Phần 7 ok

NHÓM 4 : DÃY SỐ - GIỚI HẠN DÃY SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ
(TÁCH TỪ ĐỀ THI)
II. PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN
1. XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
1.1. DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP
x 
Bài 1.
Cho dãy số n được xác định bởi : x4 1 và
xn 1  xn  1 n  2   2  n  3  3  n  4      n  2  1,
với mọi n 4.
xn
.
4
Tính giới hạn n   n
lim

Hướng dẫn giải
1 n  2   2  n  3  3  n  4   ...  n  2  .1

Ta có:
  n  1  1  2   n  1  2    3   n  1  3  ...   n  2    n  1   n  2  
2
 n  1  1  2  3  ...   n  2    12  2 2  32  ...   n  2  


 n  2   n  1   n  2   n  1  2m  3  n  n  1  n  2 
 n  1 .
2
6
6
=

n  n  1  n  2 
xn 1  xn 
 xn  Cn3  *
6
Do đó ta suy ra :
Ta chứng minh

xn Cn4 . Thật vậy với n 4 , ta có x4 1 C44

4
Giả sử với n 4 ta có : xn Cn
4
3
4
3
4
Ta có : xn 1 xn  Cn theo (*) hay xn 1  xn  Cn Cn  Cn Cn trong
x
n!
1
lim n  lim
 .
n   n 4
n   4! n  4  ! n 4
6

Bài 2.

f :  0;     0;  

Cho hàm số
f  x  x
Chứng minh rằng
với mọi x  0 .

1

f  3x   f  f  2 x    2 x
2

thỏa mãn điều kiện
với mọi x  0 .
Hướng dẫn giải

1

f (3x )  f  f (2 x)   2 x (1)
2

Ta có:
 1  2 x   2x
2x
f ( x)  f  f    
 f ( x)  , x  0
3
 2  3  3
Từ (1) suy ra
(2)
 1  2x   2x 2 1  2x  2x 1  2 x  2 x  4 2 
f ( x)  f  f    

 . f  
 f  

 x
2
3
3
3
2
3
3
3
3
3
27
3









Khi đó
2
1 2 2
a


an 
n

1
 n 1, 2, được xác định như sau:
3 và
3
3.
Xét dãy (an ) ,
*
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng với mỗi n   ln có
a1 


f ( x )  an x với x  0 (3)
Thật vậy, khi n 1 thì theo (2), ta có ngay (3)
Giả sử mệnh đề (3) đúng với n k . Khi đó
 1  2x   2x 1
f ( x)  f  f    
 a .f
 2  3  3 2 k
a2  2
 k
.x ak 1.x
3

2x 2x
 2x  2x 1
 a .a . 



3
 3  3 2 k k 3

Vậy (3) đúng với n k  1 .
*
Tiếp theo ta chứng minh lim an 1 . Thật vậy, ta thấy ngay an  1 n   . Do đó:
1
an 1  an  (an  1)(an  2)  0
3
, suy ra dãy (an ) tăng ngặt.
1 2 2
l

l 
3
3 với l 1 , suy ra l 1 . Vậy
Dãy (an ) tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Đặt lim an l thì

lim an 1 .
Do đó từ (3) suy ra f ( x ) x với mỗi x  0 (đpcm).
Bài 3.
Tìm tất cả các hàm số f :    thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây
f  x  y  f  x  f  y
1.
với mọi x, y   .
2.

f  x  e x  1

với mỗi x   .
Hướng dẫn giải

f  x  0   f  x   f  0   f  0  0

f  0  e0  1 0

và bởi vì
f  x    x    f  x   f   x   f  x   f   x  0

 x
f  x  f   
 2

 1

 x 
 x
f   2  e 2  1
 2



 x 
 x
f  x  2  e 2  1  f  x   f   
 2



 x 
 x
f   4  e 4  1
2



 2xn

f  x  2  e  1


Dùng quy nạp theo n 1, 2,... ta CM được
n

cho nên

f  0  0


 2x0n

f  x0  2  e  1


Cố định x0   ta có
n

 x0n


an 2n  e 2  1

 ta có:
Xét dãy

 x0n

 e2  1 
lim an lim 
.x0  x0
x
 0n

 2

Vậy

f  x0   x0

x0  

Vậy

f  x   f   x   x    x  0

Kết hợp (1) và (3) ta được
Từ (2)

 3

f  x   f   x  0

 f   x   x  f  x   x

thấy đúng. Vậy

 2

 4  . Kết hợp (2) và (4) ta được f  x  xx   . Thử lại f  x  x

f  x   f   x   x    x  0

Kết hợp (1) và (3) ta được

ta

 3

f  x   f   x  0

 f   x   x  f  x   x
Từ (2)
thấy đúng.

 4  . Kết hợp (2) và (4) ta được f  x  xx   . Thử lại f  x  x

ta

1.2. DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI

Bài 4.
hạn.

2015

 x1  2016


2
 x x   xn  , n 1
n
 
 n1
 n
Cho dãy số xác định bởi
. Chứng minh rằng dãy số đã cho có giới hạn hữu
Hướng dẫn giải

Trước hết, bằng quy nạp, ta dễ dàng có xn  0 n 1 và dãy số đã cho là dãy tăng.
Ta có :


x2  x1  x12  2 x1 ;
x3  x2 

x22
 2 x1  x12  3 x1 ;
4

Giả sử xk  kx1 với k  1 . Ta có:

xk 1  xk 

xk2
 kx1  x12  (k  1) x1
2
k

Theo nguyên lý quy nạp ta có xn  nx1 n  1 .
Ta có : xm  m  1 m 2017 thật vậy :
mx1  m  1  m  1  x1   1  m 

Do đó

1
1
 m
 m  2016
2015
1  x1
1
2016
;

x m
xn2
2
x  x
x

1
1
1
1
1
1

 n 1 n  n  2 n  2 


xn xn 1
xn xn 1 n xn 1 n
n (n  1) n  1 n
Ta có với n 2 thì xn xn 1
1
x
Do đó n 2018 thì 2017



1 n  2018  1
1
 

xn
x2018i
i 0  x2017 i

 n  2018 
1

1
1
1
1




  

2017  i  2016 n  1 2016

i 0  2016  i

2016 x2017
1
1
1


 0  xn 
2016  x2017
Suy ra xn x2017 2016
Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.

Bài 5.

u1 1; u2 2



3
1
un 1  un  un  1 n 2

2
2
Cho dãy số (un ) xác định như sau 

a) Xác định số hạng tổng quát un
lim un
b) Tính

n  

Hướng dẫn giải

Biến đổi ta được:

un 1  un 

1
1
v

vn , n 2
 un  un  1 
n

1
2

2
với vn1 un1  un khi đó:

1
v2 1; q 
v
,
v
,...
v
,...
n
2
nghĩa là dãy 2 3
là một cấp số cộng của


vn un  un  1


vn  1 un  1  un  2 
  un  u1 v2  v3  ...vn
........................ 

v2 u2  u1
n 2
n 2
 1
 1 
1

 un 1   1   ...    3   
 2
 2  
 2


lim un  lim  3 
x  
x   

Bài 6.

1
 
 2

Cho dãy số

n 2


 3


 un  được xác định như sau
u1 2011; un  1 n 2  un  1  un 

,

*

u 
với mọi n   , n 2 . Chứng minh rằng dãy số n có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải
Từ cơng thức truy hồi của dãy ta được
1 
1 
1 
1 
1  
1



un  1  2  un  1  1  2   1 
u

...

1

1



 ...  1  2  u1
n 2


2

2
2
 n 
 n    n  1 
 n    n  1   2 
un 
Do đó

Bài 7.

 n  1  n  1 .  n  2  n ... 4.2 . 3.1 .2011  n  1 .2011
2011
2
lim un 
n2
2n
 n  1 32 22
2 .
. Từ đó

Cho dãy số

 un 

xác định bởi

 u1  2014, un1 

un4  20132
, n  *

un3  un  4026

n

Đặt

1
, n  *
k 1 u  2013
. Tính lim vn .

vn 

3
k

Hướng dẫn giải
un4  20132
u1  2014, un 1  3
, n  *

u 
un  un  4026
Cho dãy số n xác định bởi
n
1
vn  3
, n  *
k 1 uk  2013
Đặt

. Tính lim vn .

Ta có

 un  2013  un3  2013
un4  20132
un 1  2013  3
 2013 
un  un  4026
un  un2  1  4026

*
Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được un  2013, n   .


 un  2013  un3  2013
un 1  2013  3
 un  2013   un  2013
Từ

 1

Do đó

 1

1
1
1
1

1
1

 3
 3


un  2013 un  2013 un 1  2013
suy ra un 1  2013 un  2013 un  2013
n


1
1
1
1
1
vn  


1 

uk 1  2013  u1  2013 un1  2013
un 1  2013
k 1  uk  2013

Ta chứng minh lim un  .
2

 un  2013  0, n  *

un2  4026un  20132
un 1  un 

un3  un  4026
un3  un  4026
Thật vậy, ta có
u 
Suy ra n là dãy tăng, ta có 2014 u1  u2  ...
Giả sử ngược lại

 un 

 un 

bị chặn trên và

là dãy tăng nên lim un a   thì a  2014 . Khi đó

a 4  20132
a 3
a  a  4026  a 2013  2014 (vô lý). Suy ra  un  không bị chặn trên, do đó lim un 



1
lim vn lim  1 
 1
uk 1  2013 

Vậy

.
1.3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG
1.4. PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ PHỤ
1.5. DÃY SỐ SINH BỞI PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH
1.6. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC
1.7. CÁC DẠNG KHÁC
2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ
3. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
3.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
3.2. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN
3.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP
Bài 8. Tìm tất cả các hàm số f :    thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây:
1.

f  x  y   f ( x)  f ( y )

với mọi x, y   .

x
2. f ( x) e  1 với mỗi x   .

Hướng dẫn giải

f  x  0   f ( x)  f (0)  f (0) 0

0
và bởi vì f (0) e  1 0 nên f (0) 0

f ( x  ( x ))  f ( x )  f (  x )  f ( x )  f ( x) 0 (1)

 x
f ( x)  f   
 2

 2x 
 x
f   2  e  1
 2



 x 
f ( x ) 2  e 2  1  f ( x)  f



 x
 
 2

 x 
 x
f   4  e 4  1 
 2



 2xn


f ( x ) 2  e  1


Dùng quy nạp theo n 1, 2,  ta CM được
 2x0n

f ( x0 ) 2  e  1


Cố định x0   ta có
n

 x0n

an 2n  e 2  1


Xét dãy

 2x0n

e 1 

lim an lim  x0 x0   x0
n
 2

ta có :
.

Vậy f ( x0 )  x0 , x0   (2)
Vậy f ( x )  f ( x )  x  ( x ) 0 (3)
Kết hợp ( 1) và (3) ta được f ( x)  f ( x ) 0
Từ (2)  f (  x)  x  f ( x)  x (4) . Kết hợp ( 2) và (4) ta được f ( x)  x, x   .
Thử lại f ( x)  x ta thấy đúng.
3.3. CÁC DẠNG KHÁC
4. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
4.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
4.2. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN
Bài 9.

Tính giới hạn

lim
x 0

1 6x  3 1 9x
x2
Hướng dẫn giải
3

1  6 x  (1  3 x)
(1  3 x)  1  9 x
 lim

2
x 0
x 0
x
x2

9
27  27 x
9
27
lim
 lim
 9 
2
2
x 0 1  6 x  1  3x
x 0
3
3
2
2
(1  3 x)  (1  3x) 1  3 x  (1  3 x)
lim

Bài 10. Tính giới hạn:
x 2 x  1  3 3x  2  2
x 1
x2  1

A lim


Hướng dẫn giải
x 2 x  1  3 3x  2  2
x 2 x  1  1  3 3x  2  1


lim
x 1
x2  1
x2  1
Ta có x  1
lim

 x 2 x  1  1 3 3x  2  1
lim 


x 1
x2  1
x2  1 





2 x3  x 2  1
3x  3
lim  2


x 1
2
  x  1 x 2 x  1  1  x 2  1  3  3 x  2   3 3x  2  1 

 




2


2x  x 1
3
lim 


x 1
2
  x  1 x 2 x  1  1  x  1  3  3x  2   3 3 x  2  1 

 

4 3 3
  
4 6 2
4.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP
4.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐẠO HÀM
4.4. CÁC DẠNG KHÁC
------HẾT------







