D05 cực trị hình học muc do 4

Câu 1.

[HH10.C2.1.E05.d] Cho tam giác ABC . Đặt a BC , b  AC , c  AB . Gọi M là điểm tùy ý. Tìm
2
2
2
giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA  MB  MC theo a , b , c .
  Lời
 giải

GA

GB

GC 0 .
G
ABC
Gọi là trọng tâm tam giác
suy ra



2
2
2
2
2
2
Ta có P MA  MB  MC MA  MB  MC .
 
 

2
2
 MA2 
MG  GA MG 2  2.MG.GA  GA


2
 2  
2
2
MB

MG

GB

MG
 2.MG.GB  GB

 2  

2
 MC  MG  GC MG 2  2.MG.GC  GC 2
Với 
 2
 2
2
 MA  MB  MC 3MG 2   GA2  GB 2  GC 2 










P 3MG 2   GA2  GB 2  GC 2 

2
và Pmin  MG min  MGmin  M G .
 2 4 2 4  b2  c2 a 2  1
2
2
2

GA  ma  
   2b  2c  a 
9
9 2
4  9


4 2 4  a2  c2 b2  1
2
2
2
2
GB


mb  


   2a  2c  b 
9
9 2
4 9


2
2
 2

GC 2  4 mc 2  4  a  b  c   1  2a 2  2b 2  c 2 
9
9 2
4 9

Mặt khác 
.
1
Pmin GA2  GB 2  GC 2   a 2  b 2  c 2 
3
Từ trên, ta được:
. Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi
M G .
Câu 1. [HH10.C2.1.E05.d] (HSG Toán 10 Cụm Trường Hà Đơng – Hồi Đức Hà Nội 2018 - 2019)

 cm  , xAB
y

450 và By  AB .
x
Cho hai tia Ax , By với AB 100

Khi đó

Chất điểm X chuyển động trên tia Ax bắt đầu từ A với
 cm / s  , cùng lúc đó chất điểm Y chuyển
vận tốc 3 2
 cm / s  . Sau t
động trên tia By bắt đầu từ B với vận tốc 4
(giây) chất điểm X di chuyển được đoạn đường AM , chất
điểm Y di chuyển được đoạn đường BN . Tìm giá trị nhỏ
nhất của MN .
Lời giải

N
M
450

A

Sau t (giây) ta có AM 3 2t (cm) , BN 4t (cm) .

y'

K

A

M

H

N

B

x'

B


Dựng hệ trục Descartes vng góc Axy, A O(0; 0) như hình vẽ trên.
Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của M lên trục Ax và Ay  .
Với t  0 ( tức M  A ) ta có AHMK là hình vng. Suy ra AH  AK 3t (cm) .
 M  3t ;3t  , N  100; 4t  . (Nói thêm là trường hợp M  A thì tọa độ M vẫn đúng).
2
2
MN 2  100  3t   t 2 10t 2  600t  10000 10  t  30   1000 1000, t  
Khi đó
.
 MN 10 10, t  .
Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi t 30 .
Vậy min MN 10 10 cm khi t 30 giây.
Câu 1. [HH10.C2.1.E05.d] (HSG Toán 10 Cụm Trường Hà Đơng – Hồi Đức Hà Nội 2018 - 2019) Cho
tam giác ABC có BC a, CA b, AB c , độ dài ba đường trung tuyến kẻ từ A, B, C lần lượt là
ma , mb , mc . Chứng minh rằng:
a
b

c


2 3
ma mb mc
.
Lời giải
2
2
x y
xy 
, x, y 0
2
. Dấu “=” xảy ra khi x  y .
Áp dụng bất đẳng thức:

3 2
2
3 2 2(b 2  c 2 )  a 2
a

m
a
a 
2  3a  2 4
2 4
a 2  b2  c 2
4
ama  
ma  



2
3 2
3
2

3
2 3
Ta có:
.
2
2
2
2
2
2
a b c
a b c
bmb 
cmc 
2 3
2 3
Tương tự:
;
.
Vì vậy:
a
b
c

a2
b2
c2
2 3a 2
2 3b 2
2 3b 2





 2


ma mb mc ama bmb cmc a  b 2  c 2 a 2  b2  c 2 a 2  b 2  c 2
a
b
c
2 3( a 2  b 2  c 2 )




2 3
ma mb mc
a 2  b2  c 2
.
Dấu “=” xảy ra khi a b c hay tam giác ABC đều.
Câu 1. [HH10.C2.1.E05.d] (HSG Đồng Tháp năm 2011-2012) Cho tam giác ABC có BC a , CA b ,
AB c và c b . Hai điểm M , N tương ứng di động trên 2 cạnh AB , AC sao cho MN chia tam

giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau. Xác định vị trí của M và N để MN có độ dài nhỏ
nhất.
Lời giải
A
M

B

Đặt AN  x , AM  y với 0  x c, 0  y b
Ta có:

N
C


1
1
1 1
bc
S AMN  S ABC  . AM . AN .sin A  . bc sin A  y 
2
2
2 2
2x
bc
c
c
y  b  x   x c
2x
2

2
Theo định lý hàm số cosin trong AMN , ta có:
MN 2  AM 2  AN 2  2 AM . AN .cos A x 2  y 2  2 xy cos A
x2 

b2c 2
 bc cos A
4x2

 c2 2 
b2c2 1
c2
2
f
(
t
)

t

,

bc

cos
A
,
t

 ;c 

t x , t c
4
t
 4

4
Đặt
, xét hàm
 bc
2 2
t  2
bc 1

f (t ) 1 
0  
4 t2
 t  bc (l )

2
bc
b 2c 
c 2
2
TH1:
2

MN min  x  y 

TH2:

b  2c 

bc
.
2 Khi đó M , N cách A một đoạn bằng

bc
2

bc
 c2
2

b
MN min  x c, y  .
2 Khi đó M B và N là trung điểm của AC
* Lưu ý: Ta có thể lập bảng biến thiên hàm bậc hai dùng kiến thức lớp 10 không qua đạo hàm.