Một số mô hình đại số tuyến tính trong kinh tế

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

—————

PHAN THỊ HIỀN

MỘT SỐ MƠ HÌNH
ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG KINH TẾ

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn khố luận:
TS. Hồng Nhật Quy

Đà Nẵng, 05/2023
4


Mục lục
MỞ ĐẦU

5

1 Kiến thức chuẩn bị

6

1.1

Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2
1.1.3

1.2

1.3

1.4

Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . . . . .
Các phép biến đổi trên ma trận . . . . . . . . . . . .

10
12

Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13
13

1.2.2
1.2.3

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tính các định thức cấp 1,2,3 . . . . . . . . . . . . . .

15
15

1.2.4 Các tính chất cơ bản của định thức . . . . . . . . . .
Hạng của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17
18

1.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.3.2 Các phương pháp tìm hạng của ma trận . . . . . . . .
Ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19
22

1.4.1
1.4.2
1.5

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Điều kiện tồn tại và cơng thức tìm ma trận nghịch đảo: 22

Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt . . . . . . . . .

23

23

1.5.2

25

Hệ phương trình Cramer . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Một số bài tốn kinh tế có mơ hình đại số tuyến tính
2.1

6
6

Bài toán cân bằng thị trường . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Thị trường một loại hàng hóa . . . . . . . . . . . . . .

2

28
28
28


2.1.2
2.2

Thị trường hai loại hàng hóa . . . . . . . . . . . . . .

29

2.1.3 Thị trường nhiều loại hàng hóa . . . . . . . . . . . . .
Bài toán cân bằng kinh tế vĩ mô . . . . . . . . . . . . . . . .

32
35

2.2.1

Mơ hình cân bằng đối với một nền kinh tế đóng chưa
tính thuế thu nhập . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Mơ hình cân bằng đối với một nền kinh tế đóng tính
thuế thu nhập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

Mô hình IS-LM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mơ hình Input-Output . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38
43

2.4.1

Xây dựng

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.4.2
2.4.3

Tên gọi và ý nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Công thức xác định tổng cầu đối với sản phẩm của các

45

2.4.4

ngành sản xuất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46
46

2.2.2
2.3
2.4

KẾT LUẬN

49

Tài liệu tham khảo

50

3


LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên,em xin chân thành và sự tri ân sâu sắc đối với các thầy giáo,
cô giáo của Trường Đại học Sư Phạm- Đại học Đà Nẵng, đặc biệt là các thầy,
cơ khoa Tốn đã tạo điều kiện cho em thực hiện Khóa Luận Tốt Nghiệp này.
Thời gian vừa rồi, nhờ có sự hướng dẫn tận tình và hết lịng của TS.
Hồng Nhật Quy, em đã hiểu thêm nhiều kiến thức khơng chỉ xoay quanh
Khóa Luận và cịn các vấn đề thú vị của Tốn học nữa! Một lần nữa em xin
chân thành cảm ơn thầy!
Với vốn kiến thức còn hạn hẹp của bản thân và thời gian hạn chế, việc
hồn thành khóa luận khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Nên em mong
nhận được những ý kiến đóng góp và xây dựng của q thầy cơ để bài Khóa
luận tốt nghiêp của em được hồn thành chỉnh chu hơn.
Em xin chân thành cảm ơn.

4


MỞ ĐẦU
1. Lý do lựa chọn đề tài
Ngày nay, trong điều kiện kỹ thuật và công nghệ phát triển rất mạnh,
Tốn học có nhiều cơ hội được ứng dụng một cách mạnh mẽ vào nhiều lĩnh
vực khác nhau của đời sống con người, đặc biệt là trong lĩnh vực kinh tế.
Việc sử dụng Toán học để cắt nghĩa các vấn đề, hiện tượng kinh tế đã mang
đến những hiểu biết rất mạch lạc và đem lại những giải pháp tối ưu nhất
có thể. Mơ hình chung để giải quyết một bài tốn thực tế có cấu trúc như sau :
Bài tốn thực tế → Mơ hình tốn → Lời giải → Quyết định

Trong bối cảnh phải tích cực đổi mới, hồn thiện để phát triển và hội
nhập thì việc sử dụng các cơng cụ khoa học, trong đó có Tốn học để phân
tích, tìm ra các quy luật vận động, phát triển của các sự vật, hiện tượng kinh
tế trong hệ thống kinh tế xã hội là một việc làm cần thiết. Trong các ứng
dụng của Tốn học thì "mơ hình tốn kinh tế" và "đo lường kinh tế" là hai
cơng cụ sắc bén để phân tích hoạt động kinh tế. Mặt khác, các kiến thức của
đại số tuyến tính được sử dụng rất nhiều và rất hiệu quả để giải quyết các
bài toán được đưa ra ở đây. Với mong muốn tìm hiểu sâu về lý thuyết đại
số tuyến tính và đặc biệt là vận dụng các kiến thức của đại số tuyến tính để
mơ hình hóa cho một số vấn đề kinh tế và được sự hướng dẫn của thầy giáo
TS. Hoàng Nhật Quy, em đã chọn đề tài nghiên cứu "Một số mơ hình đại
số tuyến tính trong kinh tế" cho khóa luận tốt nghiệp của mình.

5


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Nội dung của chương này được giành để giới thiệu một số khái niệm và các
kết quả liên quan tới đại số tuyến tính. Các kiến thức ở chương này sẽ là các
công cụ để giải quyết một số bài toán trong kinh tế ở chương 2. Nội dung
của chương này được tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [6].

1.1
1.1.1

Ma trận
Các định nghĩa

Định nghĩa 1.1.1. Ma trận là một bảng số xếp theo dòng và theo cột. Ma
trận cấp m×n là một ma trận có m dòng và n cột.
*Khi cho một ma trận, ta viết bảng số bên trong dấu ngoặc tròn hoặc dấu
ngoặc vng.Vậy ma trận cấp m
×n có dạng
 tổng qt như sau
:
a11 a12 . . . a1n
a11 a12 . . . a1n




 a21 a22 . . . a2n 
 a21 a22 . . . a2n 




 . . . . . . . . . . . .  hoặc  . . . . . . . . . . . . 




am1 am2 . . . amn
am1 am2 . . . amn
* Ta sẽ dùng các chữ cái in hoa A,B,C,...để đặt tên cho các ma trận. Để
gán tên cho một ma trận là A ta viết :

6



a11

 a21
A=
. . .

am1


a1n

. . . a2n 

... ... 

. . . amn

a12
a22
...
am2

...

(1.1)

* Các số trong ma trận được gọi là các phần tử của nó. Phần tử nằm trên
dịng i và cột j được kí hiệu là aij . Vậy ma trận (1.1) được viết gọn là:
A = [aij ]m×n
"

#
5 3 −1
Ví dụ : A =
là một ma trận cấp 2×3. Các phần tử của A
0 4 11
là: a11 = 5, a12 = 3, a13 = −1, a21 = 0, a22 = 4, a23 = 11.
* Xét một ma trận cấp m×n bất kỳ:

a11 a12

 a21 a22
A=
. . . . . .

am1 am2


a1n

a2n 

... ... 

. . . amn

...
...

Ta có thể xem mỗi dịng của ma trận A như một vec-tơ n chiều và mỗi cột
của nó như một vec-tơ m chiều . Như vậy, mỗi ma trận m×n cho tương ứng
một hệ gồm m vec-tơ dòng n chiều và một hệ gồm n vec-tơ cột m chiều. Ta
ký hiệu Adi để chỉ dòng thứ i của ma trận A và ký hiệu Acj để chỉ cột thứ j
của nó.
Định nghĩa 1.1.2. Hai ma trận bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng cấp
và các phần tử ở các vị trí tương ứng của chúng đơi một bằng nhau.
* Hai ma trận A và B bằng nhau
 ta viết A = B.
a = b
ij
ij
Ta có : [aij ]m×n = [bij ]m×n ⇔
i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.
Định nghĩa 1.1.3. Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0.

7


* Ma trận khơng cấp m×n kí hiệu là Om×n hoặc O


0 0 ... 0


 0


0
.
.
.
0

O = Om×n = 
. . . . . . . . . . . .  .


0 0 ... 0
Định nghĩa 1.1.4. Ma trận đối của một ma trận A là ma trận có cùng cấp
và mỗi phần tử của nó là số đối của phần tử tương ứng của ma trận A.
"
#
5 3 −1
Ví dụ : Ma trận đối của ma trận A =
là ma trận :
0 4 11
"

#
−5 −3 1
−A =
.
0 −4 −11
Định nghĩa 1.1.5. Ma trận vng là ma trận có số dịng và số cột bằng
nhau.
* Một ma trận vng có số dịng và số cột cùng bằng n được gọi là ma
trận vuông cấp n. Ma trận vuông cấp n


a11 a12

 a21 a22
A=
. . . . . .

an1 an2

có dạng tổng quát :

. . . a1n

. . . a2n 

... ... 

. . . ann

* Trong ma trận vuông A, đường chéo thứ nhất nối góc trên bên trái với góc
dưới bên phải được gọi là đường chéo chính; đường chéo còn lại được gọi là
đường chéo phụ. Vậy,
Phần tử aij thuộc đường chéo chính ⇔ i = j ;
Phần tử aij nằm phía trên đường chéo chính ⇔ i < j ;
Phần tử aij nằm phía dưới đường chéo chính ⇔ i > j .
Định nghĩa 1.1.6. Ma trận tam giác là ma trận vuông và các phần tử nằm
về một phía của đường chéo chính bằng 0.

8

* Có hai loại ma trận tam giác

a11

 0
Ma trận tam giác trên A = 
. . .

0

a11

 a21
Ma trận tam giác dưới A = 
. . .

an1

a12
a22
...
0

. . . a1n




. . . a2n 

 (aij =0 khi i>j)
... ... 

. . . ann

0 ... 0

a22 . . . 0 
 (aij =0 khi i... ... ... 

an2 . . . ann

Định nghĩa 1.1.7. Ma trận đường chéo là ma trận vng và tất cả các phần
tử nằm ngồi đường chéo chính đều bằng 0.
* Ma trận đường chéo
 cấp n
a11 0

 0 a22

. . . . . .

0 0

có dạng 
:
... 0

... 0 

 (aij = 0 khi i ̸= j )
... ... 

. . . ann

Định nghĩa 1.1.8. Ma trận đơn vị là ma trận đường chéo và tất cả các
phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng 1.
Ma trận đơn vị được
 kí
1

 0

. . .

0

hiệu là E và có
 dạng :
0 ... 0


0 i ̸= j
1 ... 0 
 (aij =
)
1 i = j
... ... ...

0 ... 1

Định nghĩa 1.1.9. Ma trận dòng là ma trận chỉ có một dịng duy nhất (ma
trận cấp 1 × n). Ma trận cột là ma trận chỉ có một cột duy nhất (ma trận
cấp m × 1).
* Ta có thể xem các ma trận dòng và ma trận cột như các vec-tơ. Tuy
nhiên, dưới góc độ ma trận thì hai ma trận này là khác nhau, còn dưới danh
nghĩa vec-tơ thì đó hai dạng viết của cùng một vec-tơ.

9


1.1.2

Các phép toán trên ma trận

a. Phép cộng ma trận
Cho hai ma trận cùng cấp m × n:
A = [aij ]m×n , B = [bij ]m×n
Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m × n, ký hiệu A + B và
được xác định như sau:
A + B = [aij + bij ]m×n .

Chú ý: Phép cộng ma trận chỉ áp dụng cho các ma trận cùng cấp.
Ví dụ: Cho hai ma trận :
"

#

"

#

3 4 −2
9 −8 0
;B =
.
5 −6 1
12 1 4
"
#
12 −4 −2
Tổng của hai ma trận là A + B =
.
17 −5 5
b. Phép nhân ma trận với số
Cho số α và ma trận A cấp m × n:
A=

A = [aij ]m×n .
Tích của ma trận A và số α là một ma trận cấp m × n, ký hiệu là αA và
được xác định như sau:

αA = [αaij ]m×n .
Ví dụ: Cho ma trận:
"

#
3 4 −2
.
A=

5 −6 1

10


"

#
15 20 −10
Tích của ma trận A và số 5 là 5A =
.
25 −30 5
c. Phép trừ ma trận
Cho hai ma trận cùng cấp m × n:
A = [aij ]m×n , B = [bij ]m×n
Hiệu của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m × n, ký hiệu A − B và
được xác định như sau:
A − B = A + (−B) = [aij − bij ]m×n .

Chú ý: Phép trừ ma trận chỉ áp dụng cho các ma trận cùng cấp.
Ví dụ: Cho hai ma trận :
"

#

3 4 −2
;B =
5 −6 1
"
−6 12

Hiệu của hai ma trận là A − B =
−7 −7
d. Phép nhân hai ma trận :
Cho hai ma trận :
A=

"

#

9 −8 0
.
12 1 4
#
−2
.
−3

A = [aij ]m×n , B = [bij ]n×p .

trong đó số cột của ma trận A bằng số dịng của ma trận B bằng n.
Tích của hai ma trận A và B là một ma trận cấp m × p, ký hiệu là AB và
được xác định như sau:
AB = [cij ]m×p ,
trong đó cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + ain bnj ; i = ∀1, m, j = ∀1, p

11


Ví dụ: Cho hai ma trận :



#
−1 −4
3 1 2


A=
;B =  0 1 .
5 −2 1
−3 0
"
#
−9 −11
Tích của hai ma trận là A.B =
.
−8 −22
Các tính chất
"

1. Giao hoán: A +B = B +A;
2. Kết hợp: (A +B) +C = A +(B +C);
3. Cộng với ma trận không: A + O = O +A;
4. A + (-A) = O;
5. 1A = A;
6. α(A ± B) = αA ± αB ;
7. (α ± β)A = αA ± βA;
8. (αβ)A = α(βA);
9. (A - B) +B = A;
10. (AB)C = A(BC);

11. A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA;
12. α(AB) = (αA)B = A(αB);
13. AE = EA = A;

1.1.3

Các phép biến đổi trên ma trận

a. Phép biến đổi sơ cấp:
1. Đổi chổ hai dòng (cột);
2. Nhân một dòng (cột) với một số khác 0;
3. Cộng vào một dịng (cột) tích của một dịng (cột) khác với một số k tùy
ý.
b. Phép chuyển vị ma trận:

12






a11 a12 . . . a1n


 a21 a22 . . . a2n 

Cho ma trận cấp m×n A = 
 . . . . . . . . . . . . . Nếu xoay các dòng của



am1 am2 . . . amn
A thành các cột (các cột thành
 các dòng) với thứ
 tự tương ứng ta được một
a11 a21 . . . am1




a
a
.
.
.
a
12
22
m2

ma trận cấp n×m là At = 
. . . . . . . . . . . . .


a1n a2n . . . amn
Phép biến đổi ma trận A thành At được gọi là phép chuyển vị ma trận. Ma
trận At được gọi là ma trận chuyển vị của ma trận A.


"

#
1 −5
1 3 0


Ví dụ: Ma trận chuyển vị của ma trận A =
là At = 3 1 .
−5 1 1
0 1

1.2
1.2.1

Định thức
Mở đầu

* Một hoán vị của tập hợp gồm n phần tử là một cách sắp xếp n phần tử
của tập hợp đó theo một thứ tự nhất định. Số hoán vị của một tập hợp gồm
n phần tử là n! = n.(n − 1).....2.1.
* Xét tập hợp gồm n số tự nhiên đầu 1, 2, 3, ..., n. Mỗi hoán vị của tập hợp
n số tự nhiên đầu này được biểu diễn dưới dạng:

α1 , α2 , ..., αn .
với αi , i = 1, n là số tự nhiên đứng ở vị trí thứ i trong hốn vị đó (αi ̸= αj
khi i ̸= j ). Trong hoán vị α1 , α2 , ..., αn , nếu i < j mà αi > αj thì ta nói hai
số αi , αj tạo thành một nghịch thế.
Tổng số nghịch thế có trong hốn vị là số chẵn thì hốn vị đó được gọi là
hốn vị chẵn.
Tổng số nghịch thế có trong hốn vị là số lẻ thì hốn vị đó được gọi là hoán

13


vị lẻ.
Để xác định số nghịch thế của một hoán vị, ta tính từ trái sang phải xem
mỗi số có bao nhiêu số nhỏ hơn đứng sau nó.
* Trong một hốn vị, ta chỉ đổi chỗ hai số thì hốn vị thay đổi tính chẵn lẻ,
tức là hốn vị chẵn biến thành hoán vị lẻ hoặc ngược lại.
* Nếu tập hợp n số tự nhiên đầu với n ≥ 2 thì trong tổng số n! hốn vị của
tập hợp đó có một
vị chẵn, một nửa là hốn vị lẻ.
" nửa là hoán #
1 2 ... n
* Xét ma trận
.
α1 α2 . . . αn
Nếu đổi chổ các dòng của ma trận sao cho đưa ma trận về dạng:
"

#

β1 β2 . . . βn
.
1 2 ... n

thì hai hốn vị α1 , α2 , ..., αn và β1 , β2 , ..., βn có cùng tính chẵn lẻ.
* Xét ma trận vuông cấp n:


a11


 a21
A=
. . .

an1

a12
a22
...
an2

. . . a1n




. . . a2n 
.
... ... 

. . . ann

Chọn một bộ phận gồm n phần tử của ma trận A mà các phần tử đó thuộc
các dịng khác nhau và các cột khác nhau.
- Để chọn, trước tiên ta lấy một hoán vị bất kỳ của n số tự nhiên đầu, gọi là
hoán vị chỉ số cột: α1 , α2 , ..., αn .
- Sau đó ta chọn n phần tử của ma trận A theo quy tắc " trên dòng i lấy
phần tử ở cột αi ,i = 1, n ".
Như vậy ta sẽ có lần lượt các phần tử α1α1 , α2α2 , ..., αnαn tạo thành bộ gồm

n phần tử của ma trận A như mong muốn.
Vậy, ta có n! cách chọn các bộ gồm n phần tử của ma trận A mà các phần
tử đó thuộc các dịng khác nhau và các cột khác nhau.
* Mỗi hốn vị α1 , α2 , ..., αn cho ta một bộ gồm n phần tử của ma trận A là

α1α1 , α2α2 , ..., αnαn . Gọi h là tổng số nghịch thế của hoán vị α1 , α2 , ..., αn .
* Xét tích:
14


T = (−1)h α1α1 .α2α2 .....αnαn
Khi đó, có n! tích T như trên với một ma trận vuông A cấp n.

1.2.2

Định nghĩa

Định thức của một ma trận vuông A cấp n là tổng của n! tích T.
Định thức cấp n là định thức của một ma trận vuông cấp n.
* Mỗi tích T được gọi là một thành phần của định thức.
* Định thức của ma trận A được ký hiệu là |A| hoặc det(A).
Nếu không gọi tên ma trận thì định thức cấp n được viết là:



a

11

a21



. . .





am1

a12
a22
...
am2

...
...
...
...