Trang 89 90 luong dinh hung

Ví dụ 1: Cho B là trung điểm của đoạn thẳng AC . Tìm số k trong mỗi trường hợp sau:




a) CA kCB ;
b) CA k AB .
Giải


 
CA 2 CB
a) Ta có: CA, CB là hai vectơ cùng hướng và
 
CA
2CB. Vậy k 2
Suy ra





CA 2 AB
CA
,
AB
CA

2 AB . Vậy k  2 .
b) Ta có:
là hai vectơ ngược hướng và

. Suy ra

LUYỆN TẬP - VẬN DỤNG
1. Cho tam giác ABC . Hai đường trung tuyến AM và BN cắt nhau tại G . Tìm các số a, b biết:

 

AG a AM ; GN bGB.
Ví dụ 2: Vật thứ nhất chuyển động thẳng đều từ A đến B với tốc độ là 9 m/s và vật thứ hai
 
chuyển động thẳng đều từ B đến A với tốc độ là 6 m/s . Gọi v1 , v2 lần lượt là các vectơ vận tốc


v

kv
k
1
2?
của vật thứ nhất và vật thứ hai. Có hay khơng số thực thoả mãn
Giải
9 3

Do tỉ số tốc độ của vật thứ nhất và vật thứ hai là 6 2 đồng thời hai vật chuyển động ngược
3
 3
v1  v2
k
2 . Vậy
2 .

hướng nên hai vectơ vận tốc ngược hướng. Suy ra
II. TÍNH CHẤT
 
a
Với hai vectơ bất kì , b và hai số thực h, k , ta có:
 
 
 
 
 k a  b ka  kb ; k a  b ka  kb ;










 
  h  k  a ha  ka;


 h  ka   hk  a;
 


 1a a;   1 a  a.
 

 
Nhận xét: ka 0 khi và chỉ khi k 0 hoặc a 0 .

Ví dụ 3: Cho ba điểm A, B, C . Chứng minh:
 
 



3 5 AC  CB  14 AC  AB
a) 2 AB  2 BC 2 AC ;
b)
.





89


Giải
a) Ta có:
b) Ta có:



 

2 AB  2 BC 2 AB  BC 2 AC





.
 

 


  
 
3 5 AC  CB  14 AC 15 AC  CB  14 AC 15 AC  14 AC  CB  AC  CB  AB





LUYỆN TẬP - VẬN DỤNG
2. Cho ba điểm A, B, C . Chứng minh

 
  
3 AB  2 BC  2 AB  3BC  AB



 



III. MỘT SỐ ỨNG DỤNG
1. Trung điểm của đoạn thẳng
HOẠT ĐỘNG 3. Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và điểm M tuỳ ý. Chứng minh rằng
 

MA  MB 2MI .
Để chứng minh đẳng thức trên, ta làm như sau:
   
 
  



MA  MB  MI  IA  MI  IB 2MI  IA  IB 2MI  0 2MI



 







  
Kiến thức trọng tâm: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì MA  MB 2MI với điểm
M bất kì.

2. Trọng tâm của tam giác

G là trọng tâm của tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Chứng minh rằng
HOẠT
  ĐỘNG
 4. Cho
MA  MB  MC 3MG .
Để chứng minh đẳng thức trên, ta làm như sau:
  
 
 
 
MA  MB  MC  MG  GA  MG  GB  MG  GC



 

 




  



3MG  GA  GB  GC 3MG  0 3MG





  

G
ABC
MA

MB

MC 3MG với
Kiến thức trọng tâm: Nếu
là trọng tâm của tam giác
thì
điểm M bất kì.

Ví dụ 4: Cho tứ giác ABCD có M , N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD . Gọi G là
trung điểm của đoạn thẳng MN .
   

Chứng minh GA  GB  GC  GD 0 .
Giải
  
Vì M là trung điểm của AB nên GA  GB 2GM .
  
Vì N là trung điểm của CD nên GC  GD 2GN .

90

Suy ra

   


 
 
GA  GB  GC  GD 2GM  2GN 2 GM  GN 2 0 0





LUYỆN TẬP - VẬN DỤNG
 

3. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh AB  AC 3 AG .

91