Giao trinh co so so hoc

TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM BÌNH PHƯỚC

ThS.ĐẶNG XUÂN QUỲNH

CƠ SỞ SỐ HỌC

Bình phước 2017


MỤC LỤC
Chương 1: Số tự nhiên
1.Tập hợp hữu hạn
2.Tập hợp số tự nhiên
3.Nguyên lý quy nạp và tính sắp thứ tự tốt
4.Hệ tiên đề về số tự nhiên
5.Các phép toán trên số tự nhiên
6.Các hệ thống ghi số
Bài tập
Chương 2: Số nguyên
1.Vành các số nguyên
2.Ghi số nguyên và thực hành các phép tính trong số nguyên
3.Quan hệ thứ tự trong số nguyên
4.Lực lượng của tập hợp số nguyên
Bài tập
Chương 3: Số hữu tỷ
1.Trường số hữu tỷ
2.Phân số
3.Quan hệ thứ tự trên số hữu tỷ
4.Lực lượng của tập hợp số hữu tỷ
5.Số thập phân hữu hạn và số thập phân vô hạn tuần hoàn
Bài tập

Chương 4: Số thực và số phức
1.Số thực
2.Số phức
Bài tập


Chương 5: Liên phân số
1.Liên phân số hữu hạn
2.Liên phân số vô hạn
3.Biễu diễn số thực bởi liên phân số
4.Một vài ứng dụng của liên phân số
Bài tập
Tài liệu tham khảo

Các kí hiệu thường dùng
N tập hợp số tự nhiên
Z tập hợp số nguyên
Q tập hợp số hữu tỷ
R tập hợp số thực
C tập hợp số phức


Chương 1: Số tự nhiên
Bài 1.Tập hợp hữu hạn
1.1.Tập hợp tương đương (đẳng lực)
1.1.1.Định nghĩa
Tập hợp A tương đương với tập hợp B, ta viết: A~B, nếu có một song ánh f từ
A lên B.
A~B khi và chỉ khi tồn tại song ánh f: AB
1.1.2.Ví dụ

Ví dụ 1: Tập hợp ngón tay trái tương đương với các ngón tay phải
Ví dụ 2: Giả sử AB và BC là hai đoạn thẳng có độ dài tùy ý có chung đầu mút
B (A,B,C khơng thẳng hàng). Kí hiệu: [AB], [CB] tương ứng là tập hợp các điểm
của hai đoạn thẳng này. Ta chứng minh [AB]~[CB]
Thật vậy ta xét ánh xạ: f: [AB][CB] được xác định như sau:
Với mọi điểm X[AB] ta có:



C nÕu X=A

f(X) B nÕu X=B

X A
X' sao cho XX'//AC nÕu 

X B
Dễ dàng kiểm tra được rằng f là một song ánh.
1.1.3.Tính chất
1.1.3.1.Tính chất phản xạ
Với mọi tập hợp A ta ln có: A~A
Thật vậy, với mọi tập hợp A ta ln có một song ánh từ A lên A.
1.1.3.2.Tính chất đối xứng
Với mọi tập hợp A và B, nếu như A~B thì B~A.
Nếu A~B thì tồn tại song ánh f: AB khi đó ánh xạ ngược f-1: BA cùng là
song ánh nên B~A.


1.1.3.3.Tính chất bắc cầu
Với mọi tập hợp A, B, C nếu A~B và B~C thì A~C

Nếu A~B và B~C thì tồn tại các song ánh f: AB và g: BC
Khi đó ánh xạ tích gof: AC là một song ánh, vậy A~C
1.1.4.Định lí cantor
Đối với hai tập hợp A và B bất kỳ, luôn xảy ra một trong các trường hợp như
sau:
a.A tương đương với một bộ phận của B, B tương đương với một bộ phận của
A
b.nếu xảy ra đồng thời cả hai trường hợp trên thì A tương đương với B.
1.2.Tập hợp hữu hạn và tập hợp vô hạn
1.2.1.Định nghĩa
1.2.1.1.Tập hợp không tương đương với một bộ phận thực nào của nó thì gọi là một
tập hợp hữu hạn.
1.2.1.2.Tập hợp không hữu hạn gọi là tập hợp vô hạn
Hay nói khác đi: Tập hợp vơ hạn là tập hợp tương đương với một bộ phận
thực sự của nó.
1.2.2.Ví dụ
a.Tập hợp rỗng  là một tập hữu hạn, vì rỗng khơng có một bộ phận thực sự
nào.
b.Tập {x} là một tập hợp hữu hạn vì nó chỉ có một bộ phận thực sự duy nhất
là , nhưng dễ thấy tập hợp {x} không tương đương với tập rỗng.
c.Cho tập hợp là đoạn thẳng [AB], các điểm của một đoạn thẳng AB (AB)
là một tập vơ hạn.
1.3.Các tính chất của tập hợp hữu hạn
1.3.1.Tính chất 1: Tập hợp tương đương với một tập hữu hạn là hữu hạn.
1.3.2.Tính chất 2: Tập hợp con của một tập hữu hạn là hữu hạn.
1.3.3.Tính chất 3: Hợp của hai tập hữu hạn là một tập hữu hạn.
1.3.4.Tính chất 4: Tích Dercac của hai tập hữu hạn là một tập hữu hạn.


Bài 2.Tập hợp số tự nhiên

2.1.Bản số và số tự nhiên
2.1.1.Bản số
Bản số là một khái niệm đặc trưng về “số lượng” cho lớp các tập hợp tương
đương.
Mỗi tập hợp A đều có một bản số, kí hiệu: cardA hay |A|, sao cho:
Card A = card B thì A~B
2.1.2.Số tự nhiên
Bản số của một tập hợp hữu hạn gọi là là một số tự nhiên
2.2.Quan hệ thứ tự trên tập số tự nhiên
Định nghĩa: Giả sử a,bN, a=cardA, b=cardB.
Ta nói a nhỏ hơn hoặc bằng B, viết là ab, nếu A tương đương với một bộ
phận của B.
Nếu ab, ab thì ta viết a2.3.Định lí: Quan hệ  xác định trong định nghĩa trên là một quan hệ thứ tự toàn
phần trong tập hợp số tự nhiên N.
Chứng minh:
2.4.Định nghĩa: Giả sử a,bN, ta nói b là số liền sau a nếu tồn tại các tập hợp hữu
hạn A,B sao cho a=cardA, b=cardB và AB, B\A là một tập hợp đơn tử. (card(B\
A)=1)
Kí hiệu: Số liền sau a là a’
Khi b là số liền sau a, ta cũng nói a là số liền trước b.
Ví dụ: 1 là số liền sau 0
Chứng minh: Ta có 0=card, 1=card(x) và {x}, {x}\={x} là tập đơn tử.
2.5.Tính chất:
1.Mọi số tự nhiên đầu có một số liền sau duy nhất.
2.Số 0 không là số liền sau của bất kì số tự nhiên nào. Mọi số tự nhiên khác 0
đều là số liền sau của một số tự nhiên duy nhất.


3.Với a,bN, nếu a

4.Hệ quả: Giữa các số tự nhiên a và số liền sau a’ của nó không tồn tại số tự
nhiên nào khác.
2.6.Dãy số tự nhiên:
Biễu diễn dưới dạng dãy số: 0,1,2,3,4,5,…
Biễu diễn ở trên tia số:
2.7.Bản số của tập hợp số tự nhiên
Định lí: Tập hợp số tự nhiên N là một tập vô hạn.
Định nghĩa:
i.Lực lượng của tập hợp số tự nhiên N gọi là vô hạn đếm được.
ii.Một lực lượng hữu hạn hay vô hạn đếm được gọi chung là lực lượng đếm
được.

Bài 3.Nguyên lý quy nạp và tính sắp thứ tự tốt
3.1.Nguyên lý quy nạp
Định lí: Giả sử hàm mệnh đề P(n) với biến tự nhiên n, thỏa mãn các điều kiện:
i.P(0) đúng
ii.Nếu P(n) đúng thì P(n’) đúng.
Khi đó P(n) đúng với mọi số tự nhiên n.
Chứng minh:
Phép quy nạp: Để chứng minh hàm mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên
nN ta chứng minh theo các bước sau:
Bước cơ sở: Kiểm tra mệnh đề đúng với n=0
Bước quy nạp: Chứng minh mệnh đề P(n) suy ra P(n’).


Định lí: N cùng quan hệ thứ tự đã xác định là một tập sắp thứ tự tốt, nghĩa laà
mọi bộ phận khác rỗng các số tự nhiên đều có số nhỏ nhất.
Chứng minh:
Định nghĩa: Bộ phận MN gọi là bị chặn trên, nếu tồn tại số tự nhiên a sao
cho xa với mọi xM.

Định lí: Mọi bộ phận khác rỗng bị chặn trên của tập hợp số tự nhiên N đều có
số lớn nhất.

Bài 4.Hệ tiên đề về số tự nhiên
Tiên đề peano:
1.Các khái niệm nguyên thủy:
a.Số tự nhiên
b.Số liền sau
2.Các tiên đề:
P1.Có số tự nhiên 0 khơng phải liền sau.
P2.Mỗi số tự nhiên có một và chỉ một số liền sau.
P3.Mỗi số tự nhiên là số liền sau của không quá một số tự nhiên.
P4.Mọi tập hợp M những số tự nhiên có các tính chất:
1.0M.
2.Nếu nM thì số liền sau của n cũng thuộc M.
Đều trùng với tập hợp số tự nhiên.


Bài 5.Các phép toán trên số tự nhiên
5.1.Phép cộng và phép nhân
Định nghĩa: Giả sử a,bN, A, B là hai tập hữu hạn để sao cho a=cardA,
b=cardB,AB= khi đó ta có:
a+b=card(AB)
a.b=card(AxB)
5.2.Tính chất của các phép tốn:
5.2.1.Tính chất giao hốn
Với mọi số tự nhiên a,b ta có:
a+b=b+a
a.b=b.a
Chứng minh:

5.2.2.Tính chất kết hợp:
Với mọi số tự nhiên a,b,c ta có:
a+(b+c)=(a+b)+c
a.(b.c)=(a.b).c
Chứng minh:
5.2.3.Phần tử trung lập:
Với mọi số tự nhiên a ta có:
a+0=0+a=a
a.1=1.a=a
Chứng minh:
5.2.4.Tính chất phân phối:
Với mọi số tự nhiên a,b,c ta có:
a.(b+c)=a.b+a.c
(b+c).a=b.a+c.a
Chứng minh:


5.2.5.Luật giản ước:
a.Với mọi số tự nhiên a,b,c ta có: a+c=b+c suy ra: a=b.
b.Với mọi số tự nhiên a,b,c0 ta có: ac=bc suy ra: a=b.
Chứng minh:
Với mọi số tự nhiên a ta ln có:
a+1=a’ (a+1 là số liền sau a)
a.0=0
Chứng minh:
5.2.6.Phép trừ
Định lí: Với mọi số tự nhiên a,b nếu ab thì tồn tại duy nhất số tự nhiên c sao
cho a+c=b.
Chứng minh:
Định nghĩa: Số tự nhiên c thỏa mãn đẳng thức a+c=b được gọi là hiệu của b

và a và kí hiệu: c=b-a
Quy tắc tìm hiệu b-a gọi là phép trừ.
Tính chất:
Với mọi số tự nhiên a,b,c mà cb ta có:
i.a(b-c)=ab-ac
ii.(b-c)a=ba-ca
Chứng minh:
Phép chia hết:
Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a,b,b0. Nếu có số tự nhiên q sao cho a=bq
thì ta nói a chia hết cho b.
Quy tắc tìm thương của hai số gọi là phép chia
Tính chất:
i.Số 0 chia hết cho mọi số tự nhiên khác không.
ii.Mọi số tự nhiên đều chia hết cho 1.


iii.a chia hết cho b thì ka cũng chia hết cho b.
phép chia có dư:
Định lí: Với mọi cặp số tự nhiên a,b, b0 bao giờ cũng tồn tại duy nhất cặp
số tự nhiên q và r sao cho:
a=bq+r, (0rChứng minh:
Định nghĩa: Số q và r thỏa mãn đẳng thức:
a=bq+r, (0rĐược gọi tương ứng là thương và du trong phép chia của a cho b.
5.3.Lũy thừa:
5.3.1.Định nghĩa:
i.giả sử: a,nN, n0 đặt:
an=a.a.a….a. (n lần a)
an đọc là a lũy thừa n, a gọi là cơ số, n gọi là số mũ của lũy thừa.

ii.với a0 ta quy ước:
ao=1
5.3.2.Tính chất:
i.an.am=an+m
ii.(an)m=amn
iii.(ab)n=anbn

an
iv. m a n  m
a
n
an
a
v.    n
b
b


Bài 6.Các hệ thống ghi số
6.1.Một vài hệ thống ghi số cổ
SGK
6.2.Hệ nhị phân
Trong hệ nhị phân chỉ có hai chữ số 0, 1.
Ta có bảng cộng và nhân trong hệ nhị phân như sau:
0
1
Phép cộng trong
chữ số kia.

0

0
1
hệ nhị

1
1
10
phân nếu một

x
0
0
0
1
0
trong hai chữ

1
0
1
số là 0 thì ta giữ nguyên

Nếu cả hai chữ số là 1 ta viết (là 10) 0 nhớ 1.
Ví dụ:Phép cộng trong hệ nhị phân:
10101
+
1
11010
10001
01

Phép nhân trong hệ nhị phân:
x

101 011
101
101011
0000000
10101100
11010111

6.3.Hệ ghi số g – phân
Hệ ghi số trong hệ thập phân như sau:
1234=1000+200+30+4=1.1000+2.100+3.10+4=1.103+2.102+3.101+4.10o.
6.3.1.Định lí: Giả sử g là số tự nhiên lớn hơn 1. Khi đó mỗi số tự nhiên a>0 đều biểu
diễn được một cách duy nhất dưới dạng:
a=Cngn+Cn-1gn-1+…+C0g0


ở đây 0Cig-1, i=0,1,…,n và Cn0
Chứng minh:
6.3.2.Định nghĩa: Nếu số tự nhiên a >0 biểu diễn được dưới dạng:
a=Cngn+Cn-1gn-1+…+C0
Với 0Cig-1, i=0,1,…,n và Cn0 thì ta viết

a C n C n  1 ...C 1C 0 g
Và ta nói đó là sự biểu diễn của a trong hệ g – phân.
Ví dụ: Biễu diễn số 3975 trong hệ 8-phân. Ta thực hiện liên tiếp các phép chia như
sau:
3975
8

77
496
8
55
16
62
Co= C1=0 C2=6
7

8
7

8

C3=7

0

Vậy ta có: 3975 76078
6.4.Các phép tính trong hệ g – phân
6.5.So sánh các số trong hệ g – phân
6.5.1.Bổ đề: Nếu số tự nhiên a ghi trong hệ g – phân có dạng:

a a n a n  1 ...a1a o g
Thì aChứng minh:
6.5.2.So sánh hai số tự nhiên
Cho hai số tự nhiên a,b khác nhau, được ghi trong hệ g – phân có dạng:

a a n a n  1 ...a1a o g ; b b m b m  1 ...b1 b o g

Xét: n>m thì a>b; n=m thì ab
Tóm lại:
i.Nếu số nào có nhiều chữ số hơn thì số đó lớn hơn.


ii.Nếu hai số có cùng số chữ số thì số nào có chữ số đầu tiên từ trái sang phải
lớn hơn sẽ lớn hơn.
6.5.3.Phép cộng
Để cộng số tự nhiên trong hê g – phân thì ta thực hiện phép cộng trong hệ
thập phân rồi đổi kết quả nhận được sang hệ g – phân đó.
Nếu cộng số thứ tự với nhau nếu tổng bé hơn g – phân thì giữ ngun số đó.
Ví dụ: 68  6 8 ? ta thực hiện phép cộng trong hệ thập phân: 6+6=12 rồi ta
đổi sang hệ 8 – phân như sau: 12 1.8  4 148
Nếu cộng hai số mà lớn hơn g – phân thì chúng ta cộng và giảm phân có nhớ
thơng thường.
Ví dụ: a 37258 ;b 14136 8
+

3725
14136
20063

5+6=11-8=3 (nhớ 1)
2+3+1(nhớ)=6
7+1(nhớ)=8-8=0 (nhớ 1)
3+4+1(nhớ=8-8=0 (nhớ 1)
1+1 (nhớ)=2

Vậy ta có: a  b 200638
6.5.4.Phép trừ trong hệ g – phân

Ta thực hiện phép trừ thơng thường nếu a>b thì được kết quả thơng thường,
cịn nếu aVí dụ: Tính a-b với: a 27538 ;b 14658
-

2753
1465
1266

3<5 nên 3+8=11-5=6 nhớ 1
5<6 nên 5+8=13-(6+1)=6 nhớ 1
7-4-1(nhớ)=2
2-1=1

Vậy ta có: a  b 12668
6.5.5.Phép nhân
Nếu tích của hai số bé hơn g – phân thì ta giữ nguyên tích đó.


Nếu tích hai số lớn hơn g – phân thì ta nhân bình thường rồi chia cho g – phân và
được phần dư đầu là kết quả cuối của phép nhân và kết quả của phép nhân là phần
nhớ của phép nhân đó.
Ví dụ: Tính tích a.b với a=3578 và b=68.
x

3578
68
2632

6.7=42:8=5 dư 2, ta viết 2 và nhớ 5

6.5=30+5(nhớ)=35:8=4 dư 3, ta viết 3 nhớ 4
3.6=18+4(nhớ)=22:8=2 dư 6, ta viết 6 nhớ 2

6.5.6.Phép chia
Là phép ngược lại của phép nhân. Ta chỉ việc nhân ước lượng hai con số lớn hơn nó
hoặc bé hơn nó ta sẽ lấy được kết quả cần tìm cho phép chia.
Ví dụ: Tính thương a:b với a=2158, b=638.
638
638
x
28
38
1468
2318
Vậy ta có q=28, vì r= 2158-638x28=2158-1468=478.
x

Nếu tích các con số lớn thì ta tách từng con số theo số bị chia để ta thực hiện phép
chia thông thường theo g – phân.

Bài tập
Trang 67-72 SGK

Chương 2: Số nguyên
Bài 1.Vành các số nguyên
1.1.Nhóm cộng Z
Tập các số tự nhiên N lập thành một vị nhóm đối với phép cộng, hơn nữa
trong vị nhóm có mọi phần tử đều có số đối.
i.Xét tập tích đề các: NxN={(a,b):a,bN}
Ta xác định một quan hệ hai ngơi kí hiệu là ~ như sau:

(a,b);(c,d)NxN: (a,b)~(c,d)<=>a+d=b+c
Khi đó quan hệ ~ là một quan hệ tương đương.


ii.Z=NxN/~ là tập thương NxN theo quan hệ tương đương ~. Phần tử của Z
đại diện bởi cặp (a,b)NxN.

 a,b 

Kí hiệu là:

Phép cộng trên Z được định nghĩa như sau:

 

 



x  a,b ,y  c,d  Z  x  y  a  c, b  d



Tập hợp Z với phép cộng xác định ở trên lập thành một nhóm giao hốn.
Phần tử trung hịa của nhóm là:

 

0  n,n , n  
Phần tử đối là:

 

 

x  a,b  : -x  b,a
1.2.Vành các số nguyên
Phép nhân trên Z.

 

 



x  a, b ,y  c,d  Z  xy  ac  bd,ad  bc



1.3.Các tính chất
Tính giao hốn:
Tính kết hợp:
Tính trung hịa:
Tính phân phối phép nhân đối với phép cộng:
1.4.Định lí: Tập hợp Z cùng với phép cộng và phép nhân đã nêu trên lập thành một
vành giao hoán có đơn vị.
1.5.Định nghĩa: Vành Z được gọi là vành các số nguyên, mỗi phần tử của Z được gọi
là một số nguyên.
1.6.Định lí: Vành các số nguyên Z lập thành một miền nguyên.
Chứng minh:

1.7.Luật giản ước


xy=xz với x,y,zZ và x0 suy ra y=z.
1.8.Định lí: Phương trình b+x=a với a,bZ ln có nghiệm trong Z và nghiệm đó là
duy nhất.
Chứng minh:
Bài 2.Ghi số nguyên và thực hành các phép tính trong số nguyên
Ta xét đẳng cấu N vào Z bằng một đơn án bảo toàn các phép toán.
Xét ánh xạ: f:NZ xác định bởi: n  f(n) (n,0)
i.f là một đơn ánh
ii.f bảo toàn phép cộng và nhân các số tự nhiên. (đồng cấu).
2.1.Định lí: Mỗi số nguyên hoặc là một số tự nhiên hoặc là số đối của một số tự
nhiên.
Chứng minh:
2.2.Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối của số nguyên x, kí hiệu là |x| được xác định như
sau:
|x|=x nếu x là một số tự nhiên.
|x|=-x nếu x là số nguyên âm.
2.3.Phép cộng trong Z:
i.Với x và y là các số tự nhiên:

x n (n,0);y m (m,0),n,m  
x  y (n,0)  (m,0) (n  m,0) n  m
ii.Với x và y là hai số nguyên âm:

x  n (0,n);y  m (0,m),n, m  
x  y (0,n)  (0, m) (0, n  m)  (n  m)  (| x |  | y |)
iii.Với x là số tự nhiên, y là số nguyên âm

x n (n,0);y  m (0,m),n,m  
Khi đó: |x|=n và |y|=m và ta có:


x  y (n,0)  (0,m) (n,m)
2.4.Thực hành phép nhân trong Z
i.Với x và y là các số tự nhiên:

x n (n,0);y m (m,0)  
xy (n,0)(m,0) (nm,0) nm
ii.Với x và y là hai số nguyên âm:

x  n (0,n);y  m (0,m)  
xy (0,n)(0,m) (nm,0) nm | x | . | y |
iii.Với x là số tự nhiên, y là số nguyên âm

x n (n,0);y  m (0,m)  
Khi đó: |x|=n và |y|=m và ta có:

xy (n,0).(0,m) (0,nm)  nm  (| x | . | y |)

Bài 3.Quan hệ thứ tự trong số nguyên
3.1.Định nghĩa: Cho x,yZ, ta nói x nhỏ hơn hoặc bằng y viết xy nếu y-xN.
Khi xy ta nói y lớn hơn hoặc bằng x thì viết yx.
Khi xy và xy ta nói x nhỏ hơn y và viết x3.2.Định lí: Quan hệ  xác định như trên là một quan hệ thứ tự tồn phần trong Z.
Chứng minh:
3.3.Tính tương thích giữa thứ tự và phép cộng
Giả sử x,y,zZ nếu xy thì x+zy+z
Hệ quả: x,y,zZ nếu x+z  y thì suy ra x  y-z

3.4.Tính chất giữa thứ tự và phép nhân


Giả sử x,yZ nếu x0 và y0 thì x.y0.
Hệ quả: x,y,zZ nếu xy thì suy ra xzyz.
Hệ quả: x,y,zZ nếu xy và z<0 thì suy ra xzyz.
3.5.Định lí: Với mọi số nguyên x, không tồn tại số nguyên nào nằm giữa x và x+1,
nghĩa là không tồn tại số nguyên y nào sao cho:
xChứng minh:
3.6.Định nghĩa: Số nguyên x+1 gọi là số liền sau của số nguyên x.
3.7.Định nghĩa: Giả sử MZ, ta có:
i.M được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại mZ sao cho:
xm với mọi xM
ii.M được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại m’Z sao cho:
m’x với mọi xM.
iii.M được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.
3.8.Định lí:
i.Mọi bộ phận khác rỗng các số nguyên bị chặn trên đều có số lớn nhất.
ii.Mọi bộ phận khác rỗng các số nguyên bị chặn dưới đều có số nhỏ nhất.
Chứng minh:

Bài 4.Lực lượng của tập hợp số nguyên
4.1.Định lí: cardZ=cardN
Chứng minh:
Tổng quát: Xét ánh xạ f:ZN xác định như sau:


2n khi x=n  
x  f(x) 

*
2n-1 khi x=-n,n  
Dễ dàng chứng minh f là một ánh xạ song ánh.
Bài tập
Trang 93,94,95, SGK

Chương 3: Số hữu tỷ
Bài 1.Trường số hữu tỷ
1.1.Trường các thương của miền nguyên Z
i.Xét tập hợp: ZxZ*={(a,b):a,bZ,b0} xác định một quan hệ tương đương
như sau:
(a,b),(x,y)Z.Z*: (a,b)~(c,d) ad=bc
ii.Quan hệ ~ xác định như trên là một sự chia lớp tương đương.
Kí kiệu: Q=ZxZ*/~
Mỗi phần tử Q dại diện bởi cặp (a,b) và kí hiệu:
Như vậy:

 a,b 

 a,b   c,d   ad bc

iii.Phép toán trên Q

x (a,b);y (c,d)  
x  y (a, b)  (c,d) (ad  bc, bd)
x.y (a, b)(c,d) (ac, bd)
1.2.Trường số hữu tỷ
Tập hợp Q cùng với hai phép toán cộng và nhân xác định như trên lập thành
một trường.
Phần tử trung hòa của phép cộng là: