001 02 06 gt12 cii mu logarit bai 6 01 hdg bpt mu logarit tu luan

II

HÀM SỐ LŨY THỪA - HÀM SỐ
MŨ – HÀM SỐ LOGARIT

C
H
Ư
Ơ
N

6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH – MŨ – LOGARIT
DẠNG 1: BẤT PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN - PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ

LÝ THUYẾT.
I
=
=
1. BẤT
= PHƯƠNG TRÌNH MŨ
a f ( x)  a g ( x)  f  x   g  x 
I
 Nếu a  1 , b  0 thì
a f ( x )  b  f  x   log a b
a f ( x)  a g ( x)  f  x   g  x 
 Nếu 0  a  1 , b  0 thì
a f ( x )  b  f  x   log a b
f (x)
f  x
 Lưu ý: b 0 thì a  b đúng với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định của
,

f (x)
cịn a b vơ nghiệm.

2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

 g  x   0
log a f  x   log a g  x   
 f  x   g  x 
 Nếu a  1 thì
 f  x   0
log a f  x   log a g  x   
 f  x   g  x 
 Nếu 0  a  1 thì

II HỆ THỐNG BÀI TẬ
P TỰ LUẬN.
=
=
x 4
=
 4
1
 
I
Câu 1. Giải bất phương trình  3 
.
2

Lời giải
 4

 
Bất phương trình  3 

x2  4

 x  2
1  x 2  4 0  
.
 x 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

S   ;  2   2;  

1
 
Câu 2. Có bao nhiêu số nguyên x 10 là nghiệm của bất phương trình  3 
Lời giải

.

x 2

3 x
?


 1
 
 3

x 2

 1
3   
 3

x 2

x

x

 1
  
 3



 x 0
 x 0


x  2  x   x  2 0   x  2  x 2
 x  2 x 2
 x 2


  x  1

 x   2;10
Theo giả thiết số nguyên x 10
.
Vậy có 9 số nguyên x thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình

log 1  x  3 log 1 4
2

2

.

Lời giải
 x  3 4
 x 7

 3  x 7
log 1  x  3 log 1 4  
x

3

0
x

3


2

2
Bất phương trình
.
x  

 x   4 ; 5 ; 6 ; 7
Vì 3  x 7
.
Vậy bất phương trình đã cho có tất cả 4 nghiệm nguyên.
Câu 4. Giải bất phương trình:

log  3  2 x  log  x  1

.
Lời giải

 x 1  0
log  3  2 x  log  x  1  

3  2 x x  1

x   1
2

2   1 x 

3
x

3


.

2

S   1; 
3 .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Câu 5. Giải bất phương trình

log 1  x 2  5 x  7   0
2

.

Lời giải
log 1  x 2  5 x  7   0  0  x 2  5 x  7  1
2

.

 x2  5x  6  0
 2
 x  5x  7  0
 2  x  3.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
Câu 6. Bất phương trình

log 3  3x  1  log 3  x  7 

S  2;3

có bao nhiêu nghiệm nguyên ?

Lời giải
Ta có:

.


x  3

3 x  1  x  7  
1
1
log 3  3 x  1  log 3  x  7   
x     x3

3
x

1

0
3


3

.

x   0;1; 2
Vì x là số nguyên nên
. Vậy bất phương trình có 3 nghiệm nguyên.
log 0,5  x  1  log 0,5 2 x
Câu 7. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình
Lời giải
 x 1  0
 x 0

Điều kiện:  2 x  0
.
Ta có:

log 0,5  x  1  log 0,5 2 x  x  1  2 x  x  1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Câu 8. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình

, kết hợp điều kiện ta được x  1 .

S  1;   

.

log x 3  log x 3
3

Lời giải

Điều kiện:

Ta có:

x  0

 x 1
 x 3


.

log x 3  log x 3
3



1
1

1
log 3 x log x  1 
0
3
log 3 x log 3 x  1
3

 log 3 x  0


log 3 x  1  0
 log 3 x.  log 3 x  1  0  

log 3 x  0
1


0
 log 3 x  1  0
log 3 x.  log 3 x  1
điều kiện ta được 0  x  1 hoặc x  3 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

S  0; 1   3;   

.

Câu 9. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình
log 5  x 2  1  1 log 5  mx 2  4 x  m 

nghiệm đúng với mọi x   ?
Lời giải

 log 3 x  0
 log x  1
 3

 x 1

 x  3 , kết hợp

 mx 2  4 x  m  0
x  
, x  
2
2
5
x

1

mx

4
x

m




Bất phương trình nghiệm đúng với mọi
(dễ thấy m=0
m  0

m  0
2
   1 16  4m  0
m   2  m  2





5  m  0
m  5
  16  4  5  m  2 0
m 3  m 7  2  m 3
không thỏa mãn hệ)   2
.
Do m   nên m 3 .
Vậy có 1 giá trị nguyên của m thoả mãn.

DẠNG 2: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

LÝ THUYẾT.
I
=
=
=
f  a g  x    0  0  a 1
I Phương pháp:

g x
t a  0
 
 f  t   0 .

Ta thường gặp các dạng:
Dạng toán I: Đặt một ẩn, đưa BPT ban đầu về một BPT theo ẩn mới.

2 f  x
 n.a f  x   p  0 .
● m.a
f  x
f  x
t a f  x 
● m.a  n.b  p  0 , trong đó a.b 1 . Đặt



t  0

, suy ra

b

f  x

1

t.

f  x

a
t

0
2 f  x
2 f  x

 
2 f  x
m.a
 n.  a.b 
 p.b
0
b


b
●
. Chia hai vế cho
và đặt
.
Dạng toán II: Đặt một ẩn phụ, nhưng khơng làm mất ẩn ban đầu. Khi đó, đưa BPT ban đầu
về dạng tích hoặc xem một ẩn là tham số để giải.
Dạng toán III: Đặt nhiều ẩn phụ chuyển BPT mũ ban đầu thành BPT tích hoặc xem một ẩn là
tham số để giải.
f  x

II HỆ THỐNG BÀI TẬ
P TỰ LUẬN.
=
=
=
x- 1
x- 3
I
Câu 1. Giải bất phương trình 9 - 36.3 + 3 £ 0 .
Lời giải

Ta có:

9 x  1  36.3x  3  3 0 

x
Đặt t 3 ( điều kiện: t  0 )

2
9x 4 x
1
4
 .3  3 0  .  3x   .3x  3 0   3x  2  12.3x  27 0
9 3
9
3


Khi đó bất phương trình

 *

2
x
trở thành: t  12t  27 0  3 t 9  3 3 9  1  x 2 .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

S  1; 2

.

2x
x1
Câu 2. Giải bất phương trình 7  7  6  0 .

Lời giải
2

Ta có:

2

7 2 x  7 x 1  6  0   7 x   7.7 x  6  0   7 x   7.7 x  6  0  *

x
 * trở thành:
Đặt t 7 , t  0 . Khi đó bất phương trình
x
 0  t 1  0  7 1  x  0
2
t  7t  6  0  
  x

t  6
 x  log 7 6
7  6

S   ;0    log 7 6;  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

.

x
x
Câu 3. Giải bất phương trình: 3  9.3  10  0

Lời giải
x
Đặt t 3 , t  0

Bất phương trình trên trở thành
9
t   10  0  t 2  10t  9  0  1  t  9  1  3 x  9  0  x  2
t
.

S  0; 2 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

.

x
x
x
Câu 4. Giải bất phương trình: 3.4  2.6  9 .

Lời giải
x

 3  9
3

2.
   
x
 2  4
4

0
Chia cả hai vế của bất phương trình cho
ta được

x

 *

x

 3
t   , t  0
 * trở thành:
 2
Đặt
. Bất phương trình
x

 3
3  2t  t  t  2t  3  0  0  t  1  0     1 

 2
2

2

S   ;0 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
x
Câu 5. Giải bất phương trình: 2.4

2

1

 6x

2

1

9 x

2

1

x

 3

  1  x  0
 2
.

.

.
Lời giải

 3
2 
 2
Bất phương trình đã cho tương đương với

 3
t  
 2
Đặt

x 2 1

9
 
 4

x 2 1

.

2

x 1

,t  0

2
; bất phương trình trở thành t  t  2 0   1 t 2 .


 3
0  t 2   
 2
Vì t  0 nên

x 2 1

2  x 2  1 log 3 2
2

 4
 4
 x 2 log 3 2  1   log 3    x  log 3  
2
2  3
2  3 .


 4
 4
S   log 3   ; log 3   


2  3
2  3  
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
.

4
Câu 6. Giải bất phương trình:

15

x

  4 

15



x

62

.

Lời giải
Ta có:

4
Đặt

4

15





15 . 4  15 1

x

  4 



15





x



62  4  15



x

x



 4  15
 1 

 62
 4  15 



1

x



4

15



x

62

x

t  4  15 , t  0

.

1
t  62  t 2  62t  1 0  31  8 15 t 31  8 15
t
Bất phương trên trở thành:



 31  8 15  4  15



x

31  8 15   2  x 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

.

S   2; 2

.

x 2
2 x
Câu 7. Giải bất phương trình 3  3  24 .

Lời giải
Bất phương trình đã cho tương đương với

9.3x 

9
 24  0
3x
.

 t  3  n
9
2
9t   24  0  9t  24t  9  0  
t   1  l
t
x

3
Đặt t 3 , t  0 , bất phương trình trở thành
.
x
Với t  3  3  3  x  1 .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là
x

3x  1 3 2 
Câu 8. Giải bất phương trình

S  1;  

2
3x  1 .
Lời giải

.


Ta có phương trình:
x

3x  1 3 2 

2
3x  1



2

3x  1  3 x 

3x  1

3x  1 



3x (3x  1)  2

 3x  1  3x (3x  1)  2 (*)
x
x
Đặt t 3  1  1  3 t  1

Từ đó phương trình (*) trở thành t  (t  1) t  2  t  2  (t  1) t
Trường hợp 1:
1  t  2


(t  1)t 0

1  t  2

  t 1
  t 0


 1  t  2  1  3x  1  2  3x  1  x  0

Trường hợp 2:

t 2
t 2



2
2
2
(t  1)t (t  2)
t  t t  4t  4
t 2

  4  t 2  3x 2  x log 3 2
t  3
 x log 3 2
x0
Vậy nghiệm của bất phương trình là: 
.

2
Câu 9. Giải bất phương trình

x

2



 2   2x  2 1 

2x  1



2

.

Lời giải
x
x
Điều kiện xác định: 2  1 0  2 1  x 0

Đặt

2 x  1 t ,  t 0   2 x  1 t 2  2 x t 2  1

Bất phương trình trở thành:

t

2

2

2

2

 1  2    t 2  1  2   1  t    t 2  1   t 2  3   1  t 

 t  1 2  t 2  3
2
2

2
  t  1  t  1   t 2  3  t  1  
t 1
t 2  2t  1  t 2  3 t  1


 t  1.
t 1
t 1
Do đó

2x  1  1  2x  1  1  2x  2  x  1 .

Kết hợp điều kiện: 0  x  1 .
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là:

S  0;1

.

2

3x  1


BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
2
0  a 1
Dạng bất phương trình: A log a x  B log a x  C  0 
.

Phương pháp giải

log a x t

2
, bất phương trình trở thành: At  Bt  C  0 .
Giải bất phương trình ẩn t , từ đó giải ra x .

Đặt

Dạng bất phương trình:
Phương pháp giải

A log a x  B log x a  C  0  0  a 1, 0  x 1 .

log a x t , bất phương trình trở thành:
Giải bất phương trình ẩn t , từ đó giải ra x .
Đặt

Câu 1. Giải bất phương trình

At 

2
log 0,2
x  5log 0,2 x   6

B
C  0
t

.

.

Lời giải
Điều kiện xác định: x  0 .
Đặt

log 0,2 x t ,

bất phương trình trở thành:

t 2  5t   6  2  t  3 .

Do đó ta có

2  log 0,2 x  3 

1
1
x
125
25 .

 1 1 
S 
; 
 125 25  .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
2

Câu 2. Giải bất phương trình log 2 x  5log 2 x  4 0 .

Lời giải
Điều kiện xác định: x  0 .
Đặt

log 2 x t , bất phương trình trở thành:

 t 1
t 2  5t  4 0  
 t 4 .
 log 2 x 1
 log x 4 
Do đó  2

 x 2
 x 16

.

 0  x 2

Kết hợp điều kiện ta có:  x 16
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
Câu 3. Giải bất phương trình

S  0; 2   16;  

log 32  x  1  4 log 3  x  1  3 0

Lời giải

.

.


Điều kiện x  1  0  x   1 .
Đặt

t log 3  x  1

Suy ra

2
, bất phương trình trở thành t  4t  3 0  1 t 3 .

1 log 3  x  1 3  3  x  1 27  2 x 26

.

So với điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

S  2; 26

.

log 2  5x  1 .log 2  2.5 x  2  m

Câu 4. Tìm các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

Lời giải
Ta có:
Đặt

log 2  5 x  1 .log 2  2.5 x  2  m  log 2  5x  1 1  log 2  5 x  1  m

t log 2  5x  1

t   2;  
. Vì x 1 nên
.

Bất phương trình trở thành:
Xét

f  t  t 2  t

,

.

t  t  1 m  t 2  t m

f  t  2t  1  0

t   2;  

với

với mọi

t   2;  

nên hàm đồng biến trên

t   2;  

.

min f  t   f  2  6
Nên

 2;

Bất phương trình

log 2  5x  1 .log 2  2.5 x  2  m

f  t  m t   2;  

nghiệm đúng với mọi x 1 khi và chỉ khi

 m min f  t   m 6
 2;

.

Vậy m 6.
Câu 5. Giải bất phương trình

log 2  2 x  1 .log 2  2 x1  2   2 0

.

Lời giải

Điều kiện

x
2  1  0
 2x  1
 x1
2  2  0

.

Ta có bất phương trình tương đương với
log 2  2 x  1 .log 2  2.  2 x  1   2 0  log 2  2 x  1 .  log 2  2 x  1 1  2 0
Đặt

t log 2  2 x  1

Suy ra

, bất phương trình trở thành

 2 log 2  2 x  1 1 

 log 2

t  t  1  2  0   2  t  1

.

.

1
5
2 x  1 2  2 x 3
4
4
(thỏa điều kiện)

5
 x log 2 3  log 2 5  2  x log 2 3
4
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

Câu 6. Giải bất phương trình:

log 2  5x  2   2.log 5x 2 2  3





Lời giải

S  log 2 5  2;log 2 3

.


log 2  5x  2   2.log 5x 2 2  3  log 2  5 x  2   2.



Ta có :
Đặt

t log 2  5x  2   1



 
. Khi đó

thành

t

1
 3  
log 2  5x  2 

.

2
 3  t 2  3t  2  0  t  2
t

(do t  1 ).

log 2  5x  2   2 log 2 2 2  5x  2  x  log 5 2
Với t  2 thì

log 2 x 64  log x2 16 3

Câu 7. Giải bất phương trình:

Lời giải

ĐK:

0  2 x 1


2
0

x

1


1

0  x 
2

 x 1

log 2 64 log 2 16
6
2

3 

3
2
log
2
x
log
x
1

log
x
log
x
2
2
2
2
Bất phương trình đã cho tương đương với
Đặt

 1

t log 2 x , t 0 và t  1

6t  2  1  t  3t 2  3t
6
2
3t 2  5t  2
 1 trở thành 1  t  t 3  t 2  t  t 2  t  t 2  t 0
Khi đó,
1
1
1
1


 x 3
 1  log 2 x 
 1  t 




3 2
3
2



 1  x 4
 0  t 2
 0  log 2 x 2

1 1 
S  ; 3    1; 4
 2 2
Kết hợp điều kiện, ta suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
.

x
2
2  log 2 x 1
Câu 8. Giải bất phương trình log 2 x log 2 x  1
log 2

Lời giải

x
2
2  log 2 x 1
 1 . ĐK:
log 2 x log 2 x  1

log 2

 1 

Đặt

x  0

log 2 x 0
log x  1 0

 2

.

x  0

 log 2 x 0 
log x  1 0
 2

x  0

 x 1
 x 2


log 2 x  1 2 log 2 x

1
log 2 x
log 2 x  1 .

t log 2 x . Bất phương trình trở thành:

t 1

t  1 2t
 2t 2  t  1
1


1 
0   0  t 
t
t1
t  t  1
2

 t  1


t  1  log 2 x  1  x  2 .
1
1
0  t   0  log 2 x   1  x  2
2
2
.

.


t  1  log 2 x  1  0  x 

1
2.

 1
S  0;   1; 2    2;  
 1 có tập nghiệm  2 
Kết hợp với điều kiện, bất phương trình

.



Câu 9. Tìm m để bất phương trình

log 22 x  3log 1 x 2  7  m  log 4 x 2  7 
2

có nghiệm với mọi x 256.

Lời giải

x  0

x 0
log 22 x  3log 1 x 2  7 0  
2

2
log 2 x  6 log 2 x  7 0
Điều kiện xác định: 
x  0

x  0

1


 x 

   log 2 x   1
2 

  log x  7
  x 128
 2

1

 0  x 2

 x 128

Với điều kiện trên bất phương trình trở thành
Đặt

t log 2 x thì t 8 vì x 256 .

 t  1  t  7   m  t  7  

(*) trở thành

Đặt

log 22 x  6 log 6 x  7  m  log 2 x  7   *

f  t 

Xét hàm số

t 1
t 7 .
t 1
t  7 trên nửa khoảng  8;    .

f  t 

f  t  
Ta có
Do đó

t 1
 m, t 8.
t 7

4

 t  7

2

.

t 7
 0, t 8
t 1
 f  t

max f  t   f  8  3
 8;

luôn nghịch biến trên khoảng

 8;   .

.

 m max f  t 
 8; 
 m 3 . Vậy m 3.
Yêu cầu bài toán
DẠNG 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGA PHƯƠNG PHÁP XÉT HÀM.
x 1
x 1
x
Câu 1. Giải bất phương trình 2  3  6  1 .

Lời giải
x

2
Ta có:

x 1

3

x 1

x

x

 1
 1  1
 6  1  2.    3.       1
 3
 2  6
(*)
x

x

x

x

 1
1  1
f  x  2.    3.     
 3
 2  6 .
Đặt


x

x

x

1
 1
 1
 1  1
 1
f '  x  2.   .ln    3.   .ln      .ln    0, x  
 3
 3
 2
 2  6
 6
Ta có:
Suy ra hàm số
Do đó:

f  x

nghịch biến trên  .

 *  f  x   f  2  

x2

S  2;  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình:

x
2

Câu 2. Tìm tham số m để bất phương trình: m + e ³

.

e 2 x +1 nghiệm đúng với mọi x Ỵ ¡ .

4

Lời giải
TXĐ: ¡
Ta có bất phương trình tương đương m ³

4

x
2

2x

e +1 - e .

x
2
Đặt e = t , t > 0 , khi đó u cầu bài tốn tương đương m ³

Đặt

y = f ( t ) = 4 t 4 +1 - t , t > 0

t3

f ¢( t ) =

(t

4

Ta có:

4

+1)

3

t 4 +1 - t đúng với mọi t > 0 (*)

.
t3

- 1 f ¢( t ) = 0 Û
4

;

3

4

(t

+1)

4

3

- 1= 0

3

Û t 3 = 4 ( t 4 +1) Û t12 = ( t 4 +1) Û t12 = t12 + 3t 8 + 3t 4 +1 Û 3t 8 + 3t 4 +1 = 0
(Vơ nghiệm)

t3

f ¢( t ) =
4

Nhận xét:
Mặt khác

(t

4

+1)

lim f ( t ) = 1

t đ0+

lim

t đ+Ơ

(

4

3

- 1=

t3 -

4

4

(t

( t 4 +1)
4

+1)

3

3

< 0, " t > 0
(vì

4

( t 4 +1)

3

3

> 4 ( t4 ) = t3

)

;

)

t 4 +1 - t = lim

t đ+Ơ

(

t 4 +1 - t 2
4

t 4 +1 + t

)

= lim

t đ+Ơ

(

1

4

t 4 +1 + t

)(

t 4 +1 + t 2

)

=0
.

Bảng biến thiên:

Do đó (*) Û m ³ 1 . Vậy m ³ 1 .
Câu 3. Tìm tham số m để bất phương trình
x.

4

x 2 + x- m

(

+ 4 x2 + 2 > 2 2

Lời giải

x 2 + x- m

+2x

) nghiệm đúng với mọi


Để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x , trước hết bất phương trình phải xác định trên
¡ .
ỉ 1ư
1
x 2 + x - m ³ 0, " x Ỵ ¡ Û m £ g ( x ) = x 2 + x, " x Ỵ ¡ Û m Ê min g ( x ) = g ỗ
- ữ
=ữ
ỗ
ữ
ỗ
xẻ Ă
ố 2ứ

4
Tc l
Khi ú yờu cu bi toỏn tng đương với

(

4

x 2 +x- m

(
Ta có

2

x2 +x- m

- 2 ×2
x 2 +x- m

)

2

m£ -

x 2 + x- m

)

2

2

- 1 +( 2 x - 1) > 0, " x Ỵ ¡

2

và dấu bằng xảy ra khi

ìï
1
ïï x =
2
íï
ïï
3
ïï m = .
4 .
ùợ

Vi iu kin
ỳng vi mi x ẻ Ă .
Vy

(

- 1 +( 2 x - 1) ³ 0, " x Ỵ ¡

ìï 2 x2 +x- m - 1 = 0

ï
Û
í
ïï 2 x - 1 = 0
ỵ

m£ -

)

+1 +( 4 x 2 - 4 x +1) > 0, " x Ỵ ¡ Û 2

1
4 thì dấu bằng không thể xảy ra, nên suy ra bất phương trình luôn nghiệm

1
4 .

Câu 4. Giải bất phương trình

log 2 ( x 2 + 3) - log 2 x + x 2 - 4 x +1 £ 0

.

Lời giải
Điều kiện: x > 0 .
Ta có
log 2 ( x 2 + 3) - log 2 x + x 2 - 4 x +1 £ 0 Û log 2 ( x 2 + 3) + x 2 + 3 £ log 2 4 x + 4 x ( *)

.

f ( t ) = log 2 t + t
D = ( 0; +Ơ )
Xột hm s
trờn
. Ta cú
1
f Â( t ) =
+1 > 0 " t ẻ D ị
t ln 2
hàm số f đồng biến trên D .
( *) Û f ( x 2 + 3) £ f ( 4 x) Û x 2 + 3 £ 4 x Û 1 £ x £ 3
Suy ra
.
x
x
Câu 5. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log 2 (5  1).log 2 (2.5  2) m có
nghiệm với mọi x 1 ?

Lời giải
BPT
Đặt

 log 2 (5x  1).log 2 (2.5 x  2) m  log 2 (5 x  1). 1  log 2 (5 x  1)  m

t log 2  5x  1

do x 1

 t   2;  

2
BPT  t (1  t ) m  t  t m  f (t ) m
2
Với f (t ) t  t

f , (t ) 2t  1  0 với t   2;   nên hàm đồng biến trên t   2;  
Nên Minf (t )  f (2) 6


x
x
Do đó để để bất phương trình log 2 (5  1).log 2 (2.5  2) m có nghiệm với mọi x 1 thì :

m Minf (t )  m 6

Câu 6. Cho hàm số
đây

y  f  x

liên tục trên đoạn

  1;9

và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới

16.3 f  x    f 2  x   2 f  x   8 .4 f  x   m 2  3m  .6 f  x 
Tìm tham số m để bất phương trình
nghiệm

  1;9 ?
đúng với mọi giá trị x thuộc đoạn
Lời giải
Từ đồ thị ta suy ra
Đặt

 4  f  x  2 x    1;9

t  f  x  , t    4; 2

.

.

16.3t   t 2  2t  8 .4t  m2  3m  .6t
Ta tìm m sao cho bất phương trình
(1)
t    4; 2
đúng với
.
t

16
 2
(1)  t   t 2  2t  8 .   m2  3m
t    4; 2
2
 3
với
(*).

16
4, t    4; 2
t
Ta có 2
. Dấu bằng xảy ra khi t 2 .
2
t    4; 2
Lại có t  2t  8 0 với
.

t

 t  2t  8 . 23  0, t    4; 2
Do đó
. Dấu bằng xảy ra khi t 2  t  4 .
2

t

t

16
16
 2
 2
  t 2  2t  8 .   4 t   4;  2
  t 2  2t  8 .   m 2  3m
t
t
 3

 3
Như vậy 2
. Mà 2
với
t    4; 2
.
2
Suy ra m  3m 4   1 m 4 .

Vậy  1 m 4 .
DẠNG 5: MỘT SỐ BÀI TOÁN KẾT HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP


Câu 1. Giải bất phương trình

x 2  4 x  2  log 3  x 2  4 x  6   0

Lời giải
2

Đặt

t  x 2  4 x  2  x  2   2, t  2

Đặt

f  t  t  log 3  t  4  , t  2
f '  t  1 

Ta có

Do đó

1
 0, t  2
 t  4  ln 3

f   1 0

Mặt khác

. Ta có bất phương trình

. Suy ra

f  t

t  log 3  t  4   0.

đồng biến trên

  2;  .

.

f  t   0  t   1  x 2  4 x  2   1  x 2  4 x  3  0  x    ;1   3;  

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

T   ;1   3;  

2

Câu 2. Tìm tất cả giá trị của m để bất phương trình
.

4 x   m  1 2 x

2

1

.

 m  3 0

nghiệm đúng với mọi x

Lời giải
Tập xác định D ¡ .
2

Đặt

t 2 x ,  t 1

Với t 1 thì

Xét hàm số

Ta có

, khi đó bất phương trình trở thành

 *  t 2  2t  3 m  2t  1 
f t 

Do đó hàm số

f  t

(*)

t 2  2t  3
m
2t  1
.

2t  3



2t 2  2t  4

 2t  1

2

.

có bảng biến thiên như sau

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để bất phương trình
log 2 x
2
 x log2 5
Câu 3. Giải bất phương trình x  3

Lời giải
+) Điều kiện: x  0

t 2  2  m  1 t  m  3 0

t 2  2t  3
2t  1 trên  1;  

 2t  2   2t  1  2  t 2 
f ' t  
2
 2t  1

.

f  t  m, t   1;  

thì m 1 .


t
+) Đặt t log 2 x  x 2 .
t 2

2 
Khi đó bất phương trình đã cho có dạng:

 3t   2t 

log 2 5

t

 4t  3t  5t

.

t

 4  3
    1
t
5
Chia 2 vế của bất phương trình cho , ta được:  5   5 
.
t

t

t

t

4  3 3
 4  3
 4
f  t        f  t    ln    ln  0, t
 5  5
 5 5  5 5
+) Xét hàm số
.

Do đó hàm số
Mà

f  2  1

f  t

nghịch biến trên ¡ .

f  t   1  f  t   f  2   t  2  log 2 x  2  x  4

nên

.

+) Đối chiếu điều kiện ta được: 0  x  4 .
Vậy nghiệm của bất phương trình là:

S (0; 4) .

x3  2 x 2  2 3

ln
 x  3 x 2  2  m 0
2
x m
Câu 4. Cho bất phương trình
. Tìm m để bất phương trình nghiệm
đúng với

x   0;3

.
Lời giải

x3  2 x 2  2
0
x2  m
Điều kiện:
.
3
2
2
x   0;3
 *
Do x  2 x  2  0 với
nên bài toán này ta chỉ xét với điều kiện x  m  0

Với điều kiện

 *

bất phương trình

ta có:
 ln  x 3  2 x 2  2   ln  x 2  m   x 3  3 x 2  2  m 0

 ln  x 3  2 x 2  2   x 3  2 x 2  2 ln  x 2  m   x 2  m  1

Xét hàm:

f  t  ln t  t

trên

 0;   .

1
f '  t   1  0
t   0;    f  t 
 0;   .
t
với
là hàm đồng biến trên

Do đó:
Đặt

 1 

x3  2 x 2  2 x 2  m  m x3  3x 2  2
.

g  x  x 3  3 x 2  2

.

Bất phương trình đã cho nghiệm đúng với

x   0;3

 x 2  m  0 x   0;3

m  0
 m  min g x




x 0;3
m  2 .

Vậy không tồn tại giá trị của m thỏa mãn bài toán.

khi: