Thiết kế bộ lọc IIR

Chương 8 Thiếtkế lọc IIR
TS.NGÔ VĂNSỸ
ĐẠIHỌC BÁCH KHOA ĐÀNẴNG
Giớithiệu
 Bộ lọc IIR có đáp ứng xung vô hạn , vì vậychúngcó
thể khớpvớicácbộ lọc analog , mà nói chung đều
có đáp ứng xung dài vô hạn.
 Kỹ thuậtcơ bản để thiếtkế lọcIIRlàbiến đổicác
bộ lọc analog điển hình (well-known) thành các bộ
lọc digital sử dụng các ánh xạ giá trị-phức.
 Sự thuậntiện củakỹ thuậtnàylàở chỗ có sẵncác
bảng thiếtkế lọc analog (AFD) và các ánh xạ được
mở rộng trong thư viện.
Giớithiệu
 Các kỹ thuậtcơ bản đượcgọi là các phép biến đổi
lọc A/D.
 Tuy nhiên, các bảng AFD chỉ dùng cho các bộ lọc
thông thấp. Trong khi ta cầnthiếtkế các bộ lọcchọn
tần khác (thông cao, thông dải, chắndải, v.v…)
 Cầnápdụng các phép biến đổibăng tần đốivớicác
bộ lọc thông thấp. Các phép biến đổinàycũng được
gọilàánh xạ giá trị-phức, và chúng cũng có sẵn
trong thư viện.
Hai cách tiếpcận
Design analog
lowpass filter
Apply Freq. band
transformation
s >s
Apply filter
transformation

s >z
Desired
IIR filter
Design analog
lowpass filter
Apply filter
transformation
s >z
Apply Freq. band
transformation
z >z
Desired
IIR filter
Approach 1, used in Matlab
Approach 2, study
Các bướcthiếtkế lọc IIR
 Thiếtkế bộ lọc thông thấp analog
 Nghiên cứuvàápdụng các phép biến đổibộ
lọc để thu đượcbộ lọcsố thông thấp
 Nghiên cứuvàápdụng các phép biến đổi
băng tần để thu được các bộ lọcsố khác từ
bộ lọcsố thông thấp
Vấn đề tồntại
 Chúng ta không điều khiểncácđặctínhpha
củabộ lọcIIR.
 Vì vậycácthiếtkế lọcIIRchỉ xử lý như các
thiếtkế về biên độ.
Nội dung chính củachương này
 Các chỉ tiêu củabộ lọc analog và các tính chấtcủa
đáp ứng bình phương biên độ đượcsử dụng trong

việcthiếtkế các bộ lọc analog.
 Các đặctrưng củababộ lọc analog đượcsử dụng
phổ biến
 Bộ lọc Butterworth, Chebyshev, và Elliptic
 Phép biến đổi để chuyểncácbộ lọcanalog điểnhình
(prototype) này thành các bộ lọcsố chọntầnkhác
nhau
Mộtvàilưuý
 Tỷ lệ tuyến tính tương đối
 Các đặctrưng củabộ lọc thông thấptrênđáp ứng bình
phương biên độ được cho bởi
||,
1
|)(|0
||,1|)(|
1
1
2
2
Ω≤Ω≤Ω≤
Ω≤Ω≤Ω≤
+
sa
pa
A
jH
jH
ε
Trong đó epsilon một thông số gợn sóng dải thông, Omega_p là tầnsố cắt dải
thông tính theo rad/s, A là tham số suy hao dảichắn và Omega_s là tầnsố cắt

củadảichắn tính theo rad/s.
sa
at
A
jH Ω=Ω=Ω
2
2
1
|)(|
pa
atjH Ω=Ω
+
=Ω
2
2
1
1
|)(|
ε
2
1
1
2
1
1
2
2
1
20/
2

10
2
10
11
1
1
2
1
1
1
1
10
1
log10
110
1
1
log10
10/
δ
δ
δ
δ
δ
δ
ε
εδ
δ
ε
ε

+
=⇒=
+
−
=⇒
+
=
+
−
=⇒−=
−=⇒
+
−=
A
A
A
A
A
R
s
p
A
s
R
p
Các hệ thứcgiữa epsilon, A, Rp, As, delta1 and
delta2
Các tính chấtcủa|H
a
(jOmega)|

2
Các đặctrưng củabộ lọc analog được cho theo các hệ số của đáp ứng bình
phương độ lớn, không bao hàm thông tin về pha. Để đánh giá hàm truyền
hệ thống Ha(s) trong miền-s ta xét
jsaaa
jsaaaaaaa
jsaa
jHsHsHor
sHsHjHjHjHjHjH
sHjH
/
2
*2
||)(|)()(,
|)()()()()()(|)(|
|)()(
=Ω
Ω=
Ω=
Ω=−
−=Ω−Ω=ΩΩ=Ω
=Ω
Vì vậy các điểmcựcvàđiểm không của hàm bình phương biên độ được phân
bố theo đốixứng ảnh-gương xét theo trụcjOmega.
Đốivới các bộ lọcthực, các điểmcựcvàđiểm không xuấthiệntheocặpliên
hợpphức(hoặc đốixứng ảnh-gương theo trụcthực).
Từ các mẫu này chúng ta có thể xây dựng Ha(s), là hàm truyềnhệ thống củ
a
bộ lọc analog.
Các tính chấtcủa|H

a
(jOmega)|
2
 Ta muốnHa(s) để biểudiễnmộtbộ lọc nhân quả và
ổn định. Khi đótấtcả các điểmcựccủa Ha(s) trong
nửamặtphẳng bên trái. Như vậytagántấtcả các
điểmcựcnửa-trái của Ha(s)Ha(-s) lên Ha(s). Hoặc
Chúng ta sẽ chọn các điêm không của Ha(s)Ha(-s)
nằmbêncạnh hoặctrêntrục jOmega như các điểm
không củaHa(s).
 Bộ lọckếtquả đượcgọilàmột bộ lọc pha-tốithiểu.
Các đặctrưng của các bộ lọc
analog điểnhình
 Các kỹ thuậtthiếtkế lọc IIR dựatrênbộ lọc analog
đãcóđể thu đượccácbộ lọcsố. Chúng ta thiếtkế
các bộ lọc analog nay theo các bộ lọc điểnhình.
 Ba kiểu đượcsử dụng rộng rãi trong thựctế
 Thông thấp Butterworth
 Thông thấp Chebyshev (Kiểu I và II)
 Thông thấp Elliptic
Lọc thông thấp Butterworth
 Bộ lọcnàyđược đặctrưng bởitínhchất đáp ứng
biên độ là bằng phẳng trong cả dải thông và dải
chắn.
N
c
a
jH
2
2

1
1
|)(|
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Ω
Ω
+
=Ω
Đáp ứng bình phương-biên độ
củabộ lọc thông thấpbậc-N
Omega_c là tầnsố cắt tính theo rad/s.
Hình vẽởP.305 sau chỉ đáp ứng bình phương-biên độ
N
c
a
jH
2
2
1
1
|)(|
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Ω
Ω
+
=Ω
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
N=1
N=2
N=200
N=100
Các tính chấtcủabộ lọc
Butterworth
 Đáp ứng biên độ
 |H
a
(0)|
2
=1, |H

a
(jΩ
c
) |
2
=0.5, vớimọiN (hệ số suy giảm
3dB ởΩ
c
)
 |H
a
(jΩ)|
2
đơn điệugiảm theo Ω
 Tiến đếnbộ lọclýtưởng khi N→∞
12,,1,0,)()1(
)(
)(
)(
)(
1
1
)()(
)12(
2
1
2
22
2
2

22
1
−=Ω=Ω−=
−
Ω
=
Ω+
Ω
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Ω
+
=−
++
=
∏
Nkejp
ps
j
js
j
j
s

sHsH
Nkj
cck
N
k
k
N
c
N
c
N
N
c
N
c
aa
NN
L
π
Để xác định hàm truyềnhệ thống Ha(s)
Các điểmcựccủa|H
a
(jΩ)|
2
Ω=s/j
=H
a
(s)
H
a

(-s)
 Được phân bố đều đặntrênđường tròn bán kính Ωc với
khoảng cách góc pi/N radians
 Với N odd, p
k
= Ωce
j2pik/N
 Với N even, p
k
= Ωce
j(pi/2N+kpi/N)
 Đốixứng theo trục ảo
 Một điểmcực không bao giờ rơivàotrục ảo, và rơivàotrục
thực chỉ nếu N là lẻ
 Mộtbộ lọc ổn định và nhân quả H
a
(s) có thể đượcxácđịnh
bằng cách chọncácđiểmcựctrongnửamặtphẳng trái
∏
−
Ω
=
N
polesLHP
k
N
c
a
ps
sH

)(
)(
Thí dụ 8.1
Thi hành Matlab
 Function [z,p,k] = buttap(N)
 Để thiếtkế mộtbộ lọc analog Butterworth chuẩnhoá
(Ω
c
=1) bậcN
 Z: zeros; p: poles; k: gain value
 Function [b,a] = u_buttap(N,Omegac)
 Cung cấpmộtcấutrúcdạng trựctiếp(hoặctử thức-mẫu
thức)
 Function [C,B,A] = sdir2cas(b,a)
 Chuyển đổidạng trựctiếp thành dạng ghép tầng
Ví dụ 8.2
Các phương trình thiếtkế
sas
pap
AjHat
RjHat
=Ω−Ω=Ω
=Ω−Ω=Ω
2
10
2
10
|)(|log10,
|)(|log10,
Bộ lọc thông thấp analog được đặctrưng bởi các thông số, Omega_p.

R_p,Omega_s, and A_s. Vì vậy ưu điểmcủathiếtkế trong trường hơpbộ
lọc Butterworth là thu đượcbậc N và tầnsố cắt Omega_c.
N
A
s
c
N
R
p
c
sp
A
R
sp
s
p
or
N
2
10/
2
10/
10
10/
10/
10
)110(
,
)110(
)/(log2

)]110/()110[(log
−
Ω
=Ω
−
Ω
=Ω
⎥
⎥
⎥
⎤
⎢
⎢
⎢
⎡
ΩΩ
−−
=
N
c
a
jH
2
2
1
1
|)(|
⎟
⎟
⎠

⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Ω
Ω
+
=Ω
Thi hành Matlab
 Function [b,a] = afd_butt(Wp,Ws,Rp,As)
 Để thiếtkế bộ lọc thông thấp analog Butterworth,
cho bởi các chỉ tiêu củanó.
 Function [db,mag,pha,w] = freqs_m(b,a,wmax)
 Đáp ứng biên độ tuyệt đốicũng như tương đối
theo thang dB và đáp ứng pha.
Vi dụ 8.3
Các bộ lọc thông thấp
Chebyshev
 Các bộ lọc Chebyshev-I
 Có đáp ứng cân bằng gợn sóng trong dải thông
 Các bộ lọc Chebyshev-II
 Có đáp ứng cân bằng gợn sóng trong dảichắn
 Các bộ lọc Butterworth
 Có đáp ứng đơn điệu trong cả hai dải
 Lưuý rằng chọnmộtbộ lọccânbằng gợnsóngthayvìbộ lọc
đơn điệu, ta thu đượcmộtbộ lọccóbậc-thấp.
 Vì vậy các bộ lọc Chebyshev cho bậcthấphơn so với các bộ
lọc Buttworth có cùng chỉ tiêu.
Đáp ứng bình phương-biên độ

củabộ lọc Chebyshev-I
⎩
⎨
⎧
∞<<
≤≤
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Ω
Ω
+
=Ω
−
−
xx
xxN
xT
T
jH
N
c
N
a

1)),(cosh(cosh
10)),(coscos(
)(
1
1
|)(|
1
1
22
2
ε
N là bậccủabộ lọc,
Epsilon là hệ số gợnsóngdải thông
Nth-bậccủa đathức Chebyshev
(a) Với 0<x<1, T
N
(x) dao động giữa –1 và 1, và
(b) Với 1<x<vô cùng, T
N
(x) tăng đơn điệu đếnvôcùng
Hình ở P.314 (hai dạng có thể)
Observations: P.315
Các nhậnxét
At
x
=0 (or Ω=0); |Ha(j0)|
2
= 1; for N odd;
= 1/(1+epson^2); for N even
At

x
=1 (or Ω= Ωc); |Ha(j1)|
2=
1/(1+epson^2) for all N.
For 0<=x<=1 (or 0<= Ω<= Ωc)
|Ha(jx)|
2
oscillates between 1 and 1/(1+epson^2)
For x>1 (or Ω > Ωc), |Ha(jx)|
2
decreases monotonically to 0 .
At x= Ωr, |Ha(jx)|
2
= 1/(A^2).
Ha(s) nhân quả và ổn định
Để xác định một hàm Ha(s) nhân quả và ổn định, ta phải tìm các
điểmcựccủa Ha(s)Ha(-s) và chọn các điểmcực nửamặt
phẳng-trái đốivớiHa(s).
Các điểmcực Ha(s)Ha(-s) thu đượcbằng cách tìm nghiệmcủa
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
Ω
+
c

N
j
s
T
22
1
ε
Có thể chỉ ra rằng nếu
1,,1,0,
−
=
Ω
+
=
Nkjp
kkk
L
σ
Là các nghiệm(nửamặtphẳng-trái) của đathứctrênthì
Các điểmcựccủaH
a
(s)H
a
(-s)
Các điểmcựcrơitrênmột
ellipse vớitrục chính b Ωc
và trụcphụ (minor axis) a
Ωc .
Thì hàm hệ thống là
)(

)(
k
k
a
ps
K
sH
−Π
=
Nửamặtphẳng-trái
K là mộthệ số chuẩn hoá