2 3 cực trị tại điểm cho trước
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (328.57 KB, 17 trang )
CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
DẠNG 3: TÌM CỰC TRỊ TẠI MỘT ĐIỂM CHO TRƯỚC
MỞ RỘNG: Có thể áp dụng quy tắc thứ 2 để tìm cực trị của hàm số tại một điểm cho trước.
Kiến thức này thuộc chương trình tốn cao cấp của tác giả Nguyễn Đình Trí. Định lí được
trình bày như sau:
Giả sử hàm f ( x) có đạo hàm liên tục đến cấp n tại x a
Các đạo hàm
f ' a f a ... f ( n 1) a 0 f ( n ) a 0
,
thì:
f a 0
Nếu n chẵn và
thì f ( x) đạt cực đại tại a .
f ( n) a 0
Nếu n chẵn và
thì f ( x) đạt cực tiểu tại a .
f x
Nếu n lẻ thì khơng đạt cực trị tại a .
Đặc biệt, khi n 2 thì có định lý trong SGK Tốn 12.
Áp dụng định lý trên để giải quyết các bài toán sau đây.
y f x
\ 1
Cho hàm số
xác định trên
, liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến
thiên như hình vẽ
( n)
Câu 1:
Hàm số
A. 4 .
Câu 2:
Câu 3:
Câu 4:
có bao nhiêu điểm cực trị?
B. 3 .
3
2
Tìm giá trị thực của tham số m để hàm số y x 3x mx đạt cực đại tại x 0.
A. m 1 .
B. m 2 .
C. m 2 .
D. m 0 .
y x 3 3 m 1 x 2 m 2 x 3
Tìm tập tất cả các giá trị của m để hàm số
đạt cực tiểu tại x 1.
5;1 .
B.
5 .
C. .
D.
1 .
1
y x 3 mx 2 m 2 m 1 x 1
3
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
đạt cực đại tại
điểm x 1 ?
A. m 2 hoặc m 1 .
C. m 1 .
Câu 6:
D. 5 .
C. 2 .
y x 3 m 4 x 2 5m 2 x m 6
Tập hợp các số thực m để hàm số
đạt cực tiểu tại x 2
là
2
2
A. .
B. .
C. .
D. .
A.
Câu 5:
y f x
B. m 2 hoặc m 1 .
D. m 2 .
3
2
Tìm m để hàm số y x 2mx mx 1 đạt cực tiểu tại x 1
Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”.
CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
B. m 1 .
A. không tồn tại m .
Câu 7:
Cho hàm số
Hỏi hàm số
A. 3 .
Câu 8:
Câu 9:
f x
yf x
có bao nhiêu cực trị?
B. 1 .
y mx 4 m2 1 x 1
y f x
C. 7 .
D. 5 .
y f x
B. m 1 .
đạt cực đại tại x 0
C. m 1 .
D. 1 m 1
y f x
. Hàm số
D. 3 .
C. 2 .
y f x
có đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số
là:
y
x
O
A. 3.
.
có bảng biến thiên như sau
Giá trị cực đại của hàm số bằng
A. 2 .
B. 1 .
Câu 10: Cho hàm số
D.
với bảng biến thiên dưới đây
Tìm m để hàm số
A. m 0 .
Cho hàm số
m 1; 2
C. m 1 .
B. 4.
C. 1.
D. 2.
y x 3 3mx 2 m 2 x m
Câu 11: Tập hợp các số thực m để hàm số
đạt cực tiểu tại x 1 là
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
1
y x 3 mx 2 m2 4 x 3
3
Câu 12: Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số
đạt cực đại tại
x 3
A. m 1, m 5 .
B. m 5 .
C. m 1 .
D. m 1 .
2
Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”
CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Câu 13: Tìm m hàm số
A. m 1 .
y x 3 mx 2 3 m 1 x 2m
Câu 14: Tìm m để hàm số
3
A. 2 .
B. m 2 .
đạt cực trị tại điểm x 1
C. m 0 .
D. m 1 .
y mx 3 m2 1 x 2 2 x 3
B.
3
2.
đạt cực tiểu tại x 1 .
C. 0 .
D. 1 .
y m 1 x 4 m 2 2 x 2 2019
Câu 15: Tìm tất cả tham số thực m để hàm số
đạt cực tiểu tại x 1
A. m 0 .
B. m 2 .
C. m 1 .
D. m 2 .
9
7
2
6
Câu 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y x ( m 2)x ( m 4)x 7 đạt cực
tiểu tại x 0 ?
A. 3 .
B. 4 .
C. Vô số.
D. 5 .
x5
m
2m 1 x 4 x 3 2019
5
3
Câu 17: Cho hàm số
. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số
đạt cực tiểu tại x 0 ?
A. Vô số.
B. 1.
C. 2.
D. 0.
y
Câu 18: Cho hàm số y f ( x) là một hàm đa thức có bảng xét dấu của f '( x) như sau.
g( x) f x 2 x
Số điểm cực trị của hàm số
là
A. 5 .
B. 3 .
C. 7 .
Câu 19: Có bao nhiêu giá trị nguyên của
m
D. 1 .
thuộc khoảng
m 1 5 m2 4
x
x m5
5
4
đạt cực đại tại x 0?
A. 110 .
B. 2016 .
C. 100 .
2019; 2019
để hàm số
y
Câu 20:
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số
tiểu tại x 0.
A. 3 .
B. 5 .
D. 10 .
y x8 m 2 x 5 m 2 4 x 4 1
C. 4 .
đạt cực
D. Vô số.
y x 2018 m 5 x 5 25 m 2 x 4 1
m
Câu 21: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
để hàm số
đạt
x
0
cực đại tại điểm
.
A. 4.
B. 5.
C. 9.
D. 10.
8
7
6
a, b
a , b 20,20
Câu 22: Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn
để hàm số y x ax bx 1 đạt
cực tiểu tại điểm x 0.
A. 722.
B. 742.
C. 703.
D. 685.
Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”.
CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
8
5
2
4
Câu 23: Có bao nhiêu nguyên của tham số m để hàm số y x ( m 3)x ( m 9)x 1 đạt cực tiểu
tại điểm x 0.
7.
B. Vô số.
C. 6.
D. 4.
A.
y x6 mx 5 10 m m 2 x 4 1
m
Câu 24: Có bao nhiêu số nguyên
để hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
x 0 .
A. 9 .
B. 10 .
D. 8 .
C. 11 .
y x 6 m 1 x 4 m2 4 x 3 1
m
Câu 25: Có bao nhiêu số nguyên
để hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
x 0 .
A. 4 .
B. 1 .
D. 3 .
C. 2 .
y x 8 m 4 x 5 m2 16 x 4 1
Câu 26: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số
đạt
cực tiểu tại điểm x 0 .
A. 7 .
B. Vô số.
C. 6 .
D. 8 .
Câu 27: Cho hàm số
y f x
g x x f x
Đặt
f x h f x h h 2 x h 0.
có đạo hàm trên thỏa mãn
,
,
2019
x f x
29 m
m 4 29m 2 100 sin 2 x 1 m
,
là tham số nguyên
g x
và m 27 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m sao cho hàm số đạt cực tiểu
tại x 0 . Tính tổng bình phương các phần tử của S .
A. 108.
B. 58.
C. 100.
D. 50.
y x 9 m 2 x7 m2 4 x 6 7
Câu 28: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số
đạt cực tiểu tại điểm
x 0 .
A. 3.
Câu 29: Cho hàm số
B. Vô số.
C. 4.
y x 5 mx 4 m3 3m2 4 m 12 x 3 1
hàm số đã cho đạt cực đại tại x 0 ?
A. 1.
B. 3.
C. 2.
D. 5.
. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để
D. 4.
2
Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”
CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
BẢNG ĐÁP ÁN
1.A
11.C
21.D
2.A
12.B
22.B
3.D
13.C
23.C
4.B
14.A
24.B
5.D
15.D
25.B
6.C
16.A
26.D
7.C
17.B
27.C
8.B
18.A
28.A
9.D
19.B
29.C
10.C
20.C
HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT
Câu 1:
Chọn A
Từ bảng biến thiên của hàm số
y f x
, suy ra bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra hàm số có 4 điểm cực trị.
Câu 2:
Chọn A
y ' 3x 2 2 m 4 x 5m 2 y '' 6 x 2 m 4
Ta có
;
y ' 2 0
y '' 2 0
Để hàm số đạt cực tiểu tại x 2 thì
12 4 m 4 5m 2 0
m 2
12 2 m 8 0
m 2
Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3:
Chọn D
2
D y 3x 6 x m, y 6 x 6.
TXĐ:
;
Hàm số
y x 3 3x 2 mx
đạt cực đại tại x 0 y (0) 0 m 0.
Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.
y f x
là
CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Với m 0 ta có: y (0) 6 0 x 0 là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Vậy m 0 là giá trị cần tìm.
Câu 4:
Chọn B
Kiến thức cần nhớ: Cho hàm số
y f x
y f x
có đạo hàm cấp một trên
a; b
chứa điểm x0 và
có đạo hàm cấp hai khác 0 tại x0 , khi đó:
f ' x0 0
f '' x0 0
y f x
Nếu
thì hàm số
đạt cực tiểu tại điểm x0 .
f ' x0 0
f '' x0 0
y f x
Nếu
thì hàm số
đạt cực đại tại điểm x0 .
Áp dụng ta có
y ' 3 x 2 2 3m 1 x m 2 ; y '' 6 x 2 3m 1
Xét phương trình
.
m 1
2
y ' 1 0 3 1 2 3m 1 m2 0 m2 6 m 5 0
m 5
Với
m 1 y '' 6 x 4 y '' 1 2 0
Với
m 5 y '' 6 x 28 y '' 1 22 0
nên hàm số đạt cực đại tại x 1.
nên hàm số đạt cực tiểu tại x 1.
Vậy m 5 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 5:
Chọn D
2
2
TXĐ D ; y ' x 2 mx m m 1 .
1
y x3 mx 2 m2 m 1 x 1
3
Hàm số
đạt cực đại tại điểm x 1
m 1
y ' 1 0 12 2 m.1 m 2 m 1 0 m 2 3m 2 0
.
m
2
2
y ' x 2 2 x 1 x 1 0 x , y ' 0 x 1
Với m 1 ,
.
1
y x 3 mx 2 m2 m 1 x 1
3
Hàm số
đồng biến trên khi m 1 .
Vậy m 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
x 1
y ' x 2 4 x 3, y ' 0 x 2 4 x 3 0
x 3 .
Với m 2 ,
y '' 2 x 4. y '' 1 2.1 4 2 0
.
1
y x 3 mx 2 m2 m 1 x 1
3
Hàm số
đạt cực đại tại điểm x 1 khi m 2 .
Câu 6:
Chọn C
2
Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”
CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
3 4m m 0
y 1 0
6 4m 0
y
1
0
Để x 1 là điểm cực tiểu của hàm số
m 1
3 m 1.
m
2
3
2
2
Thử lại với m 1, ta có y x 2 x x 1 ; y 3 x 4 x 1 .
x 1
y 0 3 x 2 4 x 1 0
.
x 1
3
Bảng biến thiên:
Quan sát bảng biến thiên ta thấy m 1 thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 7:
Chọn C
Hàm số
y f x
trên là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục Oy là trục đối xứng và gồm hai
phần, phần 1 trùng với phần đồ thị hàm số
qua trục tung.
Bảng biến thiên của hàm số
y f x
ứng với x 0 ; phần 2 lấy đối xứng phần 1
.
y f x
yf x
Bảng biến thiên của hàm số
Vậy hàm số
Câu 8:
yf x
có 7 cực trị.
Chọn B
y 4 mx 3 m2 1
y 0 0 m2 1 0 m 1
Để hàm số đạt cực tại tại x 0 thì
Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”.
CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
4
3
Với m 1 y x 1, y 4 x 0 x 0 . Khảo sát hàm số ta thấy, hàm số đạt cực tiểu tại
x 0 suy ra m 1 không thỏa mãn.
4
3
Với m 1 y x 1, y 4 x 0 x 0 . Khảo sát hàm số ta thấy, hàm số đạt cực đại tại
x 0 .
Câu 9:
Chọn D
Dựa vào bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số bằng 3 tại x 2 hoặc x 2 .
Câu 10: Chọn C
Hàm số xác định và liên tục trên .
x x1
f x 0 x 0
x x2
Từ đồ thị ta thấy
.
Bảng biến thiên:
x
y'
x1
0
0
+
x2
0 + 0
+
+
y
Khi đó hàm số
y f x
y f x
đạt cực tiểu tại x x1 hay hàm số
có 1 điểm cực trị.
Câu 11: Chọn C
2
Ta có y 3x 6 mx m 2 và y 6 x 6m .
y 1 0
3 6m m 2 0
3
2
y 1 0
y x 3mx m 2 x m
6 6 m 0
Hàm số
đạt cực tiểu tại x 1
m 1
m 1 khơng có giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 12: Chọn B
Tập xác định: D .
2
2
Ta có: y ' x 2 mx m 4 và y " 2 x 2 m .
m 1
y ' 3 0 m2 6 m 5 0
m 5 .
Hàm số đạt cực đại tại x 3 suy ra
Thử lại:
y " 3 4 0
Với m 1 thì
, suy ra x 3 là điểm cực tiểu của hàm số.
y " 3 4 0
Với m 5 thì
, suy ra x 3 là điểm cực đại của hàm số.
Vậy m 5 là giá trị cần tìm.
Câu 13:
Chọn C
2
Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”
CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Ta có
y ' 3 x 2 2mx 3 m 1
x 1 y ' 1 0 m 0
Điều kiện cần:- Giả sử hàm số này đạt cực trị tại
3
Điều kiện đủ: Thử lại m 0 ta được y x 3x
Hàm số đạt cực đại tại x 1 .
Câu 14: Chọn A
Hàm số đã cho xác định với x .
Đạo hàm
y ' 3mx 2 2 m2 1 x 2
.
3
2 m 2 3m 0 m 0;
y ' 1 0
2 .
Hàm số đạt cực tiểu tại x 1
Thử lại:
2
Với m 0 thì y 2 x 2 x 3 và y ' 2 x 2 Hàm số đạt cực đại tại x 1 (KTM)
4
3
9
13
3
m
y ' x2
x 2 y ' 0 x 1; 9
a 0
y
2 thì
2
2
2
Với
;
. Hàm số là hàm số bậc ba có
nên hàm số đạt cực đại tại
3
m
2.
Vậy
x
4
9 và đạt cực tiểu tại x 1 (Thỏa mãn).
Câu 15: Chọn D
y 4 m 1 x 3 2 m2 2 x
Tập xác định: D . Ta có:
* Điều kiện cần:
2
f ' 1 0 4 m 1 2 m 2 0
x
1
Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại
là
m 0
m 2 .
2m2 4 m 0
* Điều kiện đủ:
4
2
Trường hợp 1: m 0 hàm số trở thành y x 2 x 2019
x 1
x 0
x 1
3
Ta có: y ' 0 4 x 4 x 0
Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.
CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại tại x 1 nên loại m 0 .
4
2
Trường hợp 2: m 2 hàm số trở thành y x 2 x 2019 .
x 1
x 0
x 1
3
Ta có: y ' 0 4 x 4 x 0
Bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực tiểu tại x 1 . Chọn m 2 .
y m 1 x 4 m 2 2 x 2 2019
Vậy với m 2 thì hàm số
đạt cực tiểu tại x 1 .
Cách 2: Kiểm tra điều kiện đủ
4
2
- Với m 0 , hàm số trở thành y x 2 x 2019 .
y 4 x 3 4 x y 12 x 2 4
,
.
y 1 0
y 1 8 0
Ta có:
, suy ra hàm số đạt cực đại tại x 1 nên loại m 0 .
4
2
- Với m 2 , hàm số trở thành y x 2 x 2019 .
y 4 x 3 4 x y 12 x 2 4
,
.
y 1 0
y 1 8 0
Ta có:
, suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x 1 nên chọn m 2 .
Kết luận: m 2 .
Câu 16: Chọn A
y 9 x 8 7 m 2 x 6 6 m 2 4 x 5 y 0 0, m
.
y 9.8 x7 7.6 m 2 x 5 6.5 m 2 4 x 4 y 0 0, m
Ta nhận thấy
y 0 y
4
.
5
0 y 0 0, m
2
Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”
CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Ta
y (6) 9.8.7.6.5.4 x 3 7.6.5.4.3.2 m 2 x 6.5.4.3.2.1 m 2 4
có
y(6) 0 6.5.4.3.2.1 m2 4
.
m 2
y(6) 0 0
m 2 thì:
Trường hợp 1:
8
+ m 2 y 9 x 0, x nên hàm số đồng biến trên nên không đạt cực trị tại x 0 .
+
m 2 y x6 9 x 2 28
Trường hợp 2:
không đổi dấu khi qua x 0 nên không đạt cực trị tại x 0 .
y(6) 0 0 m 2
Khi đó để hàm số đạt cực tiểu tại x 0 thì cần thêm
y(6) 0 0 6.5.4.3.2.1 m2 4 0 m 2 4 0 2 m 2 m 1;0;1
.
Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số m .
Câu 17:
Chọn B
Ta có
2
2
y x 4 4 2 m 1 x 3 mx 2 x x 4 2 m 1 x m
.
y
x 0
Dễ thấy
là một nghiệm của đạo hàm . Do đó hàm số đạt cực tiểu tại x 0 khi và chỉ khi
y
đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua nghiệm x 0 . Ta thấy dấu của y là dấu của hàm số
g x x 2 4 2 m 1 x m
của
g x
. Khi đó
. Hàm số
g x
đổi dấu khi đi qua giá trị x 0 khi x 0 là nghiệm
g 0 0 m 0
.
g x x 2 4 x
Thử lại, với m 0 thì
đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua giá trị x 0 .
Vậy có 1 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 18: Chọn A
TXĐ: D .
x 2 x 1
2
x x 1
x 0 (l )
1
1
2
g x x 2 f x x 0
0
2
x
x
Ta có
g x
khơng xác định tại x 0 .
Bảng xét dấu
Vậy
g x
có 5 điểm cực trị.
Câu 19: Chọn B
Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”.
1 5
x
2
1
x 2
.
CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Ta có
y ( m 1) x 4 m 2 x 3
.
3
y x 4 6 y 3 x 3
4
.
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x 0 (loại).
Trường hợp 1: m 1 . Khi đó
x1 0
y 0
x m 2
2
m 1.
Trường hợp 2: m 1 . Khi đó
4
Nhận thấy nếu x2 x1 0 m 2 y 3x 0 x Hàm số luôn nghịch biến trên
nên hàm số khơng có cực trị ( loại)
m 1
m 1 0
2 m 1
x1 x2
m2
m 1
m 1 0
m 2
x1 x2
m 1
Vì vậy u cầu bài tốn tương đương với
.
2019; 2019
Suy ra số giá trị m nguyên thuộc khoảng
là 2016.
Câu 20: Chọn C
(3)
(4)
2
Ta có y '(0) y ''(0) y (0) 0 , y (0) 4!(m 4)
(4)
Nếu y (0) 0 m 2 .Kiểm tra trực tiếp thấy với m 2 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
x 0 .Với m 2 thì hàm số đã cho khơng đạt cực tiểu tại x 0 .
(4)
Nếu y (0) 0 thì hàm số đã cho đạt cực đại tại x 0 .
(4)
Nếu y (0) 0 2 m 2 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x 0 .
Tóm lại có 4 giá trị ngun của m thỏa mãn u cầu bài tốn.
Cách
2:
Có
y ' 8 x 7 5(m 2) x 4 4(m 2 4) x 3
x 3 (8 x 4 5(m 2) x 4(m2 4)) .Đặt
g ( x) 8 x 4 5(m 2) x 4(m 2 4) ; g (0) 4( m 2 4)
Nếu g (0) 0 thì tồn tại số h 0 sao cho g ( x) 0x ( h; h) y ' đổi dấu từ dương sang
âm khi x đi qua 0 Hàm số đã cho đạt cực đại tại 0 .
Nếu g (0) 0 2 m 2 thì tồn tại số h 0 sao cho g ( x) 0x ( h; h) y ' đổi dấu từ
âm sang dương khi x đi qua 0 Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại 0 .
Nếu g (0) 0 m 2 .Kiểm tra trực tiếp thấy với m 2 thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại
x 0 .Với m 2 thì hàm số đã cho khơng đạt cực tiểu tại x 0 .
Tóm lại có 4 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”
CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
4
2
y 8 x 5 m 2 x 4 m 4 x x 8x 5 m 2 x 4 m 4
g x
7
4
2
3
3
Cách 3:Ta có:
Ta xét các trường hợp sau
2
* Nếu m 4 0 m 2.
.
7
Khi m 2 y 8 x x 0 là điểm cực tiểu.
y x 4 8 x 4 20 x 0
Khi m 2
không là điểm cực tiểu.
2
* Nếu m 4 0 m 2. Khi đó ta có
y x 2 8 x5 5 m 2 x 2 4 m 2 4 x
Số cực trị của hàm
y x8 m 2 x 5 m 2 4 x 4 1
bằng số cực trị của hàm
g x
g x 8 x 5 5 m 2 x 2 4 m 2 4 x
4
2
g x 40 x 100 m 2 x 4 m 4
g 0 0
Nếu x 0 là điểm cực tiểu thì
. Khi đó
4 m 2 4 0 m 2 4 0 2 m 2 m 1;0;1
Vậy có 4 giá trị nguyên của m.
4
2
y 8 x 5 m 2 x 4 m 4 x x 8x 5 m 2 x 4 m 4
g x
7
Cách 4: Ta có:
4
2
3
3
.
5 m 2 5 m2 4 0
m 2
4 m2 4 0
2 m 2
Ycbt
.
Vậy có 4 giá trị nguyên của m.
y 0 0
sang
Nhận xét: Ta thấy rằng, hàm số đạt cực tiểu tại x 0 khi
và y đổi dấu từ
khi qua x 0 điều này tương đương số hạng bậc thấp nhất của y phải bậc lẻ và dương.
Câu 21: Chọn D
Ta có
Nếu
Nếu
Nếu
Với
3
y 0 y 0 y 0 0, m; y (4) 0 4! 25 m 2 .
4
y 0 0 25 m 2 0 5 m 5
4
y 0 0
hàm số đạt cực tiểu tại x 0 (thỏa mãn).
,hàm số đạt cực đại tại x 0 (loại).
4
y 0 0 25 m2 0 m 5.
m 5 y 2018 x 2017 50 x 4 x 4 2018 x 3 50
không đổi dấu khi đi qua x 0 (loại).
Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.
CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
2017
Với m 5 y 2018 x
đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x 0 (thỏa mãn).
5 m 5 m 4,...,5 .
Vậy
Có 10 số nguyên thỏa mãn.
Câu 22: Chọn B
Ta có
3
4
5
6
y 0 y 0 y 0 y 0 y 0 0, a , b.y 6! b.
Trường hợp 1: Nếu
Vậy trường hợp này
6
y 0 0 b 0
a 19,...,19 ,
hàm số đạt cực tiểu tại x 0 (thỏa mãn).
có 39 cách chọn;
b 1,...,19 ,
có 19 cách chọn
Có 39.19 741 cặp.
Trường hợp 2: Nếu
6
y 0 0 b 0
hàm số đạt cực đại tại x 0 (loại).
7
6
6
y 6 0 b 0.
Trường hợp 3: Nếu
Khi đó y 8 x 7 ax x (8 x 7 a) đổi dấu từ âm sang
dương khi qua điểm x 0 a 0 .
Vậy trường hợp này có duy nhất 1 cặp
a; b 0; 0 .
Vậy có tất cả 742 cặp số nguyên thỏa mãn.
Câu 23: Chọn C
Ta có
ff 0 ff 0 m
0 0, 4 0 4!
4
f 0 4! m2 9 0 3 m 3
Nếu
2
9 .
hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 (thỏa mãn).
4
f 0 0 4! m2 9 0 m 3 m 3
f 0 0 4! m
Nếu
4
Nếu
2
hàm số đạt cực đại tại điểm x 0 (loại).
9 0 m 3 m 3.
Với
m 3 f x 8 x7
Với
m 3 f x 8 x7 30 x 4 2 x 4 4 x 3 15
Vậy
3 m 3 m 2,...,3 .
đổi dấu từ âm sang dương khi qua điểm x 0 (thỏa mãn).
khơng đổi dấu khi đi qua điểm x 0 (loại).
Có 6 số nguyên thỏa mãn.
Câu 24: Chọn B
Ta có
Nếu
4
2
y 0 y 0 y 0 0, m y 4! 10 m m
;
.
4
2
y 0 0 4! 10m m 0 0 m 10
hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 .
4
2
y 0 0 4! 10m m 0 m ;0 10;
Nếu
hàm số đạt cực đại tại điểm
x 0 (loại).
m 0
2
4
y 0 0 4! 10m m 0
m 10 .
Nếu
2
Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”
CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
5
Với m 0 y 6 x . Ta có đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua x 0 (thỏa mãn).
m 10 y 6 x 5 50 x 4 2 x 4 3 x 25
Với
. Ta có đạo hàm khơng đổi khi qua x 0 (loại).
Kết luận: Có 10 giá trị m nguyên thỏa mãn.
Câu 25: Chọn B
Ta có
Nếu
2
y 0 y 0 0, m y 3! m 4
;
.
2
y 0 0 3! m 4 0 m 2
.
Hàm số không đạt đạt cực trị tại điểm x 0 (loại) vì n 3 lẻ.
Nếu
2
y 0 0 3! m 4 0 m 2
.
m 2 y 6 x 5 12 x 3 6 x 3 x 2 2
Với
. Ta có đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi qua
x 0 (loại).
Với
m 2 y 6 x 5 4 x 3 2 x 3 3x 2 2
. Ta có đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua x 0
(thỏa mãn). Vậy m 2 thỏa mãn.
Câu 26: Chọn D
Ta có
Nếu
4
2
y 0 y 0 y 0 0, m y 4! m 16
;
4! m
.
16 0 m ; 4 4;
4
2
y 0 0 4! m 16 0 4 m 4
hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 0 .
4
y 0 0
Nếu
(loại).
2
hàm số đạt cực đại tại điểm x 0
m 4
y 0 0 4! m 16 0
m 4 .
Nếu
4
2
7
Với m 4 y 8 x . Ta có đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi qua x 0 (thỏa mãn).
Với
m 4 y 8 x7 40 x 4 8 x 4 x 3 5
Kết luận: Vậy
m 3; 2;...; 4
. Ta có đạo hàm khơng đổi khi qua x 0 (loại).
hay có 8 giá trị m nguyên thỏa mãn.
Câu 27: Chọn C
Chú ý: Định nghĩa đạo hàm tại điểm x0 :
f x0 lim
f x h f x h
h
x , h 0 ,
f x h f x h
0 lim
f x h f x
h 0
h
Do đó h 0
f x f x 0 f x 0 x
,
.
Suy ra
h
h 0
f x h f x h h 2
lim
f x0 h f x0
h
g x x 2019 x29 m m4 29m2 100 sin 2 x 1
h
.
lim
h 0
.
Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.
f x f x h
h
0
CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
g x 2019 x 2018 29 m x 28 m m 4 29m 2 100 sin 2 x
2017
27 m
m 4 29 m 2 100 .2 cos 2 x
g x 2019.2018 x 29 m 28 m x
Khi đó:
Có
4
2
g 0 0 g 0 2 m 29 m 100
,
Trường hợp 1:
.
g 0 0
g x
Hàm số đạt cực đại tại x 0 .
2 m 5
g 0 0 m4 29 m2 100 0 4 m 2 25
5 m 2 .
Trường hợp 2:
g x
đạt cực tiểu tại x 0 .
m 5
g 0 0
m 2 . Thay lại ta có với m 5 , g x đổi dấu từ âm sang
Trường hợp 3:
Khi đó hàm số
g x
dương khi đi qua x 0 . Khi đó hàm số đạt cực tiểu tại x 0 .
S 5; 4 ; 3; 3; 4; 5
Vậy
. Tổng bình phương các phẩn tử của S bằng 100.
Câu 28: Chọn A
Ta có
y 9 x8 7 m 2 x6 6 m2 4 x 5
6
5
2
y 0 y 0 ... y 0 0, m y 0 6! m 4
,
.
6
y 0 0 y
Trường hợp 1:
đạt cực đại tại x 0 .
Trường hợp 2:
ycbt.
6
y 0 0 2 m 2
. Hàm số đạt cực tiểu tại x 0 . Do đó m 0; 1 thỏa
y 0 0 m 2
Trường hợp 3:
. Thay m 2 vào y , ta thấy y không đổi dấu khi đi
qua x 0 . Do đó y khơng đạt cực tiểu tại x 0 .
Vậy có 3 số nguyên m thỏa ycbt.
6
Câu 29: Chọn C
Ta có
y 5 x 4 4mx 3 3 m3 3m2 4m 12 x 2
3
y 0 6 m3 3m 2 4m 12
y 0 y 0 0 m
,
và
.
Trường hợp 1:
3
y 0 0
thì hàm số đã cho khơng đạt cực trị tại x 0 .
3
y 0 0 m 2 ; 3
Trường hợp 2:
y 5 x 4 8 x 3 x 3 5 x 8
Với m 2
đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x 0 nên hàm
số đạt cực tiểu tại x 0 .
Với
m 2 y 5 x 4 8 x3 x3 5 x 8
đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x 0 nên hàm số
đạt cực đại tại x 0 .
m 3 y 5 x 4 12 x 3 x 3 5 x 12
Với
đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x 0 nên hàm
số đạt cực đại tại x 0 .
2
Thực hiện sưu tầm và biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0”
CHUYÊN ĐỀ: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
Vậy có 2 giá trị nguyên của m thỏa ycbt.
Sưu tầm và biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0.
Một sản phẩm của nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0”.
