Báo cáo quá trình hệ thống điều khiển tự động nâng cao lần 2 thầy Vũ Văn Phong

BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT TP. HỒ CHÍ
MINH
KHOA ĐIỆN – ĐIỆN TỬ
BỘ MƠN TỰ ĐỘNG ĐIỀU KHIỂN
-----------------⸙∆⸙-----------------

ĐỒ ÁN MÔN HỌC
ĐỀ TÀI: KIỂM TRA QUÁ TRÌNH ĐIỀU KHIỂN
NÂNG CAO (ADVANCED CONTROL) LẦN 2

GVHD: Vũ Văn Phong
SVTH: Nguyễn Đức Anh Quân
MSSV: 20151408

Tp. Hồ Chí Minh ngày tháng năm


Mục lụcc lục lụcc
Chương 1.

Balancing an inverted pendulum......................................................................2

1.1

Đặt yêu cầu bài tốn................................................................................................2

1.2

Mơ tả hệ thống :.......................................................................................................3

Chương 2.

Nonlinear system sliding mode control...........................................................4

2.1

Hàm lyapunov cho hệ phi tuyến :............................................................................4

2.2

Phương pháp trực tiếp Lyapunov – Định lý ổn định :.............................................4

2.3

Sliding mode control :.............................................................................................6

Chương 3.

Điều khiển hệ Balancing inverted pendulum.................................................10

3.1

Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ balacing inverted pendulum:........................10

3.2

Áp dụng bộ điều khiển vào mơ hình balacing inverted pendulum:.......................13

3.2.1
3.3

Thiết lập hệ thống :........................................................................................13

Xây dựng hệ thống bộ điều khiển trượt :...............................................................14

3.3.1

Mô phỏng và nhận xét hệ thống balacing inverted pendulum :.....................22

Chương 4.

Tổng kết.........................................................................................................30

4.1

Ưu điểm:................................................................................................................30

4.2

Nhược điểm:..........................................................................................................30

4.3

Hướng phát triển:...................................................................................................30


Mục lục hình ảnh :
Figure 1-1 Hệ thống cần được điều khiển..........................................................................................................2
Figure 1-2 Mơ hình động cơ DC..........................................................................................................................2
Figure 2-1 Ổn định lyapunov..............................................................................................................................5

Figure 2-2 Ổn định tiệm cận lyapunov................................................................................................................6
Figure 2-3 Sliding surface...................................................................................................................................6
Figure 2-4 Quỹ đạo pha lý tưởng của điều khiển trượt......................................................................................8
Figure 2-5 Quỹ đạo pha thực tế của bộ điều khiển trượt...................................................................................9
Figure 2-6 Hàm sign() và hàm sat()....................................................................................................................9
Figure 3-1 Hệ thống cần được điều khiển........................................................................................................11
Figure 3-2 Mơ hình động cơ DC........................................................................................................................11
Figure 3-3 Thiết lập hệ thống rời rạc................................................................................................................14
Figure 3-4 Tổng quan về hệ tống......................................................................................................................15
Figure 3-5 Tổng quan về hệ tống......................................................................................................................15
Figure 3-6 Khối tín hiệu.....................................................................................................................................16
Figure 3-7 Khối Pulse Generator.......................................................................................................................17
Figure 3-8 Sin wave...........................................................................................................................................18
Figure 3-9 Low-pass filter.................................................................................................................................19
Figure 3-10 Hệ thống với bộ điều khiển...........................................................................................................19
Figure 3-11 Modeling Balancing inverted pendulum.......................................................................................20
Figure 3-12 Phương trình vi phân mô phỏng hệ thống....................................................................................20
Figure 3-13 Input of Sliding mode controler.....................................................................................................21
Figure 3-14 Sliding mode controler..................................................................................................................21
Figure 3-15 Tín hiệu điều khiển bộ điều khiển trượt........................................................................................22
Figure 3-16 Hàm tác động................................................................................................................................22
Figure 3-17 Đáp ứng hàm sign với k=700.........................................................................................................23
Figure 3-18 Đáp ứng các biến trạng thái hệ thống hàm sign với k=700..........................................................23
Figure 3-19 Thay đổi hàm tác động saturation................................................................................................24
Figure 3-20 Đáp ứng hàm Saturation với K=700..............................................................................................24
Figure 3-21 Đáp ứng ngõ ra hàm saturation....................................................................................................25
Figure 3-22 Đáp ứng hệ thống hàm sign ở tần số 0.2 rad/s............................................................................26
Figure 3-23 Đáp ứng hệ thống hàm sign ở tần số 0.2 rad/s............................................................................26
Figure 3-24 Đáp ứng hệ thống hàm saturation ở tần số 0.2 rad/s..................................................................27
Figure 3-25 Đáp ứng hệ thống hàm saturation ở tần số 0.2 rad/s..................................................................27

Figure 3-26 Đáp ứng hàm sign với tín hiệu đặt là sin wave.............................................................................28
Figure 3-27 Đáp ứng hàm sign với tín hiệu đặt là sin wave.............................................................................28
Figure 3-28 Đáp ứng hàm satturation với tín hiệu đặt là sin wave..................................................................29
Figure 3-29 Đáp ứng hàm satturation với tín hiệu đặt là sin wave..................................................................29
Figure 3-30 Sai lệch giữa khối lượng của 2 mơ hình........................................................................................30
Figure 3-31 Tín hiệu điều khiển 2 mơ hình.......................................................................................................30



GVHD: Vũ Văn Phong

Lời mở đầu 111Equation Chapter (Next) Section 1
Trong q trình học tập mơn điều khiển nâng cao
đã giúp em hiểu rõ hơn về mơ hình thực tế được thực
hiện trên mơ phỏng và từ đó ta có thể đưa ra những
quyết định để thiết kế bộ điều khiển.
Đồng thời việc hiểu được hơn về hệ phi tuyến
cũng là điểm mạnh, chúng ta có thể đi tuyến tính hóa
chúng để thiết kế các bộ điều khiển tuyến tính như
thông thường. Hầu hết tất cả các hệ thống thực trong
thực tế đều là hệ phi tuyến, việc hiểu rõ cũng giúp ta
khơng ít trong cuộc sống.
Em cảm ơn thầy đã giúp chúng em hiểu rõ hơn về
môn học này và cung cấp hành trang cho cuộc sống và
công việc sau này.
Sinh viên
Nguyễn Đức Anh Quân

1|Page

GVHD: Vũ Văn Phong

Chương 1. Balancing an inverted pendulum
1.1 Đặt yêu cầu bài toán

Figure 1-1 Hệ thống cần được điều khiển

Figure 1-2 Mơ hình động cơ DC

1. Thiết kế bộ điều khiển trượt để hệ thống Balancing inverted pendulum bám quỹ
đạo Yd cho trước.
2. Thực hiện mô phỏng hệ thống trên bằng Matlab/Simulink.
2|Page


GVHD: Vũ Văn Phong

1.2 Mơ tả hệ thống :
Phương trình trạng thái mô tả hệ thống được viết :


x
  
2
 0 
 x1  
 x   g sin( x )  NK m x    0  u
 
1

3
 2  l
ml 2   

 x 3  
1
  K b N x  Ra x   
 La 2 La 3   La 
212\* MERGEFORMAT (.)
y

x
1
Đặt biến trạng thái ngõ ra:
Đặt các biến trạng thái :

 x1    p 
 
x(t )  x2    p 
 x3   I a 
  313\* MERGEFORMAT (.)
Cho các thông số như sau :
 Nm 
K m 0.1

 A  : is the motor torque constant.
 Vs 
K b 0.1

 rad  : is the back EMF constant.

- N : is the gear ratio.
 m
g 9.8  2 
 s  : gia tốc trọng trường.
-

l 1 m 

: massless shaft, length
m 1( kg ) : Mass

N 10 : Tỉ số truyền
Ra 1  
: Điện trở kích từ.
La 0.1 H 

Với các thơng số trên phương trình (1.1) được trở thành :
 0 
 x1   x2
 x   9.8sin( x )  x    0  u
1
3
 2 
 
 x 3    10 x2  10 x3   10 
414\* MERGEFORMAT (.)
 x1 
y  1 0 0  x2 
 x3 
515\* MERGEFORMAT (.)

Ta có các thơng số được tính tốn để đưa vào các khối “matlab function” để tính tốn :
Nkm
1
ml 2
K N
 b  10
La
3|Page


GVHD: Vũ Văn Phong
Ra
 10
La

612Equation Chapter (Next) Section 1

4|Page


GVHD: Vũ Văn Phong

Chương 2. Nonlinear system sliding mode control
2.1 Hàm lyapunov cho hệ phi tuyến :

 sin, cos, x ,
Hệ phi tuyến là các hệ có cứa các thành phần phi tuyến như là
2

x ...



x  f  x, u  | u 0

727\* MERGEFORMAT (.)
Phương pháp lyapunov cung cấp điều kiện đủ để đánh giá ổn định của hệ phi tuyến.
Có thể áp dụng cho hệ phi tuyến bậc cao bất kì.
Có thể dùng phương pháp Lyapunov để thiết kế các bộ điều khiển phi tuyến.
Hiện nay phương pháp lyapunov là phương pháp được sử dụng rộng rãi nhất để phân tích
thiết kế hệ phi tuyến.
Hiện nay phương pháp Lyapunov là phương pháp được sử dụng rộng rãi nhất để phân tích
hệ phi tuyến.
Để tìm điểm cân bằng thì các tín hiệu điều khiển và các biến trạng thái phải bằng khơng. Ở
 
đây ví dụ ta có các biến trạng thái x1 ; x2 ; u và giải ra điểm làm việc. Để xác định tín ổn
định đó có cân bằng hay khơng thì xét tính ổn định theo Lyapunov. Như vậy mới xác định
được tính ổn định của hệ.

2.2 Phương pháp trực tiếp Lyapunov – Định lý ổn định :
Khác với hệ tuyến tính, tính ổn định của hệ phi tuyến phụ thuộc vào cả ngõ vào và mơ hình
của hệ.
Điểm cân bằng :
Khái niệm : cho hệ phi tuyến khơng kích thích mơ ta với phương trình trạng thái :
x  f  x, u  | u 0
828\* MERGEFORMAT (.)
Điểm cân bằng xe của hệ là điểm mà hệ sẽ đứng yên tại đó khi khơng có tác động bên
ngồi :
- Điểm cân bằng xe xác định bởi phương trình :

x 0  f  x, u  |x xe ,u 0 0

929\* MERGEFORMAT (.)

Hệ phi tuyến có thể khơng có điểm cân bằng hoặc có nhiều điểm cân bằng, khác với hệ
tuyến tính ln có ít nhất 1 điểm là điểm khơng
Ổn định tại điểm cân bằng :
Định nghĩa : một hệ được gọi là ổn định tại điểm cân bằng nếu như có một tác động
tức thời đánh bật hệ ra khỏi điểm cân bằng đến điểm kaan cận x0 , sau đó hệ có khả năng
quay lại điểm cân bằng ban đầu.

5|Page


GVHD: Vũ Văn Phong
Định lý ổn định lyapunov : cho hệ phi tuyến khơng kích thích mơ ta với phương trình
trạng thái :
x  f  x, u  | u 0
10210\* MERGEFORMAT (.)
x

0
Giả sử hệ thống có điển cân bằng e
n
Nếu tốn tại hàm V(x) sao cho trong miền D   chứa điểm lân cận bằng V(x) thỏa :
V ( x)  0, x  D \  0
1.
2. V (0) 0

3. V ( x) 0, x  D

Thì hệ thống trên ổn định Lyapunov tại điểm 0.
Ổn định lyapunov :
Cho hệ phi tuyến khơng kích thích mơ tả với phương trình trạng thái :
x  f  x, u  | u 0
11211\* MERGEFORMAT (.)

Figure 2-3 Ổn định lyapunov

Giả sử hệ thống có điển cân bằng xe 0
Hệ thống được gọi là ổn định Lyapunov tại điểm cân bằng xe 0 nếu với   0 bất kỳ bao
giờ cũng tồn tại  phụ thuộc  sao cho nghiệm x(t ) của phương trình (2.2) với điều kiện
x(0) thõa mãn :
|| x  0  ||  ,|| x  0  ||  , t 0

12212\* MERGEFORMAT (.)

Ổn định tiệm cận lyapunov :

6|Page


GVHD: Vũ Văn Phong

Figure 2-4 Ổn định tiệm cận lyapunov

Cho hệ phi tuyến khơng kích thích mơ ta với phương trình trạng thái :
x  f  x, u  | u 0
13213\* MERGEFORMAT (.)
Giả sử hệ thống có điển cân bằng xe 0

Hệ thống được gọi là ổn định tiệm cận lyapunov tại điểm cân bằng xe 0 nếu với   0
bất kỳ bao giờ cũng tồn tại  phụ thuộc  sao cho nghiệm x(t ) của phương trình (2.2) với
điều kiện x(0) thõa mãn :
|| x  0  ||  , lim x(t ) 0
t 
14214\* MERGEFORMAT (.)

2.3 Sliding mode control :

Figure 2-5 Sliding surface

Hệ thơng đang ở vị trí bất kỳ ban đầu chúng ta kéo về mặt trượt và tự động trượt về gốc.
7|Page


GVHD: Vũ Văn Phong
Xét đổi tượng Single input – Single output (SISO) bậc n mơ tả bởi phương trình trạng thái:
 x  f  x   g  x  u

 y h  x 
15215\* MERGEFORMAT (.)
Trong đó :
T
x  x1 x2  xn    n
là vector trạng thái của hệ thống
- u   là tín hiệu vào
- y   là tín hiệu ra
f ( x) n , g ( x) n là các vector hàm trơn mô ta động học hệ thống.
h  x  
là hàm trơn mô tả quan hệ giữa biến trạng thái và tín hiệu ra

y t
y t
Bài tốn đặt ra là điều khiển tín hiệu ra
bám theo tín hiệu đặt d
.
-

y h  x 
Nếu đối tượng có bậc tương đối bằng n, bằng cách lấy đạo hàm của phương trình
n lần, có thể biểu diễn quan hệ vảo ra của đối tượng dưới dạng :
y ( n ) a  x   b  x  u
16216\* MERGEFORMAT (.)
Trong đó :
a ( x) Lnf h  x 
17217\* MERGEFORMAT (.)
n 1
b  x  Lg L f h  x  0
18218\* MERGEFORMAT (.)
Với :
h  x 
h  x  
 h  x 
T
Lf h  x 
f  x  
, ,
  f1  x  , f n  x  
 x
xn 
 x1

19219\* MERGEFORMAT
(.)
Lk  1h  x 
Lkf h  x   f
f  x
x
20220\* MERGEFORMAT (.)
k
L h  x 
Lg Lkf h  x   f
g  x
x
21221\* MERGEFORMAT (.)
Định nghĩa mặt trượt :
- Sai số :
e  t   yd  t   y  t 
22222\* MERGEFORMAT (.)
- Đặt :
 e( n  1)  k1e n  2    kn  2e  kn  1e 23223\* MERGEFORMAT (.)
- Trong đó ki được chọn sao cho :

 s  s n  1  k1s n  2    kn  2 s  kn  1

24224\* MERGEFORMAT (.)
 s 
 s  0
là đa thức hurwitz; vị trí nghiệm của
quyết định đặc tính quá độ quá trình
e t  0
 s 

khi  0 ,  0 được gọi là mặt trượt,
gọi là đa thức đặt trưng mặt trượt.

  s

s

n 1

 k1s

n 2

1
   kn  2 s  kn  1

E  s
8|Page


GVHD: Vũ Văn Phong

y t
y  t
Bài toán điều khiển tín hiệu ra
bám theo tín hiệu đặt d
được chuyển thành bài
ut
tốn tìm tín hiệu điều khiển
sao cho   0 .

Hàm lyapunov áp dụng vào bộ điều khiển trượt :
Chọn hàm Lyapunov :
1
V  2
2 25225\* MERGEFORMAT (.)
Đạo hàm hàm Lyapunov :
V  26226\* MERGEFORMAT (.)
u t
Để   0 cần chọn tín hiệu điều khiển
sao cho V  0
Do:
 e n  1  k1e n  2    kn  2e  kn  1e 27227\* MERGEFORMAT (.)
Nên:
 e n   k1e n  1    kn  2e  kn  1e 28228\* MERGEFORMAT (.)
Ta được :
  yd n   y  n   k1e n  1    kn  2e  kn  1e 29229\* MERGEFORMAT (.)
Chú ý rằng:
y  n  a  x   b  x  u
30230\* MERGEFORMAT (.)
 n
 n  1
  yd  a  x   b  x  u  k1e    kn  2e  kn  1e
31231\* MERGEFORMAT (.)
ut
Chọn
sao cho :
  Ksign    ,  k  0 
32232\* MERGEFORMAT (.)
Với luật điều khiển trên, ta có:
V   K sign     K |  |

33233\* MERGEFORMAT (.)
Thỏa cái điều kiện :
V  0,  0
0
e 0
Quỹ đạo pha của hệ thống điều khiển trượt :
 Quỹ đạo pha lý tưởng của của hệ bậc 2 chuyển động trên mặt trượt về gốc tọa độ :

9|Page


GVHD: Vũ Văn Phong

Figure 2-6 Quỹ đạo pha lý tưởng của điều khiển trượt



Quỹ đạo pha thực tế dao động quanh mặt trượt về gốc tọa độ, gây nên hiện tượng
chattering :

Figure 2-7 Quỹ đạo pha thực tế của bộ điều khiển trượt

Trình tự thiết kế bộ điều khiển trượt bám quỹ đạo :
1. Biểu diễn quan hệ vào ra của đối tượng phi tuyến dưới dạng :
n
y   a  x   b  x  u
34234\* MERGEFORMAT (.)
2. Chọn mặt trượt:
 e n  1  k1e n  2    kn  2e  kn  1e 35235\* MERGEFORMAT (.)
- Trong đó ki được chọn sao cho :

 s  s n  1  k1s n  2    kn  2 s  kn  1

36236\* MERGEFORMAT (.)
 s  0
e t  0
- là đa thức Hurwitz; nghiệm của
càng nằm xa trục ảo thì
càng


0
nhanh khi
3. Viết biểu thức bộ điều khiển trượt :
1 
n
n 1
u
 a  x   yd   k1e     kn  2e  kn  1e  Ksign    

b( x )
37237\*
MERGEFORMAT (.)
K

0
Trong đó
. K càng lớn thì   0 càng nhanh.
10 | P a g e

GVHD: Vũ Văn Phong

y  t
4. Thiết kế bộ lọc thơng thấp tín hiệu vào để đám bảo tín hiệu chuẩn d
khả vi bị
chặn đến bậc n
 Chú ý : có thể thay hàm sign() bằng hàm sat() hoặc các hàm trơn để giảm hiện
tượng chattering

Figure 2-8 Hàm sign() và hàm sat()

Có nhiều phiên bản điều khiển trượt khác nhau tùy theo mơ tả tốn học của đối tượng phi
tuyến và yêu cầu điều khiển.
Nguyên tắc cơ bản khi thiết kế luật điều khiển trượt là :
 Định nghĩa tín hiệu trượt là hàm của sai số bám hoặc trạng thái hệ thống
 Chọn hàm Lyapunov là hàm toàn phương của mặt trượt
 Chọn tín hiệu điều khiển áo cho đạo hàm cảu hàm Lyapunov luôn âm3813Equation
Chapter (Next) Section 1

11 | P a g e


GVHD: Vũ Văn Phong

Chương 3. Điều khiển hệ Balancing inverted
pendulum
3.1 Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ balacing inverted pendulum:

Figure 3-9 Hệ thống cần được điều khiển

Figure 3-10 Mô hình động cơ DC

12 | P a g e


GVHD: Vũ Văn Phong
Phương trình trạng thái mơ tả hệ thống được viết :


x
  
2
 0 
 x1  
 x   g sin( x )  NK m x    0  u
 
1
3
 2  l
ml 2   

 x 3  
1
  K b N x  Ra x   
 La 2 La 3   La 
39339\* MERGEFORMAT (.)
y

x

1
Đặt biến trạng thái ngõ ra:
Đặt các biến trạng thái :

 x1    p 
 
x(t )  x2    p 
 x3   I a 
  40340\* MERGEFORMAT (.)
Cho các thông số như sau :
 Nm 
K m 0.1

 A  : is the motor torque constant.
 Vs 
K b 0.1

 rad  : is the back EMF constant.
- N : is the gear ratio.
 m
g 9.8  2 
 s  : gia tốc trọng trường.
-

l 1 m 

: massless shaft, length
m 1( kg ) : Mass

N 10 : Tỉ số truyền

Ra 1  
: Điện trở kích từ.
La 0.1 H 
: Điện cảm cuộn dây
Đặt các biến trạng thái :
 x1  t   y  t 

 x2  t   y  t 

 x3  t  ia  t  41341\* MERGEFORMAT (.)
Ta có phương trình trạng thái :

 x  x
2
 1
NK m
g

x3
 x 2  sin( x1 ) 
l
ml 2

Kb N
Ra
1

 x 3  L x2  L x3  L u

a

a
a
42342\* MERGEFORMAT (.)
Thay số vào ta có được phương trình vi phân :

13 | P a g e


GVHD: Vũ Văn Phong

 x1 x2

 x 2 9.8sin( x1 )  x3
 x  10 x  10 x  10u
2
3
 3

43343\* MERGEFORMAT (.)
Bước 1 : Lấy đạo hàm tín hiệu ra, ta được :
y  t  x1 x2
44344\* MERGEFORMAT (.)
NK m
g
y  t  x 2  t   sin  x1  
x3
l
ml 2 45345\* MERGEFORMAT (.)
NK m
g


y  t  x2  t   x1 cos( x1 ) 
x 3
l
ml 2 46346\* MERGEFORMAT (.)
Thay ba phương trình (3.4) vào phương trình (3.8) ta thuc được đạo hàm cấp 3 của ngõ ra :
NK m  K b N
R
g
1 

y  t  x2  t   x2 cos( x1 ) 

x2  a x3  u 
2 
l
ml  La
La
La 
47347\* MERGEFORMAT
(.)
Như vậy ta thu được phương trình có dạng :

y  t  a  x   b  x  u
48348\* MERGEFORMAT (.)
Trong đó :
Phương trình a(x) thu được có dạng :

NK m  K b N
R

g
a  x   x2 cos( x1 ) 

x2  a x3 
2 
l
ml  La
La 
49349\* MERGEFORMAT (.)
Thế số vào ta được :
a  x  9.8 x2 cos( x1 )  10 x2  10 x3
Phương trình b(x) có dạng như sau :
NK  1 
b  x   2m  u 
ml  La 

50350\* MERGEFORMAT (.)

51351\* MERGEFORMAT (.)

Thế số vào ta được :

b  x  10u

52352\* MERGEFORMAT (.)

Bước 2 : Biểu thức mặt trượt :
 e  k1e  k2e 53353\* MERGEFORMAT (.)
Với:
e  yd  y 54354\* MERGEFORMAT (.)

Đa thức đặc trưng của mặt trượt :
s 2  k1s  k 2 0

55355\* MERGEFORMAT (.)

14 | P a g e


GVHD: Vũ Văn Phong
Ta chọn cặp cực củ đa thức đặc trưng là : s1  10, s2  20
Nên ta chọn k1 30, k2 200
Như vậy đa thức đặc trưng có dạng :
s 2  30 s  200 0 56356\* MERGEFORMAT (.)
Bước 3 : Viết biểu thức bộ điều khiển trượt :
1
u
  a  x   
yd  k1e  k2e  Ksign    
b( x ) 
57357\* MERGEFORMAT (.)
Ta chọn K=150
Thay các thông số tìm được vào biểu thức (3.19) ta thu gọn được phương trình:
1
u    9.8 x2 cos( x1 ) 10 x2  10 x3 )  
yd  30e  200e  150 sign    
10
58358\*
MERGEFORMAT (.)
Bước 4 : Thiết kế bộ lọc tín hiệu vào :

y t
Chọn bộ long thơng thấp bậc 3 để tín hiệu d
khả vi chặn đến đạo hàm bậc 3. Hàm
truyền của bộ lọc là:
1
GLF 
3
 0.1s  1 59359\* MERGEFORMAT (.)

15 | P a g e


GVHD: Vũ Văn Phong

3.2 Áp dụng bộ điều khiển vào mơ hình balacing inverted pendulum:
3.2.1

Thiết lập hệ thống :

Figure 3-11 Thiết lập hệ thống rời rạc

Ta chuyển hệ thống mô phỏng về rời rạc “Fixed-step” với thời gian lấy mẫu là 0.01s và
thời gian mơ phỏng là 100s.
Hình ảnh tổng quan của hệ thống :

16 | P a g e