56 hsg9 thừa thiên huế

Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

Học sinh giỏi
Câu 1.

99

Tỉnh Thừa Thiên Huế

(3,0 điểm)

3x  
x2  x
1 

A  1  2
:


  3
2
x 1   x  x  x  1 x  1 

Cho biểu thức:
với x 1

a) Rút gọn biểu thức A .
b)Tính tất cả các số nguyên x để A  3 có giá trị là số nguyên tố.
2
Câu 2. (3,0 điểm) Cho phương trình x  mx  2 0(*)
a) Chứng minh phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Gọi hai nghiệm
đó là x1 , x2 . Tìm giá trị của m để ( x1  2)( x2  2) 6.
4
4
b) Đặt B x1  x2 , chứng minh khi m là số ngun thì B có giá trị ngun và B + 1 chia hết cho 3.

Câu 3.
a)

(4,0 điểm)

Giải phương trình:

3 x  8  3 5 x  6 2  2 x  1

 x 2  2 x 2 y 2  y
 2
2
b) Giải hệ phương trình: 3x  4 xy  3 y 2
Câu 4. (4,0 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn phương trình:

 xy  1

2

 x 2  4 y 2  24

b)Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a  b  ab 3 . Chứng minh :
Câu 5.

a a
b b

1
a  3b
b  3a

(6,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC ( AB  AC ) nội tiếp đường trong tâm O, M là trung điểm BC . Các tiếp tuyến
của đường trong (O) tại B, C cắt nhau tại K , AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P .
a)Chứng minh: KP.KA KM .KO .
b) Chứng minh: PKM đồng dạng OAM .


c) Chứng minh: BAK MAC
d) Gọi BE , CF là các đường cao của tam giác ABC , H là giao điểm của AK với BC, G là giao điểm của
AM và EF. Chứng minh GH vng góc với BC.
---Hết---

CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

(3,0 điểm)

3x  
x2  x
1 

A  1  2
:


  3
2
x 1   x  x  x  1 x  1 

Cho biểu thức:
với x 1

a) Rút gọn biểu thức A .
b)Tính tất cả các số nguyên x để A  3 có giá trị là số nguyên tố.
Giải:
a)Với x 1 ta có:
 x 2 1  3x  


x2  x
x 2 1
A 
:

 

2
2
2
 x  1   ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1) 
 x 2 1  3x  

x 1

 :

2
2
 x  1   ( x  1)( x  1) 
 x 2 1  3x 
1

: 2
2
 x 1  x 1
x 2 1  3x 2

.( x  1)

x2 1
x 2  3x 1
2
b)Ta có: A  3  x  3x  4
2
Ta thấy A  3 x  3 x  4 luôn là số chẵn với mọi x

Do đó để A  3 có giá trị là số ngun tố thì A  3 2
 x 2(tm)
 x 2  3x  4 2  x 2  3x  2 0  
 x 1(l )
Vậy x 2 thì A  3 có giá trị là số nguyên tố
2
Câu 2. (3,0 điểm) Cho phương trình x  mx  2 0(*)
a)Chứng minh phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m. Gọi hai nghiệm đó là
x1 , x2 . Tìm giá trị của m để ( x1  2)( x2  2) 6.
4
4
b)Đặt B x1  x2 , chứng minh khi m là số nguyên thì B có giá trị ngun và B + 1 chia hết cho 3.

Giải:
2
2
2
a) Ta có: Δ b  4ac m  4.1.( 2) m  8  0

Do đó phương trình ln có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 .

b
 x1  x2  m

a

 x x  c  2
1 2
a
Theo Viet ta có 
,
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

Ta có:
( x1  2)( x2  2) 6
 x1 x2  2( x1  x2 )  4 6
  2  2m  2 0
 m 2

Vậy m = 2
b)
B  x14  x2 4 ( x12  x2 2 ) 2  2 x12 x2 2
[( x1  x1 )2  2 x1 x1 ]2  2( x1 x2 ) 2
(m 2  4) 2  2( 2) 2
m 4  8m 2  16  8
m 4  8m 2  8

4
2
Khi m là số nguyên thì B m  8m  8 có giá trị nguyên

Ta có:
B  1 m 4  8m 2  9
m 4  m 2  9m 2  9
m 2 (m  1)(m  1)  9m 2  9
m.(m  1).m.(m  1)  9(m 2  1)
Vì m  1, m, m  1 là ba số nguyên liên tiếp nên ( m  1).m.(m 1) 3
Vậy B + 1 chia hết cho 3.
Câu 3. (4,0 điểm)
a)

Giải phương trình:

3 x  8  3 5 x  6 2  2 x  1

 x 2  2 x 2 y 2  y
 2
2
b) Giải hệ phương trình: 3x  4 xy  3 y 2
Giải:

a)ĐKXĐ:

x

8
3.

a  3x  8 0

b  5 x  6 0

2
a 3 x  8
  2
 a 2  b 2 8 x  14
b 5 x  6

Đặt

3 x  8  3 5 x  6 2  2 x  1

CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023



3 x  8  3 5 x  6 4 x  2

 2 3x  8  6 5 x  6 8 x  4

 2a  6b a 2  b 2  10
 2a  6b a 2  b2  10
 a 2  2a  1  b 2  6b  9 0
 (a  1) 2  (b  3) 2 0
a 1

b 3
 3 x  8 1


 5 x  6 3

3 x  8 1


5 x  6 9

 x 3
 x 3(TM)

 x 3

Suy ra:

 x 2  2 x 2 y 2  y (1)
 2
2
b) 3x  4 xy  3 y 2 (2)
Lấy (1) cộng (2) ta được:

4 x 2  4 xy  3 y 2  2 x 2 y 2  y  2
 4 x 2  4 xy  y 2  2 x  y  2 0
 (2 x  y ) 2  (2 x  y )  2 0
 2 x  y 1


 2 x  y  2

 y 2 x  1
 y 2 x  2


2
2
Thay y 2 x  1 vào (1) ta có: x  2 x 2(2 x  1)  2 x  1

 x 2  2 x 2(4 x 2  4 x  1)  2 x  1
 x 2  2 x 8 x 2  8 x  2  2 x  1
 7 x 2  8 x  1 0
 x 1  y 1

 x 1  y   5
7
7

Thay y 2 x  2 vào (1) ta có:
x 2  2 x 2(2 x  2) 2  2 x  2
 x 2  2 x 2(4 x 2  8 x  4)  2 x  2
 x 2  2 x 8 x 2  16 x  8  2 x  2
 7 x 2  16 x  10 0(VN )

CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

1 5
(1;1), ( ; )
7 7
Vậy hệ phương trình có nghiệm là :

Câu 4.

(4,0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( x; y ) thỏa mãn phương trình:

 xy  1

2

 x 2  4 y 2  24

b)Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a  b  ab 3 . Chứng minh :

a a
b b

1
a  3b
b  3a

Giải:

 xy  1

2

 x 2  4 y 2  24

a)
 x 2 y 2  2 xy  1  x 2  4 y 2  24
 x 2 y 2  2 xy  1  x 2  4 xy  4 y 2  24
 ( xy  1) 2  ( x  2 y ) 2 24
 ( xy  1  x  2 y )( xy  1  x  2 y ) 24

Do xy  1  x  2 y; xy  1  x  2 y đều lớn hơn 0 và cùng tính chẵn lẽ nên:
 xy  1  x  2 y 2


TH1:  xy  1  x  2 y 12

 2 x  4 y  10



 2 xy  2 14

 x 2 y  5

2 y (2 y  5)  16 0 (ko có cặp x, y nguyên dương)

 xy  1  x  2 y 12
 2 x  4 y 10
 x 2 y  5



 2 xy  2 14
2 y (2 y  5)  16 0 (ko có cặp x, y nguyên dương)
TH2:  xy  1  x  2 y 2
 xy  1  x  2 y 6


xy

1

x

2
y

4

TH3:

 2 x  4 y 2


2 xy  2 10

 xy  1  x  2 y 4


TH4:  xy  1  x  2 y 6

 2 x  4 y  2


2 xy  2 10

Vậy ( x; y ) (3; 2)
b)Ta có:
( a  b) 2
4
2
 (a  b)  4( a  b)  12 0

3 a  b  ab a  b 

 a  b 2

 a  b  6(l )
Ta có:

CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

 x 2 y  1
 x 3
 

2 y (2 y  1)  12 0  y 2
 x 2 y  1

2 y (2 y  1)  12 0 (ko có cặp x, y nguyên dương)


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

a a
b b

a  3b
b  3a
a2
b2


a 2  3ab
b2  3ab

( a  b) 2

a 2  3ab  b2  3ab
( a  b) 2

(1  1)(a 2  3ab  b 2  3ab)




( a  b) 2
2[(a  b) 2  4ab]
( a  b) 2
4(a  b) 2

( a  b) 2 a  b


1
2( a  b )
2
Câu 5.

(6,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC ( AB  AC ) nội tiếp đường trong tâm O, M là trung điểm BC . Các tiếp tuyến
của đường trong (O) tại B, C cắt nhau tại K , AK cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P .
a)Chứng minh: KP.KA KM .KO .
b) Chứng minh: PKM đồng dạng OAM .



c) Chứng minh: BAK MAC
d) Gọi BE , CF là các đường cao của tam giác ABC , H là giao điểm của AK với BC, G là giao điểm của
AM và EF. Chứng minh GH vng góc với BC.

CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

A
G E
O

F
B

H

M

C

P

Giải:

K

a)Ta có: O, M, K thẳng hàng và OK  BC
Xét tam giác OBK vng tại B có MB là đường cao nên:
BK 2 KM .KO (1)
Xét KBP và KAB có:

BKA
góc chung;


KBP
KAB
(góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BP)
Do đó KBP đồng dạng KAB



KB KP

 KB 2 KA.KP (2)
KA KB

KA.KP KM .KO
Từ (1) và (2) suy ra
b) Chứng minh: PKM đồng dạng OAM .
KA KO
KA.KP KM .KO 


KM
KP
Theo câu a ta có:

KA KO


Xét KOA và KPM có: OKA góc chung; KM KP
Suy ra KOA đồng dạng KPM (3)
Xét tam giác OBK vuông tại B có MB là đường cao nên:

OB 2 OM .OK
Mà OA = OB (bán kính)

CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268


Tổng Hợp: Bùi Hồng Nam.
CLB Tốn THCS. Zalo: 0989.15.2268

TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022-

2023

 OA2 OM .OK 

OA OK

OM OA

OA OK


Xét KOA và AOM có: MOA góc chung; OM OA
Suy ra KOA đồng dạng AOM (4)
Từ (3) và (4) suy ra PKM đồng dạng OAM .


c) Vì PKM đồng dạng OAM nên OMA PMK ;
PM MK

 PM .MA MK .OM (5)
OM MA
Xét tam giác OBK vng tại B có MB là đường cao nên:

BM 2 KM .M O
Mà

MC BM  CM 2 KM .M O (6)

CM 2 PM .MA 
Từ (5) và (6) suy ra

CM
MA
=
PM CM

CM

MA
=
CMA PMC



(do OMA PMK ) ; PM CM
Xét CMA và PMC có:


MCP
CMA đồng dạng PMC nên MAC
Suy ra
Mà





BAK
MCP
nên BAK MAC

AB
AK
=
(7)
d) Ta có ABK đồng dạng AEM nên AE AM
AB AH
=

(8)
AEG nên AE
AG
ABH
đồng
dạng
Ta có
AK
AH
AG AH
=

=
AM
AG
AM
AK
Từ (7) và (8) suy ra
GH  KM .Mà KM  BC nên GH  BC
Vậy

CLB Toán THCS. Zalo: 0989.15.2268