Ứng dụng phương trình vi phân trong một vài lĩnh vực khoa học và kỹ thuật

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

TRẦN NGỌC TÂM

ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN TRONG MỘT VÀI LĨNH
VỰC KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Đà Nẵng - Năm 2023


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————–

TRẦN NGỌC TÂM

ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN TRONG MỘT VÀI LĨNH
VỰC KHOA HỌC VÀ KỸ THUẬT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
TS. Lê Hải Trung

Đà Nẵng - Năm 2023

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên của đề tài tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo
hướng dẫn TS. Lê Hải Trung đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt
quá trình thực hiện để tác giả có thể hồn thành được khóa luận này.
Tác giả

Trần Ngọc Tâm


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN. . . . . .4
1.1. Phương trình vi phân với biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Phương trình vi phân thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5. Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6. Phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . 11
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1. Các mô hình tăng trưởng dân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1. Quy luật tăng trưởng tự nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2. Mơ hình hàm Logistic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Mô hình lây lan dịch bệnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3. Mơ hình phương trình chuyển động của xe máy . . . . . . . . . . . . . 24
2.4. Mơ hình mạch RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5. Mơ hình thú săn mồi (Predator - Preymodel) . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6. Mơ hình dao động cơ học Mass-spring-damper . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7. Mơ hình kinh tế Solow-Swan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


1

KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35


2

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Như đã biết, phương trình vi phân thường được sử dụng để mơ hình
hố các vấn đề thường gặp trong tự nhiên chẳng hạn như mơ hình tăng
trưởng dân số, mơ hình chuyển động của một vật hay là mơ hình của sự
lây lan dịch bệnh... việc tìm hiểu các ứng dụng của phương trình vi phân
trong thực tế cho ta một góc nhìn mới về Tốn học, bên cạnh đó cịn cung
cấp cho ta nền tảng kiến thức để giải quyết các vấn đề thực tế trong cuộc
sống.
Chính vì lẽ đó việc tìm hiểu một vài ứng dụng của phương trình vi phân
là điều cần thiết và đó cũng là lý do tơi chọn đề tài này.
2.Mục đích nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu một số phương trình vi phân cấp
một, cấp hai và một số ứng dụng của nó. Để đạt được mục tiêu nêu trên,
đề tài sẽ đi nghiên cứu một số nội dung sau và nội dung của đề tài sẽ được
chia thành hai chương:
- Chương 1. Một số phương trình vi phân
- Chương 2. Một số ứng dụng của phương trình vi phân

3.Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là "một số phương trình vi phân" và "ứng dụng"
thường gặp trong thực tế.
4.Phương pháp nghiên cứu
Thu thập các tài liệu, các sách vở có liên quan đến đề tài khố luận,
tìm hiểu chúng và trình bày các kết quả về đề tài theo sự hiểu biết của
mình một cách ngắn gọn, hệ thống.


3

Trong khố luận có sử dụng một số kiến thức liên quan đến lĩnh vực:
Giải tích thực một biến, Giải tích thực nhiều biến, Đại số tuyến tính, Lý
thuyết phương trình vi phân...
5.Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng. Giúp người đọc vận
dụng tốt thêm về phương trình và hệ phương trình vi phân. Có thể sử
dụng khố luận để làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành Tốn và
những đối tượng khơng chun tốn cần sử dụng các kết quả của toán để
ứng dụng cho các bài tốn thực tiễn của mình.
6.Cấu trúc bài khố luận tốt nghiệp
Trong khoá luận này chia làm hai chương:
Chương 1. Một số phương trình vi phân. Trong chương này tác giả
đi trình bày một số phương trình vi phân thường gặp phải trong các mơ
hình và cách giải các phương trình vi phân đó.
Chương 2. Một số ứng dụng của phương trình vi phân. Trong chương
này tác giả trình bày một số mơ hình phương trình vi phân điển hình trong
thực tế, làm rõ ý nghĩa của các phương trình vi phân trong chương 1.

4

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Trong chương này tác giả trình bày một số loại phương trình vi phân
thường được dùng đến trong đề tài.

1.1. Phương trình vi phân với biến số phân ly
Định nghĩa 1.1.1. Phương trình vi phân cấp một dạng:

M (x)dx + N (y)dy = 0

(1.1)

được gọi là phương trình với biến số phân ly(hay cịn được gọi là phương
trình tách biến). Trong phương trình (1.1) các hàm số M (x), N (x) được
giả thiết là liên tục trong khoảng nào đó. Khi đó chỉ cần tích phân hai vế
phương trình trên thì ta thu được:
Z
Z
M (x)dx + N (y)dy = C.

(1.2)

Ví dụ 1.1.2. Giải phương trình:

xdx + ydy = 0
Tích phân hai vế của phương trình đã cho ta thu được:

1 2 1 2
x + y =C
2
2
Ví dụ 1.1.3. Giải phương trình:

y 3 y ′ = x(1 + x4 )
Ta viết lại phương trình dưới dạng tách biến:

(1.3)


5

y 3 dy − x(1 − x4 )dx = 0.
Tích phân hai vế ta thu được:

1 4 1 2 1 6
y − x − x = C là nghiệm tổng
4
2
6

quát của phương trình (1.3).

1.2. Phương trình vi phân thuần nhất
Định nghĩa 1.2.1. Hàm f (x) được gọi là thuần nhất bậc n, nếu với mọi
t > 0, ta có:

f (tx, ty) = tn f (x, y)
Định nghĩa 1.2.2. Phương trình vi phân y ′ = f (x, y) được gọi là thuần
nhất(hay còn gọi là đẳng cấp), nếu hàm số ở vế phải là thuần nhất bậc 0,
tức là:

f (tx, ty) = f (x, y)
Trong phương trình vi phân thuần nhất ta đặt y = x.u ở đây u = u(x).
Từ đây, ta có y ′ = u + xu′ hay:

dy
du
=u+x
dx
dx
Từ y = x.u suy ra u =

y
, do đó
x

f (x, y) = f (x, x.u) = f (1, u) = g(u)
và x đóng vai trị là t. Đến đây ta nhận được phương trình:

x+x

hay

du
= g(u)
dx

6

du
dx
=
g(u) − u
x
Tích phân hai vế phương trình cuối ta nhận được:
Z

x = C. exp

du
, C ̸= 0
g(u) − u

Ví dụ 1.2.3. Giải phương trình:

(x2 + y 2 )dx + xydy = 0
Ta viết lại phương trình đã cho dưới dạng:

dy
x2 + y 2
x y
=−
= −
dx
xy

y x
và dễ thấy vế phải của phương trình nhận được là thuần nhất, do đó đặt

y = ux ta nhận được phương trình:
udu
dx
=− 2
x
2u + 1
Tích phân cả hai vế phương trình trên, ta được:

1
x
ln | | = − ln(2u2 + 1)
C
4
Thay u =

y
nhận được nghiệm của phương trình đầu là:
x
C 4 x2
x = 2
, C ̸= 0
x + 2y 2
4

1.3. Phương trình vi phân tồn phần
Định nghĩa 1.3.1. Phương trình vi phân dạng:

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0

(1.4)


7

được gọi là phương trình vi phân tồn phần nếu như tồn tại hàm U (x, y)
thoả mãn:

dU (x, y) = P (x, y)dx + Q(x, y)dy
Khi đó tích phân tổng quát của phương trình (1.4) cho bởi:

U (x, y) = C
Định lí 1.3.2. Để cho phương trình (1.4) là tồn phần thì điều kiện cần
và đủ là:

φQ
φP
=
φy
φx
Ví dụ 1.3.3. Giải phương trình vi phân:

(3x2 − y 2 )dx + (3y 2 − 2xy)dy = 0
Ta có:

φQ
φP
= −2y =

, do đó phương trình đã cho là tồn phần. Do
φy
φx
φU
= 3x2 − y 2 ,
φx

nên

U = x3 − xy 2 + C(y)
Đạo hàm biểu thức nhận được theo y cho ta:

Uy′ = −2xy + C ′ (y) = 3y 2 − 2xy


8
′

Từ đây nhận được Cy = 3y 2 , do đó C(y) = y 3 . Như vậy nghiệm của
phương trình đã cho là: x3 − xy 2 + y 3 = C .
Ví dụ 1.3.4. Giải phương trình vi phân:

(x3 + xy 2 )dx + (x2 y + y 3 )dy = 0
Ta có Ux′ (x, y) = x3 + xy 2 , Uy′ (x, y) = x2 y + y 3 . Tích phân cả hai vế
của biểu thức thứ nhất ta nhận được được:

1
1
U (x, y) = x4 + x2 y 2 + C(y)
4

2
Đạo hàm cả hai vế của biểu thức nhận được theo y cho ta:

Uy′ (x, y) = x2 y + C ′ (y) = x2 y + y 3
,

1
từ đây ta nhận được C(y) = y 4 . Do đó nghiệm của phương trình đã
4
1 4 1 2 2 1 4
cho là: x + x y + y = C1 , hay (x2 + y 2 )2 = C .
4
2
4
1.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một
Định nghĩa 1.4.1. Phương trình dạng

dy
+ P (x)y = Q(x),
dx

(1.5)

được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp một.
Trong phương trình (1.5) ta ln mặc định P (x) và Q(x) là xác định
trên khoảng (a, b) nào đó. Ta tiến hành tìm nghiệm của phương trình (1.5)
dưới dạng:

y = u(x)v(x)

(1.6)


9

ở đây, u, v là các hàm chưa biết và phụ thuộc vào x. Đạo hàm cả hai vế
của y = u(x)v(x) ta nhận được:

y ′ = u′ v + uv ′
và đặt biểu thức vừa nhận được vào phương trình (1.5) ta nhận được:

uv ′ + (u′ + P (x)u)v = Q(x).

(1.7)

Trong (1.7) ta chọn u sao cho u′ + P (x)u = 0, từ đây ta nhận được

u = e−

R

P (x)dx

Thay biểu thức nhận được vào (1.7) ta nhận được:
R
′ − P (x)dx

ve

= Q(x)

Giải phương trình cuối ta nhận được:
Z
R
v = Q(x)e P (x)dx dx + C
Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.5) tìm được dưới dạng:

y = uv = e

R
− P (x)dx

Z
R
[ Q(x)e P (x)dx dx + C]

Ví dụ 1.4.2. Tìm nghiệm của phương trình:

y ′ + 3xy = x
đi qua điểm (0, 1).
Ta có: P (x) = 3x, do đó

R

3x2
và như thế nghiệm tổng quát
P (x)dx =
2

của phương trình đã cho là:

−3x2 Z
3x2
−3x2
3x2
1
y = e 2 [ xe 2 dx + C] = e 2 [ e 2 + C]
3
−

Vì nghiệm của phương trình đi qua (0, 1) nên thay x = 0, y = 1 vào biểu


10

2
thức cuối ta được C = . Như vậy nghiệm cần tìm chính là:
3
3
3 2
− x2 1
x
2
y = e 2 [ e2 + ]
3
3
1.5. Phương trình Bernoulli
Định nghĩa 1.5.1. Phương trình dạng:

dy

+ P (x)y = y n Q(x),
dx

(1.8)

được gọi là phương trình Bernouli.
Để tìm nghiệm của (1.8) ta sẽ đưa nó về dạng (1.5). Hiển nhiên khi

n = 0 hoặc n = 1 thì (1.8) có dạng phương trình tuyến tính. Ta đi xét các
trường hợp cịn lại. Đặt y = uv , khi đó y ′ = u′ v + v ′ u và đặt biểu thức
nhận được vào (1.8):
uv ′ + (u′ + P (x)u)v = (uv)n Q(x)
Chọn u sao cho u′ + P (x)u = 0, từ đây nhận được u = e−

(1.9)
R

P (x)dx

biểu thức nhận được đối với u vào (1.9) ta nhận được:

v ′ e−

R

P (x)dx

= v n e−n

Nhân cả hai vế của biểu thức cuối với e

′

R

R

P (x)dx

P (x)dx

R
n (1−n) P (x)dx

v =v e

Q(x).

ta nhận được:

Q(x).

Từ đây ta có:
R
dv
= v n e(1−n) P (x)dx Q(x)
dx

hay:
R
dv

(1−n) P (X)dx
=
e
Q(x)dx.
vn
Tích phân cả hai vế hệ thức cuối:
Z
R
1 1−n
v
= e(1−n) P (x)dx Q(x)dx + C := ϕ(x, C).
1−n

. Đặt


11

Hệ thức cuối cùng cho phép ta xác định được v(x) và ta ký hiệu bằng
ϕ(x, C). Như vậy nghiệm tổng qt của phương trình Bernoulli xác định
bởi cơng thức:

y = e−

R

P (x)dx

ϕ(x, C).

Ví dụ 1.5.2. Tìm nghiệm của hệ phương trình:

dy
√
+ 2xy = 4x y
dx
R
1
2
Như vậy, ta có n = , P (x) = 2x, P (x)dx = x2 , u = e−x
2
1 Z
1
1
1 2
1 2
1−
(1− )x2
x
x
1
v 2 = e 2 4xdx.2v 2 = 4e 2 + C1 , v = (2e 2 + C)2 .
1
1−
2
Như vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

y = e−x

2

1 2
x
(2e 2 + C)2 .

1.6. Phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số hằng
Định nghĩa 1.6.1. Phương trình dạng:

y ′′ + py ′ + qy = f (x)

(1.10)

ở đây p, q là các hằng số, còn f (x) là một hàm đã biết (được mặc định là
xác định và liên tục trên một khoảng nào đó), được gọi là phương trình vi
phân bậc hai hệ số hằng.
Nếu như trong (1.10) f (x) ̸= 0 thì phương trình đã cho được gọi là
phương trình khơng thuần nhất, trong trường hợp ngược lại ta nói phương
trình là thuần nhất. Trước tiên ta đi xem xét phương trình vi phân bậc
hai thuần nhất với hệ số hằng:

y ′′ + py ′ + qy = 0

(1.11)


12

ta tiến hành đi tìm nghiệm của (1.11) dưới dạng

y = erx

ở đây r là một số thực chưa biết. Từ đây ta nhận được y ′ = rerx , y ′′ =

r2 erx .
Đặt các biểu thức nhận được đối với y, y ′ , y ′′ vào trong phương trình (1.11)
ta nhận được:
erx (r2 + pr + q) = 0
Vì erx ln khác 0 nên phương trình trên tương đương với:

r2 + pr + q = 0

(1.12)

Định nghĩa 1.6.2. Phương trình bậc hai (1.12) tương đương với biến r
được gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.11). Đa thức bậc
hai F (r) = r2 + pr + q được gọi là đa thức đặc trung của phương trình
(1.11).
Giải phương trình (1.12) ta nhận được các nghiệm r1 , r2 . Có thể xuất
hiện 3 trường hợp sau đây:
1. r1 ̸= r2 ∈ R.
2. r1 = r2 = r ∈ R
3. r1 , r2 ∈ C
Giả sử ta có trường hợp 1 . Như vậy r1 , r2 là nghiệm của phương trình
(1.12), r1 ̸= r2 ∈ R. Khi đó các hàm y1 = er1 x , y2 = er2 x sẽ là các nghiệm
riêng của phương trình thuần nhất (1.11). Chúng độc lập tuyến tính vì
y1
= e(r1 −r2 )x ̸= const. Khi đó hàm:
y2

y = C1 er1 x + C2 er2 x
Với C1 , C2 là các hằng số chính là nghiệm của (1.11).

13

Ví dụ 1.6.3. Tìm nghiệm của phương trình:

y ′′ − 5y ′ + 6y = 0
Phương trình đặc trưng r2 − 5r + 6 = 0 của phương trình đã cho có
nghiệm r1 = 2, r2 = 3. Do đó nghiệm của phương trình đã cho sẽ tìm được
dưới dạng

y = C1 e2x + C2 e3x
Giả sử bây giờ ta có trường hợp 2 r1 , r2 là nghiệm của phương trình
đặc trưng (1.12) và r1 = r2 = r. Khi đó erx sẽ là một nghiệm riêng của
(1.11), ta đi tìm nghiệm riêng thứ hai độc lập tuyến tính với nghiệm thứ
nhất (1.11) dưới dạng y2 = u(x)erx , trong đó u(x) là một hàm chưa biết
phụ thuộc vào x. Ta có:

y2′ = rerx u(x) + erx u′ (x)

y2′′ = r2 erx u(x) + 2rerx u′ (x) + erx u′′ (x).
Đặt các biểu thức nhận được của y2 , y2′ , y2′′ vào (1.11):

erx [u′′ (x) + (2r + p)u′ (x) + (r2 + pr + q)u(x)] = 0
Do erx ̸= 0 còn r là nghiệm kép của phương trình đặc trưng (1.12) nên
phương trình cuối cịn lại u′′ (x) = 0. Hiển nhiên u = x là nghiệm của
phương trình này, do đó hàm y2 = xerx sẽ là nghiệm riêng thứ hai của
phương tình (1.11). Nó độc lập tuyến tính với y1 bởi:

14

y2
xerx
= rx = x ̸= const.
y1
e
Từ đây ta nhận được nghiệm tổng quát của phương trình (1.11) là:

y = C1 y1 + C2 y2 = erx (C1 + C2 x)
Ví dụ 1.6.4. Tìm nghiệm của phương trình:

y ′′ − 8y ′ + 16y = 0
Phương trình đặc trưng: r2 − 8r + 16 = 0, có nghiệm kép r1 = r2 = 4
Do đó nghiệm tổng qt của phương trình đã cho được tìm dưới dạng:

y = e4x (C1 + C2 x).
Bây giờ ta đi nghiên cứu trường hợp thứ 3 , khi mà các nghiệm

r1 = a + bi, r2 = a − bi, b ̸= 0 của phương trình (1.12) có dạng số phức.
Khơng khó để chứng minh hàm y = erx = eax (cos bx + i sin bx) là nghiệm
của phương trình (1.11). Khi đó các hàm u = eax cos bx và v = erx sin bx
sẽ là các nghiệm thực của (1.11). Chúng độc lập tuyến tính vì
u
= cot bx ̸= const
v
do đó:

y = eax (C1 cos bx + C2 sin bx)
là nghiệm tổng qt của phương trình (1.11).

Ví dụ 1.6.5. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình:

y ′′ + 2y ′ + 3y = 0
√
Phương trình đặc trưng r2 + 2r + 3 = 0 có nghiệm r1 = −1 + i 2.
√
r2 = −1 − i 2, do đó nghiệm tổng quát tìm được:


15

−x

√

√

y = e (C1 cos 2x + C2 sin 2x)


16

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN

Chương này dành cho việc đưa ra các mơ hình thực tế có trong các lĩnh
vực như: dân số, y tế, kinh tế, vật lý...

2.1. Các mơ hình tăng trưởng dân số
2.1.1. Quy luật tăng trưởng tự nhiên
Bài tốn: Mơ hình mà chúng ta xem xét ở mục này dựa trên giả định
dân số tăng trưởng với một tốc độ tỉ lệ thuận với quy mô dân số:

dP
= kP
dt

(2.1)

Ta xem xét, đây có phải là một giả định hợp lí hay khơng?
Giả sử rằng chúng ta có một quần thể (lấy ví dụ về quần thể vi khuẩn)
có quy mơ P = 1000 và tại một thời điểm nhất định, quần thể này phát
triển với tốc độ P ′ = 300 vi khuẩn/giờ. Bây giờ giả sử ta lấy thêm 1000
vi khuẩn cùng loại và đặt chúng vào quần thể ban đầu. Như vậy cũng như
lúc trước, mỗi một nửa quần thể (1000 vi khuẩn) sẽ tăng trưởng với tốc
độ 300 vi khuẩn/giờ. Chúng ta đoán trước rằng tổng số lượng vi khuẩn

2000 con sẽ gia tăng với tốc độ ban đầu là 600 vi khuẩn/giờ (nếu như có
diện tích khơng gian và điều kiện dinh dưỡng cho phép). Vậy, nếu chúng
ta tăng quy mơ lên gấp đơi, thì tốc độ tăng trưởng cũng tăng gấp đôi.
Dường như tốc độ tăng trưởng tỉ lệ với quy mô quần thể là điều hợp lý.
Tổng quát, nếu P (t) là dân số tại thời điểm t, và nếu tốc độ thay đổi


17

của P theo t tỉ lệ với quy mô P (t) theo theo thời gian, thì

dP
= kP,
dt

(2.2)

trong đó k tuỳ ý với k > 0 hoặc k < 0.
Phương trình (2.1) đôi khi được gọi là quy luật tăng trưởng tự nhiên.
Nếu k dương thì dân số tăng, nếu k âm thì dân số giảm.
Bởi vì phương trình (2.1) là một phương trình vi phân dạng biến số
phân ly nên ta có thể giải nó bằng phương pháp ở mục (1.1)
Z
Z
dP
= kdt
P

⇔ ln |P | = kt + C
⇔ |P | = ekt+C = eC ekt
⇔ P = Aekt
trong đó A(= ±eC hoặc 0) là một số tuỳ ý. Để hiểu tầm quan trọng của
hằng số A chúng ta quan sát thấy

P (0) = A.ek.0 = A
Vậy A là giá trị ban đầu của hàm số.
Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu

dP
= kP (t)
dt

là

P (t) = P0 ekt
Phương trình (2.2) có thể viết được là

1 dP
=k
P dt

(2.3)


18

có nghĩa là tốc độ tăng trưởng tương đối, nếu k dương thì dân số tăng, nếu
k âm thì dân số giảm.
Chúng ta có thể giải thích sự di cư (hoặc "rời bỏ") khỏi một quần thể
bằng cách biến đổi (2.2). Nếu tỷ lệ di cư là một hằng số m, thì tốc độ thay
đổi của quần thể được mơ phỏng bằng phương trình vi phân sau:

dP
= kP − m
dt

(2.4)

2.1.2. Mơ hình hàm Logistic
Như chúng ta đã thảo luận ở "Mơ hình quy luật tăng trưởng tự nhiên",
dân số thường tăng theo hàm mũ trong các giai đoạn đầu, nhưng sau đó
sẽ ổn định và đạt đến khả năng chịu tải do sự giới hạn của tài nguyên.

Nếu P (t) là quy mô của một dân số tại thời điểm t, chúng ta giả sử rằng

dP
≈ kP,
dt
nếu P nhỏ.
Mơ hình này nói rằng tốc độ tăng trưởng ban đầu gần như tỷ lệ với
quy mơ dân số. Hay nói cách khác, tốc độ tăng trưởng tương đối hầu như
không đổi khi dân số nhỏ. Tuy nhiên, chúng ta cũng muốn tìm một mơ
hình phản ánh tốc độ tăng trưởng tương đối giảm khi dân số P tăng và
bắt đầu âm khi P vượt qua khả năng chịu tải M , là mức dân số tối đa mà
mơi trường có thể chịu đựng được trong thời gian dài. Biểu thức đơn giản
nhất biểu diễn tốc độ tăng trưởng tương đối phù hợp với các giả định này
là:
1 dP
P
= k(1 − )
P dt
M
Nhân biểu thức với P , chúng ta có được một mơ hình về sự tăng trưởng
dân số, được biết với tên gọi là phương trình vi phân Logistic.

dP
P
= kP (1 − )
dt
M

(2.5)

19

Lưu ý: Từ (2.5): nếu P nhỏ hơn M , thì P/M gần bằng 0, do đó

dP
→ 0.
dt

Từ (2.5), chúng ta có thể suy luận trực tiếp xem các nghiệm phương
trình tăng hay giảm. Nếu dân số P nằm giữa 0 và M thì vế phải của
dP
phương trình dương,
> 0 và dân số tăng. Nhưng nếu dân số vượt quá
dt
P
dP
khả năng chịu tải (P > M ) thì 1 −
< 0 vậy
< 0 và dân số giảm.
M
dt
Chúng ta sẽ phân tích chi tiết hơn về phương trình vi phân Logistic
bằng cách quan sát trường hướng.
Ví dụ 2.1.1. Vẽ một trường hướng cho phương trình Logistic với k = 0.08
và khả năng chịu tải M = 1000. Bạn có thể suy luận được gì từ các nghiệm
phương trình?
Giải: Trong trường hợp này, phương trình Logistic là:

P

dP
= 0.08P (1 −
).
dt
1000
Chúng ta chỉ cần xét góc phần tư thứ nhất của trường hướng bởi vì ba
góc cịn lại biểu thị dân số âm, vì vậy chúng khơng có ý nghĩa gì, và chúng
ta chỉ xét bài toán này trong trường hợp từ t = 0 trở đi.

dP
chỉ phụ thuộc vào
dt
P chứ không phụ thuộc t), do đó hệ số góc ở bất kỳ đường nằm ngang nào
cũng như nhau. Như dự đoán, các hệ số góc dương khi 0 < P < 1000 và
âm khi P > 1000.
Phương trình Logistic là phương trình độc lập (

Các hệ số góc nhỏ dần khi P gần bằng 0 hoặc 1000 (khả năng chịu
tải). Lưu ý, các nghiệm di chuyển xa nghiệm cân bằng P = 0 và hướng về
nghiệm cân bằng P = 1000.
Và chúng ta sử dụng trường hướng để vẽ các đường cong nghiệm với
dân số ban đầu lần lượt là P (0) = 100, P (0) = 400 và P (0) = 1300. Cần
chú ý rằng những đường cong nghiệm xuất phát từ dưới P = 1000 đều
tăng, còn những đường cong nghiệm xuất phát trên P = 1000 đều giảm.


20

Hệ số góc lớn nhất khi P ≈ 500, vì vậy các đường cong nghiệm xuất phát
dưới P = 1000 đều có các điểm uốn khi P ≈ 500. Thực tế chúng ta có thể

chứng minh rằng tất cả các đường cong nghiệm xuất phát dưới P = 500
đều có một điểm uốn khi P chính xác bằng 500.
Phương trình Logistic (2.5) là một phương trình biến số phân ly nên ta
có thể sử dụng phương pháp nguyên hàm hai vế

P
dP
= kP (1 − ),
dt
M
ta có

Z

dP

Z

= kdt
P
P (1 − )
M
Z
Z
1
1
⇔ ( +
)dP = kdt
P
M −P

⇔ ln |P | − ln |M − P | = kt + C
M −P
⇔ ln |
| = −kt − C
P
M −P
| = e−kt−C = e−c e−kt
⇔|
P
M −P
⇔
= A.e−kt
P
Trong đó A = ±e−C . Giải phương trình (2.7) tìm P , ta có:

(2.6)

(2.7)

M
P
1
− 1 = Ae−kt ⇒
=
,
P
M
1 + Ae−kt
vậy

P =

M
.
1 + Ae−kt

Chúng ta tìm giá trị của A bằng cách cho t = 0 trong phương trình
(2.7). Nếu t = 0 thì P = P0 (dân số ban đầu), do đó:

M − P0
= Ae0 = A.
P0


21

Như vậy nghiệm của phương trình Logistic là:

P (t) =
trong đó A =

M
,
1 + Ae−kt

(2.8)

M − P0
P0

Sử dụng biểu thức P (t) ở phương trình (2.8), ta thấy

lim P (t) = M

t→∞

là đúng.
Ví dụ 2.1.2. Viết nghiệm của bài tốn giá trị ban đầu

P
dP
= 0.08P (1 −
)P (0) = 100
dt
1000
và sử dụng nó để tìm quy mơ dân số P (40) và P (80). Khi nào dân số đạt
mức 900 ?
Giải
Phương trình vi phân là một phương trình Logistic với k = 0.08, khả
năng chịu tải M = 1000, và dân số ban đầu là P0 = 100. Vậy dân số tại
thời điểm t là

P (t) =
trong đó A =

1000
1 + Ae−0.08t

1000 − 100
=9

100

Do đó:

P (t) =

1000
1 + 9e−0.08t

Vậy quy mô dân số khi t = 40 và t = 80 là

1000
≈ 731.6
1 + 9.e−3.2
1000
P (80) =
≈ 985.3
1 + 9.e−6.4
P (40) =