HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN docx

D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN:
HÌNH THANG:
-) Định nghĩa:
Hình thang là tứ giác có hai cạnh song song.
AB//CD
ABCD là hình thang

hoặc (AB//CD,AD//BC)
AD//BC








Trong hình thang, hai cạnh song song là hai cạnh đáy; hai cạnh kia là
hai cạnh bên, đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên gọi là đường trung

bình
2. Định lí (về đường trung bình)
AB//CD

PQ//AB và PQ =
2
CDAB


HÌNH THANG CÂN
1. Định nghĩa:
Hình thang cân là hình thang có hai gọc ở đáy bằng nhau.
2. Tính chất:
Định lí 1: Trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau.
Hình thang ABCD (AB//CD) :

BC= AD
Định lí 2 : Trong hình thang cân hai đường chéo bằng nhau.
Hình thang ABCD(AB//CD) :

AC = BD

Định lí 3 :(đảo của định lí 2)
Nếu hình thang có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình thang cân.

3. Dấu hiệu nhận biết hình thang cân:
Để chứng minh hình thang là cân, ta có thể chứng minh hình
thang đó có một trong các tính chất sau :
1) Hai gọc ở đáy bằng nhau(định nghĩa).
2) Hai đường chéo bằng nhau.

Ví dụ 4 :
D
E
O
K
L
B
C
A
Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Lấy các điểm E, K lần lượt trên các
tia AB và AC sao cho :
AE + AK = AB + AC
Chứng minh rằng : BC < EK.

Giải :
Lấy trên AB một điểm L sao cho
AL = AK
Lấy trên AC một điểm D sao cho
AD = AE
Rõ ràng các tam giác ALK và AED là những tam giác cân có chung
góc ở đỉnh A nên các góc đáy của chúng bằng nhau. Suy ra LK// ED, do đó
DELK là hình thang cân, có các đường chéo bằng nhau.
DL = EK (1)
Gọi O là giao điểm của hai đường chéo DL và EK, ta xét tổng :
EK + DL = (EO + OK) + (DO + OL)
= (EO + OD) + (OK + OL)
Từ (1) và đẳng thức cuối cùng này, ta có :
2 EK = (EO + OD) + (OK + OL) (2)

Nhưng trong tam giác OKL, ta có :

OK + OL > LK (3)
Trong

DEO : EO + OD > ED (4)

Từ (2), (3) và (4) : 2EK > LK + ED (5)
Từ giả thiết AE + AK = AB + AC
Suy ra BE = CK
Mặt khác dễ thấy BCDE là hình thang cân nên
BE = CK
Vậy DC = CK.
Tương tự, ta cũng chứng minh được B là trung điểm của EL.
Từ đó, BC ;là đường trung bình của hình thang DELK, suy ra :
LK + ED = 2BC (6)
Từ (5) và (6), ta có : EK > BC
( đ p c m).

Ví dụ 5 :
Cho hình thang ABCD (AB//CD) có hai đường chéo vuông góc.
Biết đường cao AH = h, Tính tổng hai đáy.
Giải :
O
E
D
H
C
B

A
Vẽ AE// BD (E

CD). Vì AC

BD (gt) nên AC

AE
(quan hệ giữa tính song song và vuông góc).
Ta có AE = BD ; AB = DE (tính chất đoạn
chắn)
AC = BD (tính chất đường chéo hình thang cân)Suy ra AC = AE ;
V
AEC
vuông cân tại A ; đường cao AH cũng là trung tuyến, do đó AH =
1 1
EC (AB CD)
2 2
  hay
AB + CD =2h.
Nhận xét:
Khi giải toán về hình thang, đặc biệt là hình thang cân, nếu cần vẽ
đường phụ ta có thể :
- Từ một đỉng vẽ đường thẳng song song với một đường chéo (như
ví dụ trên).
- Từ một đỉnh vẽ một đường thẳng song song với một cạnh bên.
- Từ một đỉnh vẽ thêm một đường cao.

Ví dụ 6 :
2
1
2
1
A
D
H
C
B
K
Cho tứ giác ABCD có AD = AB = BC và
µ
µ
0
A C 180
 
. Chứng minh
rằng a) Tia DB là tia phân giác của góc D.
a) Tứ giác ABCD là hình thang cân.

Giải :
a) Vẽ BH

CD, BK

AD. Ta có
¶
µ
1

A C

(cùng bù với
¶
2
A
) do đó

BHC =

BKA(cạnh huyền, góc
nhọn), suy ra BH = BK.
Vậy DB là tia phân giác của góc D.
b) Góc
1
A
là góc ngoài tại đỉnh A của tam giác cân ADB nên
¶
¶
¶
·
1 1 1
A 2D A ADC AB//CD
    (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau).
Vậy tứ giác ABCD là hình thang. Hình thang này có
·
µ
1
ADC C


(vì cùng
bằng
¶
1
A
) nên là hình thang cân.
Nhận xét :
Để chứng minh tứ giác là hình thang cân, trước tiên phải chứng minh tứ giác
đó là hình thang, sau đó chứng minh hai góc kề một đáy bằng nhau(theo
định nghĩa) hoặc hai đường chéo bằng nhau.

Trong ví dụ trên, sau khi chứng minh được AB//CD cần tránh sai lầm cho
rằng vì AD = BC (gt) nên ABCD là hình thang cân, sai lầm ở chỗ hình thang
có hai cạnh bằng nhau chưa chắc đã là hình thang cân.


CÁC BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 5:
Cho tứ giác lồi ABCD trong đó AD = DC và đường chéo AC là
phân giác của góc DAB. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.

Bài tập 6 :
Chứng minh rằng trong một hình thang đường thẳng đi qua
trung điểm của một cạnh bên song song với hai đáy thì đi qua trung điểm
của cạnh bên kia.

Bài tập 7:
Cho tứ giác ABCD trong đó CD> AB . Gọi E, F lần lượt là
trung điểm của BD và AC . Chứng minh rằng
nếu E F =

2
ABCD

thì tứ giác ABCD là hình thang.
Bài tập 8:
Cho tam giác ABC trong đó AB > AC. Gọi H là chân đường
cao kẻ từ đỉnh A và M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC,
BC.
Chứng minh rằng tứ giác MNHP là hình thang cân.
Bài tập 9:
Cho tam giác ABC cân, đỉnh A. Lấy các điểm E, K lần lượt trên
các tia AB và AC sao cho :
AE + AK = AB +AC

Chứng minh rằng : BC < EK .