Bài giảng Toán 1: Bài 7 - Kỹ năng khai triển Taylor

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK
---------------------------------------------------------------------------------------------------

TỐN 1
GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN
• BÀI 7: KỸ NĂNG KHAI TRIỂN TAYLOR
•

TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2007)


KHAI TRIỂN CƠ BẢN: MŨ, LGIÁC, HYPERBOLIC
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Từ khai triển hàm y = ex  Khai triển sinx, cosx, sinhx, coshx
Muõ chẵn
2
x
e x 1  x   ...
2!

Mũ lẻ

n

x2 x4
  1 x 2 n  2 n 1 
cos x 1 
  ... 
o x
,x 0

2! 4!
(2n)!
n

x3
  1 x 2 n1  2 n2 
sin x x 
 ... 
o x
,x 0
3!
(2n  1)!

Tương tự như sin x, cos x nhưng không đan dấu  shx, chx
2
2n
x3
x 2 n 1
x
x
shx x   ... 
 o x 2 n 2 , chx 1   ... 
 o x 2 n 1 
3!
 2n  1!
2!
(2n)!

x3
tgx  x   o x 4 , x  0

3

 

Chú ý phần dư cosx, sinx, chx, shx:
o nhỏ của số hạng bị triệt tiêu!


KHAI TRIỂN CƠ BẢN: LUỸ THỪA, 1/(1  x), LN(1 + x)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm nghịch đảo – inverse function (Tổng cấp số nhân):
1
1
n n
n
n
2


1  x    x  o x ,
1  x  x      1 x  o x n 
1 x
1 x
Tổng quát: Hàm luỹ thừa (1 + x)  Nhị thức Newton (1 + x)n

1  x   1  x     1 x 2        n  1 x n  o x n 
2!

n!

VD: Khai triển MacLaurint hàm f  x  3 1  x đến cấp 3
1
x 1  1  x 2 1  1  1  x3
3
Giải: 1  x  3 1     1    1   2   o x , x  0
3 3  3  2! 3  3   3  3!
ln(1 + x): 1/(1+x)
 xn/n, đan dấu

x 2 x3
( 1) n  1 n
ln1  x   x 
  
x  o x n 
2 3
n


BẢNG KHAI TRIỂN CÁC HÀM CƠ BẢN: 7 HÀM
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Haøm
ex
cos x
sin x
1
1 x
1
1 x

1  x 



ln1  x 

Khai triển
Phần dö Lagrange
ec
x 2 x3
xn
x n 1
1  x    
 n  1!
2! 3!
n!
2n
x2 x4
x
cos sin  c 2 n 2
n
2n
1
      1
x
x
2! 4!
 2n !
 2n  2!

2 n 1
x3 x5
x
cos sin  c 2 n 3
n
2 n 1
x
      1
x
x
3! 5!
 2n  1!
 2n  3!
1
n 1
n 1
n n
2
3


1

x
1  x  x  x      1 x
1  c  n 2
1  x  x 2  x3   x n

   1 2
    n  1 n

1  x 
x  
x
2!
n!
n
x2 x3 x 4
n 1 x
x
 
     1
2 3 4
n


PPHÁP KHTRIỂN MACLAURINT: TỔNG, HIỆU, TÍCH
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đưa hàm cần khai triển về dạng tổng, hiệu, tích (đhàm,
tphân) các hàm cơ bản. Aùp dụng kh/tr MacLaurint cơ bản
2
f  x  e 
 5 ln1  x 
VD: Khai triển ML đến cấp 3:
1 x
2





x2
x
2


 ...   o x 3 
Giải: f  x   1  x   ...   2 1  x  x  ...  5 x 
2
2




x

f  x  cos x cosh x

VD: Khai triển MacLaurint đến cấp 3:
Giải:

 x2
x2
3 
3 
f  x   1 
 o x    1   o x   1  o x 3 , x  0
2!
2!





Chú ý: Có thể sử dụng cả đạo hàm, tích phân (coi chừng C!)
VD: Khai triển ML đến cấp 2:





f  x  ln x  1  x 2  1


KHTRIỂN MACLAURINT HÀM THƯƠNG: DÙNG 1/(1  x)
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Với thương (tỷ số, phân số) 2 hàm số: Dùng

1
1 x

Chú ý: Ở mẫu số bắt buộc phải xuất hiện số 1!
ex
1
a/
, caáp 2 b/
, caáp 3
VD: Khai triển MacLaurint
2x
cos x
2

2



1
1
1
x
x
x
x
2
2 
  1  x   o x    1    o x  
Giải: a / e  
2 1 x 2 2 
2!
 2 4

2

2

2

x
x
1
1
3 

3 
b/

1    o x      o x    ...
2
3
cos x 1   x 2!  o x  
 2
  2

1
f  x  2
VD: Khai triển MacLaurint đến cấp 2
x  4x  3
1
1 1
1  1 1
1
1 
 

  

Giải: f  x  

 x  1 x  3 2  x  1 x  3 2  3 1  x 3 1  x 


KHAI TRIỂN MACLAURINT VỚI HÀM HỢP
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm hợp f(u(x)): Khai triển lần lượt từng bước. Đầu tiên
khai triển MacLaurint u(x), sau đó khai triển f(u) & cắt
đến luỹ thừa được yêu cầu (Có thể đổi thứ tự).
Chú ý quan trọng: Ln kiểm tra điều kiện u(0) = 0!
a / sin  x 2  b / cos x đến cấp 4
3
u
2
 ... x 2  o x 4 
Giải: a / u x & u  0 0  sin u u 
3!
12


2
4


 x2 x4


x
x
1
4
4 
b / 1  
 o x   1   
  o x    1  u  ...

2
 2 24
    2  24
     


u
VD: Khai triển MacLaurint

VD (cảnh giác!): Khtriển MacLaurint y = ln(2 + x) đến cấp 2


KHAI TRIỂN TAYLOR QUANH x – x0: ĐƯA VỀ KTR ML
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Khai triển Taylor f(x) quanh x = x0: Đổi biến t = x – x0 và sử
dụng khai triển Mac Laurint cho hàm f(t)
Cách 2: Biến đổi để (x – x0) xuất hiện trực tiếp trong hàm số!
1
f  x   quanh x0 2 đến cấp 3
VD: Khai triển Taylor hàm
x
1
1
1
1
1 t

f


x






1



Giải: Cách 1: t = x – 2 


x t  2 2 1 t 2 2  2

1
1
1
f  x 
 
Cách 2: Tạo (x – 2) trong hàm
 x  2  2 2 1   x  2 2
f  x  3 x quanh x0  8 đến cấp 2

VD: Khai triển Taylor hàm
Giải:

3

 x  2  8  21 


 x  2  1 3
8



 1    x  2 

 2 1  
  ...
8

 3 



ỨNG DỤNG KT TAYLOR. TÌM GIỚI HẠN
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tìm lim: Khai triển ML với phần dư Peano + Ngắt bỏ VCB
3

x3
4 
x
4
x x
 o  x 




o
x
6
x  sin x

 lim 6

lim
VD: Tính lim
3
3
3
x 0
x 0
x 0
x
x
x

sin 3x  4 sin 3 x  3 ln1  x 
sin 3 x  3 ln1  x 
lim

lim
VD: Tìm
x 0
x 0

x2
e x  1 sin x





ln 1  x  
 1
lim

VD: Tìm
2

x  0  x 1  x 
x


1 

2 
(SGK/80) lim  x  x ln 1   
x 
 x 

x  1  x  ln1  x 
x 0
x 2 1  x 
 x  ln1  x  x ln 1  x  
lim  2

 2
x 0
x 1  x  
 x 1  x 

lim


ỨNG DỤNG KT TAYLOR. TÍNH GẦN ĐÚNG
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tính gần đúng & ước lượng sai số: phần dư Lagrange
n

f ( x) 
k 0

f

k

 x0 

k!

k

 x  x0  ,   Rn 

f  n 1  c 

(n  1)!

x  x0

n 1

, c   x0 , x 

VD: Tính gần đúng giá trị số e với độ chính xác 10-4 (SGK/79)
1 1
1
ec
3
, c   0,1  e S ,  
Giải: e 1      
 n  1!
 1!  2!   n!  n  1!
S

Tương tự: Cần chọn bao nhiêu số hạng trong khai triển hàm
y = ex để có thể xấp xỉ e với độ chính xác 10-4
VD: Góc x nào cho phép xấp xỉ sinx  x với độ chính xác 10-4


VI PHÂN
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm khả vi tại x0  y = Ax + o(x), x  0 : Số gia hàm số
biểu diễn tuyến tính theo x và vơ cùng bé bậc cao của x
y

C  : y  f  x
Vi phân: dy = Ax = f’(x)dx
f  x0  x 
Nhận xét: Hàm có đạo hàm
 Có vi phân: Hàm khả vi
1/ C: hằng số  dC = 0
& d(Cy) = Cdy

y
f  x0 
O

x
x0

f '  x0  x

x0  x

2/ Vi phân tổng,
hiệu, tích, thương:

d  u v  du dv
d  uv  vdu  udv

u  vdu  udv

d  
v2
v

x


VI PHÂN HÀM HỢP
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

 y  f  x  , x : biến độc lập 
Vi phân cấp 1: 
  dy  y ' dx
 y  f  x  , x  x t  : hàm hợp
 Vi phân cấp 1: bất biến!
VD: Tính dy của a/ y = sinx b/ y = sinx, x = cost
Giải: b / dy cos xdx  cos x sin tdt hoaëc y sin cos t   dy 
Vi phân cấp cao:

x : Biến độc lập  d 2 y  f ' ' dx 2 , d 3 y 

y  f  x  , x  x t   d 2 y  f ' ' dx 2  f ' d 2 x

d

2

x  x' ' dt 2 

VD: Tính d2y: a/ y = arctgx b/ y = arctgx, x = sint
2x
sin t 2
2

2
2
2
b / d y  y ' ' dx 
dt
dx
ĐS: a / d y 
2
2 2
1 x
1  x 