Một số ứng dụng của tích phân hàm số một biến

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

———————–

Nguyễn Hữu Trí

MỘT SỐ ỨNG DỤNG
CỦA TÍCH PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khóa luận:
TS. Hồng Nhật Quy

ĐÀ NẴNG, 5/2023


Mục lục
MỞ ĐẦU

4

1 Kiến thức chuẩn bị

6

1.1

Khái niệm tích phân hàm số một biến . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Dãy chuẩn tắc những phép phân hoạch . . . . . . . .

6
6

1.1.2 Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . .
Một số tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
7

1.2.1
1.2.2

Các tính chất của tích phân . . . . . . . . . . . . . .
Tính chất so sánh của tích phân . . . . . . . . . . . .

7
8

1.3

1.2.3 Định lý về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . .
Định lý cơ bản của giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8
9

1.4
1.5

Đổi biến trong tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . .
Một số dạng tích phân của hàm số một biến . . . . . . . . . .

11
12

1.5.1

Tích phân hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.5.2
1.5.3

Tích phân hàm vô tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tích phân hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . .

14
19

1.2

2 Một số ứng dụng của tích phân hàm số một biến
2.1

23

Ứng dụng của tích phân tính diện tích và thể tích . . . . . . .

23

2.1.1
2.1.2

Tính diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tính thể tích vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23
25

2.2
2.3

Ứng dụng tính độ dài cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ứng dụng tính diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . .

27
29

2.4

Một số ứng dụng trong vật lý và kỹ thuật . . . . . . . . . . .
2.4.1 Tính vận tốc từ gia tốc, tính quãng đường từ vận tốc .

32
32

1

2.4.2
2.5

2.6

Lực thủy tĩnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Một số ứng dụng trong kinh tế và sinh học . . . . . . . . . .
2.5.1 Ứng dụng trong kinh tế . . . . . . . . . . . . . . . . .

36
36

2.5.2 Ứng dụng trong sinh học . . . . . . . . . . . . . . . .
Ứng dụng trong xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41
45

KẾT LUẬN

47

Tài liệu tham khảo

48

2


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn và sự tri ân sâu sắc đối với các
thầy giáo, cô giáo của Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng, đặc biệt
là các thầy, cô khoa Tốn đã tạo điều kiện cho em thực hiện Khóa luận tốt
nghiệp này.
Thời gian vừa qua, nhờ có sự hướng dẫn tận tình và hết lịng của TS.
Hồng Nhật Quy, em đã hiểu thêm nhiều kiến thức không chỉ xoay quanh
Khóa luận và cịn các vấn đề thú vị của Toán học nữa. Một lần nữa em xin
chân thành cảm ơn thầy!
Với vốn kiến thức còn hạn hẹp của bản thân và thời gian hạn chế, việc
hồn thành khóa luận khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Em mong nhận
được những ý kiến đóng góp và xây dựng của quý thầy cơ để bài Khóa luận
tốt nghiệp của em được hoàn thành chỉn chu hơn.
Em xin chân thành cảm ơn.

3


MỞ ĐẦU
1. Lý do lựa chọn đề tài
Trong chương trình tốn học phổ thơng, tích phân là một nội dung bắt
buộc và có nhiều ứng dụng trong thực tế. Trong các chương trình tốn cao
cấp, tích phân ứng dụng nhiều trong các bài toán về lý thuyết (xem thêm
nội dung [2],[3]). Nội dung ứng dụng của tích phân hàm số một biến số rất
đa dạng như tính thể tích, diện tích, ứng dụng trong kinh tế, kĩ thuật và y
học. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết tích phân hàm số một
biến số và đặc biệt là các ứng dụng của nó trong các bài tốn thực tế. Dưới

sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Hoàng Nhật Quy, em đã chọn đề tài nghiên
cứu "Một số ứng dụng của tích phân hàm số một biến" cho khóa luận
tốt nghiệp của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu một số ứng dụng tích phân của hàm
số một biến để tính các bài tốn như diện tích, thể tích của vật thể, tính độ
dài cung, diện tích mặt cong, ứng dụng trong sinh học, kinh tế, vật lí và kỹ
thuật.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
a. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là tích phân hàm số một biến, các bài
tốn về ứng dụng tích phân hàm số một biến.
b. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu của đề tài thuộc lĩnh vực Giải tích thực.
4. Cấu trúc luận văn
Cấu trúc của luận văn gồm các phần chính sau đây:
• Mở đầu:

4


• Phần nội dung: Nội dung chính của luận văn gồm có 2 chương cụ thể
như sau:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của tích
phân hàm số một biến số. Các kiến thức của chương này sẽ bổ trợ cho phần
nghiên cứu của Chương 2.
Chương 2: Một số ứng dụng của tích phân hàm số một biến số
Chương này trình bày về các ứng dụng của tích phân hàm số một biến
như tính diện tích, thể tích, độ dài cung, một số ứng dụng trong vật lý và kỹ

thuật, kinh tế và sinh học.
• Kết luận
• Tài liệu tham khảo

5


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Chương này chủ yếu trình bày về khái niệm tích phân hàm số một biến,
một số tính chất của tích phân hàm số một biến và một số dạng tích phân
của hàm số một biến. Các nội dung của chương này được tham khảo từ các
tài liệu [1],[2],[3].

1.1
1.1.1

Khái niệm tích phân hàm số một biến
Dãy chuẩn tắc những phép phân hoạch

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử
Y
n

Q
n

Q

n

là một dãy phép phân hoạch đoạn [a, b].

: a = x0 < x1 < · · · < xpn = b.

được gọi là một dãy chuẩn tắc nếu lim d

Q

n

n→∞

Ví dụ 1.1.1. Với mỗi số nguyên dương n, gọi

Q

n

= 0.

là phép chia đoạn [a, b]

thành n đoạn bằng nhau
)
(
Y
(b − a)
b−a
b−a
a+2

, . . . , a + (n − 1)
,b
= a, a +
n
n
n
n
Q
n

là một dãy chuẩn tắc vì d

Q

n

6

=

b−a
→ 0 khi n → ∞.
n


1.1.2

Định nghĩa tích phân xác định

Giả sử f là một hàm số xác định trên đoạn [a, b], a, b ∈ R, a < b. Gọi
Q

n là một dãy chuẩn tắc bất kì những phép phân hoạch đoạn [a, b].
Y
= a = x0 < x1 < . . . < xpn = b.
n

Lấy các điểm bất kì ξi ∈ [xi−1 , xi ]; i = 1, . . . , pn và lập tổng tích phân

σn = σ

Y
n



, ξ1 , . . . , ξpn =

pn
X

f (ξi ) (xi − xi−1 ), n = 1, 2, . . .

i=1

Định nghĩa 1.1.2. Nếu tồn tại một số I ∈ R sao cho với một dãy chuẩn
Q
tắc bất kì
n những phép phân hoạch đoạn [a, b] và với một cách chọn
bất kì các điểm ξi ∈ [xi−1 , xi ],i = 1, 2, . . . , pn , ta đều có

lim σn = I

n→∞

thì I được gọi là tích phân xác định của hàm số f trên đoạn [a, b], kí hiệu là
Z b
f (x)dx.
a

Nếu tích phân trên tồn tại thì hàm số f được gọi là khả tích trên trên
đoạn [a, b].
f được gọi là hàm số dưới dấu tích phân, f (x)dx được gọi là biểu thức
dưới dấu tích phân, a gọi là cận dưới, b gọi là cận trên của tích phân.

1.2
1.2.1

Một số tính chất của tích phân
Các tính chất của tích phân

Giả sử f và g là các hàm liên tục.
Z b
Z a
Z b
Tính chất 1.
f (x)dx = −
f (x)dx. Khi a = b thì
f (x)dx = 0.
a

Z

Tính chất 2.

b

a

b

cdx = c(b − a) (c là hằng số tùy ý).

a

7


Z
Tính chất 3.

b


f (x) ± g(x) dx =

Z

a

Z

b

a

g(x)dx.
a

f (x)dx (c là hằng số tùy ý).
a

c

Z

b

f (x)dx +
a

1.2.2

b

b

Z

cf (x)dx = c

Tính chất 5.

f (x)dx ±

Z

a

Tính chất 4.
Z

b

Z

b

f (x)dx =
c

f (x)dx (với c ∈ [a, b]).

a

Tính chất so sánh của tích phân

Tính chất 1. Nếu f không âm trên đoạn [a, b] thì
Z b
f (x)dx ≥ 0.
a

Tính chất 2. Nếu f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a, b] thì

Z b
Z b
f (x)dx ≥
g(x)dx.
a

a

Tính chất 3. Nếu m ≤ f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b] thì
Z b
m(b − a) ≤
f (x)dx ≤ M (b − a).
a

1.2.3

Định lý về giá trị trung bình

Định lý 1.2.1. Giả sử f khả tích trên [a, b] và m ≤ f (x) ≤ M với mọi

x ∈ [a, b]. Khi đó, tồn tại µ ∈ [m, M ] sao cho
Z b
f (x)dx = µ(b − a).
a

Chứng minh.
Ta có

m(b − a) =

Z
a

b

mdx ≤

Z

b

f (x)dx ≤

a

b

M dx = M (b − a).

a

Do đó

1
m≤
b−a

Z

Z

b

f (x)dx ≤ M.

a

8


1
Đặt µ =
b−a

Z

b

f (x)dx ta thấy thỏa mãn kết luận của định lí.
a

Hệ quả 1.2.2. Nếu f là một hàm số liên tục trên [a, b] thì tồn tại ít nhất
một điểm c ∈ [a, b] sao cho
Z

b

f (x)dx = f (c)(b − a).

a

Chứng minh.
Z b
1
Đặt m = min f (x), M = max f (x). Khi đó vì µ =
f (x)dx ∈
x∈[a,b]
x∈[a,b]
b−a a
[m, M ] nên theo định lí Bolzano-Cauchy, tồn tại ít nhất một số thực c ∈ [a, b]
sao cho f (c) = µ.
Định lí về giá trị trung bình có vai trị quan trọng trong việc chứng minh
định lí cơ bản của giải tích cổ điển, từ đó dẫn đến cơng thức Newton-Leibnitz,
là cơng cụ chính để tính tích phân xác định.

1.3

Định lý cơ bản của giải tích

Cho f là hàm số xác định và bị chặn trên [a, b]. Xét hàm
Z x
F (x) =
f (t)dt, x ∈ [a, b] .
a

Kết quả sau đây gọi là định lý cơ bản của giải tích cổ điển.
Định lý 1.3.1. (Định lí cơ bản của giải tích)
(i) Nếu f khả tích trên đoạn [a, b] thì F liên tục trên đoạn này.

(ii) Nếu f liên tục trên đoạn [a, b] thì F là một nguyên hàm của f trong

(a, b).
Chứng minh.
(i) Giả sử f bị chặn trên [a, b] bởi M > 0. Lấy x ∈ [a, b] bất kì và h ∈ R
sao cho x + h ∈ [a, b]. Ta có

F (x + h) − F (x) =

Z

x+h

f (t)dt −

a

Z

Z

f (t)dt =
a

9

x

x+h

f (t)dt.
x

Do vậy

Z









x+h



F (x + h) − F (x)
=

f (t)dt
≤ M |h| → 0 khi h → 0.

x


Vậy F liên tục tại x.
(ii) Giả sử f liên tục trên [a, b]. Khi đó
Z

F (x + h) − F (x) =

x+h

f (t)dt

x

TheoZđịnh lí về giá trị trung bình của tích phân, tồn tại c giữa x và x + h
x+h
sao cho
f (t)dt = hf (c). Do đó
x

F (x + h) − F (x) = hf (c)
Với h ̸= 0, ta có

F (x + h) − F (x)
= f (c)
h
Khi h → 0 thì c → x; do đó f (c) → f (x) (vì f liên tục trên [a, b]). Vậy
F ′ (x) = f (x).
Định lí được chứng minh.
Định lý 1.3.2. Nếu f là một hàm số liên tục trên [a, b] và hàm số G là một
nguyên hàm của f trên [a, b] thì
Z b
f (x)dx = G(b) − G(a)
(1.1)
a

Chứng minh.
Z
Vì F (x) =

x

f (t)dt và G là hai nguyên hàm của hàm số f trên [a, b]
a

nên tồn tại một hằng số C sao cho F (x) = G(x) + C với mọi x ∈ [a, b],
Đặc biệt, F (a) = G(a) + C. Vì F (a) = 0 nên C = −G(a). Do đó
Z b
F (b) = G(b) − G(a) tức là
f (x)dx = G(b) − G(a).
a

(1.1) gọi là công thức Newton-Leibnitz. Người ta thường dùng kí hiệu