Cd4.1 Bai Tap Tong Hop Non-Tru-Cau-Md2.Doc

TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG II
CHỦ ĐỀ 4.1 Bài tập tổng hợp nón-trụ-cầu.
MỨC ĐỘ 2
Câu 1.

[2H2-4.1-2] [THPT Nguyễn Tất Thành] Một hình nón có đường sinh bằng l và bằng đường
kính đáy. Bán kính hình cầu nội tiếp hình nón bằng:
3
1
3
2
A. l .
B. l .
C.
D.
l.
l.
4
3
6
6
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Dễ thấy thiết diện qua trục hình nón là một tam giác đều cạnh l .
Bán kính hình cầu nội tiếp hình nón chính là bán kính đường trịn nội tiếp của tam giác đều nói
3
trên: R  l .

6

Câu 2.

[2H2-4.1-2] [Minh Họa Lần 2] Cho hai hình vng có cùng cạnh bằng 5 được xếp chồng lên
nhau sao cho đỉnh X của một hình vng là tâm của hình vng cịn lại (như hình vẽ). Tính
thể tích V của vật thể trịn xoay khi quay mơ hình trên xung quanh trục XY .

.





125 1  2 
B. V 
.
6





125 2  2 
D. V 
.
4
Hướng dẫn giải

125 5  2 2 

A. V 
.
12
125 5  4 2 
C. V 
.
24









Chọn C.
Cách 1 :

TRANG 1


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

X

Y

.

Khối trịn xoay gồm 3 phần:
2

Phần 1: khối trụ có chiều cao bằng 5, bán kính đáy bằng

5
125
 5
có thể tích V1    5 
2
4
 2

.
Phần 2: khối nón có chiều cao và bán kính đáy bằng

5 2
có thể tích.
2

2

 5 2  5 2 125 2
1
V2   

.
 

3
2
12
 2 

Phần 3: khối nón cụt có thể tích là.
5
1
V3   
3



   5

21
2





2
2
2   5  5 2 5  125 2 2  1 


 
.



  2   2 
2
2
24



Vậy thể tích khối trịn xoay là.









125 125 2 125 2 2  1  125 5  4 2  .
V V1  V2  V3 



4
12
24
24
Cách 2 :

.

125
2
Thể tích hình trụ được tạo thành từ hình vng ABCD là VT R h 
.
4
TRANG 2


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

PHƯƠNG PHÁP

2
125 2
Thể tích khối trịn xoay được tạo thành từ hình vuông XEYF là V2 N  R 2 h 
.
3
6
1 2
125
Thể tích khối trịn xoay được tạo thành từ tam giác XDC là VN   R h 
.
3
24
54 2
Thể tích cần tìm V VT  V2 N  VN  125
.
24
Câu 3.

[2H2-4.1-2] [Sở Bình Phước] Cho một hình trụ có hai đáy là hai hình trịn

 O; R  ,

với

OO R 3 và một hình nón có đỉnh O và đáy là hình trịn  O; R  . Kí hiệu S1 , S2 lần lượt là
diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón. Tính k 

1
A. k  .
3

B. k  3 .

S1
.
S2

C. k  2 .

1
D. k  .
2

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có S1 2πRRπRR.R 3 2 3πRRπRR 2 .
S 2 πRRπRR 3R 2  R 2 2πRRπRR 2 . Vậy

Câu 4.

S1
 3 k .
S2

[2H2-4.1-2] [THPT Lệ Thủy-Quảng Bình] Một khối trụ có bán kính đáy bằng a 3 , chiều
cao bằng 2a 3 . Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp khối trụ.
A. V 6 6 a 3 .

B. V 8 6 a 3 .

C. V 4 3 a 3 .

D.

4
6 a 3 .
3

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình trụ.
2a 3
a 3 .
2
Bán kính đường trịn giao tuyến là: r a 3 .
Khoảng cách từ tâm I đến mặt đáy là: h 

Bán kính mặt cầu là R  h 2  r 2 a 6 .

4
3
3
Thể tích khối cầu là: V   R 8 6 a .
3
Câu 5.

[2H2-4.1-2] [THPT Chuyên Quang Trung] Tính thể tích của vật thể trịn xoay khi quay mơ
hình (như hình vẽ) quanh trục DF .

.

TRANG 3


TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA MƠN TỐN

A.

5 a 3
.
2

B.

PHƯƠNG PHÁP

 a3
.
3

10 a 3
.
9
Hướng dẫn giải
C.

D.

10 a 3
.
7

Chọn C.
a 3
.
3
Khi quay quanh trục DF , tam giác AEF tạo ra một hình nón có thể tích.
Ta có EF  AF .tan  a.tan 30 
2

1
1 a 3
 a3
V1   .EF 2 . AF   . 
.
a

.


3
3  3 
9
Khi quay quanh trục DF , hình vng ABCD tạo ra một hình trụ có thể tích.
V2  .DC 2 .BC  .a 2 .a  a 3 .
Thể tích của vật thể trịn xoay khi quay mơ hình (như hình vẽ) quanh trục DF là.
 a3
10
V V1  V2 
  a3   a3 .
9
9
Câu 6.

[2H2-4.1-2] [BTN 176] Cho hình trụ T có bán kính đáy R , trục OO bằng 2R và mặt cầu

 S
A.

đường kính OO. Tỉ số diện tích mặt cầu và diện tích xung quanh của hình trụ bằng:

1
.
3

B. 1 .

C. 2 .

D.

1
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn B.
2
Diện tích mặt cầu : S1 4 R .
2
Diện tích xung quanh của hình trụ : S 2 2 Rl 4 R .

Vậy
Câu 7.

S1
1 .
S2

[2H2-4.1-2] [BTN 168] Thể tích V của mặt cầu ngoại tiếp hình nón, biết rằng hình nón có bán
kính đáy bằng
5
A. V  2 .


5
và thiết diện qua trục hình nón là tam giác vuông cân là:

125
175

500
B. V  2 .
C. V  2 .
D. V  2 .

3
3
Hướng dẫn giải

Chọn D.
Vì thiết diện qua trục hình nón là tam giác vng cân nên mặt cầu có bán kính mặt cầu ngoại
5
4
500
3
tiếp hình nón bằng . Vậy V   R  2 .

3
3

TRANG 4