bố khả nănp

1. 2 Dodi npau pitta do do kha nang và độ đo cần thiết
1.3 Dé do ma

2. Bién ngón ngữ và mệnh đẻ mờ
2. 1 Biến ngôn ngữ
2. 2 Các mệnh đề mờ

3. Khả năng và càn thiết của các tập con mờ
3. 1 Tri thức tiên quvết mờ
|
3.2 Vyi thuc uén quyét kha nang
Phu luc
J. Chung minh mot số tính chất
2 Bar tip

—

—

—

tw x5

F2

Un

P.2

2

oc

HW

2
C

ca
CĐ

b

+-

2. Quan hệ mờ và đại lượng mờ

ai

}. 8 Chuan và đối chuan tam giác

mb

1. 7 Tính đặc thù và tính chính xác của một tập con mờ

^^

Cac tap con thông thường liên kết với một tập con mờ
Các tập con mờ lơi
Tich Descartes và hình chiếu của các tập con mờ
Nguyén ly khuéch

^^

3
4
S
6

^

|.
|.
|.
1.

aw

]. 2 Cac phép toan trén cac tap con ma

+

1. Cac khai niém co so
1. | Dinh nghia cdc tap con mo

¬
f

76
76
R3
90
ID]
1]
108
116
tl?
oe
[21
al
[>3

Chương 3

IAP LUAN XAP XT

1. Lap luan theo logic mo

| 1 Tinh bat cap cua fap luan theo logic cô điển
|. 2 Các phép kéo theo mờ

J 26

27
127

131


1. 3 Modus ponens suy rộng

[. 4 Xư lý các trí thức có thang bậc

I. 5 Ket Juan
2. Lap luan theo logic kha nang
2. | Kha nang va can thiết của các mênh để mờ

2. 2 Modus ponens va modus tallens kha nang

2. 3 Phat bieu ma tran cua modus ponens khả nàng
2.4 Ket luan

Phụ lục
1. Các chứng mình
2. Bat tap

137
[52
JA4
[45

lh»
[a7
161
165
166
166
167

Chuang 4

UNG DUNG CUA LOGIC MO

1. Diéu kién va Linh vuc ung dung logic ma

1 | Dicu kién ting dung

he

lo

( 2 Linh vue ump dung
2. Thu thập trì thức trong môi trường mờ
| Trich chon tri thie ti các nguồn sẵn có

. 2 Trích chon tự động trị thức trong mói trường mờ

3 Hoe trong mot truong mé
ac linh vực áp dung chinh

lo

^^

3.

a

t Coso du lidu mo
3.2 Quyet định trone môi Irường mơ

C hương

Š

HE MO DUA TREN TRE THUC
1. Mu
1. {
1. 2
L. 3

dau
Hlé chuven gia
Mang ngữ nghĩa
Suv luân từ các trường hợp cụ thể (case-based reasoning)

tờ

. Lng đụng Jogie mờ trong hè chuyên gia
L, I Lựa chọn phương pháp suy điền
]. 2 lơn giản hóa việc cai dat
[. 3 Ket hyp thong tin

fad

1.4
- Thí
3. 1
1.2

17]
(72
172
173
174
174
176
[S2
1&4
L&4
18?

Xử lý 1rì thức có cấp đỏ
du về hệ mờ dưa trên trí thức
Các hệ tống quát
Các hệ chuyên biệt

4. két luan

195
196
196

198
[9%
199
200
20I
204
205
206
206
211
25


C hương 6

DIEU KHIEN MO
1. Đặc điểm của điều khien mờ
J. ! Lich sử

(. 2 Tinh chat

1, 3 Cau hinh tong quat cua bộ điều khiến mờ
2. Nguyên lý của điệu khiển mo
2. † Tiếp cận tổng quát
2. 2 Sư hình thức hố

2. 3 Điệu khien mờ, bố xấp xí tơng qt
4$, Các phương pháp chính
3. Ì Cách tiệp can logic

+ 2
3. 3
4. Một
4. 1

Phuong phap cua Mamdani va cua Larsen
Phương pháp dùng nội suy
sö ứng dụng
1.inh vực ứng dung

+. 2 Ví dụ

*. Kết luận
Chương

7

CƠ SỞ DỈTLIỆU MỜ
1. Mo dau
2 - Thơng tin khong chính vác và khỏng chắc chắn
2. 1 Sai số
I
le

Tw

Thơng tim khơng chính xác
Thong tin khong chac chan
T ơng quan vé các mỏ hình dữ liều mừ
3. 1 Các mỏ hình CSDL quan hệ mờ

3, 2 Các cau hỏi mờ
3. 3 Thiết kế CSDL mờ
4. Các mỏ hình CSDL, mờ dựa trên quan hệ tương tự
5. Mo hinh CSDL mo dua trên lý thuyết khả năng
6. Kết luận

VAL LIEU THAM KHAO


Thay lời tra
Ì.opic là một ngành khoa học tổng quát chuyên vẻ suy luận. Lopic
thường được xếp vào trong ngành trict hoc. Khi George Boole (1854)
dùng tốn học để tìm hiểu cach suy luận, chúng tá có được logic toan,
L.ogic là cách nghiên cứu các đổi tượng và rút ra kết luận từ đó. Đổi tượng
trong logic Boole là menh đề ngôn ngữ, Môi mệnh để dược biểu điện

bang mot tap con (trong mot tap hợp lớn chứa nó) Nhặc lại rằng. trếp

theo quấn niềm của KroncvkKer (răng số học lạ nên tạng của tốn học).
nhóm Hourbaki nhấn manh rằng tập hợp mới là nên tảng của tốn học,
Lòtc

Boole,

phương.

dựa trên lý thuyẻi

pháp tốn

trên tập hợp,

tập hợp. được
Vậy,

mỗi

khai

logic phú

triển chính

xác nhữ

xác dịnh

rõ ràng:

lopic về đỏi tượng nào? Nếu ta đôi đối tương thì ta sẽ có một }loelec khác.

Cho dù ý cua . Boole là tìm hiểu cách suy luận cua con người (0s
of thought). mét ménh dé nhu “thời tiết hơm nay đẻ chịu” sẽ khơng được
để cập tới vì khơng chính xác, nghĩa là khơng biểu điện được bằng một
tập hợp toán học. logic về mệnh đẻ dĩ nhiên phải tùy thuộc vao ban chat

mónh đẻ.
Từ khi ước vọng chế tnáy thơng mình. nghĩa là có được Kha nàng suy

luận như bộ óc cịn người. vấn để hồn tồn đôi khác. rong lịch sử tiến

triển khoa học, ứng dụng mới thường là động cơ 1húc đây phát mình mới
Irong toán học, Sự ra đời của logic mỡ là một thí dụ điện hình. Khi con

người quan sáf và suy luận. họ khơng có được những dữ kiện chính xác
(như đo khoang cách băng tại, bảng mấU. nhưng [ái có thê suy luận trên
những dữ kiến mờ, thí dù như “nẻu chướng ngài vật hiện ra “pản” thì nên
“piãm” tốc độ xe”, Đây là một mệnh để mờ vị ngôn ngữ. Puy nhiên. con
người hiểu và có thể suy luận từ đó, Nếu ta muốn chế máy vớt khả năng
suy luận "tương đương” với con người. thì phải trn cách biêu diễn mành
dé m&. Gi.io su L. Zadeh (1965) để nghỉ một lý thuyết toán về tập mờ
(fU2zv sets). Lý thuyết này tổng quán hóa lý thuyết tập hợp, Lý thuyết nàu
lam can ban cho logic mo (fuzzy logic). Tr d6 ung dung cua logic mur tral

rộng trong hâu hết các lĩnh vuục của công nghề.


Chúng tơi rất hân hoan viết vài dịng trên dé giới thiệu cudn sách nhỏ
này của Tién si Bernadette Bouchon - Meunier. Tién si Ho Thuan va Trén
sf Ding Thanh Hã với độc pia Viet Nam, trong dé ‘Tien st Bouchon Meunier

là một

khảo cứu gia đã đóng góp rất nhiều trong sự phải triển

của logic mờ và ứng dụng.
Chúng tôi hy vọng ràng cuốn sách nhỏ này sẽ cưng cấp cho độc giá
Việt Nam môi nhập đẻ tường tận về logic mờ cũng như trình bày những
inp dung quan trang cud 10.

NGUYEN TRUNG HUNG

Giao su Toan hoc

New Mexico State University (USA)

Tháng | nam 2007


CHUONG

|_

BIEU DIEN TRI THUC BANG CACH

DUNG CAC TAP CON MG

1. CÁC HIEÁI NIÊM CƠ SỞ

2. QUAN HỆ MỜ VÀ ĐẠI LƯỢNG MỜ


1. CÁC KHÁI NIÊM CƠ SỞ
1.1. Dinh nehia cac tap con mo
1.I.1. Khúi nem tap con mo

Khar nici tấp con mờ được đưa vào dé trinh nhtng việc chuyển đội
Npot từ một lớp này sane mới lớp khác (từ lợp đvn sane lớp trăng chẳng
lan) và cho phép có những phán từ khơng thuộc hồn tồn vào mội lớp
não (có mầu xám

chàng hạn). hoạc thuộc một phần vào một

lớp (với (noi

đô thuộc mạnh vào lớp den và một đọ thuộc yếu vào lớp tranp.. như trường
hợp mủu xám đậm). Định nghĩa tập con mờ đáp ứng nhụ cầu biểu điện
những trị thức khơng chính xác. dỡ hộc chúng được diện đái trong nøon
npữ tự nhiền bởi một người quan sát Khơng căm thấy có nhụ câu cung cấp
đỏ chính xác cao hơn ( ''cach bãi biên [DO m`. là một đặc trưng được hiệt
là pản đúng), hoặc khàne có khả năng cung cấp đỏ chính xác cao hơn (ở

gan bia bien”). hoac bot chung thu được tự những dụng cụ quản sắt sinh
rủ những

s.uú sô đo

(chẳng

hàn.

trên mọt

chừng các khoang cách : “khoang 200 m`),
nào
lớp
với
lan
bien

mát

phẩng,

người

tà đồ

ang

Dac tinh cấp độ của các tản con mờ ứng với ý tưởng cho ràng ching
ta càng đi tới gản đặc trưng điển hình của mệt lớp thì sự thuộc vào
dé cane manh (chac chan là một ngơi nhà cách bãi biến 5Ĩ m là gản
bài biển: cách 200 m. nó vẫn cịn gần nhưng khi khoảng cách càng
hon 200 m thì ngơi nhà càng H1 thước lớp “gan bãi biển”: cách bãi
Ì km, ngơi nhà khơng cịn thỏ nữa),
Khát niệm tập cịn mở cho phép xứ lý :

-

những

phạm

trù

với

đường

bièn

kém

xác

định

(như

“trung

tam

thanh phố” hay "cđ`”),
những 1ình huống trune gian giữa tát ca và khơng có pì (hầu như là

mau den’).

,

- _ Việc chuyên nhích dàn từ một tính chất này sang mội tính chất khác

(từ Tpản” tới xa” tuy theo khoảng cách).
- _ những eld trị gan dung (“khoang 2 km”).
nhting lớp bằng việc tránh sử dụng t1uv tiên những đường biên cứng

nhắc (khó có thể nói răng một ngôi nhà cách bãi biển 200 m là gân,
côn cách 310m

là xa).

Khái niệm tập con mờ là sự làm mềm đẻo khát niệm tập con của một

tập cho trước. Khóng có tập mờ theo nphĩa đúng của nó va fat ca các tập
5


được xem Xét đều là cỏ diển và được định nghĩa rõ ràng. Thường ta hay
dừng thuải ngữ tap mo thay cho tập con mờ, do lạm dụng ngôn ngữ, dúng

theo cách dich từ thuật ngữ gốc tiếng Anh là "fuzzy set", nhằm đổi lấp
với "tập rũ” (crtsp set), chi moc tap con khéng mo,
Cho X là môi lập tham chiéu. Cac phan tu cua X mã có một tính chất
nao do lam thanh một tập con Á của X, theo nghĩa thơng thường của lý
thuyết tập hợp. Ta nói đó là một tập con cơ điển hay thơng thường, và ký

hiệu Prop( A) là tính chát liền Kết (Két hợp) với tập con Á, Những phản tử
của X không có tính chất đó thuộc tập con là phân bù của tào A. Mọi
phan tư của X thuộc chỉ mỏi trong hai tấp. Á hoặc phản bù của A.
Ngược
nghĩa tuyệt
một cấp độ
[Zadch 65]
của X đều

lại. nếu một số phản tử của X khơng có một tính chất theo
đối. ta có thế chọn đê chỉ ra mơi phản tử có tính chất đó với
bàng bạo nhiêu. Như vậy. tá định nghĩa rnột tập con mo cua K
va ky hiéu Prop(A) la tinh chat én kết với nó. Mọi phần tư
thuộc tận con mỡ, với độ thuộc băng, | trong trường hợp thuốc

tuyệt đơi và cũng có thẻ bàng khong.
1.4.2. Pinh nghia tap con mo

Moat tap con ed dien A cla X duoc định nghĩa bởi một hàm đặc trưng

yy lay gia ist O với những phần từ của X không thuốc A va lay giá trị Ì
với những phân tư thuộc A:
A:X > {OT}
Dinh nehia tld: Met idp con mo A cua X duoc dinh nghia bot mét
hàm thuộc. pán cho mỏi phan tu x của X. độ thuộc fA(x), nằm giữa 0 và
L. theo đó x thuốc A:
lv: X —[0, I|

Trường hợp đặc biết, trong đó f~ chỉ lấy những giá trị bảng Ò hay |,

lip con mo A là mội tàp con cô điển của X. Vậy một tập con cô điện là
mot trường hợp riêng, cua tip con mờ.
Từ nay về sau. tà sẽ ky hiew FCX) 1a tap tat ca cic tap con md cua X

Ký pháp sau đây vẫn được dùng đẻ biển diễn tấp con mờ Á. mặc dù nó

khong liên quan gì tới ¥ lav tong hộc lay tích phân. Nó chỉ ra với mọi
phân tử x cua X. độ thuốc .(x) cúa nó vào A :

KÝ pháp :

A= D,

|
L

N=

xÍv/AJ/x, néu X là đếm được,

_

{ F(X,
vi

név X la khéng dém duoc.


Thi du I.!.1: Nếu X
tập con thông thường À
nước thuộc Cộng đồng
còn mờ các nước thuộc
càng nhỏ chừng nào số

là tập các nước trên thế giới. ta có thể định nghĩa
các nước thuộc Châu Âu, chứa các phản tử là các
chung Chân Âu. Ta cũng có thể định nghĩa tập
khối Pháp ngữ, trong đó độ Pháp ngữ chẳng hạn
ngơn ngữ được dùng trong nước đồ càng lớn. với

hàm thuộc sau:

A = 1/Pháp + 0.5/BL + 0.25/Thuy ST + 0.5/Canada +
+ 0/Tây Ban Nha + 0/Duc +...

Phi
$4.2: N&u X la mot tap các thành phố của Pháp. ta có thể dịnh
nghïu tập con thông thường A những thành phố thực sự thuộc các tính 78.
0Ị. 92, 93. 95, Ta cũng có thé định nghĩa tấp còn mờ Á các thành phố
thuộc vùng Paris. Độ thuộc của mọi thành phố x của Pháp vào À càng lớn
chừng nào khoang cách từ nó tới }aris, tính theo cáv số, ký hiệu d(x,P)
cang nho. chang han (hinh J Ib):
f\(x) = max (OQ, 1 - d(x,P)/100),.
Thi du nay cho thay 16 su khac nhau giữa việc cho trước một tạp con
mỡ với việc cho trước một phân bố xác suất, Trong định nghĩa của :
không cư một ý gì về may rủi cũng như xác suất. mà chị là ý vẻ cdc phan
tử (các thành phố của Pháp) ít hay nhiều đạt diễn. ít hay nhiều điển hình.
cúa một lớp được xác định khơng chính xác (lớp các thành phó của vùng
Paris).

1.1.3. Các đặc trưng của một tap con ma
Những đặc trưng hữu ích nhất của mới tận con mờ A của X để mô tá
nó là những đặc trưng chỉ rõ nó khác vớt một tập con thóng thường của X

ở điểm nào.

Đặc trưng thứ nhật là gia cua À. là tập những phân tu cua X it nhất có
thuộc A mot chut.
Định nghĩa Ủ.Ú.32:- Gid cua A, ký hiệu supp(A). là bộ phận của X trên

đó hàm thuộc của Ấ khác khơng :
supp(À}=

{xeX/fA(x)# 0}.

lĐác trưng thứ hai cúa À là chiều cao của nó, ký hiệu h(A), là độ

thuộc lớn nhất mà một phản tử của X thuộc A.

Định nghĩa Ì } 3: Chiếu cáo, ký hiểu h(À}). của tập con mờ Á của X
là piá trị lớn nhất mà hầm thuộc có thể lấy được :

—

h(A) = sup,:v fa (X).


Người ta cũng thường dùng các tập cen mờ được chn hố. có nph1a

với chưng cố 1t nhất một phần từ cua X thuộc tuyệt đốt (xớt đo thuộc Ì)
vào AÁ_ Nói rêne, lý thuyết kha năng (chương 2) cần tới những tap can
mờ được chuản hoá.
Dinh nehia /.1-4-Vap con mo A cua X Tà được chuẩn hoá nếu chiều

cao hi) cua nd bang 1.

Mot tap con mo được chuẩn hố piả định có tơn tại những phần từ
của X điền hình cho tink chát được liên kết với nó. Đó là những phần tử
thuộc Á Tuyét đốn và tập những phản tử đó dược gọi là hat nhân của A.
Định nghĩa }.Ú.S* lạt nhửn của A, ký hiệu ker(2Ý)., là tập các phần tử
của X tại đó hàm thuộc cưa Á có gi trị |:
Ke(Ai=z{xeX/F(x)=

L}.

Khi tập X là hữu han. tà còn đặc trưng tập con mờ À của X hơi lực
lượng của nó. chỉ rõ dọ thuọc tong thể mà các phan tử của X thuộc A.
mh

nghia

bdo:

Lic lượng của tập còn mờ A cua

ÄX dược định

nghĩa bởi :
AI

=

ve

f(x).

Neu A 1a mot (ap con thông thường của X, chiều cao cua n6 bing Lt:
nó được chn hố và đồng nhất với p1á và bạt nhân cua nó: lực lượng cua
nó chính là xế phản tư của tập theo định nga có điển.
Phi dụ 1.4.2: Got X là một tấp các nước. chăng han X = (Đức, BỊ.
Táy Ban Nha Phấp., Ảnh. Halha}, được kỷ hiệu theo thú tự là bp. B. TL P.
Á, T là tập các nước có thẻ là nơi cú trú của mội cá nhàn cho Trước, Ta có
thé đính nghĩa các tập con mờ sau, tương ứng với sư mô ta những mong
muôn cua cả nhân :

Ai= 0.6/Đ + 0/7/78 + 0,47 + 0.3/P+0/8/A +0.5/1,
(AI) =0.
;supp( Ai) = AL Ker(A,) = @ | AY] = 3,3). tại ca các nước
đếu chap nhân được. tuy nhiên theo một thứ tự ưu tiền khá¿ nu,
A› =0/Ð +0/B + L/T + 0.8/P + 0/A + 1/1.
tiâp cơn mờ dược chuẩn
IAs| = 2.8) với việc chon T
đó thuớc nhỏ hơn. tương
"miễn nam. như được chỉ
^

hoá: supp(As) = {‘T. Po 1}: ker(A.) = {To te
hay [. chap nhân
có chừng mực hơn với mót
ứng chẳng hàn với việc tìm một nước thuộc
rõ trên hình 1.1a.


A, = 0/D + 0/B + O/T + O/P + T/A + O/1,
(tập con

một

phần

tử cúa X: tập con

mờ

được

chuân

hoá:

supp(Aa)

=

ker(Xu)= (A} :|Aal= D) với việc chọn À là rát rõ.
Thí dụ F.†.4: Gọi X la tap các khoảng cách. là tập liên tục. Ta có thé
địnhồ nghĩa một tập con mờ của X được gọi là A = “ean”. nhu sau :

A = Ílnsoi ỨX + J s09 aon.-0.005x + 208 + Siya ss ƠN,
Nhu được

chỉ rõ trên hình

ker(A) = 10. 2001).

I.1d, với h¿Á) = L; supp (À) = [O. 400]:

Chi v - Định nphlá một tạp côn mờ tương ứng với một tính chất cho
trước phụ thuộc vào ngữ cảnh của việc sử dụng nó. Biểu diễn của “gan”
trong trường hợp xác định khoảng cách giữa một ngôi nhà và bai biên sẽ
không giống như biểu diễn của “gần” trong trường hợp xác định khoảng
cách của hai thành phố của Pháp. cũng như trong trường hợp mị 1a vị trí

các đồ vật trên bàn. Ngày ca khí ta p1ữ nguyên dạng cua đường cong được
dùng thì hại nhân và gia phải được chọn mội cách thích hợp trén vũ trụ

các khoảng
centimét.

cách

được

dién

dat theo

tram

mét.

theo

kilômél

hay

theo

Cũng như trong trường hợp cua mọi hẻ thống biểu điện trí thức. đỉnh

nghĩa một tập con mỡ đồi hối việc chụn lựa trong số những piái thích có
thê có và cố định sự kết hợp piữa vác từ được dùng trong suốt quá trình

thu thập tri thức (như “gần” chẳng han) với những phần từ của vũ trụ (Ở
đây là các khoang cách được chị rõ theo hàng tram mét) mà với chúng. nó

hồn tồn chấp nhân được. có nghia là hạt nhân của tập con mờ, và những

phan tr cua vũ trụ mà vớt chúng, nó hồn tồn không chấp nhận được. tức
nhũng phản tư của vũ trụ khỏng thuộc giá của tập con mờ. Một hệ thống
như vày có ưu điểm làm cho việc trao đối giữa nhiều người quan sát được

thuản lợi vì. khi giới thiệu với họ biểu điển đã được chọn. chúng ta chàc

chan răng họ có cùng một sự giải thích đối với các từ được sử dụng. Khi

có nhiều người đối thoại có sự bất đồng về đình nghĩa của một tập con
mờ, ta có thể xây dựng một tập con mờ biểu điền sự nhất trí và thâu tơm

được những định nghĩa khác nhau được để xuất. Chúng tà sẽ trở lại vấn
để này trong chương 4.
Định

nghĩa

của

một

tập con mờ

còn

phụ

thuốc

vào tạp những

đặc

trưng được phép với cùng một đại lượng quan sát được, Chàng hạn. nếu ta
cho phép đặc trưng các khoang cách chị bơi các tính chất “pản” và "xa".
chúng có thể được biệu diễn bởi các tập con mờ trên hình L.Lc. Ngược Hai.
9


nêu ta cho phép đặc trưng các khoảng cách bơi các tinh chat “gan”. “xa
vừa”/ và "xa". nhữms biếu điển của “gản” và/hay là “xa” sẽ phải khác đi,
như được chỉ rõ. chẳng han trên hình !.Id. Sự ủúnh tế của biểu diễn được
chọn tham gia vào việc xây dựng mội phản hoạch mờ của tập tham chiếu
X. là khái niềm sẽ được để cấp trong chương 2.

1.2 Các phép toán trên các tập con mờ
Việc

mê

tả một táp con mờ

Á cưa tập tham chiếu

X tương ứng

với

việc đồng nhất các cấp độ mà mộit tính chất Prop(A) được thoa mãn, có
thể khơnp hồn tn. bởi các phản từ của X. Váy liệu ta có thể xây dựng
một tập cịn niừ được xác định bởi những cấp độ mà với chúng Prop(A)
khong duoc thoa man? Cũng vậy. liệu ta có thẻ xây đựng một tập con mờ
được

xác định bơi những câp đô mà

với chúng hai tính chất

Prop(A) va

Prop(B) được thoa mãn đồng thời? Các phép toán trên các tập con mờ sẽ

được định nghĩa đê tra lời cho những câu hoi đó. Như đã thấy. khá: niệm
tập con mờ của X là sư mở ròng khái niệm tap con cổ điển của X, nên các
phép toán phai thược chọn sao cho chúng tương đương với với các phép

toán cỏ điến cua ]ý thuyết tấp hợp khi các hàm thuộc chỉ lấy những giá trí

Ư lay T.
ty

@

Prop (Ay = “mién nam”

().8|.............. _

A

BE

Gta)

FG

oL...

f,

quoc gia

==

Prop(A) = “thude ving Paris”

I

0
10

[CO km

khoảng cách tới Paris


—=

wee

| ee

0

ane

củ

:

200m

200m

Prop(A**) = “xa”

ns

400m

Ne

khoang cach

—
sas
—

0

Prop(A) = “pan”

400m

500m

700m

Prop(A) = "gan"
Prop(A’) = “xa via”
Prop~A’’) = “xa”

khoang cach

Hink J.4. Thi du vé cac tap con ma
1.2.1. Sự bang nhau va su bao ham (chita nhau) cua cae tap con mo
Trước hết. cần phái định nghĩa
B của cùng một tập tham chiều X.
tập con A và B của X là bàng nhau
thuộc A nếu và chỉ nếu nó thuộc
Cũng vậy

sự bằng nhau của hai
Trong ly thuyết tập
với điều kiện là một
B. có nghĩa y:(X) =

tập con mờ A va
hợp cô điện, hai

phản tử x của X
Zj(X) VỚI mọi X.

tình nghĩa 7.2.7: Hai tận con mờ À và B của X là bảng nhàn nếu các

hàm thuộc của chúng lày cùng giá trị với mọi phản tử của X :
Tx

ex

fA(X)

= F;(X)

Tập con Á được chứa trong (bao hàm tronp) tận con B nêu mọi phần
tử x của X thuộc A cũng thuộc B, có nghĩa ⁄4(x) < y g(X) với mot x. Bằng
cách mở rộng. ta nói rằng tập con mờ À của X bao hàm trong tập con mờ
B của X nếu mọi phần tư x của X thuộc A. ngay cả với chừng mực vừa
phái (khơng tuyết đối), cũng thuốc B ít nhất với độ thuộc như vậy. hoặc

nói khác di nêu mọi phần từ x của X thoả mãn tính chất Prop(3) với một
cấp độ ít nhất cũng lớn bằng cấp độ mà nó thoa tính chất Prop(Ậ).
11


Định nghĩa 1.2.2: Cho hai tap con mg A va B cua X, ta né: rang A
bac ham trong B. ky hiéu A c B. néu cdc ham thude cua ching thoa điệu
kiện

VxeX

Í\(x) š f/X).

Phép báo lun xác định một thư tự bộ phan trén F(X), cé nghia Ac
(tính phan xa), nêu A Œ l3 va Bo

C.khi d6A

A

c C (inh bac cau). Thu vu

là bo phan vi cd tan tal ahtng tap con md A va B cua X ma vor chung. ta
khơng có A € Tì và cũng khơng có BC

A, vì fa(X) < £,{X) v6t mot sơ

phan tu x cua X va f(x) < f,{x) với mốt số phần tứ khác của X.

1.2.2 Giao và hợp của các tap con ma
Gtao cua hat tap con thang thuung A va B cla X la mot tap con cua X

chứa tất c4 những phần tử x của X thuộc đồng thời ca ÁA và B. Nó có hàm
dac trung bang | tat mot phan tu x nếu và chì nếu ÿ A(X) = ⁄¡(X) = Í. với X
bất kỳ. hoạc nếu và chị nêu giá trị nhỏ nhát trong bài giá trị ý 4(X) và

24x) bảng I.
Cháo của hai tấp con mờ À và B của X tương ứng với tính chất, được
ký hiệu là Prap(A © B), theo dé các tính chất Prop¿A) và Prop(B) dược
thoa tiãn đồng thời. Tính chải đó được thoa mãn với cấp đị nhỏ nhất mà

vớt nó hai tính chất Prop(A) và Prop(B) được thoa.

Định nghĩa 1.2.3: Giav cua hai ap con mờ À và B cua X là tập con
mờ €, ky hieu là AB,

sao cho:

VxeX

f,£©Q =mnn (fA(xi. f(x)),

mịn ký hiệu tốn tử lâv cực tiểu.
Độ thuộc

mà mỏi

phẩn tư x của X thuộc AZšB là đọ thuọc nho nhất

trong các độ thuọc mà với chúng nó thuộc À và thuộc B.
Hợp cúa hai tập con thông. thường A va B cua X là mat tap com coda ÄX

chứa tất cá các phản tử x của X thc Á hay thuộc B. Nó có hàm đặc

trưng bang | tat mot phản từ x nếu và chỉ nếu ít nhất một trong hai giá 1Ì
XAtX) Và Z¿(x) bàng 1, với x bất kỳ, hoặc nói khác dị, nếu và chỉ nếu giá

trị lớn nhất trong hai giá trị Z 4(X) và z¡(x) bang I.

12

Hop cua hai tap con md A va B cua X tương ứng với tính chất, được
ký hiểu là Prop(ALJB), theo đó ít nhất một trong hai tính chất Prop(A)
hay Prop(B) được thoả mãn. Tính chất Prop(ACJB) được thoả với một cấp
độ bảng với cấp độ lớn nhất theo đó hai tính chất Prop(A) và Prop(B)
được thoả.
Định

nghĩa

T.2.4: Hợp của hai tập còn mờ A và B của X là lắp con

ma lL. kv hiéu ka AUB sao cho:
Yx EX fy(X) = max (f4(%)f 09).
max ký hiệu toán tử lấy cực đại.
Độ thuộc mà mỗi phần tử x cua X thudc AUB
mà với chúng nó thuộc Á và thuộc B.

là độ thuộc lớn nhất

Cũng như trong lý thuyết tập hợp cổ diển. các định nghĩa mà chúng ta

vừa đưa ra dan tới các tính chất sau đối véi moi A và B thudc F(X):
Tinh chat L2 1.

. Tinh kết hợp của 4 va U,
. Tinh giao hoaén clam va VU.
ANX=AANG=2H,
-AUOG=A,AUXK=X,
-ANAUBDADASB.

ADN(BUBI)=(ANB)UCADB

)

-AU(BAB)=(AUB)A(A
VB )
~|Al + |B) = JA 7 BY + fA © BỊ.
Thí du

7.2.1: Một

thí đụ liên quan tới vũ trụ các khoảng

cách được

cho trên hình 2a, với hai tập con mờ. À liên kết với tính chất “gần” và B
hén két voi tinh chat “khoang 400 m”. Hai thong tin liên quan tới một

ngòi nhà được biểu thị theo thứ tư nhờ vào các tính chất đó. Ta có thé

đốn nhận một ngỏi nhà thoả cả hai tính chất đó nếu nó được đặc trưng
bơi tính chất Prop(AmSB), hay thoa ít nhất một tính chất nếu nó được đãc
trưng bơi tính chất Prop(Ac2B).
Lay lai thi du về các quốc gia, với X = { Đức. Bị. Tây Ban Nha. Pháp,
Anh, Italia} va cac tinh chất Prop(B¡) = "pháp ngữ". Prop(B›) = “miền
nam. ta ce:
B, = 0/BD + 0,5/B + O/T + 1/P + O/A + OSL. va

13

8, =O0/D + 0/B + L/P + 0.8/P + O/A + VL.
Tu do :
B,O Ba = 0/D + O/B + O/T + 0.8/P + 0/A + 0/L liên kết với tính chất

* phip ngdeva mién nam ™,
BU Bs = 0/2 + 0.5/B + 1/T + 1/P + O/A + 1/1. liên Kết với tính chất
“phap ned hay micn aam”.
Chia ¥ : Néu A va B duoc chuan hố. thì trừ những trường hụp dic
biệt, giáo của chúng khonp được chuẩn hố. Điều đó egiai thich vi sao
khong the pict han trong việc dùng tấp các tập con mờ được chuân hố, vì

khi đó phép giao sẽ khơng là rnột phép tốn trong đối với tập dó. Ngược

lai. neu A và B được chuân hoá. hợp của chúng cũng được chuán hoá và

nguọc lại, hợp của hai tập con mở chỉ có thẻ được chuẩn hố khi ít nhai

mot trong chúng được chuẩn hoá

1.2.3. Phan bu cua mot tap con mo
Cho mot tap con thong thuong A của X, phản bù của nó là tập con
chứa tất cả các phần từ của X mà Không thuộc A. cé ham đặc trưng bằng
{ néu va chi néu ham đặc trưng của A bang O tai moi điểm x của X.
Phan bu Av
+

`

Cc

cua mot tap con mo A cua X là một tập con mờ sao cho
-

ˆ

`

*

`

-

n

`

một phần tứ x của X càng thuộc nhiều vào A“ chừng tảo nó càng ít thuộc
vào Á. Nói khác di. tính chát Prop(A) căng được thoa nhiều bởi x chừng
nào tính chát Prop(A’) cang duce thea it.

Định nghĩa J2 5: Phần bù A` của một tập con mờ A của X dược
định nehtt là tập con mờ của X vớt hàm thuộc :
FxOM I, (RY = 1 f(x).
Trái với các tập con có điền, nói chung là A` VA

# SO VAAT OAs

X,

có nghĩa khịng thố các tính chất cơ điển của các luật phi mau thuan va
bài trunp. Tuy nhiên các tính chát khác của lý thuyét tập hợp có điển lại

được thoả mãn, cụ thể là những tính chat sau :
Tinh chai ! 2.3:
. Các luat De Morgan : (A 0B) = ASU B.(AUBY = AB.
14


.Œ

A,

»

.(A'Ý =

.X. =.,

Ae
LAS HEX.
fia chat f 2.8. Gia va hat nhan cua A va cua phân bù của nở nghiệm
dung:

(supp(A‘))° = ker (A).
tker(AS)) = supp(A).
Thí dụ f.2.3. Trở lại thí du biến quản tới vũ trụ các khoang cách, tạ có
thể xét tập con mờ AT liên kết với tính chất Prop(A”) = “khong pan”. la
phan bu cua A, nhu duoc chi rd trén hinh 2b

Với thí dụ vẻ các quốc giá. X = { Đức. Bị, Tây Ban Nhà. Pháp. Anh,
Italia].

ta

có

được

các

tính

chất

Prop(B,})

=

"khóng

pháp

ngữ".

Prop(-`) = "khóng miền nam”, liên kết Với các tạp con mờ
By = 1/D + 0.5/B + 1/7 + O/P +1/A + L/L,
= /D+

1/B+ 0/1 + 0,2/P + 1/A + Off.

Chú ¥ : Can luu ¥ la tinh chat Prop(A‘) licn két vei phan bir A‘ cua
tap can mo A duoc dinh nghĩa như vậy không phái báo giờ cũng biểu thị
được nhờ vào từ phản nghĩa Ant(Prop(A)) của từ được dung để phát biểu

tính chat j'ropCAJ. Lấy lãi thí dụ về các Khoảng cách. như được chỉ rõ trẻn
hình ].I. Nếu 1a cho phép đặc trưng các khoảng cách bởi cac tính chất
“sân” và “xa” được biểu điện bởi các tập con mờ A và A
ket voi tinh chat Prep

Aˆ sẽ dược liên

= "khỏnp gân”. ma tạ có thẻ đồng nhất vớt tính

chat Prop(A“*) = xa" - Ngược lại, nếu ta cho phép đặc trưng các khoang cách

bởi các tính chat Prop A)=

“van, Prop(A’) = "hơi xa” và Prop(A”)) = "xa",

A_ văn ln được liên kết với tính chất ''khơng pản” mà khi đó khơng thể
đồnp nhất với `'xa”, như đã thấy trên hình 1.26.


các hàm thuộc

Prop(A) = “gan”

(a)

"

Prop(B) = “khoang 400m"
Prop(Ar B) = “gan va

khoang 400m"
——

Prop(A /B) = "gần hay là
Khoang 400m”

re

O

200m

400m

khoang cach

cac ham thuoc

——— Drop(2\') = `! khỏng gân”
rome PrOPGN

mee

q

200

400

= “ka vu”

Prop( A’) = "xa"

+

khoảng cách

Hình ! 3. Giao, hợp và phân bù của các tập con mở
1.2.4. Ho cae lap con mờ của mội táp tham chiếu

Những trường hợp cực đoán của các tập con mờ của X theo thứ tự là

chính X. được liên kết với hàun thuộc fy lay piá trị 1 với tất cá các phán tử

của X. là tập lớn nhất đối voi phép bao ham, va tap rong ©. được liền kèt
với hàm thuộc băng Õ trên toàn X. là tập nhỏ nhất đối với phep bao hàm.

Tap FQX) làm thành một đàn phản phối. có nghia quan hệ thứ tự bộ
phan duge dinh nehia boi phép bao ham là quan hệ sao cho mọi cập phan

từ (A,) đều chấp nhân một cận dướt lớn nhất A

B và một câu trên nhỏ

nhất Ac2B phân phối với nhau, giống như trường hợp đối với tập có điền

P(X) các tâp con thông thường của X. Trái lai, dàn F(X) khơng bù vì nó

khong chua hai phan tt Ag va By sao cho phản bù A" của moi phan wr A
thudc F(X) thoa man A AA* = Ap va AUA

= Bo. No chi la gia bi.

Thi du ¢.2.3: Xét truOng hop don giản. trong đó X = {a, b}, còn
T= {O0.e. t} la tap cdc dé thudc. F(X) khi dé chita 9 phan tu có thé được

sắp thứ tự thành dàn như được cht rõ trên hình 1.3.
16