Một số phương pháp giải các dạng toán về logarit trong chương trình toán thpt

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN HỌC

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
NĂM HỌC 2021-2022
Tên đề tài:
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TỐN VỀ
LOGARIT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT

Giảng viên hướng dẫn : ThS. Nguyễn Thị Sinh
Sinh viên thực hiện
: Phan Nhật Thảo Vy
Lớp
: 18ST

Đà Nẵng, tháng 1 năm 2022

Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! 16990022082141000000


LỜI CẢM ƠN

Bài báo cáo này được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà
Nẵng, dưới sự hướng dẫn khoa học của ThS. Nguyễn Thị Sinh. Trước hết, em xin
được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cơ của mình là ThS. Nguyễn Thị Sinh, người đã
đặt bài toán và định hướng nghiên cứu cho em. Cơ đã tận tình chỉ bảo và tạo mọi
điều kiện để em học tập và hoàn thành báo cáo. Cảm ơn cô đã luôn chia sẻ, động
viên em trong quá trình học tập và nghiên cứu. Em cũng xin chân thành cảm ơn
khoa Toán học của trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng đã tạo điều kiện để em hoàn
thành nhiệm vụ nghiên cứu. Cuối cùng, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến gia

đình và những người bạn thân thiết đã luôn chia sẻ, giúp đỡ, động viên em trong
quá trình nghiên cứu.
Phan Nhật Thảo Vy -18ST

2


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU .................................................................................................. 5
NỘI DUNG ....................................................................................................... 7
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN ...................................................................... 7
1. Khái niệm logarit......................................................................................... 7
1.1. Định nghĩa ............................................................................................. 7
1.2. Tính chất ............................................................................................... 7
2. Quy tắc tính logarit ...................................................................................... 8
2.1. Logarit của một tích .............................................................................. 8
2.2. Logarit của một thương ......................................................................... 8
2.3. Logarit của một lũy thừa ....................................................................... 9
3. Đổi cơ số ................................................................................................... 10
4. Logarit thập phân. Logarit tự nhiên ........................................................... 10
4.1. Logarit thập phân ................................................................................ 10
4.2. Logarit tự nhiên ................................................................................... 10
5. Hàm số logarit ........................................................................................... 11
5.1. Định nghĩa ........................................................................................... 11
5.2. Đạo hàm của hàm số logarit ................................................................ 11
5.3. Khảo sát hàm số logarit 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)............................. 12
6. Phương trình logarit .................................................................................. 13
7. Bất phương trình logarit ............................................................................ 14
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ
LOGARIT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT ............................... 16

1. Các bài tốn sử dụng công thức biến đổi logarit ...................................... 16
2. Các dạng toán về hàm số logarit .............................................................. 18
2.1. Dạng 1: Phương pháp tìm tập xác định hàm số logarit......................... 18
2.2. Dạng 2: Tính đạo hàm logarit .............................................................. 19
2.3. Dạng 3: Khảo sát hàm số logarit .......................................................... 21
3. Phương trình logarit ................................................................................ 23
3.1. Phương pháp 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số................................. 23
3.2. Phương pháp 2: Phương pháp đặt ẩn phụ............................................. 25
3.3. Phương pháp 3: Phương pháp mũ hóa ................................................. 28
3


3.4. Phương pháp 4: Phương pháp sử tính chất của hàm số ........................ 30
3.5. Phương pháp 5: Phương pháp đánh giá ............................................... 33
4. Bất phương trình logarit .......................................................................... 36
4.1. Phương pháp 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số và mũ hóa ............... 36
4.2. Phương pháp 2: Phương pháp đặt ẩn phụ............................................. 38
4.3. Phương pháp 3: Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số ............... 40
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 48

4


LỜI NĨI ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài:
Các dạng tốn về logarit là một trong các chủ đề quan trọng trong chương
trình tốn bậc trung học phổ thơng. Các dạng toán trên thường xuyên xuất hiện
trong các kỳ thi tốt nghiệp và tuyển sinh đại học và có mối liên quan mật thiết với
nhau. Việc dạy học các chủ đề này đã được đưa vào chương trình bậc trung học

phổ thơng và đóng vai trị trọng tâm trong việc trang bị kiến thức cho học sinh.
Tuy nhiên do thời gian hạn hẹp của chương trình phổ thơng nên dạng tốn về hàm
số, phương trình và bất phương trình logarit chưa được trình bày đầy đủ, chi tiết,
vì vậy học sinh thường gặp khó khăn khi giải các dạng tốn nâng cao về hàm số,
phương trình, bất phương trình logarit trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao
đẳng.
Do đó, để có điều kiện tìm hiểu thêm về chủ đề này và được sự gợi ý của
giảng viên hướng dẫn, em đã chọn đề tài: “Một số phương pháp giải các dạng tốn
về logarit trong chương trình tốn THPT” làm đề tài cho luận văn của mình nhằm
hệ thống các kiến thức cơ bản về hàm số, phương trình, bất phương trình logarit
kết hợp với các kiến thức về đại số, giải tích để tổng hợp, chọn lọc và phân loại
các dạng tốn về hàm số, phương trình và bất phương trình logarit.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu và tìm hiểu các bài tốn về hàm số,
phương trình, bất phương trình logarit và vận dụng các phương pháp thích hợp
trong đại số, giải tích để giải các bài tốn nêu trên trong chương trình tốn phổ
thông trung học.
3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu và tổng hợp các kiến thức liên quan, trao đổi với những
người quan tâm và tham vấn giáo viên hướng dẫn.

5


4. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là các bài tốn về hàm số, phương trình, bất
phương trình logarit.
5. Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là vận dụng các phương pháp giải tốn thích
hợp trong đại số và giải tích để giải quyết các bài tốn về hàm số, phương trình,

bất phương trình logarit.
6. Tổng quan và cấu trúc luận văn
Chương 1: Cơ sở lý luận.
Chương 2: Một số phương pháp giải các dạng tốn về logarit trong chương trình
tốn trung học phổ thông.

6


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1. Khái niệm logarit
1.1. Định nghĩa
Cho hai số dương 𝑎, 𝑏 với 𝑎 ≠ 1. Số 𝛼 thỏa mãn đẳng thức 𝑎𝛼 = 𝑏
được gọi là logarit cơ số a của b và kí hiệu là 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏.
𝛼 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 ⟺ 𝑎𝛼 = 𝑏
Ví dụ 1:
a) 𝑙𝑜𝑔3 27 = 3 𝑣ì 33 = 27
1 −2

b) 𝑙𝑜𝑔1 16 = −2 𝑣ì ( )
4

4

= 16

Chú ý: Khơng có logarit của số âm và số 0
1.2. Tính chất
Cho hai số dương 𝑎 và 𝑏, 𝑎 ≠ 1. Ta có các tính chất sau đây.

𝑙𝑜𝑔𝑎 1 = 0, 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 = 1,
𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑏, 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑎𝛼 ) = 𝛼
Chứng minh:
Ta có: 𝑎0 = 1 ⟺ 0 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 1
𝑎1 = 𝑎 ⟺ 1 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎
Đặt 𝛼 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏. Từ định nghĩa logarit ta có:
𝛼 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 ⟺ 𝑏 = 𝑎𝛼 = 𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 ⟹ 𝑏 = 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏
Đặt 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑎𝛼 ) = 𝑏
Theo định nghĩa: 𝑎𝛼 = 𝑎𝑏 ⟹ 𝛼 = 𝑏
Vậy 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑎𝛼 ) = 𝑏 = 𝛼
Ví dụ:
a) 9𝑙𝑜𝑔32 = 32𝑙𝑜𝑔3 2 = (3𝑙𝑜𝑔3 2)2 = 22 = 4
1

1 𝑙𝑜𝑔6 5

b) ( )
36

1

1 2.𝑙𝑜𝑔6 5

= ( )
6

1

1

1 −2

= 6−2.𝑙𝑜𝑔6 5 = (6𝑙𝑜𝑔6 5 )−2 = ( )
5

7

= 25


2. Quy tắc tính logarit
2.1. Logarit của một tích
Định lý 1:
Cho ba số dương 𝑎, 𝑏1 , 𝑏2 với 𝑎 ≠ 1, ta có
𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑏1 𝑏2 ) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏1 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏2
Logarit của một tích bằng tổng các logarit
Chứng minh:
Đặt: 𝛼1 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏1 và 𝛼2 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏2 , ta có:
𝛼1 + 𝛼2 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏1 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏2

(1)

Mặt khác, vì 𝑏1 = 𝑎𝛼1 , 𝑏2 = 𝑎𝛼2 , suy ra 𝑏1 𝑏2 = 𝑎𝛼1 . 𝑎 𝛼2 = 𝑎𝛼1 +𝛼2 .
Do đó 𝛼1 + 𝛼2 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑏1 𝑏2 )
Từ (1), (2) suy ra:

(2)

𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑏1 𝑏2 ) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏1 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏2

Ví dụ: Tính
a) 𝑙𝑜𝑔4 8 + 𝑙𝑜𝑔4 32 = 𝑙𝑜𝑔4 (8.32) = 𝑙𝑜𝑔4 256 = 𝑙𝑜𝑔4 44 = 4
1

b) 𝑙𝑜𝑔1 2 + 2𝑙𝑜𝑔1 + 𝑙𝑜𝑔1
2

2

3

2

3
8

1 2

= 𝑙𝑜𝑔1 2 + 𝑙𝑜𝑔1 ( ) + 𝑙𝑜𝑔1
2

2

3

2

3
8

1
3
1 3
1
+ 𝑙𝑜𝑔1 = 𝑙𝑜𝑔1 (2. . ) = 𝑙𝑜𝑔1
9 8
29
28
2
2 12

= 𝑙𝑜𝑔1 2 + 𝑙𝑜𝑔1
2

Chú ý:
Định lý 1 có thể mở rộng cho các tích của n số dương:
𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑏1 𝑏2 … 𝑏𝑛 ) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏1 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏2 + ⋯ + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏𝑛 (𝑎, 𝑏1 , 𝑏2 , … 𝑏𝑛 > 0, 𝑎 ≠ 1)
2.2. Logarit của một thương
Định lý 2:
Cho ba số dương 𝑎, 𝑏1 , 𝑏2 với 𝑎 ≠ 1, ta có
𝑏1
𝑙𝑜𝑔𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏1 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏2
𝑏2
Logarit của một thương bằng hiệu các logarit
Chứng minh:
Đặt: 𝛼1 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏1 và 𝛼2 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏2 , ta có:
𝛼1 − 𝛼2 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏1 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏2

(1)

Mặt khác, vì 𝑏1 = 𝑎𝛼1 , 𝑏2 = 𝑎𝛼2 , suy ra
Do đó 𝛼1 − 𝛼2 = 𝑙𝑜𝑔𝑎

𝑏1
𝑏2

𝑏1

=

𝑎𝛼1
𝑎𝛼2

= 𝑎 𝛼1−𝛼2 .
(2)

𝑏2

8


Từ (1), (2) suy ra:

𝑙𝑜𝑔𝑎

𝑏1
𝑏2

= 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏1 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏2

Đặc biệt:
𝑙𝑜𝑔𝑎

1
= −𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 (𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑎 ≠ 1)
𝑏

Chứng minh:
1

𝑙𝑜𝑔𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 1 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 0 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = −𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏

Ta có:

𝑏

Ví dụ: 𝑙𝑜𝑔11 7 − 𝑙𝑜𝑔11 165 = 𝑙𝑜𝑔11

7
165

= 𝑙𝑜𝑔11

1
11

= −𝑙𝑜𝑔11 11 = −1

2.3. Logarit của một lũy thừa
Định lý 3:

Cho ba số dương 𝑎, 𝑏; 𝑎 ≠ 1. Với mọi 𝛼, ta có:
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏𝛼 = 𝛼𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏
Logarit của một lũy thừa bằng tích các số mũ với logarit của cơ số
Chứng minh
Đặt 𝛽 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 thì 𝑏 = 𝑎𝛽
Do đó 𝑏𝛼 = (𝑎𝛽 )𝛼 = 𝑎𝛽.𝛼
Suy ra 𝛼𝛽 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏𝛼 hay 𝛼𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏𝛼
Đặc biệt:
𝑛

𝑙𝑜𝑔𝑎 √𝑏 =

1
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 (𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑎 ≠ 1)
𝑛

Chứng minh:
Áp dụng định lý 3, ta có:
1

𝑛

𝑙𝑜𝑔𝑎 √𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏𝑛 =

1
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏
𝑛

Ví dụ:
2

2

a) 𝑙𝑜𝑔3 273 = 𝑙𝑜𝑔3 33.3 = 𝑙𝑜𝑔3 32 = 2𝑙𝑜𝑔3 3 = 2
1

1

2

2

1

1

3

b) 𝑙𝑜𝑔7 36 − 𝑙𝑜𝑔7 196 − 3𝑙𝑜𝑔7 √21 = (𝑙𝑜𝑔7 36 − 𝑙𝑜𝑔7 196) − 3𝑙𝑜𝑔7 213
1

36

2

196

= 𝑙𝑜𝑔7

2

1

9

2

49

− 𝑙𝑜𝑔7 21 = 𝑙𝑜𝑔7

− 𝑙𝑜𝑔7 21 = 𝑙𝑜𝑔7 √

3

3

1

7

7

49

= 𝑙𝑜𝑔7 − 𝑙𝑜𝑔7 21 = 𝑙𝑜𝑔7 ( : 21) = 𝑙𝑜𝑔7
= −𝑙𝑜𝑔7 72 = −2𝑙𝑜𝑔7 7 = −2

9

9
49

− 𝑙𝑜𝑔7 21

= −𝑙𝑜𝑔7 49


3. Đổi cơ số
Định lý 4:
Cho ba số dương 𝑎, 𝑏, 𝑐 với 𝑎 ≠ 1, 𝑐 ≠ 1. Với mọi 𝛼, ta có:
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 =
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎
Chứng minh
Theo tính chất của logarit và định lý 3, ta có:
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 (𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 ) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏. 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎
Vì 𝑎 ≠ 1 nên 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎 ≠ 0. Do đó:

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 =

𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎

Đặc biệt:
1
(𝑣ớ𝑖 𝑏 ≠ 1)
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎
1
𝑙𝑜𝑔𝑎𝛼 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 (𝑣ớ𝑖 𝑎 ≠ 0)

𝛼
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 =

Ví dụ: Tính
1
1
3
3
. 𝑙𝑜𝑔3 27 = 𝑙𝑜𝑔3 33 = . 𝑙𝑜𝑔3 3 =
2
2
2
2
4. Logarit thập phân. Logarit tự nhiên
4.1. Logarit thập phân
Logarit thập phân là logarit cơ số 10.
𝑙𝑜𝑔9 27 = 𝑙𝑜𝑔32 27 =

𝑙𝑜𝑔10 𝑏 thường được viết là 𝑙𝑜𝑔𝑏 hoặc 𝑙𝑔𝑏.
Ví dụ: 𝑙𝑜𝑔10 5 ta có thể viết 𝑙𝑜𝑔5 hoặc 𝑙𝑔5
4.2. Logarit tự nhiên
1 𝑛

Người ta chứng minh được dãy số (𝑢𝑛 ) = (1 + ) có giới hạn là một số vơ tỉ và
𝑛

giới hạn đó là 𝑒,
1 𝑛
𝑒 = lim (1 + )
𝑛→+∞

𝑛
Một giá trị gần đúng của 𝑒 là 𝑒 ≈ 2,718 281 828 459 045
Logarit tự nhiên là logarit cơ số 𝑒.
𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑏 được viết là 𝑙𝑛𝑏.
Ví dụ: 𝑙𝑜𝑔𝑒 7 ta có thể viết 𝑙𝑛7
Chú ý:
Muốn tính 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏, với 𝑎 ≠ 10 và 𝑎 ≠ 𝑒, bằng máy tính bỏ túi, ta có thể sử dụng
cơng thức đổi cơ số.
10


Ví dụ: 𝑙𝑜𝑔11 7 =

𝑙𝑜𝑔7
𝑙𝑜𝑔11

≈ 0,8115

5. Hàm số logarit
5.1. Định nghĩa
Cho số thực dương 𝑎 khác 1.
Hàm số 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 được gọi là hàm số logarit cơ số 𝑎.
Ví dụ: Các hàm số sau đây là những hàm số logarit
 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔4 𝑥 với cơ số là 4
 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 3√5𝑥 với cơ số là √5
3

 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑥 với cơ số là 10
 𝑦 = 𝑙𝑛𝑥 với cơ số là 𝑒
5.2. Đạo hàm của hàm số logarit

Định lý 5:
Hàm số 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)có đạo hàm tại mọi 𝑥 > 0 và
1
(𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥)′ =
𝑥𝑙𝑛𝑎
Đặc biệt:
(𝑙𝑛𝑥 )′ =

1
𝑥

Chú ý: Đối với hàm hợp 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑢(𝑥 ), ta có:
(𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑢)′ =

𝑢′
𝑢𝑙𝑛𝑎

Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số
a) 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 2 + 2𝑥 + 1)
(𝑥 2 + 2𝑥 + 1)′
2𝑥 + 2
𝑦 = (𝑙𝑜𝑔3 (𝑥 + 2𝑥 + 1))′ = 2
=
(𝑥 + 2𝑥 + 1). 𝑙𝑛3 (𝑥 + 1)2 . 𝑙𝑛3
2(𝑥 + 1)
2
=
=
(𝑥 + 1)2 . 𝑙𝑛3 (𝑥 + 1). 𝑙𝑛3
′

2

b) 𝑦 = ln(𝑥 + √1 + 𝑥 2 )
𝑦′ = (ln (𝑥 + √1 + 𝑥 2 ))′ =

(𝑥 + √1 + 𝑥 2)

𝑥 + √1 + 𝑥 2
(1 + 𝑥 2)′
2𝑥
1+
1
+
2√1 + 𝑥 2 =
2√1 + 𝑥 2
=
𝑥 + √1 + 𝑥 2
𝑥 + √1 + 𝑥 2
11

′


𝑥
√1 + 𝑥 2 + 𝑥
1+
1
√1 + 𝑥 2 = √1 + 𝑥 2 =
=

𝑥 + √1 + 𝑥 2 𝑥 + √1 + 𝑥 2 √1 + 𝑥 2
5.3. Khảo sát hàm số logarit 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 (𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏)
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥, 𝑎 > 1

𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥, 0 < 𝑎 < 1

1. Tập xác định: (0; +∞)

1. Tập xác định: (0; +∞)

2. Sự biến thiên
1
𝑦′ =
> 0, ∀𝑥 > 0
𝑥𝑙𝑛𝑎
 Giới hạn đặc biệt:

2. Sự biến thiên
1
𝑦′ =
< 0, ∀𝑥 > 0
𝑥𝑙𝑛𝑎
 Giới hạn đặc biệt:

lim 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = −∞

lim 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = +∞

𝑥→0+

𝑥→0+

lim 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = +∞

lim 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = −∞

𝑥→+∞

𝑥→+∞

 Tiệm cận:

 Tiệm cận:

Trục Oy là tiệm cận đứng

Trục Oy là tiệm cận đứng

3. Bảng biến thiên

3. Bảng biến thiên

4. Đồ thị:
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥, 𝑎 > 1

4. Đồ thị
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥, 0 < 𝑎 < 1

12

Bảng tóm tắt các tính chất của hàm số 𝒚 = 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 (𝒂 > 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟏)
Tập xác định
Đạo hàm
Chiều biến
thiên
Tiệm cận
Đồ thị

(0; +∞)
1
𝑦′ =
𝑥𝑙𝑛𝑎
𝑎 > 1: hàm số luôn đồng biến
0 < 𝑎 < 1: hàm số luôn nghịch biến
Trục 𝑂𝑦 là tiệm cận đứng
Đi qua các điểm (1; 0) và (𝑎; 1); nằm phía bên phải trục
tung

Ví dụ: Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 và 𝑦 = 2𝑥

Nhận xét: Đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥 và 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) đối xứng nhau
qua đường thẳng 𝑦 = 𝑥.
Bảng đạo hàm của hàm số logarit
Hàm sơ cấp
1
(𝑙𝑛|𝑥|)′ =
𝑥
1
(𝑙𝑜𝑔𝑎 |𝑥|) =

𝑥𝑙𝑛𝑎

Hàm hợp (𝒖 = 𝒖(𝒙))
𝑢′
𝑢
𝑢′
(𝑙𝑜𝑔𝑎 |𝑢|) =
𝑢𝑙𝑛𝑎
(𝑙𝑛|𝑢|)′ =

6. Phương trình logarit
Phương trình logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu
thức dưới dấu logarit.
Chẳng hạn, các phương trình: 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 4 𝑣à 𝑙𝑜𝑔42 𝑥 − 2𝑙𝑜𝑔4 𝑥 + 1 = 0 là những
phương trình logarit.
13


Phương trình logarit cơ bản có dạng:
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑏 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)
Theo định nghĩa logarit, ta có:
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑏 ⟺ 𝑥 = 𝑎𝑏
Minh họa bằng đồ thị:
Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 và đường thẳng 𝑦 = 𝑏 trên cùng một hệ trục tọa độ
(H.1 và H.2)
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥, 𝑎 > 1

𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥, 0 < 𝑎 < 1

(H.1)

(H.2)

Trong cả hai trường hợp, ta đều thấy đồ thị của hàm số 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 và đường thẳng
𝑦 = 𝑏 luôn cắt nhau tại một điểm với mọi 𝑏 ∈ 𝑅.
Kết luận
Phương trình 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑏 (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) ln có
nghiệm duy nhất 𝑥 = 𝑎𝑏 với mọi 𝑏.
7. Bất phương trình logarit
Bất phương trình logarit cơ bản có dạng 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 > 𝑏
(hoặc 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 ≥ 𝑏, 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 < 𝑏, 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 ≤ 𝑏 với 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1)
Xét bất phương trình 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 > 𝑏
 Trường hợp 𝑎 > 1, ta có: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 > 𝑏 ⟺ 𝑥 > 𝑎𝑏
 Trường hợp 0 < 𝑎 < 1, ta có: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 > 𝑏 ⟺ 0 < 𝑥 < 𝑎𝑏
Chẳng hạn, các phương trình: 2𝑙𝑜𝑔6 𝑥 > 12 𝑣à 𝑙𝑜𝑔72 𝑥 − 5𝑙𝑜𝑔7 𝑥 < −6 là những
bất phương trình logarit.

14


Minh họa bằng đồ thị:
Vẽ đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 và đường thẳng 𝑦 = 𝑏 trên cùng một hệ trục tọa độ
(H.3 và H.4)

(H.3)

(H.4)

Quan sát đồ thị, ta thấy:
 Trường hợp 𝑎 > 1: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 > 𝑏 khi và chỉ khi 𝑥 > 𝑎𝑏 .

 Trường hợp 0 < 𝑎 < 1: 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 > 𝑏 khi và chỉ khi 0 < 𝑥 < 𝑎𝑏 .
Kết luận: Nghiệm của bất phương trình 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 > 𝑏 được cho trong bảng sau:
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 > 𝑏

𝑎>1

0<𝑎<1

Nghiệm

𝑥 > 𝑎𝑏

0 < 𝑥 < 𝑎𝑏

Tương tự, ta có:
 Nghiệm của bất phương trình 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 ≥ 𝑏 được cho trong bảng sau:
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 < 𝑏

𝑎>1

0<𝑎<1

Nghiệm

0 < 𝑥 < 𝑎𝑏

𝑥 > 𝑎𝑏

 Nghiệm của bất phương trình 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 < 𝑏 được cho trong bảng sau:
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 ≥ 𝑏

𝑎>1

0<𝑎<1

Nghiệm

𝑥 ≥ 𝑎𝑏

0 < 𝑥 ≤ 𝑎𝑏

 Nghiệm của bất phương trình 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 ≤ 𝑏 được cho trong bảng sau:
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 ≤ 𝑏

𝑎>1

0<𝑎<1

Nghiệm

0 < 𝑥 ≤ 𝑎𝑏

𝑥 ≥ 𝑎𝑏

15


CHƯƠNG 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN
VỀ LOGARIT TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT
1. Các bài tốn sử dụng cơng thức biến đổi logarit

1.1. Phương pháp
Ta có các công thức logarit cơ bản sau
Cho các số 𝑎, 𝑏 > 0, 𝑎 ≠ 1 và 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑅
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝛼 ⟺ 𝑎𝛼 = 𝑏

𝑙𝑔𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 = 𝑙𝑜𝑔10 𝑏

𝑙𝑛𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑒 𝑏

𝑙𝑜𝑔𝑎 1 = 0

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎=1

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎𝑛 = 𝑛

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏𝑛 = 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑚 𝑏 𝑛 =

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑚 𝑏 =

1
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏
𝑚

𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑏𝑐 ) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏. 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐

𝑏

𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑏
𝑙𝑜𝑔𝑎 ( ) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐 { 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐
𝑐
𝑎
= 𝑐 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐
= 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐, (𝑏 ≠ 1)
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏

(𝑏 ≠ 1)

𝑛
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏
𝑚

𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 =

1
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎

(𝑏 ≠ 1)

1.2. Ví dụ
 Ví dụ 1
Biết 𝑙𝑜𝑔7 12 = 𝑎, 𝑙𝑜𝑔12 24 = 𝑏. Giá trị của 𝑙𝑜𝑔54 168 được tính theo 𝑎 và 𝑏 là
A.

𝑎𝑏+1

B.

𝑎(8−5𝑏)

𝑎𝑏−1

C.

𝑎(8−5𝑏)

2𝑎𝑏+1
8𝑎−5𝑏

D.

Ta có: 𝑙𝑜𝑔7 12 = 𝑎 ⟺ 𝑙𝑜𝑔7 (22 . 3) = 𝑎 ⟺ 2𝑙𝑜𝑔7 2 + 𝑙𝑜𝑔7 = 𝑎
𝑙𝑜𝑔7 24
3𝑙𝑜𝑔7 2 + 𝑙𝑜𝑔7 3
𝑙𝑜𝑔12 24 = 𝑏 ⟺
=𝑏⟺
=𝑏
𝑙𝑜𝑔7 12
𝑎
⟺ 3𝑙𝑜𝑔7 2 + 𝑙𝑜𝑔7 3 = 𝑎𝑏
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
2𝑙𝑜𝑔7 2 + 𝑙𝑜𝑔7 3 = 𝑎
𝑙𝑜𝑔7 2 = 𝑎𝑏 − 𝑎
{
⟺{
3𝑙𝑜𝑔7 2 + 𝑙𝑜𝑔7 3 = 𝑎𝑏

𝑙𝑜𝑔7 3 = 3𝑎 − 2𝑎𝑏
Ta có:
𝑙𝑜𝑔7 168 𝑙𝑜𝑔7 (23 . 3.7) 3𝑙𝑜𝑔7 2 + 𝑙𝑜𝑔7 3 + 1
𝑙𝑜𝑔54 168 =
=
=
𝑙𝑜𝑔7 54
𝑙𝑜𝑔7 (32 . 2)
𝑙𝑜𝑔7 2 + 3𝑙𝑜𝑔7 3
3(𝑎𝑏 − 𝑎) + 3𝑎 − 2𝑎𝑏 + 1
𝑎𝑏 + 1
𝑎𝑏 + 1
=
=
=
𝑎𝑏 − 𝑎 + 3(3𝑎 − 𝑎𝑏)
8𝑎 − 5𝑎𝑏 𝑎(8 − 5𝑏)
Vậy 𝑙𝑜𝑔54 168 =

𝑎𝑏+1
𝑎(8−5𝑏)

.

Chọn đáp án A
16

2𝑎𝑏+1
8𝑎+5𝑏

(1)

(2)


 Ví dụ 2: Gọi n là số nguyên dương sao cho
1
1
1
1
190
+
+
+⋯+
=
𝑙𝑜𝑔3 𝑥 𝑙𝑜𝑔32 𝑥 𝑙𝑜𝑔33 𝑥
𝑙𝑜𝑔3𝑛 𝑥 𝑙𝑜𝑔3 𝑥
đúng với mọi x dương, 𝑥 ≠ 1. Tìm giá trị của biểu thức 𝑃 = 2𝑛 + 3
A. 𝑃 = 32

B. 𝑃 = 23

C. 𝑃 = 43

D. 𝑃 = 41

Ta có:
1
1
1

1
190
+
+
+⋯+
=
𝑙𝑜𝑔3 𝑥 𝑙𝑜𝑔32 𝑥 𝑙𝑜𝑔33 𝑥
𝑙𝑜𝑔3𝑛 𝑥 𝑙𝑜𝑔3 𝑥
⟺ 𝑙𝑜𝑔𝑥 3 + 2𝑙𝑜𝑔𝑥 3 + 3𝑙𝑜𝑔𝑥 3 + ⋯ + 𝑛𝑙𝑜𝑔𝑥 3 = 190𝑙𝑜𝑔𝑥 3
⟺ 𝑙𝑜𝑔𝑥 3(1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛) = 190𝑙𝑜𝑔𝑥 3
⟺ 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 = 190
𝑛(𝑛 + 1)
⟺
= 190
2
⟺ 𝑛2 + 𝑛 − 380 = 0
𝑛 = 19 (𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛)
⟺[
⟺ 𝑛 = 19
𝑛 = −20 (𝑙𝑜ạ𝑖 )
⟹ 𝑃 = 2𝑛 + 3 = 2.19 + 3 = 41
Chọn đáp án D
 Ví dụ 3:
Cho 𝑥 , 𝑦 và 𝑧 là các số thực lớn hơn 1 và gọi 𝑤 là số thực dương sao cho
𝑙𝑜𝑔𝑥 𝑤 = 24, 𝑙𝑜𝑔𝑦 𝑤 = 40 và 𝑙𝑜𝑔𝑥𝑦𝑧 𝑤 = 12. Tính 𝑙𝑜𝑔𝑧 𝑤
A. 52

B. −60

C. 60

D. −52

Ta có:
1
24
1
𝑙𝑜𝑔𝑦 𝑤 = 40 ⟺ 𝑙𝑜𝑔𝑤 𝑦 =
40
1
1
𝑙𝑜𝑔𝑥𝑦𝑧 𝑤 = 12 ⟺
= 12 ⟺
= 12
𝑙𝑜𝑔𝑤 (𝑥𝑦𝑧)
𝑙𝑜𝑔𝑤 𝑥 + 𝑙𝑜𝑔𝑤 𝑦 + 𝑙𝑜𝑔𝑤 𝑧
1
1
⟺
= 12 ⟺ 𝑙𝑜𝑔𝑤 𝑧 =
⟺ 𝑙𝑜𝑔𝑧 𝑤 = 60
1
1
60
+
+ 𝑙𝑜𝑔𝑤 𝑧
24 40
Chọn đáp án C
𝑙𝑜𝑔𝑥 𝑤 = 24 ⟺ 𝑙𝑜𝑔𝑤 𝑥 =

17


2. Các dạng toán về hàm số logarit
2.1. Dạng 1: Phương pháp tìm tập xác định hàm số logarit
2.1.1. Phương pháp: Ta có các cơng thức sau
0<𝑎≠1
 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥) xác định khi { ( )
𝑓 𝑥 >0
0 < 𝑔(𝑥) ≠ 1
 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥) xác định khi {
𝑓 (𝑥 ) > 0
2.1.2. Ví dụ
 Ví dụ 1
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 𝑦 = log(𝑥 2 − 2𝑚𝑥 + 4) có
tập xác định là 𝑅
A. −2 ≤ 𝑚 ≤ 2

B.𝑚 = 2

C.[

𝑚>2
𝑚 < −2

D. −2 < 𝑚 < 2

Điều kiện xác định của hàm số trên là 𝑥 2 − 2𝑚𝑥 + 4 > 0
1 > 0, ∀𝑚
𝑎>0

Để hàm số có tập xác định là 𝑅 thì { ′
⟺{ 2
⟺−2<𝑚<2
∆<0
𝑚 −4 <0
Chọn đáp án D
 Ví dụ 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số 𝑚 để hàm số

𝑦=

1
𝑚𝑙𝑜𝑔32 𝑥−4𝑙𝑜𝑔3𝑥+𝑚+3

xác định trên khoảng (0; +∞)

A. 𝑚 ∈ (−∞; −4) ∪ (1; +∞)

B. 𝑚 ∈ (1; +∞)

C. 𝑚 ∈ (−4; 1)

D. 𝑚 ∈ (−4; +∞)

𝑥>0
− 4𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 𝑚 + 3 ≠ 0
𝑥>0
⟺{
2
𝑚(𝑙𝑜𝑔3 𝑥 + 1) ≠ 4𝑙𝑜𝑔3 𝑥 − 3

Hàm số xác định khi: {

𝑚𝑙𝑜𝑔32 𝑥

𝑥>0
⟺ {𝑚 ≠ 4𝑙𝑜𝑔3 𝑥 − 3
𝑙𝑜𝑔32 𝑥 + 1
Để hàm số trên xác định trên (0; +∞) thì phương trình 𝑚 =
∀𝑥 ∈ (0; +∞)
Xét hàm số 𝑦 =

4𝑙𝑜𝑔3𝑥−3
𝑙𝑜𝑔32 𝑥+1

Đặt 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔3 𝑥 khi đó ta có

18

4𝑙𝑜𝑔3 𝑥−3
𝑙𝑜𝑔32 𝑥+1

vơ nghiệm


−1
4𝑡 − 3
−4𝑡 2 + 6𝑡 + 4
𝑡
=
′

′
𝑦= 2
⟹𝑦 =
⟹𝑦 =0⟺[
2
(𝑡 2 + 1)2
𝑡 +1
𝑡=2
Ta có bảng biến thiên

Để hàm số xác định trên (0; +∞) thì 𝑚 ∈ (−∞; −4) ∪ (1; +∞)
2.2. Dạng 2: Tính đạo hàm logarit
2.2.1. Phương pháp: Ta sử dụng các công thức sau
 (𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥)′ =
 (𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑢)′ =
 (𝑙𝑛𝑥 )′ =
 (𝑙𝑛𝑢

)′

=

𝑥𝑙𝑛𝑎
𝑢′
𝑢𝑙𝑛𝑎

1
𝑥
𝑢′

𝑢
(𝑛)

 (𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥)

1

= (−1)𝑛−1.

(𝑛−1)!
𝑙𝑛𝑎

.

1
𝑥𝑛
−𝑛

 (𝑙𝑛𝑥 )(𝑛) = (−1)𝑛−1 . (𝑛 − 1)!. 𝑥
2.2.2. Ví dụ
 Ví dụ 1: Cho hàm số 𝑦 =
A.2𝑦 ′ + 𝑥𝑦 ′′ = −
C. 𝑦 ′ + 𝑥𝑦 ′′ = −

𝑙𝑛𝑥
𝑥

1

. Mệnh đề nào sau đây đúng

B. 𝑦 ′ + 𝑥𝑦 ′′ =

𝑥2
1

1
𝑥2

D. 2𝑦 ′ + 𝑥𝑦 ′′ =

𝑥2

1
′
′
. 𝑥 − 𝑙𝑛𝑥 1 − 𝑙𝑛𝑥
(
)
𝑙𝑛𝑥
𝑙𝑛𝑥
.
𝑥
−
𝑥
.
𝑙𝑛𝑥
𝑥
𝑦=
⟹ 𝑦′ =
=

=
𝑥
𝑥2
𝑥2
𝑥2
1
′ 2
2 ′
− . 𝑥 2 − 2𝑥 (1 − 𝑙𝑛𝑥 )
(
)
1
−
𝑙𝑛𝑥
.
𝑥
−
(𝑥
)
.
(1
−
𝑙𝑛𝑥)
𝑦 ′′ =
= 𝑥
4
𝑥
𝑥4
−𝑥 − 2𝑥(1 − 𝑙𝑛𝑥) 3 − 2𝑙𝑛𝑥
=

=
𝑥4
𝑥3
1 − 𝑙𝑛𝑥
3 − 2𝑙𝑛𝑥
1
⟹ 2𝑦 ′ + 𝑥𝑦 ′′ = 2.
−
𝑥.
=
−
𝑥2
𝑥3
𝑥2
Chọn đáp án A
19

1
𝑥2


 Ví dụ 2
1

Phương trình 𝑓 ′ (𝑥 ) = 0 với 𝑓 (𝑥 ) = ln (𝑥 4 − 4𝑥 3 + 4𝑥 2 − ) có bao nhiêu
2

nghiệm?
A. 0 nghiệm

B. 1 nghiệm

C. 2 nghiệm

D. 3 nghiệm

1

Điều kiện xác định: 𝑥 4 − 4𝑥 3 + 4𝑥 2 − > 0
2

1
𝑓(𝑥 ) = ln (𝑥 4 − 4𝑥 3 + 4𝑥 2 − )
2
3
2
4𝑥 − 12𝑥 + 8𝑥
⟹ 𝑓 ′ (𝑥 ) =
1
𝑥 4 − 4𝑥 3 + 4𝑥 2 −
2
3
2
4𝑥 − 12𝑥 + 8𝑥
𝑓 ′ (𝑥 ) = 0 ⟺
=0
1
4
3
2

𝑥 − 4𝑥 + 4𝑥 −
2
𝑥=0
⟺ 4𝑥 − 12𝑥 + 8𝑥 = 0 ⟺ [𝑥 = 1
𝑥=2
Đối chiếu với điều kiện ta được 𝑥 = 1
3

2

Vậy phương trình 𝑓 ′ (𝑥 ) = 0 có 1 nghiệm
Chọn câu B
 Ví dụ 3: Cho hàm số 𝑓 (𝑥 ) = ln (

𝑥

).

𝑥+2

Tổng 𝑓 ′ (1) + 𝑓 ′ (3) + 𝑓 ′ (5) + ⋯ + 𝑓 ′ (2021) bằng
A.

4035
2021

B.

2021

C.

2022

2021
2023

D.

2022
2023

Ta có:
𝑥
2
1
1
𝑓 (𝑥 ) = 𝑙𝑛 (
) ⟹ 𝑓 ′ (𝑥 ) =
= −
𝑥+2
𝑥 (𝑥 + 2) 𝑥 𝑥 + 2
Vậy:
𝑓 ′ (1) + 𝑓 ′ (3) + 𝑓 ′ (5) + ⋯ + 𝑓 ′ (2021)
1 1 1 1
1
1
1
2022
= − + − +⋯+

−
=1−
=
1 3 3 5
2021 2023
2023 2023
Chọn đáp án C

20


2.3. Dạng 3: Khảo sát hàm số logarit
2.3.1. Phương pháp:
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥, 𝑎 > 1

𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥, 0 < 𝑎 < 1

→ Hàm số đồng biến trên (0; +∞)

→ Hàm số nghịch biến trên (0; +∞)

2.3.2. Ví dụ
 Ví dụ 1: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số 𝑚 để hàm số
𝑦 = ln(𝑥 2 + 1) − 𝑚𝑥 + 1 đồng biến trên khoảng (−∞; +∞)
A. [1; +∞)

C. [−1; 1]

B. (−∞; −1)

D. (−∞; 1]

Ta có:
2𝑥
−𝑚
𝑥2 + 1
Hàm số 𝑦 = ln(𝑥 2 + 1) − 𝑚𝑥 + 1 đồng biến trên khoảng (−∞; +∞)
𝑦 = ln(𝑥 2 + 1) ⟹ 𝑦 ′ =

⟹ 𝑦 ′ ≥ 0, ∀𝑥 ∈ (−∞; +∞)
2𝑥
2𝑥
⟺ 2
−𝑚≥0⟺ 2
≥ 𝑚, ∀𝑥 ∈ (−∞; +∞)
𝑥 +1
𝑥 +1
Xét 𝑔(𝑥 ) =

2𝑥
𝑥 2 +1

⟹ 𝑔′ (𝑥 ) =

−2𝑥2 +2
(𝑥 2 +1)2

−2𝑥 2 + 2
𝑔 𝑥) = 0 ⟺ 2
= 0 ⟺ 𝑥 = ±1

(𝑥 + 1)2
Bảng biến thiên
′(

21


Dựa vào bảng biến thiên ta có:
2𝑥
𝑔(𝑥 ) = 2
≥ 𝑚, ∀𝑥 ∈ (−∞; +∞) ⟺ 𝑚 ≤ −1
𝑥 +1
Chọn đáp án D
 Ví dụ 2
Cho hàm số 𝑦 = 𝑓(𝑥). Hàm số 𝑦 = 𝑓′(𝑥)có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
𝑦 = 𝑓(2 + 𝑒 𝑥 ) nghịch biến trên khoảng

A. (−1; 3)

B. (−2; 1)

C. (−∞; 0)

D. (0; +∞)

Ta có: 𝑦 ′ = 𝑒 𝑥 𝑓 ′ (2 + 𝑒 𝑥 ).
Hàm số 𝑦 = 𝑓 (2 + 𝑒 𝑥 ) nghịch biến khi và chỉ khi
𝑦′ ≤ 0 ⟺ 𝑒 𝑥 𝑓 ′ (2 + 𝑒 𝑥 ) ≤ 0 ⟺ 2 + 𝑒 𝑥 ≤ 3 ⟺ 𝑒 𝑥 ≤ 1 ⟺ 𝑥 ≤ 0
Chọn đáp án C
 Ví dụ 3:

Cho hai số thực 𝑎, 𝑏 lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
𝑎2 + 4𝑏2
1
𝑆 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 (
)+
4
4𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 𝑏
A.

5
4

B.

11

C.

4

9
4

D.

7
4

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
𝑎2 + 4𝑏2 𝑎2 + (2𝑏)2 4𝑎𝑏

𝑎2 + 4𝑏2
=
≥
= 𝑎𝑏 ⟹ 𝑙𝑜𝑔𝑎 (
) ≥ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎𝑏
4
4
4
4
Do 𝑎, 𝑏 > 1 ⟹ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 > 𝑙𝑜𝑔𝑎 1 = 0
Ta có:
𝑎2 + 4𝑏2
1
1
𝑆 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 (
)+
≥ 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎𝑏
4
4𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 𝑏
4

22


1
1
5
= 1 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 + (𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 + 1) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 +
+
4

4𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 4
Đặt 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏, ta có 𝑆 ≥ 𝑡 +
Xét hàm số 𝑓(𝑡 ) = 𝑡 +

1
4𝑡

+

1

4𝑡
5
4

+

5
4

(𝑡 > 0)

1
4𝑡 2 − 1
⟹ 𝑓 (𝑥) = 1 − 2 =
4𝑡
4𝑡 2
′

Khi đó 𝑓 ′ (𝑥 ) = 0 ⟺

4𝑡 2 −1
4𝑡 2

= 0 ⟺ 4𝑡 2 − 1 = 0 ⟺ 𝑡 =

1
2

Bảng biến thiên:

Suy ra

9

9

4

2

min 𝑓 (𝑡) = khi 𝑡 =

𝑡∈(0;+∞)

9

1

4

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của 𝑆 là khi 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = ⟺ 𝑏 = √𝑎
Chọn đáp án C
3. Phương trình logarit
3.1. Phương pháp 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
3.1.1. Phương pháp
Ta sử dụng các phép biến đổi tương đương sau đây:
 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 𝑏 ⟺ 𝑥 = 𝑎𝑏 (0 < 𝑎 ≠ 1)
𝑓 (𝑥 ) > 0
{
𝑓 (𝑥 ) = 𝑔(𝑥 )
(0 < 𝑎 ≠ 1)
 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑓(𝑥 ) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥 ) ⟺
𝑔(𝑥 ) > 0
{
[ 𝑓 (𝑥 ) = 𝑔(𝑥 )
3.1.2. Ví dụ
 Ví dụ 1: Giải phương trình logarit sau
𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 − 5) + 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 2) = 3
𝑥−5 >0
𝑥>5
Điều kiện xác định: {
⟺{
⟺𝑥>5
𝑥+2 >0
𝑥 > −2
23

𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 − 5) + 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + 2) = 3
⟺ 𝑙𝑜𝑔2 [(𝑥 − 5)(𝑥 + 2)] = 3
⟺ (𝑥 − 5)(𝑥 + 2) = 8
⟺ 𝑥 2 − 3𝑥 − 18 = 0
⟺ (𝑥 − 6)(𝑥 + 3) = 0
𝑥 = 6 (𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛)
⟺[
𝑥 = −3 (𝑙𝑜ạ𝑖)
Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 = 6
 Ví dụ 2
1

Phương trình 𝑙𝑜𝑔49 𝑥 2 + 𝑙𝑜𝑔7 (𝑥 − 1)2 = 𝑙𝑜𝑔7 (𝑙𝑜𝑔√33) có bao nhiêu nghiệm:
2

A. 2

B. 3

Điều kiện xác định: {

C. 1

D. 4

𝑥≠0
𝑥≠1

1

𝑙𝑜𝑔49 𝑥 2 + 𝑙𝑜𝑔7 (𝑥 − 1)2 = 𝑙𝑜𝑔7 (𝑙𝑜𝑔√33)
2
1
⟺ 𝑙𝑜𝑔72 𝑥 2 + 𝑙𝑜𝑔7 (𝑥 − 1)2 = 𝑙𝑜𝑔7 (𝑙𝑜𝑔 1 3)
2
32
⟺ 𝑙𝑜𝑔7 |𝑥| + 𝑙𝑜𝑔7 |𝑥 − 1| = 𝑙𝑜𝑔7 2
⟺ 𝑙𝑜𝑔7 |𝑥(𝑥 − 1)| = 𝑙𝑜𝑔7 2
𝑥 (𝑥 − 1) = 2
⟺{
𝑥 (𝑥 − 1) = −2
2
𝑥 = 2 (𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛)
⟺ {𝑥 2 − 𝑥 − 2 = 0 ⟺ [
𝑥 = −1 (𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛)
𝑥 −𝑥+2=0
Vậy phương trình có 2 nghiệm
Chọn đáp án A
 Ví dụ 3
Giải phương trình sau: 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 − √𝑥 2 − 1) + 3𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + √𝑥 2 − 1) = 2
𝑥2 − 1 ≥ 0
Điều kiện xác định: {𝑥 − √𝑥 2 − 1 > 0 ⟺ 𝑥 ≥ 1
𝑥 + √𝑥 2 − 1 > 0
𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 − √𝑥 2 − 1) + 3𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + √𝑥 2 − 1) = 2
3

⟺ 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 − √𝑥 2 − 1) + 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 + √𝑥 2 − 1) = 2

24

3

⟺ 𝑙𝑜𝑔2 (𝑥 − √𝑥 2 − 1) (𝑥 + √𝑥 2 − 1) = 𝑙𝑜𝑔2 4
3

⟺ (𝑥 − √𝑥 2 − 1) (𝑥 + √𝑥 2 − 1) = 4
2

⟺ (𝑥 − √𝑥 2 − 1) (𝑥 + √𝑥 2 − 1) (𝑥 + √𝑥 2 − 1) = 4
2

⟺ (𝑥 2 − 𝑥 2 + 1) (𝑥 + √𝑥 2 − 1) = 4
2

⟺ (𝑥 + √𝑥 2 − 1) = 4
⟺ 𝑥 + √𝑥 2 − 1 = 2
⟺ √𝑥 2 − 1 = 2 − 𝑥
2−𝑥 ≥0
⟺{ 2
𝑥 − 1 = (2 − 𝑥 )2
𝑥≤2
⟺{ 2
𝑥 − 1 = 4 − 𝑥 + 𝑥2
𝑥≤2
5
⟺{
𝑥 = (𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛)
4
Vậy phương trình có nghiệm 𝑥 =

5
4

3.2. Phương pháp 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
3.2.1. Phương pháp:
Phương pháp đặt ẩn phụ là một phương pháp khá phổ biến đối với các bài
tốn phương trình. Các bài tốn giải phương trình mà ta có thể sử dụng
phương pháp này, nếu dễ thì sẽ thấy ngay dấu hiệu của một biểu thức chứa
biến nào đó lặp đi lặp lại nhiều lần, cịn nếu khó hơn, thì ta cần một ít biến
đổi khéo léo, chủ yếu đưa về hình dạng sơ khai của bài tốn, là một phương
trình với các biểu thức chứa biến lặp lại. Cũng có trường hợp bài tốn u
cầu ta phải đặt thêm nhiều ẩn phụ khác nhằm tạo ra một phương trình mới
dễ dàng giải quyết hơn.
Giải phương trình: 𝑓[𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥 )] = 0 (0 < 𝑎 ≠ 1)
 Bước 1: Đặt 𝑡 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑔(𝑥 ) (∗)
 Bước 2: Tìm điều kiện của t (Nếu có)
 Bước 3: Đứa về giải phương trình 𝑓 (𝑡) = 0 đã biết cách giải
 Bước 4: Thay t vào (∗) để tìm x

25