001_01_13_Gt12_Bai 5_Dths_Tự Luận_Hdg_Chi Tiết.docx

I

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ
KHẢO SÁT HÀM SỐ

C
H
Ư
Ơ
N

BÀI 5. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I
LÝ THUYẾT
.
=
=
=
I

A. SƠ ĐỒ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số;



Bước 2. Tính đạo hàm y  f ( x) ;

Bước 3. Tìm nghiệm của phương trình f ( x) 0 ;
Bước 4. Tính giới hạn

lim y; lim y

x  

x  

và tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có);

Bước 5. Lập bảng biến thiên;
Bước 6. Kết luận tính biến thiên và cực trị (nếu có);
Bước 7. Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao với trục Ox , Oy , các điểm đối xứng, …);
Bước 8. Vẽ đồ thị.


B. CÁC DẠNG ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP
y ax 3  bx 2  cx  d

1. HÀM SỐ BẬC BA
TRƯỜNG HỢP

 a 0 
a0

a0

y

y
1

/

Phương trình y 0 có
2 nghiệm phân biệt

1

O

1

x

1

O

x

y

y

1

/
Phương trình y = 0 có
nghiệm kép

1

1

O

x

1

O

x

y

y

1
/
Phương trình y 0 vơ
nghiệm

O

1
x

1
1

O

x

MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
3
2
Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x  3x  2
Lời giải:
Tập xác định: D 
Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
 x 0
y 0  
2
y 3 x  6 x .Xét
 x 2

   ; 0  và  2 ;   , y  0 nên hàm số đồng biến
 0 ; 2  , y  0 nên hàm số nghịch biến
Trên khoảng
Trên các khoảng
+ Cực trị :
y y  0  2
y y  2   2
Hàm số đạt cực đại tại x 0 ; cd
.Hàm số đạt cực tiểu tại x 2 ; ct
+ Các giới hạn tại vô cực


3 2 
3 2 

lim y  lim x 3  1   3  ; lim y  lim x 3  1   3   .
x  
x  
x  
x  
x x 
x x 




+ Bảng biến thiên:

x
y

0
0
2



y
Đồ thị
Ta có

2
0










2

 x 1
x 3  3x 2  2 0   2
 x  2 x  2 0  đồ thị hàm số qua điểm A  1; 0  .
B  0; 2  .
Cho x 0  y 2 :Đồ thị hàm số cắt Oy tại

Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm

phương trình y 0 (Điểm uốn)
Câu 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

I  1; 0 

làm tâm đối xứng. Hoành độ điểm I là nghiệm của

y  x 3  3 x2  3 x  1
Lời giải:

Tập xác định: D 
Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:
2

y  3 x2  6 x  3  3  x  1 0 x  


.Xét y 0  x 1.

   ;   .
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng
+ Cực trị : Hàm số khơng có cực trị
+ Các giới hạn tại vô cực


3 3
1 
3 3
1 
lim y  lim x 3   1   2  3   ; lim y  lim x 3   1   2  3  .
x  
x  
x



x



x x

x x
x 
x 


+ Bảng biến thiên:
x





y

y







Đồ thị
3
2
A  1; 0  .
Ta có  x  3 x  3x  1 0  x 1  đồ thị hàm số qua


B  0;1

Cho x 0  y 1  Đồ thị hàm số cắt Oy tại
.
C  2 ;  1 .
Cho x 2  y  1  Đồ thị hàm số qua

Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm

trình y 0 (Điểm uốn).
Câu 3. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

I  1; 0 

làm tâm đối xứng.Hoành độ điểm I là nghiệm của phương

y = x3 +1
Lời giải:

Tập xác định: D 
Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:

y 3x 2 0 x   .Xét y 0  x 0.
Suy ra hàm số luôn đồng biến trên khoảng
+ Cực trị : Hàm số khơng có cực trị
+ Các giới hạn tại vô cực

   ;   .

lim y  lim x 3 ; lim y  lim x 3  .

x  

x  

x  

x  

+ Bảng biến thiên:
x



y



0
0





y

0


Đồ thị

3
O  0; 0 
Ta có x 0  x 0 .Vậy đồ thị hàm số qua

( )

B 1;1
Cho x 1  y 1 :Đồ thị hàm số cắt Oy tại
.Cho x  1  y  1 :Đồ thị hàm số cắt
qua

C   1;  1 .


Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận điểm

phương trình y 0 (Điểm uốn)
2. HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG
TRƯỜNG HỢP

O  0; 0 

làm tâm đối xứng. Hoành độ điểm O là nghiệm của

 a 0 

y ax 4  bx 2  c
a>0

a0

y

y
/
Phương trình y 0 có
3 nghiệm phân biệt

1
1

1

O

x

y

1

O

x

y

1

/
Phương trình y 0 có

1 nghiệm.

1

O

1
1

O

x

MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TỐN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

y x 4  2 x 2  3
Lời giải:

Tập xác định: D 
Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
 x 0
y 0  
y 4 x  4 x 4 x x  1
 x 1
.Xét
3

Trên các khoảng



2

  1 ; 0



và

 1;   ,

y  0 nên hàm số đồng biến

x


Trên các khoảng
+ Cực trị :

   ;  1

và

 0 ; 1 ,

y  0 nên hàm số nghịch biến

y y  0   3

Hàm số đạt cực đại tại x 0 ; cd
.
y y  1  4
Hàm số đạt cực tiểu tại x 1; ct
+ Các giới hạn tại vô cực

2
3 
lim y  lim x 4  1  2  4  .
x  
x  
x x 

+ Bảng biến thiên
x 
1

y
0

y

+

0
0

1
0





3

4

Đồ thị



4

4
2
A  1; 0  , B   1; 0  .
Ta có x  2 x  3 0  x 1 .Vậy đồ thị hàm số qua

C  0 ;  3
Cho x 0  y  3 :Đồ thị hàm số cắt Oy tại
.Cho x 2  y 5 : Đồ thị hàm số

qua

D   2 ; 5 , E  2 ; 5 .

y

1 O

1

x

3

4
Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

Câu 2. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

y 4 

x2 x4

2 8
Lời giải:

Tập xác định: D 
Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:

y  x 


x3
x2 
 x  1  
2

2 


.Xét y 0  x 0.

   ; 0  , y  0 nên hàm số đồng biến
 0 ;   , y  0 nên hàm số nghịch biến
Trên các khoảng
Trên các khoảng
+ Cực trị :
y y  0   3
Hàm số đạt cực đại tại x 0 ; cd
.
Hàm số khơng có cực tiểu.


+ Các giới hạn tại vô cực

1
1
lim y  lim x 4   1 

2
x  
x  
2x 8x4

+ Bảng biến thiên:
x 
y

y


  .


0
0
4










Đồ thị

y
4

1

-2
O

2

x

-1

C   2 ; 0 , D  2 ; 0
Cho x 2  y 0 :Đồ thị hàm qua
Lưu ý: Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng.

3. HÀM SỐ NHẤT BIẾN

y

ax  b
cx  d

D ad  bc  0

 c 0 , ad  bc 0 
D ad  bc  0


MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ BÀI TỐN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
x +1
Câu 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số x - 1
Lời giải:
D  \ 1
Tập xác định:
Sự biến thiên:

+ Chiều biến thiên:
2
y 
2
 x  1 .Ta thấy y không xác định khi x 1; y luôn âm với mọi x 1

 1;   và    ; 1 .
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng
+ Cực trị :
Hàm số khơng có cực trị
+ Tiệm cận
x 1
lim y lim
1.
x  
x 1
Vậy đường thẳng y 1 là tiệm cận ngang
x 1
x 1
; lim y lim
 .
x 1 x  1
x 1 x  1
x  1
x  1
Vậy đường thẳng x 1 là tiệm cận ngang
+ Bảng biến thiên:

x


1
lim y lim

y

–

–


y

1

1


Đồ thị
Đồ thị cắt trục tung tại điểm

A  0 ;  1

và cắt trục hoành tại điểm

B   1; 0 

y

1

-2

Lưu ý : Giao điểm

I  1 ;1

0

1

x

của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị

Câu 2. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

y

x 1
2x  1
Lời giải

(Hình vẽ)


1 
D  \  
2
Tập xác định:
3

y' 
0
2
 2 x  1
Ta có

với mọi

lim y  lim y 

x  

x  

x

1
2

1
1
y
2 . Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là
2

lim  y , lim  y  

 1
x  
 2

 1
x  
 2

. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là
Bảng biến thiên của hàm số có dạng:
x

1
2

−∞
+∞
−

y'
y

Đồ thị hàm số có dạng:

x

−

1
2

+∞

−∞

1
2

1
2


C. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ
 
Cho hàm số y  f x có đồ thị  C  với số a  0 ta có:
 
Hàm số y  f x  a có đồ thị  C  là tịnh tiến  C  theo phương của Oy lên trên a đơn vị.
 
Hàm số y  f x  a có đồ thị  C  là tịnh tiến  C  theo phương của Oy xuống dưới a đơn
vị.


Hàm số y  f x  a có đồ thị  C  là tịnh tiến  C  theo phương của Ox qua trái a đơn vị.



Hàm số y  f x  a có đồ thị  C  là tịnh tiến  C  theo phương của Ox qua phải a đơn vị.
 
Hàm số y  f x có đồ thị  C  là đối xứng của  C  qua trục Ox .
 
Hàm số y  f  x có đồ thị ( C ¢) là đối xứng của  C  qua trục Oy .
Từ đồ thị

 C  : y  f  x

suy ra đồ thị

 C : y  f  x  .

 f  x  khi x 0
y  f x 
 f   x  khi x  0
Ta có

 

và

 

y f x

* Cách vẽ

 C

là hàm chẵn nên đồ thị

từ

 C

nhận Oy làm trục đối xứng.

C :

+ Giữ nguyên phần đồ thị bên phải Oy của đồ thị
+ Bỏ phần đồ thị bên trái Oy của
Ví dụ: Từ đồ thị

 C  : y  f  x  x

3

 C  : y  f  x .

 C  , lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy.

 3x

y

3

suy ra đồ thị

 C : y  x  3 x

2

.

 x 3  3x

khi x 0
y  x  3 x  3
 x  3x  x 3  3x khi x  0


Ta có:
 C :
Cách vẽ đồ thị

1

3



+ Bỏ phần đồ thị của
bên phải Oy.

C

O

-1



x

-2

 C  : y x

C
bên trái Oy , giữ nguyên

+ Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ qua Oy .

y

-1

1

O

x

-2

 C : y  x

3

3x

3

 3x

Từ đồ thị

Ta có:

 C  : y  f  x

 C : y  f  x  .

suy ra đồ thị

 f  x  khi f  x  0
y  f  x  
 f  x  khi f  x   0

* Cách vẽ

 C

từ

C :

y  f  x
+ Giữ nguyên phần đồ thị phía trên Ox của đồ thị (C):
.
+ Bỏ phần đồ thị phía dưới Ox của (C), lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.

 C  : y  f  x  x  3x suy ra đồ thị  C : y  x
 C :
Cách vẽ đồ thị

 C  dưới Ox, giữ nguyên  C  phía trên Ox.
+ Bỏ phần đồ thị của
3

Ví dụ: Từ đồ thị

3

 3x

.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox .
y

y

2

2
1

O

-1

 C  : y x3  3x

x

 C : y  x

-2

3

 3x
O

-1

 

yf x

Chú ý: Với dạng:

1

x

ta lần
y

 

y f x

lượt biến đổi 2 đồ thị
Ví dụ: Từ đồ thị

và

y  f  x

 C  : y  f  x  x 3  3 x

2

suy ra đồ thị

3

yx  3x
Biến đổi

C

để được đồ thị

 C : y  x
Biến đổi
Từ đồ thị

-1

3

3

3x

 C : y  x  3 x
ta được đồ thị

 C  : y u  x  .v  x 

.

 C : y  x

suy ra đồ thị

1

O

3

3x

.

 C : y  u  x  .v  x C.  : y  x

3

3x

u  x  .v  x   f  x  khi u  x  0

y  u  x  .v  x  
  u  x  .v  x   f  x  khi u  x   0
Ta có:
 C từ  C  :
* Cách vẽ
+ Giữ nguyên phần đồ thị trên miền
+ Bỏ phần đồ thị trên miền

u x  0

u  x  0

của

của đồ thị

 C  : y  f  x .

 C  , lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ

qua Ox.

x


Ví dụ:
a) Từ đồ thị

 C  : y  f  x  2x

 C : y  x  1  2x
đồ thị

2

3

 3x 2  1

 x 1

suy ra



b) Từ đồ thị

 C  : y  f  x   x x 1

suy ra đồ

 C : y  x x 1

thị
Ta có:

Ta có:

 f  x  khi x 1
y  x  1 2 x 2  x  1 

  f  x  khi x  1
Đồ thị (C’):
+ Giữ nguyên (C) với x 1 .





+ Bỏ (C) với x  1 . Lấy đối xứng phần đồ thị bị
bỏ qua Ox.
(C')

y

 x
khi x   1;  

x
y
 x  1
.
x 1  x

khi x    ;1
 x  1
Đồ thị (C’):

C

+ Bỏ phần đồ thị của

nguyên

C

với x  1 , giữ

với x  1.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
1

O

y

1

x
1

O

(C)

Nhận xét: Trong quá trình thực hiện phép suy đồ
thị nên lấy đối xứng các điểm đặc biệt của (C):
giao điểm với Ox, Oy, CĐ, CT…

1

x

Nhận xét: Đối với hàm phân thức thì nên lấy
đối xứng các đường tiệm cận để thực hiện
phép suy đồ thị một cách tương đối chính
xác.