D03 hệ thức lượng muc do 4

Câu 1.

[HH10.C2.1.E03.d] Cho tứ giác lồi ABCD có AC  BD và nội tiếp đường trịn tâm O bán kính
R 1 . Đặt diện tích tứ giác ABCD bằng S và AB a, BC b, CD c, DA d .
 ab  cd   ad  bc 
T
S
Tính giá trị biểu thức
.
Lời giải
D

c

d

O
C

A
a

b
B

S .4 R
a.b. AC
 ab  ABC
4R
AC
Ta có :

S .4 R
S .4 R
S .4 R
cd  ADC
ad  ABD
bc  BCD
AC ,
BD ,
BD
Tương tự ta cũng có :
 ab  cd   ad  bc 
T
S
 S ABC .4 R S ADC .4 R   S ABD .4 R S BCD .4 R 
 AC  AC   BD  BD 



S
S
S
S
S
S
S
S
S

4  ABC . ABD  ABC . BCD  ADC . ABD  ADC . BCD 
AC BD

AC BD
AC BD
AC BD 
 
S
4  S ABC .S ABD  S ABC .S BCD  S ADC .S ABD  S ADC .S BCD 

S . AC.BD
4  S ABC  S ABD  S BCD   S ADC  S ABD  S BCD  
4  S ABC .S  S ADC .S  4 S  S ABC  S ADC  4S .S



2  
S . AC.BD
S . AC.BD
S .2S
S . AC.BD
.
Vậy T 2 .


[HH10.C2.1.E03.d] (HSG lớp 10 Tỉnh Vĩnh Phúc 18-19) Cho tam giác ABC có ABC 60
S ABC 

Câu 1.

. Gọi D là giao điểm của chân đường phân giác trong góc A với BC , điểm E và F lần lượt là hình
S DEF
AB

x
chiếu vng góc của D lên AB và BC . Đặt AC
, tính tỉ số S ABC theo x và tính tỉ số đó khi

BD 3, BC 9 .
Lời giải


C

D

B

60

F

A

E

DB AB
x

 x  x  0   DB 
BC
x 1
Ta có: DC AC
.

1

DE.DF .sin EDF
S DEF 2
DE 2


S ABC 1 AB. AC.sin BAC
xAC 2

0


2
Do EDF  BAC 180 và DE DF nên ta có:
.
Mặt khác:

DE DB.sin 60 

3
3 x
DB  .
BC
2
2 x 1
.

Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có:

BC 2  AB 2  2 BC. AB.cos 60  AC 2  BC 2  xAC.BC  x 2 AC 2  AC 2 0 .
  AC 2  4  3 x 2  0  0  x 

Với

2
3.

x  4  3x 2
x
BC  AC.
BC  AC.
2
Khi đó:
hay

4  3x 2
x
BC  AC.
2
. Nhưng

4  3 x 2  0  x  4  3x 2  x 2  1  x  1  1  x 

x

4  3x 2
2
khi

2
3.

Vậy:

Khi 0  x 1 thì
1 x 

Khi

hoặc

2
 x  4  3x 2
S DEF 3  x 
2
 .
.
AC
.



S ABC 4  x  1 
2


2
3 thì

2


1
3x  x  4  3 x 2

.

 xAC 2 16 
x 1



2
 x  4  3x 2
S DEF 3  x 
2
 .
 . AC . 
S ABC 4  x  1 
2


2
 x
S DEF 3  x 
2
 .
.
AC

.



S ABC 4  x  1 


4  3x 2
2

2


1
3x  x  4  3 x 2
 .

 xAC 2 16 
x 1



2


1
3x  x  4  3x 2

.


 xAC 2 16 
x 1



Trường hợp BD 3, BC 9 .
DB AB
1

x  , 0  x  1
2
Ta có: DC AC
. Áp dụng kết quả trên ta có:

S DEF
S ABC

2

1  1  4  3 1 
 
3.
2
 2
 2 .
1
16
1

2




2



7  13

  48



.

2




 .

2




 .







2