Một Số Phương Pháp Giải Phương Trình Hàm Với Đối Số Biến Đổi Và Áp Dụng.pdf

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG ANH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI ĐỐI SỐ
BIẾN ĐỔI VÀ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!!


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG ANH

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI ĐỐI SỐ
BIẾN ĐỔI VÀ ÁP DỤNG
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

Thái Nguyên - 2015


Mục lục

LỜI CẢM ƠN

i

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

ii

MỞ ĐẦU

1

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

3

1.1

Tính trù mật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Tính chất cơ bản của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.1

Hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2.2

Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . .

3

1.2.3

Hàm số tuần hồn và phản tuần hồn nhân tính . . . . . . .

4

1.3

Một số đặc trưng hàm của hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4

Phương trình hàm Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.5

Một số phương pháp giải phương trình hàm

. . . . . . . . . . . . .

7

1.5.1

Phương pháp thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5.2

Phương pháp chuyển qua giới hạn . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.5.3

Phương pháp tìm nghiệm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.5.4

Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CÁC PHÉP BIẾN HÌNH SƠ CẤP 14
2.1

2.2

Biểu diễn một số lớp hàm bất biến với các phép biến hình . . . . .

14

2.1.1

Hàm tuần hồn và phản tuần hồn cộng tính . . . . . . . . .

14

2.1.2

Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . .

20

2.1.3

Hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

2.1.4

Hàm số sinh bởi phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Phương trình hàm với dịch chuyển bậc nhất và phân tuyến tính . .

26

2.2.1

26

Phương trình dạng f (αx + β) = af (x) + b . . . . . . . . . . .




32

Một số lớp phương trình hàm với đối số biến đổi . . . . . . . . . . .

36

2.2.2
2.2.3

2.3



ax + b
Phương trình dạng f
= αf (x) + β . . . . . . . . . .
cx + d
Phương trình dạng a (x) f (x) + b (x) f (ω (x)) = c (x) . . . . .

3 MỘT SỐ ÁP DỤNG
3.1

3.2

29

42

Phương trình hàm trong lớp hàm đa thức . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.1.1

Một số bài toán xác định đa thức cơ bản . . . . . . . . . . .

42

3.1.2

Phương trình dạng P (f )P (g) = P (h) . . . . . . . . . . . . . .

45

3.1.3

Phương trình dạng P (f )P (g) = P (h) + Q . . . . . . . . . . . .

50

Phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . .

53

KẾT LUẬN

60

TÀI LIỆU THAM KHẢO

61


i

LỜI CẢM ƠN

Để hồn thành luận văn này tơi xin bày tỏ lịng kính trọng và sự biết ơn sâu
sắc tới GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu. Thầy đã truyền đạt cho tôi những kiến thức,

kinh nghiệm quý báu trong học tập và là thầy trực tiếp hướng dẫn tơi hồn thành
luận văn.
Tơi xin chân thành cảm ơn:
- Ban giám hiệu, Phịng đào tạo sau đại học, khoa Toán - Tin của trường Đại
học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô đã tham gia giảng dạy cho lớp
Cao học toán K7A.
- Sở giáo dục & Đào tạo tỉnh Tuyên Quang, Ban giám hiệu trường THPT Chuyên
Tuyên Quang, bạn bè đồng nghiệp và gia đình đã quan tâm động viên, tạo điều
kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu.


ii

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

∀, ∃ : Các ký hiệu của logic

R : Tập hợp các số thực
R+ : Tập hợp các số thực dương
R− : Tập hợp các số thực âm
Q : Tập hợp các số hữu tỷ
Z : Tập hợp các số nguyên
Z+ : Tập hợp các số nguyên dương
N : Tập hợp các số tự nhiên
x ∈ M : x là phần tử của M

∩, ∪, ⊂, ⊃ : là các phép toán trên tập hợp


1

MỞ ĐẦU

Phương trình hàm là một trong những chuyên đề quan trọng thuộc chương trình
chun tốn trong các trường THPT chuyên. Trong các kỳ thi Olympic toán quốc
gia, khu vực và quốc tế thường xuất hiện các dạng toán khác nhau có liên quan
đến phương trình hàm. Chúng được xem như là những bài tốn khó và mới mẻ đối
với học sinh THPT. Những tài liệu tham khảo dành cho học sinh về lĩnh vực này
không nhiều. Đặc biệt trong các tài liệu sách giáo khoa dành cho học sinh THPT
thì phương trình hàm với đối số biến đổi chưa được trình bày một cách hệ thống
và đầy đủ.
Xuất phát từ thực tế đó, trong luận văn này tác giả trình bày một cách hệ thống
những lớp phương trình hàm với đối số biến đổi và phương pháp giải chúng. Đồng
thời nêu ra một số áp dụng của phương pháp giải phương trình hàm với đối số
biến đổi vào lớp các phương trình hàm đa thức đại số và lượng giác.
Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương:
Một số kiến thức cơ bản
- Tính trù mật
- Tính chất cơ bản của hàm số
- Một số đặc trưng hàm của hàm số sơ cấp
- Các phương trình hàm dạng Cauchy
- Một số phương pháp giải phương trình hàm
Phương trình hàm với các phép biến hình sơ cấp
- Biểu diễn một số lớp hàm bất biến với các phép biến hình
- Phương trình hàm với dịch chuyển bậc nhất và phân tuyến tính
- Một số lớp phương trình hàm với đối số biến đổi


2

Một số áp dụng
- Phương trình hàm trong lớp hàm đa thức
- Phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác .

Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Phương Anh


3

Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1

Tính trù mật

Tập hợp A ⊂ R được gọi là trù mật trong R nếu và chỉ nếu với mọi x, y ∈ R,
x < y đều tồn tại a ∈ A sao cho x < a < y.

Một số ví dụ về tập trù mật
a) Q là trù mật trong R.
b) Tập hợp A =

1.2

nm

, m ∈ Z, n ∈ N

2n

o

là tập trù mật trong R .

Tính chất cơ bản của hàm số

Xét hàm số f (x) với tập xác định D (f ) ⊂ R và tập giá trị R (f ) ⊂ R.
1.2.1

Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Định nghĩa 1.1 (Xem [4]).
a) f (x) được gọi là hàm số chẵn trên M, M ⊂ D (f ) (gọi tắt là hàm chẵn trên
M ) nếu ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f (−x) = f (x) , ∀x ∈ M.

b) f (x) được gọi là hàm số lẻ trên M, M ⊂ D (f ) (gọi tắt là hàm lẻ trên M ) nếu
∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f (−x) = −f (x) , ∀x ∈ M.
1.2.2

Hàm số tuần hồn và phản tuần hồn cộng tính

Định nghĩa 1.2 (Xem [4]).
a) Hàm số f (x)được gọi là hàm tuần hồn cộng tính chu kì a (a > 0) trên M
nếu M ⊂ D (f ) và

∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M
f (x + a) = f (x) , ∀x ∈ M.

4

b) Cho f (x) là một hàm tuần hoàn cộng tính trên M . Khi đó T (T > 0) được
gọi là chu kì cơ sở của f (x) nếu f (x) tuần hồn với chu kì T mà khơng là hàm
tuần hồn cộng tính với bất cứ chu kì nào bé hơn T .
Định nghĩa 1.3 (Xem [4]).
a) Hàm số f (x)được gọi là phản tuần hồn cộng tính chu kì b (b > 0) trên M
nếu M ⊂ D (f ) và

∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M
f (x + b) = −f (x) , ∀x ∈ M.

b) Cho f (x) là một hàm phản tuần hồn cộng tính trên M . Khi đó T (T > 0)
được gọi là chu kì cơ sở của f (x) nếu f (x) phản tuần hồn cộng tính với chu kì T
mà khơng là hàm phản tuần hồn cộng tính với bất cứ chu kì nào bé hơn T .
1.2.3

Hàm số tuần hồn và phản tuần hồn nhân tính

Định nghĩa 1.4 (Xem [4]). f (x) được gọi là hàm tuần hồn nhân tính chu kì
a (a ∈
/ {0; 1; −1}) trên M nếu M ⊂ D (f ) và
∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M
f (ax) = f (x) , ∀x ∈ M.



Định nghĩa 1.5 (Xem [4]). f (x) được gọi là hàm phản tuần hồn nhân tính chu
kì a (a ∈

/ {0; 1; −1}) trên M nếu M ⊂ D (f ) và

±1

∀x ∈ M ⇒ a x ∈ M
f (ax) = −f (x) , ∀x ∈ M.

1.3

Một số đặc trưng hàm của hàm số sơ cấp

Trong phần này ta nêu những đặc trưng của một số hàm số sơ cấp thường gặp
trong chương trình phổ thơng. Nhờ các đặc trưng hàm này mà ta có thể dự đốn
kết quả của các phương trình hàm tương ứng cũng như có thể đề xuất những dạng
bài tập tương ứng với các đặc trưng hàm đó.
Các hàm số được xét trong phần này thoả mãn điều kiện liên tục trên toàn miền
xác định của hàm số.

1. Hàm bậc nhất: f (x) = ax + b(a 6= 0, b 6= 0) có tính chất
x + y  1
f
= [f (x) + f (y)], ∀x, y ∈ R.
2

2


5

2. Hàm tuyến tính: f (x) = ax (a 6= 0) có tính chất

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R.

3. Hàm mũ: f (x) = ax (a > 0, a 6= 1) có tính chất
f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R.

4. Hàm logarit: f (x) = loga |x| (a > 0, a 6= 1) có tính chất
f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R\{0}.

5. Hàm lũy thừa: f (x) = |x|a có tính chất
f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R\{0}.

6. Hàm lượng giác:
- Hàm f (x) = sin x có tính chất
f (3x) = 3f (x) − 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R.

- Hàm f (x) = cos x có các tính chất f (2x) = 2[f (x)]2 − 1, ∀x ∈ R
và f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), ∀x, y ∈ R.
- Hàm f (x) = tan x có tính chất
f (x + y) =

f (x) + f (y)
, ∀x, y ∈ R.
1 − f (x)f (y)

- Hàm f (x) = cot x có tính chất
f (x + y) =

7. Hàm f (x) =

c

có tính chất
x
f (x + y) =

1.4

f (x)f (y) − 1
, ∀x, y ∈ R.
f (x) + f (y)

f (x)f (y)
, ∀x, y ∈ R\{0}.
f (x) + f (y)

Phương trình hàm Cauchy

Bài toán 1.1. Xác định các hàm số f liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện
f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R.

(1.1)


6

Lời giải. Từ phương trình (1.1), suy ra f (0) = 0, f (−x) = −f (x) và với y = x thì
f (2x) = 2f (x), ∀x ∈ R.

(1.2)

Giả sử với k nguyên dương, f (kx) = kf (x), ∀x ∈ R. Khi đó

f ((k + 1)x) = f (kx + x) = f (kx) + f (x) = kf (x) + f (x)
= (k + 1)f (x), ∀x ∈ R.

Từ đó, theo ngun lí quy nạp, ta có
f (nx) = nf (x), ∀x ∈ R.

Kết hợp với tính chất f (−x) = −f (x) ta được
f (mx) = mf (x), ∀m ∈ Z, ∀x ∈ R, ∀n ∈ N.

Từ (1.2) ta có
f (x) = 2f

x
2

2

=2 f

x
22

n

= ··· = 2 f

x
2n

.

(1.3)

Từ đó suy ra
f

x
2n

Kết hợp (1.3) và (1.4), ta được
m
f

2n

=

1
f (x), ∀x ∈ R, ∀n ∈ N.
2n

=

m
f (1), ∀m ∈ Z, n ∈ N∗ .
2n

(1.4)

Sử dụng giả thiết liên tục của hàm f (x), suy ra

f (x) = ax, ∀x ∈ R, a = f (1).

Thử lại, ta thấy hàm f (x) = ax thỏa mãn phương trình (1.1).
Kết luận: f (x) = ax, a ∈ R tùy ý.
Nhận xét 1.1.
1) Từ điều kiện (1.1), ta thấy chỉ cần giả thiết f (x) là hàm liên tục tại một điểm
x0 ∈ R cho trước là đủ. Khi đó, hàm f (x) thỏa mãn (1.1) sẽ liên tục trên R. Thật

vậy, theo giả thiết thì lim f (x) = f (x0 ) và với mỗi x1 ∈ R ta đều có
x→x0

f (x) = f (x − x1 + x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ), ∀x ∈ R.

Từ đó suy ra lim f (x) = lim [f (x − x1 + x0 ) + f (x1 ) − f (x0 )]
x→x1

x→x1

= f (x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ) = f (x1 ).

2) Kết quả của bài tốn 1.1 sẽ khơng thay đổi nếu ta thay R bằng [α, +∞) hoặc
(−∞, β] tùy ý.


7

1.5

Một số phương pháp giải phương trình hàm

Trong lí thuyết cũng như trong thực hành, khơng có những định lí cũng như các
thuật tốn chung để giải phương trình hàm. Bởi vậy, để giải phương trình hàm ta
phải nghiên cứu kỹ các tính chất đặc thù của hàm số cần tìm, đơn giản hóa bằng
các phép thế các giá trị đặc biệt của biến, đặt ẩn phụ, đổi biến hoặc tìm nghiệm
riêng,. . . để đưa về các phương trình hàm cơ bản đã biết cách giải. Sau đây ta sẽ
nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình hàm với đối số biến đổi.
1.5.1

Phương pháp thế

a) Thế ẩn tạo phương trình hàm mới.
Nhận xét 1.2. Đối với phương trình hàm dạng f (A) = B với A, B là các biểu
thức chứa x, trong đó A có hàm ngược, ta thường sử dụng cách đặt: Đặt A = t,
suy ra biểu thức x theo t. Tiếp theo, thay các giá trị này vào các biểu thức A, B .
Đối với phương trình hàm dạng hàm hợp f (g (x)) = h (x), nếu g (x) có hàm ngược,
người ta thường đặt ẩn phụ g (x) = t để xác định hàm số f (t) .

Ví dụ 1.1. Tìm hàm số f : R\ {2} → R thỏa mãn điều kiện
 2x + 1 
f

x−1

= x2 + 2x, ∀x 6= 1.

(1.5)

Lời giải. Đặt
t=

Suy ra x =

2x + 1
x−1

(1.6)

t+1
3t2 − 3
, thế vào (1.5) ta được f (t) =
, ∀t 6= 2.
t−2
(t − 2)2

Thử lại thấy đúng.
Vậy hàm số cần tìm có dạng f (x) =

3x2 − 3
(x − 2)2

.

Ví dụ 1.2. Tìm hàm số f : (−∞; −1] ∪ (0; 1] → R thỏa mãn điều kiện
p
p
f (x − x2 − 1) = x + x2 − 1, ∀ |x| ≥ 1 .
√
√
Lời giải. Đặt t = x − x2 − 1 ⇔ x2 − 1 = x − t


⇔

x−t≥0
x2 − 1 = (x − t)2


⇔

x≥t
x2 − 1 = x2 − 2xt + t2

(
⇔

x≥t
t2 + 1
x=
2t

t2 + 1
≥ t ⇔ t ∈ (−∞; −1] ∪ (0; 1] .
2t
√
√
1
1
Với t = x − x2 − 1 thì x + x2 − 1 =
⇒ f (t) = thỏa mãn (1.7).
t

t

Hệ có nghiệm x ⇔

(1.7)


8

Vậy f (x) =

1
là hàm số cần tìm.
x

b) Thế ẩn tạo ra hệ phương trình hàm mới.
Ví dụ 1.3. Tìm hàm số f : R\ { 0, 1 } → R thỏa mãn điều kiện
x − 1
f (x) + f
= 1 + x, ∀x ∈ R∗
x

(1.8)

Lời giải.
x−1
, thay vào (1.8) ta được f (x) + f (x1 ) = 1 + x.
x
x −1
1

Đặt x2 = 1
=
, thay vào (1.8) ta được f (x1 ) + f (x2 ) = 1 + x1 .
x1
x−1
x −1
Đặt x3 = 2
= x, thay vào (1.8) ta được f (x2 ) + f (x) = 1 + x2 .
x2

Đặt x1 =

Ta có hệ


f (x1 ) + f (x) = 1 + x

f (x2 ) + f (x1 ) = 1 + x1 .
f (x) + f (x2 ) = 1 + x2


1
1
1
1 + x − x1 + x2
=
x+ +
Giải hệ trên ta được f (x) =
2
2

x 1−x



Thử lại thấy đúng.
Vậy hàm số cần tìm là f (x) =

1
1
1
x+ +
.
2
x 1−x





Định nghĩa 1.6 (Xem [4]). Dãy {xn } được gọi là dãy tuần hoàn nếu tồn tại một
số nguyên dương k sao cho
xn+k = xn , ∀n ∈ N∗

(1.9)

Số nguyên dương k nhỏ nhất để dãy {xn } thỏa mãn (1.9) được gọi là chu kì cơ sở
(cịn gọi tắt là chu kì) của dãy.
Nhận xét 1.3. Xét phương trình dạng
a (x) f (x) + b (x) f (g (x)) = c (x)

(1.10)

trong đó a (x) , b (x) , c (x) , g (x) là những hàm số đã biết.
Giả sử miền xác định của hàm số cần tìm là D (f ), với mỗi x ∈ D (f ) ta xét dãy
{xn } xác định bởi biểu thức
x1 = g (x) ; xn+1 = g (xn ) , n ∈ N∗ .

Nếu dãy {xn } tuần hồn chu kì k , ta sẽ đưa (1.10) về hệ k phương trình k ẩn.
Giải hệ này ta tìm được f (x).


9

Ví dụ 1.4. Tìm hàm số f : R\ { −1 ; 0 ; 1 } → R thỏa mãn điều kiện
x − 1
x f (x) + 2f

x+1

= 1, ∀x 6= −1.

(1.11)

Lời giải.
x−1
.
x+1
x −1
Đặt x2 = 1
x1 + 1

x2 − 1
Đặt x3 =
x2 + 1
x3 − 1
Đặt x4 =
x3 + 1

Đặt x1 =

Thay vào (1.11) ta được x f (x) + 2f (x1 ) = 1.
1
= − . Thay vào (1.11) ta được x 1 f (x1 ) + 2f (x2 ) = 1.
x
x+1
=
. Thay vào (1.11) ta được x2 f (x2 ) + 2f (x3 ) = 1.
x−1
= x. Thay vào (1.11) ta được x3 f (x3 ) + 2f (x) = 1.


x f (x) + 2f (x1 ) = 1




x1 f (x1 ) + 2f (x2 ) = 1
x2 f (x2 ) + 2f (x3 ) = 1




x3 f (x3 ) + 2f (x) = 1
4x2 − x + 1
Giải hệ trên ta được f (x) =
.
5x (x − 1)

Ta có hệ

Thử lại thấy đúng.
Vậy hàm số cần tìm là f (x) =

1.5.2

4x2 − x + 1
.
5x (x − 1)

Phương pháp chuyển qua giới hạn

Cơ sở của phương pháp này là dựa trên phương pháp thế tạo thành hệ phương
trình hàm trong trường hợp các hàm đặt khơng tuần hồn. Sau đó sử dụng giới
hạn để tìm ra hàm số.
Ví dụ 1.5. Tìm hàm số f : R → R liên tục, thỏa mãn điều kiện
 2x  3x
f (x) + f
=
, ∀x ∈ R.
3

5

Lời giải.
Đặt x1 =

3
2x
. Từ (1.12) suy ra f (x) + f (x1 ) = x.
3
5

Đặt x2 =

2x1
3
. Từ (1.12) suy ra f (x1 ) + f (x2 ) = x1 .
3
5

Đặt xn+1 =

2xn
3
, n ∈ N∗ . Từ (1.12) suy ra f (xn ) + f (xn+1 ) = xn .
3
5

(1.12)


10

3
x
5
3
f (x1 ) + f (x2 ) = x1
Ta có hệ
5

.
.
.
.
.
.




f (xn ) + f (xn+1 ) = 3 xn
5



f (x) + f (x1 ) =






(1)
(2)
(n + 1)

Nhân dòng phương trình thứ (i) với (−1)i+1 rồi cộng lại ta được

 2 2
 2 n 
3
2
f (x) + (−1)n+2 f (xn+1 ) = x 1 − +
5
3
3

− ··· + −

3

(1.13)





Xét lim
(−1)n+2 f (xn+1 )
= lim |[f (xn+1 )]| = |f (lim xn+1 )| = |f (0)|
Mặt khác, (1.12) suy ra f (0) = 0 nên lim (−1)n+2 f (xn+1 ) = 0.

3
5

Lấy giới hạn hai vế của (1.13) ta được f (x) = x

1
2
1+
3

=

9x
.
25

Thử lại thấy đúng.
Vậy f (x) =
1.5.3

9x
là hàm số cần tìm.
25

Phương pháp tìm nghiệm riêng

Tìm nghiệm riêng của phương trình hàm đã cho, nghiên cứu các tính chất của
nghiệm riêng đó. Hiển nhiên, nghiệm cần tìm cũng phải có những tính chất đó. Từ
đó, ta có được hướng giải phương trình đã cho.
Trước hết nên tìm nghiệm riêng trong lớp các hàm hằng, hàm số bậc nhất, hàm

số đa thức. . . Nói chung, nên tìm nghiệm riêng trong lớp các hàm số sơ cấp, bắt
đầu từ các hàm đơn giản nhất. Nên chú ý đến các đặc trưng của các hàm số sơ
cấp. Sau khi tìm được nghiệm riêng dạng f0 (x) ta thường xét đến hàm số phụ
g (x) = f (x) − f0 (x) và xét phương trình hàm mới thu được đối với g (x).

Khi tìm nghiệm riêng, nên chú ý đến một số nhận xét sau
Nhận xét 1.4 (Điều kiện để một hàm số là hàm hằng).
a) f ≡ C ⇔ f (x) = f (y) , ∀x, y ∈ D.

b) f (x) = g (y) , ∀x, y ∈ D ⇔

f (x) = C,
g (x) = C, ∀x ∈ D.

(C là hằng số)

Nhận xét 1.5 (Điều kiện để một đa thức là hàm hằng).
Cho đa thức P (x) ∈ R [x] , deg P ≤ n. Khi đó


11

a) Nếu P (x) có nhiều hơn n nghiệm thì P (x) = 0, ∀x ∈ R hay P (x) ≡ 0.
b) Nếu ∃a ∈ R, a 6= 0 sao cho P (x + a) = P (x) , ∀x ∈ R thì
P (x) = C, ∀x ∈ R hay P (x) ≡ C .

Ví dụ 1.6. Cho a, b ∈ R; a 6= 0. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều
kiện
f (x + a) = f (x) + b, ∀x ∈ R.

(1.14)

Nhận xét rằng hàm f có tính chất biến đổi “tổng thành tổng”. Hàm tuyến tính
f (x) = ax (a 6= 0) có đặc trưng hàm là f (x + y) = f (x) + f (y) , ∀x, y ∈ R nên ta

tìm nghiệm riêng dưới dạng f0 (x) = kx.
Lời giải.
Nghiệm riêng có dạng f0 (x) = kx. Để thỏa mãn (1.14) ta phải có
b
k (x + a) = kx + b ⇔ k = .
a

Đặt f (x) = kx + g (x). Thay vào (1.14) ta được
k (x + a) + g (x + a) = kx + g (x) + b, ∀x ∈ R
⇔ g (x + a) = g (x) , ∀x ∈ R.

Suy ra g (x) là hàm tuần hồn cộng tính chu kì |a|.
b
a

Kiểm tra được mọi hàm số dạng f (x) = g (x) + x, trong đó g (x) là hàm tuần hồn
cộng tính chu kì |a|, đều thỏa mãn u cầu đề bài.
b
a

Vậy f (x) = g (x) + x, trong đó g (x) là hàm tuần hồn cộng tính chu kì |a|, là hàm
số cần tìm.
Ví dụ 1.7. Cho a, b, m ∈ R, m 6= 1, am 6= 0. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa
mãn điều kiện
f (x + a) = mf (x) + b, ∀x ∈ R.

(1.15)

Lời giải.
Ta sẽ tìm nghiệm riêng dưới dạng f0 (x) = C .
Thay vào (1.15) ta được C =

b
.
1−m

Đặt f (x) = C + g (x). Thay vào (1.15) ta được
C + g (x + a) = mC + mg (x) + b, ∀x ∈ R
⇔ g (x + a) = mg (x) , ∀x ∈ R.

(1.16)

Nhận xét rằng hàm có tính chất biến đổi “tổng thành tích” nên ta chọn nghiệm
riêng dưới dạng g0 (x) = dx .


12
1

Thay vào (1.16) ta được dx+a = mdx ⇔ da = m ⇔ d = m a .
x

Đặt g (x) = m a .ϕ (x). Thay vào (1.16) ta được
m

x+a
a

x

.ϕ (+a) = m.m a .ϕ (x) ⇔ ϕ (x + a) = ϕ (x) , ∀x ∈ R.

Từ đó ta có ϕ (x) là hàm tuần hồn cộng tính chu kì |a|.
Vậy f (x) =

b
x
+ m a .ϕ (x) , ∀x ∈ R, với ϕ (x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu
1−m

kì |a|, là hàm số cần tìm.
1.5.4

Phương pháp quy nạp

Đối với phương pháp này, ta chỉ xét những hàm xác định trên N, sau đó ta mở
rộng cho trường hợp hàm cần xác định trên Z, Q.
Ta cũng có thể sử dụng phương pháp này trong việc xác định hàm f : R → R,
trong đó f là hàm số liên tục và sử dụng đến tính trù mật của tập Q.
Ví dụ 1.8. Xác định hàm số f : R+ → R+ , liên tục và thỏa mãn điều kiện
a) f (−x) = −f (x) , ∀x ∈ R,

(1.17)

b) f (x + 1) = f (x) + 1, ∀x ∈ R,

 1  f (x)
c) f
= 2 , ∀x ∈ R.
x
x

(1.18)
(1.19)

Lời giải.
Thay x = 0 vào (1.17) ta được f (0) = 0.
Thay x = 0 vào (1.18) ta được f (1) = f (0) + 1, mà f (0) = 0 nên f (1) = 1.
Từ (1.18), bằng phương pháp qui nạp ta có f (n) = n, ∀n ∈ N∗ .
Do (1.17) nên ta có f (n) = n, ∀n ∈ Z.
Xét với x 6= 0, x 6= −1. Từ (1.18) và (1.19) ta có


1
1
f 1+

Mặt khác, ta có 1 +

Nhưng ta cũng có f

x

=1+f

x

=1+

f (x)
.
x2

(1.20)

1
x+1
=
=
x
x

1
x nên từ (1.19) ta có
x+1
 x 




f
1
1
1 .
f 1+
=f x =  x+

2
x
x
x+1
x+1

 x 
x+1
=1−



=f 1−
f (x + 1)
(x + 1)2

1
x+1
=



=1−f

 1 
x+1

(x + 1)2 − 1 − f (x)
(x + 1)2

.


13

nên
1
f 1+
x





(x + 1)2 − 1 − f (x)
=
.
x2

Từ (1.20) và (1.21) ta có
x2 + f (x) = x2 + 2x − f (x) , ∀x 6= 0, x 6= −1
⇔ f (x) = x, ∀x 6= 0, x 6= −1.

Mà f (0) = 0, f (−1) = −f (1) = −1. Bởi vậy, f (x) = x, ∀x ∈ R.
Kiểm tra lại, ta thấy hàm số f (x) = x, ∀x ∈ R thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Vậy f (x) = x là hàm số cần tìm.

(1.21)

14

Chương 2
PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CÁC PHÉP
BIẾN HÌNH SƠ CẤP
2.1
2.1.1

Biểu diễn một số lớp hàm bất biến với các phép biến hình
Hàm tuần hồn và phản tuần hồn cộng tính

Trong mục này ta xét một số bất biến với phép tịnh tiến.

Bài tốn 2.1. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện
f (x + 1) = f (x) , ∀x ∈ R.

(2.1)

Lời giải.
Từ (2.1), ta có f (x + n) = f (x) , ∀x ∈ R, ∀n ∈ Z.
Do đó
f (x) = f ([x] + {x}) = f ({x}) , ∀x ∈ R.

Gọi g là hàm số như sau: g : [0; 1) →

(2.2)

R, x 7→ g (x) = f (x) , (g là thu hẹp của

hàm f trên [0; 1)). Do (2.1) nên f (x) = g ({x}) , ∀x ∈ R.

Ngược lại, nếu f (x) = g ({x}) , ∀x ∈ R, trong đó g là hàm số tùy ý xác định trên
nửa khoảng [0; 1) thì
f (x + 1) = g ({x + 1}) = g ({x}) = f (x) , ∀x ∈ R.

(2.3)

Vậy f (x) = g ({x}) , ∀x ∈ R, trong đó g là hàm số tùy ý xác định trên [0; 1).
Bài toán 2.2. Cho a 6= 0. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện
f (x + a) = f (x) , ∀x ∈ R.

(2.4)

(2.4) ⇔ f (ax + a) = f (ax) , ∀x ∈ R.

(2.5)

Lời giải.


15

Đặt f (ax) = g (x) hay f (x) = g

x
a

, thay vào (2.5) ta được

g (x + 1) = g (x) , ∀x ∈ R.

Theo kết quả của bài tốn 2.1, ta có g (x) = h ({x}) , ∀x ∈ R, trong đó h là hàm số
tùy ý xác định
ntrên
o[0; 1).
x
Vậy f (x) = h
, ∀x ∈ R.
a

Bài tốn 2.3. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện
f (x + π) − f (x) = cos x, ∀x ∈ R.

(2.6)

Lời giải.
1
2

1
cos x + f (x) , ∀x ∈ R.
2
1
1
⇔ f (x + π) + cos (x + π) = cos x + f (x) , ∀x ∈ R.
2
2

(2.6) ⇔ f (x + π) − cos x =

(2.7)

1
2

Đặt f (x) + cos x = g (x) , ∀x ∈ R, thay vào (2.7) ta được
g (x + π) = g (x) , ∀x ∈ R.

Theo kết quả của bài toán 2.2, ta có g (x) = h

n x o
π

, ∀x ∈ R trong đó là hàm

tùy ý xác định
ntrên
o[0; 1)1.
x
Vậy f (x) = h
− cos x, ∀x ∈ R.
π

2

Bài tốn 2.4. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện
f (x + 2π) − f (x) = sin x, ∀x ∈ R.

(2.8)

Lời giải.

1
1
1
1
2π sin x =
(x + 2π − x) sin x =
(x + 2π) sin x −
x sin x.
2π
2π
2π
2π
1
1
Khi đó (2.8) ⇔ f (x + 2π) −
(x + 2π) sin (x + 2π) = f (x) −
x sin x, ∀x ∈ R.
2π
2π
1
⇔ g (x + 2π) = g (x) , ∀x ∈ R, trong đó g (x) = f (x) −
x sin x.
2π
x
Vậy f (x) = g (x) +
sin x, ∀x ∈ R, với g là hàm tuần hồn chu kì 2π .
2π

Ta có sin x =

Ta có bài tốn tổng qt sau
Bài tốn 2.5. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện
f (x + a) − f (x) = h (x) , ∀x ∈ R.

Trong đó h là hàm số tuần hồn cộng tính chu kì a trên R.

(2.9)