Phần 4 ok

II. PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN ( NẾU CẦN BỔ XUNG MỜI CÁC THẦY CÔ CHO
Ý KIẾN )
1. XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
1.1. DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP
1.2. DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI

Câu 1:

Cho dãy số (un ) biết

u1  2

un 3un  1  1, n 2

. Xác định số hạng tổng quát của dãy.
Hướng dẫn giải
1
3
1
1
un 3un  1  1  un  3un  1   un  3(un  1  )(1)
2
2
2
2
1
1 5
Đặt v n un   v1 u1  
2
2 2
(1)  vn 3vn  1 , n 2

Dãy (vn ) là cấp số nhân với công bội là q 3 .
5
vn v1.q n  1  .3n  1
2
Nên
.
1 5
1
un vn   3n  1  , n 1, 2,...
2 2
2
Do đó
Câu 2:

A lim

a) Tính giới hạn

theo n .



3

n3  n 2  1  n

.

b) Cho dãy số (un) xác định bởi :

u1 11

un 1 10un  1  9n, n  

. Tìm cơng thức tính un

Hướng dẫn giải
A lim

a) Tính giới hạn
A lim



3



3

n3  n 2  1  n



n2  1

n3  n 2  1  n lim

Ta có:

1
lim



3

n

1
n2

2

1 1 

 1 1 
 1  4  6   3  1   3  1
 n n 
 n n 
1
A
3.
Vậy
b) Ta có:
u1 11 10  1
3

u2 10.11  1  9 102 100  2
u3 10.102  1  9.2 1003 1000  3

u 10 n  n  1
Dự đoán: n
Chứng minh:

3

2

 n 2  1  n. 3 n3  n 2  1  n 2


1
Ta có: u1 11 10  1 , cơng thức (1) đúng với n 1
k
Giả sử công thức (1) đúng với n k ta có: uk 10  k

Ta có:

uk 1 10  10k  k   1  9k 10k 1   k  1 .

Công thức (1) đúng với n k  1
n
Vậy un 10  n, n  N .
1.3. PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG

Câu 3:

 un 

Cho dãy số

un 1
n   u
n .
xác định bởi u1 1, u2 2, un 2 un  2un 1 , n 1. Tìm
Hướng dẫn giải
lim

Dễ thấy dãy đã cho là dãy số dương, do đó khơng có số hạng nào của dãy bằng 0. Từ công thức
un 2
u
2  n , n 1.
un 1
truy hồi của dãy ta có un 1

Đặt

vn 

un 1
1
, n 1
v1 2, vn 1 2  , n 1.
un
vn
, ta được dãy số

Dễ thấy dãy

 vn 

là dãy số dương và vn 2, n 1 . Do đó

1 1
1 5
5
5
  2    vn 1  , n 1.
2 vn 
vn 2
vn 2
2
2.
Vậy ta có
1
 5
1
f  x  2  , x   2; 
f '  x   2  0, x.
x
 2  . Ta có
x
Xét hàm số
Do đó có hai dãy con đơn
điệu của dãy
b  lim v2 n 1
n  

 vn 

và hai dãy con này đều bị chặn nên chúng có giới hạn. Giả sử

thì ta có hệ

1

 a 2  b
 a b



 ab 1
b 2  1

a

 a b 1  2

 a b 1  2
 ab 1


Ta thấy chỉ có a b 1  2 thỏa mãn và đây là giới hạn cần tìm.

Câu 4:

Tìm số các dãy số

 Viết lại

 un 

un 1  4un2  4un 0, n 1


1
u2004 
2
thỏa mãn điều kiện: 
.
Hướng dẫn giải

un 1 4un  1 – un   f  un 

Nhận xét:

với
f  x    0;1  x   0;1 .

f  x  4 x  1 – x 

a  lim v2 n
n  

và


1
  0;1  u2003   0;1  u2002   0;1  ....u1   0;1 .

u

Vì vậy: 2004 2


2
 Với 0  u1  1 tồn tại duy nhất : 0  a  2 và u1 sin a .
2
2
2
2
2
2
Lúc đó: u2 4 sin a (1 – sin a ) sin 2a ; u3 4 sin 2a (1 – sin 2a ) sin 4a .
1 1
 cos(2n )
2
n 1
u

sin
(2
a
)

2 2
Quy nạp ta được: n
.
1
1 1

1
2004


c
os(2

)

u2004  2
2 2
2


cos(22004 ) 0  22004    k    2005 (2k  1), k  Z .
2
2





1
1
0  2005 (2k  1)     k  22003 
2
2
2
2
Vì 0  a  2 nên

2003
Do k  Z nên: k 0;1; 2;...; 2 –1 .

Từ đó có tất cả 2

2003

 

u1 sin 2  2005 (2k  1)  , k  {0;1;....;2 2003  1}
2

giá trị u1 thỏa bài tốn:
.

2003
u 
Do đó có tất cả 2
dãy số n thỏa điều kiện đã cho.

Câu 5:

Cho x1 , x2 ,..., xn ,... là các nghiệm dương của phương trình tan x  x được sắp theo thứ tự tăng
dần. Tính

lim  xn  xn  1 

n  

.

Hướng dẫn giải


 

1
x     k ;  k 
f '( x )  2  1 0
2
 2
 . Ta có
cos x
Xét hàm số f ( x ) tan x  x , với
=> f ( x)
tăng từ   đến 

 

   k  ;  k 
2
 phương trình tan x  x có nghiệm duy nhất xk
Suy ra: trong khoảng  2
  

yk    ; 
lim yn 
xk  yk  k với
tan
y


tan
x

y

n



n


2
2

 =>
n
n
n
2
=>
lim  xn  xn  1 

n  

Câu 6:

=

lim

n  

 y

n

 n    yn  1   n  1  



=

lim    yn  yn  1  

n  

.

u1 2014

u un2  (1  2a)un  a 2 n 1, 2,...
(
u
)
n
Cho dãy số
xác định như sau:  n 1
.
Tìm điều kiện của a   để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Hướng dẫn giải
2
Ta có: un 1  un (un  a) 0  un 1 un ; n 1, 2,3,...

* Suy ra dãy số (un ) tăng; từ đó dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn
trên.
2
2
Giả sử tồn tại lim un L ( L  ) , thì chuyển qua giới hạn hệ thức un 1 un  (1  2a )un  a ta
2
2
có: L L  (1  2a ) L  a  L a
*
- Nếu có chỉ số k   mà uk  a thì un  a; n k nên L  a trái với kết quả lim un L a .
2
2
Do đó: uk a với mọi k 1, 2,... hay un  (1  2a)un  a a, n 1, 2,3,... nói riêng

u12  (1  2a)u1  a 2 a  a  1 u1 a  a  1 2014 a từ đó ta được 2014 a 2015 .
* Đảo lại: Nếu 2014 a 2015  a  1 u1 a
 (u1  a  1)(u1  a ) 0  u12  (1  2a )u1  a 2  a 0  u2 a
và u1 u2  a  1 u2 a .
Bằng quy nạp ta chứng minh được a  1 un a, n 1, 2,3,... (H/s trình bày ra)
Như vậy dãy (un ) tăng, bị chặn trên bới a , do đó dãy (un ) có giới hạn hữu hạn.
Kết luận: Với điều kiện 2014 a 2015 thì dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và lim un a
Câu 7:

Cho hai dãy số

 an 

và

 bn 

được xác định như sau:

a1 2, b1 1 ,
Chứng minh rằng

 an 

và

 bn 

an 1 

2an .bn
an  bn ; bn 1  an 1.bn , n 1, 2, 

có cùng giới hạn, tìm giới hạn đó.
Hướng dẫn giải

Bằng quy nạp, ta chứng minh rằng:




2n.sin n
n
2 .3  1 b 
2 .3
an 
n



sin .cos n
sin
3
2 .3
3
;
(2)
2n.sin

Từ (1), (2) tồn tại

lim an

n  

và

lim bn

n  



n
2 .3  3  2 3
lim an lim
n 
n 



9
sin .cos n
sin
3
2
.3
3
Ngoài ra:
2n.sin

lim bn lim an .lim cos
n 

n 

 a  ,  bn 
Vậy hai dãy n

Câu 8:

n 


2 3

n
2 .3
9

2 3
có cùng giới hạn chung là 9

1

 x1  2

2
 x  x  xn ; n 1
n 1
n
n2
Cho dãy số (xn) thỏa mãn: 
. Chứng minh dãy số trên có giới hạn.
Hướng dẫn giải

*) Ta chứng minh xn  n
Thật vậy: n 1 đúng

2



n  n  1
2

với mọi n  1 (1)

2



k  k  1

2
Giả sử (1) đúng với n k 1: xk  k
x2
xk
2
2
2
 xk 1   k  1  xk  k2   k  1
x  k 2    k  1
2  k
k
= k
2

3  k  1
k  k  1

 k  1  k  k  1
2

 1
  k  1 

2
2
k 2 
2

k  1  3  k  1
k  1  k  2 
 k  

2 
2
2

(đpcm)
x 
*) Ta chứng minh n có giới hạn.
x 
NX: n tăng và xn  0 với mọi n


1
1
1
2

1 1
 1
1





 2  1    2  xn 
2
xn xn 1 xn  n
n  n  1
x1 xn
 n
2  2 với mọi n 
Ta có
1
x 
Vậy n có giới hạn.
1.4. PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ PHỤ
1.5. DÃY SỐ SINH BỞI PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH
1.6. SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC

Câu 9:

Cho dãy số

Un 

U1  3


U  U n  2  1 ; n 1, 2,3,...  *
 n 1 1  1  2 U
n
định bởi 
. Tính U 2013
Hướng dẫn giải






Tính đúng

tan


 21
8


2.tan

 
8  tan   2  1
1 tan tan  2  
4
8
 8  1  tan 2 

8

8
U n 1 

1  U n .tan
*

8
Từ
ta viết được
U n  tan

 1



 U n tan    n  1 . 
 1 và U1  3
8
3
Theo quy nạp từ


 6047 
U 2013 tan   2013.  tan 

8
3
 24 

Vậy
1.7. CÁC DẠNG KHÁC
 x1 1

1

xn 1  xn 
, n 1

xn 
2 xn


Câu 10: Cho dãy số thực
được xác định như sau:
25 x625  625
x
Chứng minh rằng: 
( kí hiệu   là phần nguyên của số thực x ).
Hướng dẫn giải
1
1
1
n  n xn  n  H n , n 1
H n 1    
8
2
n
Ta chứng minh rằng:
, với

1
xn21 xn2  2  1 2
2
2
4 xn
, x1 1 quy nạp xn n .Với n 1 đúng giả sử đúng đến n . Tức là xn n .
Từ đó suy ra
1
xn21 n  1  2  n  1  nxn n
4 xn
xn2  xn2 1 

n 1
1
1
1 n 1 1
2

1



x

n

1


n






1
2
4 xn2 1
4 k 1 k
k 1 4 xk
2

1
1
1


 n  Hn   n 
H n   nxn n  H n
4
8
8 n


Việc tiếp theo ta chứng minh H 625  8 . Ta có BĐT H n 1  ln n thật vậy,
1
1
 1
f  x  ln  x  1  ln x 
ln  1   

x 1
x  x  1 x  0

Xét hàm số
f  x  

1
1

 0 , x  0
x  x  1  x  1 2

hàm số

f  x

giảm trên khoảng


 0;   f  x   0, x  0 , ta suy ra

1
 ln  x  1  ln x  *
x 1
áp dụng

1
1
1   
 1  ln 2  ln1  ln 3  ln 2    ln 625  ln 624 1  ln 625  8

2
625
1
625  625 x625  625  H 625  626
  25 x625  625
8
Từ đó:
2. MỘT SỐ DẠNG TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ
3. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
3.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA

 yn 

3
thỏa mãn y1  0, yn 1  y1  y2  ...  yn , n 1 .
 yn 
 
Chứng minh rằng dãy số  n  có giới hạn bằng 0 khi n   .

Câu 11: Cho dãy số

Hướng dẫn giải
3
3
y
Từ giả thiết ta có yn 1  yn  yn , n 2 , do đó dãy số n n2 là dãy tăng, vì
3
3
2
2

vậy yn 1  yn  yn  yn ( yn  1)  yn 1 ( yn  1)

 yn21  yn2  1 , n 2  yn21  yn2  1  ...  y22  n  1
2

y2  n  1
y22  n  1
 y 
  n 1   2
lim
0
(n  1) 2 . Mà
( n  1) 2
 n 1 
nên theo định lý kẹp ta có
2

y
y
 y 
lim  n 1  0  lim n 1 0  lim n 0
n 1
n
 n 1 
Câu 12: Tìm tất cả các hằng số c  0 sao cho mọi dãy số dãy số (un ) thỏa mãn:

un  (0;1)
n 1

un 1 (1  un )  c

đều hội tụ. Với giá trị c tìm được hãy tính giới hạn của dãy (un ) .
Hướng dẫn giải
Ta xét các trường hợp sau
+ Nếu

c

cun
c
1
un 1 

4cun ; n 1
1  un un (1  un )
4 , thì từ giả thiết, ta có

n 1
Từ đây bằng quy nạp, ta suy ra un  (4c) u1 . Do 4c  1 nên un   khi n   . Do đó,

c

1
4 khơng thỏa mãn.

 1  1  4c 1  1  4 c 
 a (1  b)  c
1
a
,

b

;

 , a  b

0c
2
2


4 , thì tồn tại
+ Nếu
sao cho b(1  a )  c . Thật
 1  1  4c 1  1  4 c 
a  
;
 ,
2
2

 đặt b a  x ( x  0) , thì
vây, lấy


a (1  b)  c  a (1  a  x )  c  x 

a(1  a )  c
a
.

Chú ý là b(1  a)  a(1  a)  c. Do đó, ta chỉ cần chọn x  0 như trên và b a  x, thì được 2
bất đẳng thức nêu trên.
Xét dãy số (un ) xác định bởi
a nêu n 2m
un 
b nêu n 2m  1
0c

1
4 cũng khơng thỏa mãn.

thì dãy (un ) thỏa mãn giả thiết nhưng không hội tụ. Thành thử,
un
1
1
un 1 

un
c
4(1

u
)
4
u
(1

u
)

4
n
n
n
+ Nếu
, thì
. Suy ra dãy (un ) tăng và bị chặn. Do đó,
(un ) hội tụ.
1
1
1
x(1  x) 
x .
lim un  .
x

li
m
u
,
n thì từ giả thiết ta có
4 hay
2 Vậy
2
Đặt
1

 x1  2

2

 x  x  xn ; n 1
n 1
n
n2
Câu 13: Cho dãy số (xn) thỏa mãn: 
. Chứng minh dãy số trên có giới hạn.
Hướng dẫn giải

*) Ta chứng minh xn  n
Thật vậy: n 1 đúng

2



n  n  1
2

với mọi n  1 (1)

2



k  k  1

2
Giả sử (1) đúng với n k  1: xk  k
x2
xk

2
2
2
 xk 1   k  1  xk  k2   k  1
x  k 2    k  1
2  k
k
k
2

3  k  1
k  k  1
 k  1  k  k  1
2

 1
  k  1 

2
2
k 2 
2

k  1  3  k  1
k  1  k  2 
 k  

2 
2
2


(đpcm)
x 
*) Ta chứng minh n có giới hạn.
x 
NX: n tăng và xn  0 với mọi n


1
1
1
2
1 1
 1
1





 2  1    2  xn 
2
xn xn 1 xn  n
n  n  1
x1 xn
 n
2  2 với mọi n 1
Ta có
x 
Vậy n có giới hạn.

Câu 14: Cho dãy số

 un 

xác định bởi u1 2014,

un 1 

un4  20132
, n  *
3
un  un  4026
.


n

Đặt

1
, n  *
u

2013
k 1
. Tính lim vn .

vn 

3
k

Hướng dẫn giải
un4  20132
(un  2013)(un3  2013)

2013

3
(un3  2013)  (un  2013) (1)
+ Ta có un 1  2013  un  un  4026
*
Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được un  2013, n   .

1
1
1
1
1
1

 3


3
+ Từ (1) suy ra un 1  2013 un  2013 un  2013  un  2013 un  2013 un 1  2013
n



1
1
1
1
1
vn  


1 

uk 1  2013  u1  2013 uk 1  2013
uk 1  2013
k 1  uk  2013
Do đó

+ Ta chứng minh lim un  .

Thật vậy, ta có
Suy ra

Giả sử

un 1  un 

un2  4026un  20132
(un  2013) 2

 0, n  *
un3  un  4026
un3  un  4026

 un  là dãy tăng, ta có

2014 u1  u2  ...

 un  bị chặn trên và lim un a

thì a  2014 . Khi đó

a

a 4  20132
a 3  a  4026

 a 2013  2014 ( vơ lí). Suy ra  un  khơng bị chặn trên, do đó lim un 
Vậy lim vn lim

Câu 15: Cho dãy số

 un 

(1 

1
) 1
uk 1  2013
.

xác định bởi:

u1 2013

2
*
un 1 un  2, n  

1
u1 a  ,
u

2013

2
a
- Vì 1
nên đặt
2

un21
n   u 2 .u 2 ...u 2
1
2
n .
. Tìm
Hướng dẫn giải
a>1

1
1


u2 u  2  a    2 a 2  2
a
a .

Ta có
2
1

Bằng quy nạp, ta chứng minh được
n

un 1 a 2 

1
a2

n

, n  

.

lim


- Xét
n

n
1

 2i 1
u



i
 a  2i 1
a
i 1
i 1 

1

1

1  
1  n  2i 1
1  
1   2n
1 
 

a

a

 
  a  2i 1    a    a  2n  1.0
 
a  

a  i 1 
a 
a  
a 
 
2

1  n
1 

a    a 2  2n 
2
2

2
un 1
un21
1 
1
a 


a

 2 2 2 
 lim 2 2 2  a    a    4 20132  4 1.0
2
n   u .u ...u
u1 .u2 ...un
a 

a
n

1 
 2
1
2
n
 a  2n 
a 

3.2. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN
 x1 2

x1  2 x2  3x3  ...  (n  1) xn  1

, n 1, n  .
2
 xn 
n
(
n

1)

thỏa mãn

x 
Câu 16: Cho dãy số n
lim un

3
Tìm
với un (n  1) xn .
Hướng dẫn giải

1
x2  .
3
Ta có
3
Với n 3 : x1  2 x2  3x3  ...  nxn n xn (1)
x1  2 x2  3x3  ...  (n  1) xn  1 ( n  1)3 xn  1 (2)
3
3
Từ (1) và (2) ta có nxn n xn  (n  1) xn  1
Suy ra

xn 

 xn (

(n  1)3 xn  1
n 1 2 n
(
).
.xn  1
3
n n
n
n 1

n 1 2 n 2 2 2 2 n n 1 3
) .(
) ...( ) .
.
... x2
n
n 1
3 n 1 n
4

4(n  1) 2
4
lim
4
2
 xn  2
lim un
n
n ( n  1) suy ra
=
3.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP
3.3. CÁC DẠNG KHÁC
Câu 17:

u 
Cho hai dãy số n

v 
và n

un 
xác định như sau: u1 1, v1 2, và

un  1  vn  1
, vn  un vn  1
2
khi

n 2 .
Chứng minh rằng hai dãy

 un 

và

 vn 

có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Ta có

cos

a b
 1

an  n  1 n  1 , bn  anbn  1


u1 cos v1
3 2 suy ra
3 mà
2
khi n 2



u1  v1
u2 
2 cos 2 3 , v2  u2 v1 2 cos 3
2
2
2
Suy ra





u2  v2

u3 
2 cos 3 cos 2 3 , v3  u3v2 2 cos 3 cos
2
2
4
2
3

bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được





un  1  vn  1
un 
2 cos 3 cos 32 cos 33 ....cos 2 3n  1
2
2
2
2
2

vn  un vn  1

Mặt khác





2 cos 3 cos 32 cos 33 ....cos 3n  1
2
2
2
2

cos  

sin 2
2sin  nên ta có





sin
sin 3
sin 2 n3 2
1

3 .
2 ....
2
un 2
 n  2 sin cot 3n  1



2
3
2
2
2 3
3
3
2sin
2sin 2 2 sin n  1

2
2
2




sin
sin
sin 3
sin n3 2
1
3 .
3
2 .......
2
vn 2
 n 2




2
2sin 3 2sin 32
2sin 3n  1
sin 3n  1
2
2
2
2

Do đó




 

3
 cot n  1
 1



2
lim un lim  n  2 sin cot 3n  1  2sin lim 
n 1
n 
n  2
n 
3
2
3
2












3
2sin
2sin
n 1
3 3 3
3 lim 2


 n 



3
3
3
tan n  1
2










n

*
Câu 18: Với mỗi n   , đặt

Qn  x   x  i 2 

a) Chứng minh đa thức

i 0

Qn  x 

.

 0;1 .
có duy nhất 1 nghiệm thực xn thuộc

b) Chứng minh tồn tại giới hạn của dãy

 xn  .


Hướng dẫn giải
a) Ta có

Qn  0  Qn  1 Qn  22  ... Qn  n 2  0

 0;1 ,  1; 4  ,...,   n  1

nên trong mỗi khoảng
Mặt khác, ta có

det Qn  x  n

nên đa thức

2

; n2

 có 1 nghiệm của phương trình Q   x  0 .

Qn  x 

n

có duy nhất 1 nghiệm xn thuộc khoảng

 0;1 .
1
1 
1
Qn  x  Qn  x   
 ... 

2
x  n2 
 x x 1
b) Ta có

Q  x
Q  x
Q   x  0
Do n
có nghiệm khơng là nghiệm của n
nên nghiệm của phương trình n
là
nghiệm của phương trình:
1
1
1
fn  x   
 ... 
0
2
x x 1
x  n2
1
1
1
f n  x   2 
 ... 
0
2
2 2
x  x  1
x

n



Ta có:
f  x
 0;1
Nên n
nghịch biến trên
1
1
1
f n  xn   
 ... 
0
2
2
x
x

1
x

n
n
n
n
Lại có:
1
2



1
1
1
1

 ... 

0
2
2
2
xn xn  1
xn  n
xn   n  1

x   n  1
 n
 f n 1  xn   0  f n  xn   f n 1  xn 1   xn  xn 1

x
Do đó dãy n là dãy giảm.
x   0;1
x
Lại có n
. Vậy dãy n có giới hạn.
4. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ
4.1. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA
4.2. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN
4.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP
4.3. TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐẠO HÀM

4.4. CÁC DẠNG KHÁC
------HẾT------