Một số ứng dụng của lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
*****************

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT
BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học: TS. VŨ THẾ KHÔI
Người thực hiện: TRẦN DANH TUYÊN

Thái Nguyên - 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!!




Mục lục
Lời nói đầu

2

1

4

Một số ví dụ về nhóm và tác động nhóm
1.1

2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

4

1.2

Tác động nhóm .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5

1.3

Nhóm đối xứng

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

8

Các khái niệm đại số cơ sở của phép biểu diễn nhóm
2.1

Phép biểu diễn tuyến tính

2.2

Biểu diễn tương đương

2.3
2.4

3

Nhóm ma trận

Các ví dụ .

.

.

.

.

.

.

10

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

10

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

12

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

13

Tổng và tích tenxơ của phép biểu diễn - Phép biĨu diƠn th­¬ng

16

2.4.1

Tỉng cđa phÐp biĨu diƠn

2.4.2

TÝch tenx¬ cđa phÐp biểu diễn

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

16

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

17

2.4.3

Phép biểu diễn đối ngẫu

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

18

2.4.4

Phép biểu diễn thương

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

18

.

.

.

.

.

.

.

.

.

19

.

.

.

.

.

.

.

.

.

23

.

2.5

Phân tích bất khả quy của một phép biểu diễn

2.6

Đặc trưng của phép biểu diễn hữu hạn

.

.

.

.

Biểu diễn của nhóm hữu hạn và công thức Frobenius
3.1
3.2
3.3
3.4

Đặc trưng hệ trực chuẩn
Biểu diễn chính quy

.

.

24

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

24

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

28

.

29

Hệ trực chuẩn các đặc trưng và số các biểu diễn bất khả quy

ứ

ng dụng

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

32

Tài liệu tham khảo

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

35

1
S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




2

Lời nói đầu
Lý

thuyết

biểu

diễn

nhóm

có

nguồn

gốc

từ

lý

thuyết

đặc

trưng

của

nhóm abel được phát biểu cho các nhóm cyclic bởi Gauss, Dirichlet và sau

đó mở rộng sang cho nhóm abel hữu hạn bởi Frobenius và Stickelberger. Lý

thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn được phát biểu vào cuối thế kỷ XIX trong

các công trình của Frobenius, Schur và Burnside.

Nói một cách đơn giản,

lý thuyết biểu diễn nhóm nghiên cứu các cách

mà một nhóm tác động trên không gian véctơ bằng các tự đẳng cấu tuyến

tính. Lý thuyết biểu diễn nhóm không chỉ là một phần quan trọng trong đại

số hiện đại mà còn có nhiều ứng dụng quan trọng trong lý thuyết số, tổ hợp

và cả vật lý.

Mục đích của luận văn là đọc hiểu và trình bày lại một số kiến thức cơ

bản trong lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn và trình bày chứng minh của

B.Zagier công thức Frobenius.

Bố cục của luận văn của chúng tôi gồm ba chương:

Chương 1

Một số ví dụ về nhóm và tác động nhóm.

chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản như:

Trong chương này

Nhóm ma trận, tác động

nhóm, nhóm đối xứng. Những kiến thức này sẽ được sử dụng trong phần còn

lại của luận văn.

Chương 2

Các khái niệm đại số cơ sở của phép biểu diễn nhóm.

Trong

chương này chúng tôi trình bày các khái niệm và một số ví dụ đơn giản để

minh hoạ cho các khái niệm của phép biểu diễn nhóm.

Chương 3

Biểu diễn của nhóm hữu hạn và công thức Frobenius.

chương chính của luận văn.

Đây là

Trong chương này chúng tôi trình bày lại một

số kết quả cơ bản của lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn và đặc biệt là

chúng tôi dà trình bày lại một chøng minh cđa c«ng thøc Frobenius th«ng

qua lý thut biĨu diễn nhóm.

Qua đây, tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu xắc tới người thầy,

người hướng dẫn khoa học của mình, TS. Vũ Thế Khôi, nhờ sự h­íng dÉn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




3
chỉ bảo tận tình và nghiêm khắc của thầy mà luận văn đà được hoàn thành

một cách khoa học và đúng tiến độ. Xin chân thành cảm ơn các thầy cô công

tác tại Viện Toán, tại các trường Đại học thuộc Đại học Thái Nguyên đà trực

tiếp giảng dạy và quan tâm.

Xin cảm ơn anh Phạm Hồng Nam, giảng viên

khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, cảm ơn bạn bè đồng

nghiệp và gia đình đà động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập

và nghiên cứu.

Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009

Học Viên

Trần Danh Tuyªn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 1
Một số ví dụ về nhóm và tác động nhóm
Ta nhắc lại một số kiến thức cần dùng trong luận văn.

1.1

Nhóm ma trận

Cho

cấp

C

là trường số phức, kí hiệu

mìn

trên

C.

trong trường hợp

định được một

Mm,n (C)

m = n

Mm,n (C)

lập nên một

thì ta kí hiệu

là tập hợp tất cả các ma trận

C-không

Mn (C)

gian véc tơ

thay cho

mìn

Mn,n (C)

.

chiều,

Ta xác

nhóm tuyến tính:

GL(n, C) := {A Mn (C), detA 6= 0}.
Ta xác định

nhóm tuyến tính ®Ỉc biƯt,

SL(n, C) := {A ∈ Mn (C); detA = 1}.
Ta cũng xác định nhóm

trực giao:

O(n) := {A Mn (R); t AA = En },
và cho

n=p+q

, thì ta có:

O(p, q) := {A ∈ Mn (R); t ADp,q A = Dp,q },
trong

đó

Dp,q

là

các

ma

aii = 1, i = p + 1, n

trận

đường

. Và xác định

chéo

mà

aii = 1, i = 1, p

nhóm unita:

U (n) := {A ∈ Mn (C); t AA = En }
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn



và

các


5
là nhóm khả nghịch.

Cho

n=p+q

thì các nhóm

U (p, q) := {A ∈ Mn (R); t ADp,q A = Dp,q }.
Tõ nhãm

O(n)

ta xác định được nhóm con

SO(n)

của nhóm

O(n)

như

sau:

SO(n) := {A O(n); detA = 1}.
A(n) := {D(a1 , ..., an ); a1 , ..., an C }
phần tử

1.2

a1 , ..., an

là ma trận đường chéo với các

nằm trên đường chéo.

Tác động nhóm

Trong phần này luôn cho

G

là một nhóm, phần tử đơn vị là

e

và



là một

tập.

Định nghĩa 1.2.1.

G

được gọi là

tác động trái trên



nếu tồn tại ánh xạ

Gì
(g, x) 7 g à x
thoả mÃn các điều kiện sau:

i)

ii)

g à (g 0 à x) = (gg 0 ) · x
e·x=x

víi mäi

g, g 0 ∈ G, x

Chú ý:

Đặt

Aut

.

là tập hợp tất cả các song ánh từ



vào



thì từ định

nghĩa ta được đồng cấu nhóm

:G Aut
g 7 g à x
ã

Trong trường hợp

ã

Tác động nhóm được gọi là

sao cho

G

tác động trái trên

bắc cầu



ta cũng gọi

nếu mọi cặp



là

x, x0

Gtập trái
thì tồn tại

x0 = g · x

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



.

g∈G


6

ã

Với mọi

x0

ta xác định được tập con

G Ã x0

cña

χ

:

G · x0 := {g · x0 ; g ∈ G},
G Ã x0
ã

được gọi là

Với mọi

x0

G quỹ đạo

(chứa

x0

).



ta xác định được nhóm con của

Gx0 := {g G, g à x0 = x0 }
và được gọi là

Ví dụ 1.2.2.

trái trên



nhóm đẳng hướng

Cho

hay

G = GL(n, C)

và

nhóm ổn định của

Cn

x0

.

, ta xác định được một tác động

bởi ánh xạ:

Gì
(A, x) 7 A Ã x
với mọi

x Cn

.

Định nghĩa 1.2.3.
nhóm

G



được gọi là



tác động bắc cầu trên

Định nghĩa 1.2.4.
đạo trong

x

Một tập



và

sao cho

Chú ý:

G

Với mọi



tập, ta xác định

/G
G

có cấu trúc đại số, ví dụ nếu



tập các điểm bất động
với mọi

nếu có một

.

của

là

gÃx=x

Nếu

G

không gian thuần nhất

hay

G

là tập các

G

quỹ

, nghĩa là tập các phần tử

gG

.

là không gian véc tơ thì

trong trường hợp này ánh xạ:

:G
x 7 g à x
là tuyến tính với mỗi

Định nghĩa 1.2.5.
xạ. ánh xạ

x

f

gG

Cho

.



được gọi là

và

0

là các

đẳng biến

G

hay

tập trái và

Gđồng cấu

f : 0

là một ánh

nếu víi mäi

g∈G

, ta cã :

g · f (x) = f (g · x).

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



vµ


7
Cho

H

là một nhóm con của

G

, ta định nghĩa

nhóm con của

G

trong

H

là

NG (H) := {g ∈ G; gHg −1 = H}.
Râ rµng

Aut(G/H)
chuÈn tắc

hoá

của

NG (H)

là nhóm con chuẩn tắc tối đại của

là đẳng cấu với

NG (H)/H

.

G

trong

, được gọi là

trong

và nhóm

Ta cũng xác định ®­ỵc nhãm con

CG (H) := {g ∈ G; ghg −1 = h, h H}

H

H

nhóm tâm

G

.

Trong trường hợp đặc biệt

H=G

nhóm tâm hoá xác định bởi:

CG (G) = {g G; gh = hg, h H} =: C(G).
Hoàn toàn tương tự như vậy ta cũng có nhóm tác động phải của một nhóm

G

trên tập



:

Định nghĩa 1.2.6.

G

được gọi là

tác động phải trên



nếu tồn tại ánh xạ

Gì
(g, x) 7 x à g
thoả mÃn các điều kiện sau:

i)

ii)

(x à g) à g 0 = x · (gg 0 )
x · e = x ∀x ∈ χ, g, g 0 ∈ G

Chó ý:

,

.

Ta cã thể đưa nhóm tác động phải về tác động trái và ngược lại

nhờ phản đẳng cấu:

GG
g 7 g 1
Do đó cho



là

G

tập phải thì được tác động trái cho bởi:

g à x := x · g −1 .

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




8
1.3

Nhóm đối xứng

Sn

Định nghĩa 1.3.1. Nhóm đối xứng

n

nhóm tạo bởi các song ánh của

Rõ ràng

Aut

{1, 2, ..., n}

thì

là

nhóm

các

hoán

vị,

nghĩa

là

phần tử.

là nhóm song ánh từ tập

Sn = Autn

của



vào chính tập



dạng

các

, chọn

n :=

.

Chú ý:

ã

Số phần tử của nhóm

ã

Mỗi

phần

tử

Sn

Sn

#Sn = n!

là

đều

có

thể

viết

dưới

tích

của

chuyển vị,

nghĩa là hoán vị ở đó chỉ có hai phần tử chuyển chỗ cho nhau.

ã

Cho

Sn

, ta xác định

hàm dấu của

Sign() := () :=
ã

bởi:

(i) (j)
.
i

j
1iY

Rõ ràng ánh xạ

:Sn {1, 1}
7 ()
là

đồng

cấu

nhóm.

R \ {0} Ker
.

ã

đó

{1, 1}

là

nhóm

con

của

nhóm

nhân

R =

nhóm luân phiên.

là nhóm con chuẩn tắc và được gọi là

Một nhóm hoán vị luôn phân tích được thành tích của các xích nghĩa là

một hoán vị

(i1 , ..., ir )

đồng nhất nếu

ã

Trong

với

ij 7 ij+1

với

j
và

ir 7 i1

nếu

r>1

và là

r = 1.

Mỗi một hoán vị có một phân tích duy nhất thành một tích các xích rời

nhau.

Định nghĩa 1.3.2.
nhiên

ni N

Định lý 1.3.3

với

Một

phân hoạch

ni nj

nếu

i
([4] Định lý 0.1 )

phân hoạch của

của

và

n
P

là một dÃy

ni = n

(n1 , ..., nr )

là các số tự

.

. Số lớp liên hợp của

Sn

bằng số

p(n)

n.

S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



c¸c


9
Ví dụ 1.3.4.

Cho

n=3

vì

3=1+1+1
3=2+1
3=3
nên

n=3

có phân hoạch là

(1, 1, 1) (2, 1) (3)
;

;

.

Suy ra

S3

có ba lớp liên

hợp là:

C1 = {id}
C2 = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)}
C3 = {(1, 2, 3), (1, 3, 2)}

.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




Chương 2
Các khái niệm đại số cơ sở của phép biểu
diễn nhóm

2.1

Phép biểu diễn tuyến tính

Cho

G

là một nhóm,

Định nghĩa 2.1.1.
nếu





V

được gọi là

là một đồng cấu từ

C-

là một

G

đến

không gian véc tơ.

phép biểu diễn tuyến tính

AutV

của

G

trong

V

, nghĩa là ánh xạ

:G AutV
g 7→ π(g),
tho¶ m·n

π(gg 0 ) = π(g)π(g 0 ), g, g 0 G.
AutV
Trong

được kí hiệu bởi

trường

dim V = n
Cho

hợp

thì ta nói

V


B = (v1 , ..., vn )

diễn trong cơ sở

B

GL(V )

là

một

có bậc là

là nhóm tất cả các tự đẳng cấu của

C-

n

không

hoặc

là một cơ sở của



V

gian

là

thì với mọi

ta có một đẳng cấu của các không gian véc tơ

.

tơ

hữu

hạn

phép biểu diễn

bởi một ma trận khả nghịch

AutV ' GL(n, C)

véc

A

cấp

chiều

n chiều

F AutV

V

.

với

.

được biểu

n ì n A := MB (F )

V ' Cn

,

,

và đẳng cấu nhóm

Do đó ta có một phát biểu khác tương đương với định

nghĩa trước.

10
S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




11
Định nghĩa 2.1.2.

Một

phép biểu diễn tuyến tính

là một phép liên kết mỗi

gG

với một ma trận

n

chiều

G

của một nhóm

(g) = A(g) GL(n, C)

tho¶ m·n:

A(gg 0 ) = A(g)A(g 0 ), ∀g, g 0 G.
Vì mọi đồng cấu nhóm biến phần tử đơn vị của nhóm này thành phần tử

đơn vị của nhóm kia, nên rõ ràng

của nhóm

Nếu

G

G

và rõ ràng ta có

là nhóm ma trận



biến ma trận

(e) = idV

0

thành phần tử đơn vị

e

trong trường hợp tổng quát.

G GL(n, C)

một phép biểu diễn tự nhiên

En

như trong phần

1.1

, chúng ta có

cho bởi:

0 (A) = A
với mỗi

AG

.

Định nghĩa 2.1.3.
được gọi là

biến

V0

Cho



là một phép biĨu diƠn tun tÝnh cđa

biĨu diƠn bÊt kh¶ quy

trong

V

G

trong

nÕu nã kh«ng cã kh«ng gian con

V π

π−

.

bÊt

.

Mét kh«ng gian con

V0 ⊂ V

π−

lµ

bÊt biÕn nÕu ta cã

π(g)(v0 ) ∈ V0 , ∀g G, v0 V0 .
Trong trường hợp,

0

được gọi là

0 := |V0

là một phép biểu diễn của

G

trong

V0

thì

phép biểu diễn con.

Do đó ta nói rằng



là

biểu diễn bất khả quy

nếu



không có phép biểu

diễn con thực sự.

ã

Cho

V

là

không

gian

unita

phức,

nghĩa

là

V

được

trang

bị

một

tích

hướng:

< ., . >:V ì V → C
(v, v 0 ) 7→< v, v 0 >
tho¶ m·n 3 tÝnh chÊt:

i) TuyÕn tÝnh theo biÕn thø hai và phản tuyến tính theo biến thứ nhất .

S húa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



v«


12
ii) Là

dạng Hemitian,

nghĩa là với mọi

v, v 0 V

ta cã

< v, v 0 >= < v, v 0 >
iii)

ra với

Xác định dương

, nghĩa là:

v V

ta có

< v, v > 0

dấu

=

xảy

v=0

.

Cho

V = Cn

thì ta thường sử dụng tích v« h­íng

n
X

< x, y >:=

xi yi , ∀x, y ∈ Cn .

i=1
Định nghĩa 2.1.4.

(g)

Một phép biểu diễn

là unita, nghĩa là với mọi



v, v 0 V

G

của

trong

gG

và

V

là

unita

nếu mỗi

ta có:

< (g)v, (g)v 0 > = < v, v 0 > .
2.2

BiĨu diƠn tương đương

Cho

hai

phép

tương ứng với

V0

biểu

diễn

và

0

của

, ta cần tìm một ánh xạ

G

trong

G

C

không

gian

véc

tơ

V

đẳng cấu với

F :V V0
Định nghĩa 2.2.1.
toán tử bện giữa



Một ánh xạ

và

0

C

tuyến tính

F : V V0

được gọi là một

gG

nếu với mäi

, ta cã

F π(g) = π 0 (g)F,
nghÜa lµ biĨu đồ sau là giao hoán

F

V


(g)y

V0

0 (g)
y

F

V V 0

0

và

0

được gọi là

tương đương

trong trường hợp đó viết là

nếu có một ®¼ng cÊu

π ∼ π0

F :V →V0

bƯn

.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



π

vµ


13
Nhận xét:
gian

véc

tơ

C(V, V 0 )

.

Không gian của những toán tử bện giữa

trên

Hơn

trường

nữa

C

.

chúng

Nó

ta

được

thường

định

sử

nghĩa

dụng

kí



bởi

hiệu

và

0

là một không

HomG (V, V 0 )

hoặc

C(V ) := C(V, V )

vµ

c(π, π 0 ) = c(V, V 0 ) = dim C(V, V 0 )
vµ

c(π, π 0 )

cịng được gọi là

Phép biểu diễn

và

0

bội của

với



trong

0

và kí hiệu bởi

c(, 0 ) = c(π 0 , π) = 0

mult(π, π 0 )

.

được gọi là

rời nhau.

Ta cần xác định các lớp tương đương của các phép biểu diễn bất khả quy bất

biến của

2.3

G

.

Các ví dụ

Ví dụ 2.3.1.

0

Cho

G

là nhóm các ma trận thì

G

, nghĩa là với mỗi nhóm ma trận thực (phức)

trong

V = Cn

unita với

liên kết với mọi

G = SO(n)

hoặc

có phép biểu diƠn tù nhiªn

G ⊂ GL(n, C)

cã biĨu diƠn

A∈G

SU (n)

. Râ ràng phép biểu diễn tự nhiên là

nhưng trong trường hợp tổng quát thì nó

hoặc không là unita hoặc không là bất khả quy, điều đó được suy ra từ ví dô

sau:

VÝ dô 2.3.2.

y := (1, 2, 3)

Cho

G = S3

, xÐt các phần tử của

S3

là:

id = (1) x := (1, 2)
,

,

rõ rµng ta cã:



 

1 2 3
1 2 3
1 2 3
x =
=
= id
2 1 3
2 1 3
1 2 3



 



1 2 3
1 2 3
1 2 3
2
y =
=
= 1 3 2
2 3 1
2 3 1
3 1 2


 



1 2 3
1 2 3
1 2 3
xy =
=
= 2 3
2 1 3
2 3 1
1 3 2
2


yx =


 



1 2 3
1 2 3
1 2 3
=
= 1 3
2 3 1
2 1 3
3 2 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



(2.1)

(2.2)

(2.3)

(2.4)


14


1 2
xyx =
2 1

1
y3 =
3


3
1 2
3
2 3

1
2 3
3
2 1

Do ®ã mỗi phần tử

thừa của

x

và

y


3
1 2
1
2 1

2 3
1
2 1
3

g S3

. Tõ ®ã suy ra

 
3
1 2
=
3
2 3
 
2 3
1
=
2 1
1



3
= 1 2 3
1

2 3
= id.
2 3

(2.5)

(2.6)

®Ịu cã thĨ biĨu diƠn thành tích của các luỹ

S3 =< x, y >

là nhóm con sinh bởi

Do đó ta dễ dàng tìm được phép biểu diễn trong

V =C

x

và

y

.

, đó là phép biểu

diễn tầm thường

1 (g) = 1, ∀g ∈ S3
vµ phÐp biĨu diƠn dÊu

π2 (g) = sign g ∈ {±1}, ∀g ∈ S3 .
Ta cũng tìm được phép biểu diễn 3 chiều

0

trên

V = C3

bởi ma trận

hoán vị sau


0 0 1
0 (y) = A(y) = 1 0 0
0 1 0


phép biểu diễn đó gọi là

phép biểu diễn hoán vị.

3

V =C =

3
X

(2.7)

Ta có

ei C

i=1
với

= e1 z1 + e2 z2 + e2 z2 ∈ V
trong ®ã

π0

e1 = t (1, 0, 0), e2 = t (0, 1, 0), e3 = t (0, 0, 1)

vµ

z1 , z2 , z3 C

được cho bởi

0 (g) =

X

eg(i) zi =

X

ei zg1 (i) .

i
Như đà biết

Đặt

0

là phép biểu diễn unita, nhưng không bất khả quy:

V1 := (e1 + e2 + e3 )C

là kh«ng gian con bÊt biÕn cđa

V

.

ThËt vËy:

π0 (g)(e1 + e2 + e3 ) = eg(1) + eg(2) + eg(3) = e1 + e2 + e3

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



th×


15
do đó

0 |V1 = 1

là phép biểu diễn tầm thường trong

ω=

X

V1

. Cho

zi ei

i
th×

< e1 + e2 + e3 , ω >=

X

zi

i

V3 = {,

Ta dễ dàng chứng minh được

của

V

và là phần bù của

V1
X

trong

V

g S3

nên

V3

dàng chứng minh được

rằng

2

zi =

0

X
i

a, b

và

b := e1 + e2 + e3 2

là cơ sở của

V3

. Đặt

= e2i/3

với

2 := 0 |V3

, ta dễ

ta cũng chỉ ra

Tất cả các phép biểu diễn trong

S3

là tương đương với

1 2
,

.

Ví dụ 2.3.3.

Cho



là

G

tập với

G

tác động trái

là không gian véc tơ của các hàm phức

fg V

zg1 (i)

là bất khả quy.

Nhận xét:
hoặc

là không gian con

là không gian con bất biến.

a := e1 + e2 + e3 2

Đặt

zi = 0}

i

, mặt khác ta có

i
với mọi

P

trong đó

fg

x 7 g à x

f :C

và

V = F()

thoả mÃn với

f V

thì

xác định bởi:

fg (x) = f (g −1 x).
NhËn xÐt:
cđa

G

trong

Hµm

V

Chøng minh.

(λ(g)f )(x) := f (g 1 x)

xác định một phép biểu diễn

.

Thật vậy,

(gg 0 ) · x = g · g 0 · x

vµ suy ra

−1

λ(gg 0 )f (x) = f ((gg 0 )−1 · x) = f (g 0 g −1 · x) = f (g 0

−1

· g −1 · x)

vµ

λ(g)λ(g 0 )f (x) = λ(g)fg0 (x) = fg0 (g −1 · x) = f (g 0

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

−1

· g −1 · x).



λ


16
Suy ra

λ(g.g 0 )f (x) = λ(g)λ(g 0 )f (x).
Hoµn toàn tương tự ta cũng có thể xây dựng một phép biểu diễn của

trong

V

thông qua

phức và với

G

tác động phải với

f g = f (x à g)

phép biểu diễn

của

G

khi đó hàm

trong

V

G

V = F()

không gian các hàm

((g)f )(x) := f (g à x)

xác định một

. Thật vậy

x à (gg 0 ) = x · g · g 0
do ®ã suy ra

ρ(gg 0 )f (x) = f (x · (gg 0 )) = f (x · g · g 0 )
vµ

0

ρ(g)ρ(g 0 )f (x) = ρ(g)f g (x) = f (x · g · g 0 ).
Suy ra

ρ(gg 0 )f (x) = ρ(g)ρ(g 0 )f (x).

2.4

Tổng và tích tenxơ của phép biểu diễn - PhÐp biĨu diƠn
th­¬ng

2.4.1

Tỉng cđa phÐp biĨu diƠn

Cho

(π, V )

tỉng trực tiếp

và

( 0 , V 0 )

0

của

là các phép biểu diễn (tuyến tính) của nhóm



và

0

G

thì

được cho bởi:

( π 0 )(g)(v ⊕ v 0 ) := π(g)v ⊕ π 0 (g)v 0 , ∀v ⊕ v 0 ∈ V ⊕ V 0 .
Cho

V = Cn V 0 = Cm

GL(m, C)

,

vµ

π(g) = A(g) ∈ GL(n, C) π 0 (g) = A0 (g) ∈
,

th× ta cã:



A(g)
0
(π ⊕ π 0 )(g) =
∈ GL(n + m, C).
0 A0 (g)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



(2.8)


17
2.4.2

TÝch tenx¬ cđa phÐp biĨu diƠn

(π, V )

Cho

tenx¬ cđa

V

(π 0 , V 0 )

và

V0

và

thì

là các phép biểu diễn của nhóm

tích tenxơ

0

của



0

và

G

và

V V0

tích

được cho bởi:

( 0 )(g)(v ⊗ v 0 ) := π(g)v ⊗ π 0 (g)v 0 , ∀v ⊗ v 0 ∈ V ⊗ V 0 .
V = Cn V 0 = Cm

Cho

,

GL(m, C)

V ⊗V0

π(g) = A(g) ∈ GL(n, C) π 0 (g) = A0 (g)

thì tích tenxơ cho bởi

( 0 )(g) =
Chó ý:

vµ

NÕu

V

,

tÝch Kronecker

a1,1 A0 (g) · · · a1,n A0 (g)
an,1 A0 (g) · · · an,n A0 (g)



A(g)

vµ

A0 (g)

:



cã một cơ sở là

có cơ sở là

của ma trận

(ei )iI

(ei fj )(i,j)IìJ

và

V0

GL(nm, C).

(2.9)

(fj )jJ

có một cơ sở là

thì

.

Bằng quy nạp ta có thể định nghĩa được tích tenxơ của nhiều hơn hai nhân

tử và tích tenxơ luôn có hai tính chất giao hoán và kết hợp.

Ví dụ 2.4.1.

Cho

V

là một không gian véc tơ ba chiều với cơ sở là

(e1 , e2 , e3 )

thì ta có:

ã 2 V

có số chiều là 9 với một cơ sở là

(e1 e1 , e1 ⊗ e2 , e1 ⊗ e3 , e2 ⊗ e1 , ..., e3 ⊗ e3 )
• S 2V

có số chiều là 6 với một cơ sở là

(e1 ⊗ e1 , e1 ⊗ e2 + e2 ⊗ e1 , e1 ⊗ e3 , e2 ⊗ e2 , e2 ⊗ e3 + e3 ⊗ e2 , e3 ⊗ e3 )
ã 2 V

có số chiều là 3 với một cơ së lµ

e1 ∧ e2 := e1 ⊗ e2 − e2 ⊗ e1
e1 ∧ e3 := e1 ⊗ e3 − e3 ⊗ e1
e2 ∧ e3 := e2 ⊗ e3 − e3 e2
Trong trường hợp tổng quát ta có cơ sở cđa

S pV

vµ

∧p V

trong

⊗2 V

øng lµ

ei1 .....eip :=

X

eig(1) ⊗ .... ⊗ eig(p) , i1 ≤ · · · ≤ ip .

g∈Sp

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên



t­¬ng


18

X

ei1 ∧ ... ∧ eip :=

sign g eig(1) ⊗ .... eig(p) , i1 < ... < ip .

gSp
Chú ý:

ã

Nếu

V

là không gian 3 chiều thì

C[u, v, w]p

có thể đồng nhất với không gian con

p

các đa thức thuần nhất bậc

G

là phép biểu diễn của

biểu diễn tuyến tính

ã

S pV

trong

S p

và

V

p

của các không gian 3 biến. Nếu

thì ánh xạ

S pV

trong

ei 7 (g)ei
tương øng

π

c¶m sinh mét phÐp

∧p V

.

Mét tÝnh chÊt quan trong cđa cấu trúc của phép biểu diễn với chiều hữu

hạn tới phép biểu diễn chiều tự nhiên

0

và tới phép biểu diễn bất khả quy

bởi tích Tenxơ và quy về các tổng của các thành phần bất khả quy.

2.4.3

Cho

Phép biểu diễn đối ngẫu

V

không gian đối ngẫu của C-không

là

V = Hom(V, C) = {ϕ : V → C, ϕ
NÕu

dim V ∗ < ∞

ϕ ∈ V∗

v ∈ V.

vµ

dim V ∗ = n

dim V =

thì

Nếu

V

dim

dim V = n

nên tồn tại một cơ sở

.

với

< e∗i , ej >= δij (= 1 , i = j
khi đó ta gọi

(e1 , ..., en )

Định nghĩa 2.4.2.
diễn đối ngẫu



Cho

trong

là

một

của

}.

(v) =:< , v >
cơ

sở

V

V

là

với mọi

(e1 , ..., en )

thì

do

được xác định như sau:

.

là một phép biểu diễn của

V

thì:

= 0 , i 6= j)

và

cơ sở đối ngẫu của

V

là C - tuyến tính

Đặt

(e1 , ..., en )

gian véc tơ

G

trong

V

thì

phép biểu

được xác định bởi:

( (g))(v) := ((g 1 )v), V , v V.
2.4.4

Cho

đó

Phép biểu diễn thương

(1 , V1 )

lµ phÐp biĨu diƠn con cđa phÐp biĨu diễn

phép biểu diễn thương trong

V /V1

kí hiệu là


.

(, V )

của

G

được xác định như sau:

(g) = (g) + V1 , ∀g ∈ G.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

. Khi




19
NhËn xÐt:

Ta dÔ thÊy:

π(g) = 0 + V1 ⇔ π(g) = π1 (g)
vµ

π(g) 6= 0 + V1 ⇔ π(g) 6= π1 (g)
Mét tÝnh chÊt chÝnh cđa phÐp biĨu diƠn lµ chúng ta có thể phân tích được

chúng thành các phép biểu diễn bất khả quy. Phần tiếp theo chúng ta sẽ giới

thiệu về phân tích bất khả quy được của một phép biểu diễn.

2.5

Phân tích bất khả quy của một phép biểu diễn

Nhắc lại rằng một phép biểu diễn

(, V )

là bất khả quy nếu nó không có

phép biểu diễn con thực sự nào.

Định nghĩa 2.5.1.
tích được
biến

V2

Cho

(, V )

phép biểu diễn

V = V1 V2

G

Định nghĩa 2.5.2.
quy đầy đủ

V1

trong

Cho

và

. Thì khi đó ta có

2

(, V )

được gọi là

V1 V

nếu tồn tại một không gian con bất biến

, nghĩa là

(, V )

là một phép biểu diễn,

với phần bù bất

= 1 + 2

là phép biểu diễn

G

là một phép biểu diễn,

trong

phân

trong đó

V2

(, V )

1

là

.

được gọi là

khả

(, V )

đều

nếu mọi phép biểu diễn con không tầm thường của

có phần bù bất biến.

Định lý 2.5.3
hữu hạn
biến

. Cho

([4], Định lý 1.1)

(, V ) là mét phÐp biĨu diƠn cđa nhãm

G vµ (π1 , V1 ) là một phép biểu diễn con. Khi đó tồn tại phần bù bất

V2 .

Chứng minh.
không gian

Cho

<, >0

V ' Cn

là một tích vô hướng trong

V

. Ta xác định một tích vô hướng

< v, v 0 >:=

X

vì luôn tồn tại ít nhÊt

G−

bÊt biÕn lµ:

< π(g)v, π(g)v 0 > ∀v, v 0 G.

gG
Đặt

V2 := {v V, < v, v1 >= 0, v1 V1 }

bù của

. Rõ ràng

V1

và

V2

là

V2

là không gian con

bÊt biÕn:

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




20
Cho

v ∈ V2 , g ∈ G

, ta cã:

< π(g)v, v1 >=< π(g −1 )π(g)v, π(g −1 )v1 >=< v, π(g −1 )v1 >= 0
nÕu

v1 ∈ V1

Chó ý:

th× suy ra

Cho

G

π(g −1 )v ∈ V2

lµ nhãm tuú ý vµ

(π, V )

(π1 , V1 )

víi mäi phÐp biĨu diƠn con

. Suy ra

V2

π(g −1 )−

lµ

bÊt biÕn.

G

lµ phÐp biĨu diƠn unita cđa

(π2 , V2 )

có phần bù bất biến

thì

thì giống

như chứng minh trên suy ra:

V2 := V1⊥ = {v ∈ V, < v, v1 >= 0 ∀v1 ∈ V1 }.
VÝ dơ 2.5.4.

Cho

hai chiỊu trong

G=R

V = C2

là nhóm cộng các số thực và



là phép biểu diễn

cho bởi



1 b
R 3 b 7

=: A(b).
0 1
Đặt

V1 := e1 C

(2.10)

thì nó là một không gian con bất biến. Khi đó

A(b)e1 = e1 , b R.
Đặt

 
x
V2 := vC =
C
y

(2.11)

V1


 
x + by
x
A(b)v =
=
.

y
y

thì nó là phần bù bất biến của

với



nào đó

suy ra

C

by = 0

Nhận xét:

, nghĩa là

với mọi

b

. Suy ra

x + by = λx

vµ

y = λy

(π, V )

vµ

y 6= 0

suy ra

=1

.

hoặc không phân tích được hoặc

phân tích được thành tổng của hai phép biểu diễn

1

do

điều này là mâu thuẫn.

Mọi phép biểu diễn

quá trình này cho

(2.12)

2

= 1 + π 2

. Cø tiÕp tơc

, nh­ng trong tr­êng hỵp tỉng quát quá trình này

có thể không dừng.

Định nghĩa 2.5.5.

Cho

(, V )

mọi dÃy không gian con



là phép biểu diễn,

bất biến

Vi

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

được gọi là

lồng nhau của

V

hữu hạn

đều hữu hạn.



nếu


21
Chú ý:

Trong trường hợp này tồn tại một dÃy không gian con bÊt biÕn

lång nhau

V = V0 ⊃ V1 ⊃ .... Vn = {0}
i

thoả mÃn phép biểu diễn

Holder

trên

Vi /Vi+1

là bất khả quy. Theo định lý

Jordan-

độ dài của các dÃy không gian con bất biến lồng nhau tối đại, xác

định duy nhất và được gọi là tương đương lớp của

Định lý 2.5.6

((

(π, V )

diÔn tuyÕn tÝnh

F ∈ C(π, π 0 )

và

),

( 0 , V 0 )

[4],

Định

lý

.

1.2)

. . Nếu hai phép biểu

là bất khả quy, thì với mọi toán tử bện

hoặc bằng 0 hoặc khả nghịch. Nếu

dim V = n thì F
Chứng minh.

Bổ đề Schur



i)

là một đồng dạng nghĩa là

Ta có

F :V →V0

V = V 0, π = π0

vµ

F = λid víi mäi λ ∈ C .

víi

π 0 (g)F (v) = F (π(g)v), ∀g ∈ G, v ∈ V (∗)
th×

KerF = {v V, F (v) = 0}
là không gian con

()



bất biÕn cđa

V

bëi v× víi

v ∈ KerF ⇒ F (v) = 0

tõ

suy ra

F (π(g)v) = π 0 (g)F (v) = 0

nghÜa là

(g)v KerF

Hoàn toàn tương tự

của

V0

.

ImF = {F (v), v ∈ V

. Do tÝnh bÊt kh¶ quy cđa

do tÝnh bÊt khả quy của

0

ta có



suy ra

là một không gian con bất biÕn

KerF = {0}

ImF = {0}

hc

hc

KerF = V

ImF = V 0

. Suy ra

F

và

là

ánh xạ không hoặc là đẳng cấu.

ii)

Nếu

V = V0

thì tự đẳng cấu

F 0 := F E

suy ra

F0 = 0

, nghĩa là

Chú ý :Từ

F :V V

có một giá trị riêng là

là ánh xạ tuyến tính với

F = E

kerF 0 6= {0}

.

Từ

C

i)

,

suy ra

.

định lý trên suy ra hai phép biểu diễn bất khả quy của cùng

một nhóm hoặc tương đương hc dêi nhau.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




22
Tiếp theo ta sẽ đưa ra định lý chiều unita Schur's hữu hạn mà không chứng

minh.

Định lý 2.5.7
của nhóm

G,

. Cho

([4], Định lý 1.3)

nghĩa là

(, Cn ) là phép biểu diễn ma trËn unita

π(g) = A(g) ∈ U (n).

trËn giao ho¸n với tất cả

Cho

M GL(n, Cn )

là ma

A(g) nghĩa là

M A(g) = A(g)M, g G.
Khi đó

M

là ma trận vô h­íng,

HƯ qu¶ 2.5.8

M = λEn , λ ∈ C.

. NÕu tồn tại ma trận, khác vô hướng, giao hoán

([4], Hệ qu¶ )

víi tÊt c¶ ma trËn cđa phÐp biĨu diƠn unita chiều hữu hạn

thì phép biểu

diễn là khả quy.
Hệ quả gióp ta chøng minh tÝnh bÊt kh¶ quy trong mét số trường hợp. Bổ

đề Schur dùng để chứng minh một số trường hợp cơ bản cả trong trường hợp

chiều vô hạn.

Định lý 2.5.9

([4], Định lý 1.4)

tuỳ ý của một nhóm Aben là
Chứng minh.

Cho

(, V )

. Phép biểu diễn bất khả quy chiều hữu hạn

1chiều.

là phép biểu diễn của

G

khi đó:

F : V V, v 7 (g0 )v
là một toán tử bện với mỗi

g0 G

, ta có:

(g)F (v) = (g)(g0 )v
= (gg0 )v

vì

= (g0 g)v



là một biểu diễn

vì G là abel

= (g0 )(g)v
= F ((g)v).
Theo bổ đề Schur

F

là đồng dạng, nghĩa là tồn tại

C

sao cho

F (v) = (g0 )v = λv, ∀v ∈ V.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên




23
Vì

g0 G

Với



V0 = vC

là tuỳ ý, suy ra

V

là một không gian con bất biến của

là phép biểu diễn bất khả quy suy ra

V = V0

nghĩa là

V

.

có chiều là

1.

2.6

Đặc trưng của phép biểu diễn hữu hạn

Trong phần này ta luôn giả thiết

hạn của nhóm

G

với

(, V )

là phép biểu diễn phức chiều hữu

dim V = n

.

Định nghĩa 2.6.1. Đặc trưng của biểu diễn



được cho bởi

(g) := T r(g), g G
trong đó

Tr

là

vết.

Nếu



A(g) = (aij (g)) GL(n, C)

cho bởi ma trận

có:

(g) =

n
X

, ta

aii .

i=1
Giả sử

GL(n, C)

A0

là một

ma trận liên hợp với

thì ta có vết của

A

A0

và

A

,

nghĩa là

là bằng nhau.

A0 = T AT −1 , T ∈

Do ®ã vÕt cđa phÐp biểu

diễn là xác định không phụ thuộc vào cách chọn ma trËn biĨu diƠn. Ta cã:

χπ (e) = n = dim V.
Giả sử

đường



chéo

là unita, khi đó

(g)

D = D(1 , ..., n )

A(g)

là ma trận dạng

trong

đó

1 , ..., n

là

liên hợp với ma trận

giá

trị

đặc

trưng

của

A(g)

.

Chú ý:

(g) =

n
X

i

i=1

Nếu

(g)

G

là hữu hạn thì mỗi phần tử thuộc

G

cũng có cấp hữu hạn và do đó

cũng có cấp hữu hạn.

Định lý 2.6.2

([4], Định lý 1.6)

hữu hạn chiều cđa nhãm

. Cho

(π, V ) vµ (π 0 , V 0 ) là hai phép biểu diễn

G, thì ta có:

0 = χπ + χπ0

vµ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

χπ⊗π0 = χπ × χπ0 .




Chương 3
Biểu diễn của nhóm hữu hạn và công
thức Frobenius

Trong chương này ta luôn giả thiết cấp của

3.1
Cho

G #G = m < .
,

Đặc trưng hệ trực chuẩn
C

là một trường,

G

gian của các ánh xạ từ

là một nhóm với

G

tới

C

#G = m

. Thì ta xác định không

bởi:

CG := {u : G C}
thật vậy

CG

là

C-không

gian véc tơ,

với phép cộng

u + u0

được xác định

bởi:

(u + u0 )(g) := u(g) + u0 (g), ∀g ∈ G
vµ phép nhân vô hướng

u

được xác định bởi:

(u) := u(g), u ∈ CG , λ ∈ C,
ta cịng cã thĨ x¸c định

0

phép nhân

(uu )(g) :=

uu0

X

như sau:

u(a)u0 (b), a, b G,

a,b∈G;ab=g

24
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên