Cánh diều civ bài 5 tích của một số với một vectơ

TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ-DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN

CHƯƠNG IV.
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. VECTƠ

§5. Tích của một số với một vectơ
Tiết 1


TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ-DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN

TOÁN HỌC

➉

CHƯƠNG IV. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC.
VEC TƠ

§5

I

ĐỊNH NGHĨA

II

TÍNH CHẤT

III

TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ

MỘT SỐ ỨNG DỤNG


TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ-DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN
KHỞI ĐỘNG

Câu hỏi

1. Hãy nêu khái niệm tổng của hai vectơ?

Trả lời
* Định nghĩa:
 
Cho
2 vectơ và . Lấy 1 điểm
tùy ý, rồi vẽ : , .

𝒂
 ⃗
 𝑩

 Vectơ được gọi là tổng của
hai vectơ và .

 Kí hiệu: .

Phép tìm tổng của hai vectơ cịn
được gọi là phép cộng hai vectơ.

 ⃗
𝒃

 

 ⃗
𝒂 +⃗
𝒃

 𝑪


TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ-DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN
KHỞI ĐỘNG

Câu hỏi
1. Hãy nêu khái niệm tổng của hai vectơ?
 2. Cho vectơ , so sánh hướng và độ dài của vectơ so với

Trả lời
 1. Cho 2 vectơ

và .

𝒂
 ⃗

 Lấy điểm tùy ý, vẽ:
và .
 Vectơ
được gọi là
tổng của hai vectơ
và .
 Kí hiệu: .

 𝑨

  Em hãy thử
dự đoán hướng
và độ dài của
vectơ  so với .

 2. So sánh hướng và độ dài của vectơ
so với .
 ⃗
𝒃
 ⃗
𝒂 + ⃗𝒂 = 
 𝑪
𝒂
 ⃗
 𝑩
𝑩

 
𝒂
 ⃗
 −𝟐 ⃗𝒂
 𝑨
•
 
Vectơ
  cùng
hướng
với
 .
⃗
𝑪
 ⃗
 
𝒂 +𝒃
 • Độ dài của gấp đơi độ dài của  .
 • Người ta kí hiệu: .


TOÁN THPT

I

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ-DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN

ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa

 
Cho số và . Tích của véctơ với số là một vectơ, kí hiệu , được xác định

như sau:
 
+ Về hướng: cùng hướng với vectơ nếu
 
ngược hướng với vectơ nếu
 
+ Về độ dài:
 
* Qui ước:
Phép lấy tích của một số với một vectơ được gọi là phép nhân một số với
một vectơ.


TỐN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ-DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN

Ví dụ 1
 
Cho và điểm như hình vẽ sau. Xác định hai điểm và sao cho:
 𝑶
 𝑴
a)
 
3
 ⃗
𝒂

b) .

Bài giải
 

- Vẽ d đi qua và song song với giá của .

 

- Do

suy ra sao cho và cùng hướng với

 

- Do

suy ra sao cho và ngược hướng với

 𝑵
 −𝟒 ⃗𝒂


TỐN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ-DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN

Ví dụ 2
 Cho tam giác . Hai đường trung tuyến và cắt nhau tại .

,

Bài giải

A

⃗
⃗
a ) Ta  c ó:  𝑨𝑮  v à  𝑨𝑴  là 2  vectơ c ù ng  h ướ ng

 

  và

𝟐
𝟐
⃗
⃗
   𝑨𝑮= 𝑨𝑴 .  V ậ y   𝒂= .
𝟑
𝟑

N
G

 

B

𝟏

⃗
⃗
⃗
⃗
b) Ta  c ó:  𝑮𝑵   v à  𝑮𝑩  l à 2 vectơ  ng ượ c  h ướ ng    và |𝑮𝑵 |= |𝑮𝑩|
𝟐
 
−
𝟏
𝟏
⃗
⃗
   𝑮𝑵 =
𝑮𝑩 .  V ậ y   𝒃=− .
𝟐
𝟐

 

M

C


TỐN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ-DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TỐN

Ví dụ 3
 Vật thứ nhất chuyển động thẳng đều từ

A đến B với tốc độ là 12 m/s và vật thứ
hai chuyển động thẳng đều từ B đến A
với tốc độ là 9m/s. Gọi lần lượt là các

𝒗𝟏
  ⃗
𝒗𝟐
  ⃗

vectơ vận tốc của vật thứ nhất và vật
thứ hai. Có hay khơng một số thực
thõa mãn ?

Bài giải
Do
  tỉ số tốc độ của vật thứ nhất và vật thứ hai là
đồng thời hai vật chuyển động ngược hướng nên hai vectơ vận tốc ngược hướng.
Suy
ra .
 Vậy .
 


TỐN THPT

II

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

TÍNH CHẤT

Khởi động

Em hãy nêu các tính chất phép nhân hai số thực?

  Với là các số thực ta có:
   Tính chất giao hốn:

 Tính chất kết hợp:
 Tính chất phân phối:

Tính chất tích của một số với một
vectơ có gì khác so với tính chất phép
nhân các số thực?


TỐN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

II TÍNH CHẤT

Ghi nhớ
 
Với hai véctơ bất kì và , với hai số thực và , ta có:

(

* Nhận xét: khi và chỉ khi hoặc .

TỐN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

II TÍNH CHẤT

Ví dụ 1

Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh:

  𝐚 ¿ 𝟐⃗
𝑨𝑩 + 𝟐⃗
𝑩𝑪=𝟐 ⃗
𝑨𝑪 ;
. 
 

Bài giải

a) Ta có:
b) Ta có:


TỐN THPT

II

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

TÍNH CHẤT

Ví dụ 1

Cho ba điểm A, B, C. Chứng minh:

⃗
⃗
⃗
 𝟑 (⃗
)
(
𝑨𝑩 +𝟐 𝑩𝑪 − 𝟐 𝑨𝑩 +𝟑 𝑩𝑪 ) =⃗
𝑨𝑩 .
Bài giải
 


TỐN THPT

III

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Nêu tính chất trung điểm của đoạn thẳng, trọng tâm của tam
giác?

 Trung điểm của đoạn thẳng chia đoạn thẳng thành 2 đoạn

thẳng bằng nhau.
- Trọng tâm tam giác cách đỉnh một khoảng bằng độ dài
đường trung tuyến.


TOÁN THPT

III

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

MỘT SỐ ỨNG DỤNG
 
Cho tam giác , gọi là trung điểm của , là trọng tâm

tam giác , là điểm bất kì. Điền vào dấu (...) 1 số
hoặc 1 vectơ để được kết quả đúng.
 
a) ;

b) ;
c) ;
d)


TOÁN THPT

III

 

a) ;

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

-

 

b) ;
c) ;

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

⃗
𝑰𝑨
⃗
𝟎
 

 

d)

  ⃗ 𝟑⃗
 ⃗
 ⃗
𝑮𝑪 𝑴𝑮
𝑮𝑩

𝑮𝑨

⃗
𝟎
 ⃗
𝑰𝑩

 ⃗

𝑮𝑨

 

 𝟐⃗
 
⃗
⃗
𝑰𝑨
𝑰𝑩 𝑴𝑰

 ⃗

𝑮𝑩

 ⃗

𝑮𝑪


TOÁN THPT

III

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Ghi nhớ
 
+ Nếu là trung điểm của đoạn thì với mọi điểm ta có:

+ Nếu là trọng tâm của tam giác thì với mọi điểm ta có:
.


TỐN THPT

III

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Ví dụ 3

Cho tứ giác ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB
và CD. Gọi G là trung điểm của đoạn thẳng MN. Chứng minh:
. 

Bài giải
 

Vì M là trung điểm của AB nên .
Vì N là trung điểm của CD nên .


TỐN THPT

III

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Ví dụ 4

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Chứng minh:
. 

Bài giải
 

Thay điểm M bằng điểm A trong hệ thức ở Ví dụ 4 ta được
hay .


TOÁN THPT

Tổng kết

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ

a
ĩ
h
g
n
h
n
ị
Đ

⃗
ka

  k > 0 cùng hướng ;

k < 0 ngược hướng

 
Độ dài bằng

⃗
a

⃗ , 𝒌 𝟎=
⃗ 𝟎
⃗.
 𝟎 ⃗
𝒂 =𝟎
Ứng dụng

 
 

là trung điểm của đoạn
.

Tích của một số
với một vectơ
 
Tín
hc
hấ
t

(

là trọng tâm của tam giác
.

•

hoặc


TOÁN THPT

GIÁO ÁN ĐIỆN TỬ-DIỄN ĐÀN GIÁO VIÊN TOÁN

CHƯƠNG IV.
HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. VECTƠ

§5. Tích của một số với một vectơ
Tiết 2