Tính toán độ tin cậy của dàn phẳng có kể đến một số biến ngẫu nhiên bằng phương pháp monte carlo (tóm tắt)(

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ XÂY DỰNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI
----------------------------

PHẠM THANH TÙNG

TÍNH TỐN ĐỘ TIN CẬY CỦA DÀN PHẲNG
CÓ KỂ ĐẾN MỘT SỐ BIẾN NGẪU NHIÊN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT XÂY DỰNG

Hà Nội – 2023


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BỘ XÂY DỰNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI
-----------------------------

PHẠM THANH TÙNG
KHĨA: 2021-2023

TÍNH TỐN ĐỘ TIN CẬY CỦA DÀN PHẲNG
CÓ KỂ ĐẾN MỘT SỐ BIẾN NGẪU NHIÊN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE CARLO

Chuyên ngành: Kỹ thuật xây dựng
Mã số: 8580201
LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT XÂY DỰNG
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
1. TS. PHẠM VĂN ĐẠT
2. TS. TRẦN NGỌC TRÌNH

XÁC NHẬN
CỦA CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN

Hà Nội – 2023


LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu nhà
trường, quý thầy cô trường Đại học Kiến trúc Hà Nội, đặc biệt là các thầy cơ
Khoa Sau đại học đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện giúp tơi trong q
trình học tập và hồn thành khóa học.
Tơi xin gửi lời cảm ơn trân trọng đến Thầy giáo, TS. Phạm Văn Đạt
và Thầy, TS. Trần Ngọc Trình, các thầy đã tận tình trực tiếp chỉ bảo và
hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện Luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tiểu ban Luận văn đã cho tơi
những góp ý q báu để hồn chỉnh Luận văn.
Tơi xin được bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình và gửi lời cảm ơn tới bạn
bè, đồng nghiệp đã luôn quan tâm chia sẻ, động viên tôi trong suốt thời gian
thực hiện Luận văn.
Mặc dù rất cố gắng, song Luận văn vẫn không tránh khỏi những hạn
chế và sai sót. Kính mong nhận được sự góp ý của các thầy cô cùng các bạn
đồng nghiệp.

TÁC GIẢ LUẬN VĂN

Phạm Thanh Tùng


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Luận văn thạc sỹ này là cơng trình nghiên cứu khoa
học độc lập của tôi. Các số liệu khoa học, kết quả nghiên cứu của Luận văn là
trung thực và có nguồn gốc rõ ràng.

TÁC GIẢ LUẬN VĂN

Phạm Thanh Tùng


MỤC LỤC
Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục
Danh mục các chữ viết tắt
Danh mục các bảng, biểu
Danh mục các hình vẽ, sơ đồ, đồ thị
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1
* Lý do chọn đề tài .......................................................................................... 1
* Mục đích nghiên cứu .................................................................................... 2
* Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................ 2
* Phương pháp nghiên cứu .............................................................................. 2
* Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ..................................................... 2
* Cấu trúc luận văn ......................................................................................... 3
NỘI DUNG..................................................................................................... 4

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ PHÂN TÍCH ĐỘ TIN CẬY CỦA KẾT
CẤU DÀN....................................................................................................... 4
1.1 Đặc điểm và ứng dụng kết cấu dàn trong các cơng trình thực tế hiện
nay

............................................................................................................ 4
1.1.1 Khái niệm và đặc điểm .................................................................... 4
1.1.2 Phân loại kết cấu dàn ....................................................................... 4
1.1.3 Ứng dụng của kết cấu dàn trong các cơng trình xây dựng .............. 5

1.2 Độ tin cậy của kết cấu cơng trình .......................................................... 7
1.2.1 Khái niệm về biến ngẫu nhiên ......................................................... 7
1.2.2 Một số định nghĩa về độ tin cậy của kết cấu cơng trình ................ 10


1.2.3 Quá trình phát triển lý thuyết độ tin cậy trong tính tốn kết cấu
cơng trình ................................................................................................ 11
1.2.4 Ứng dụng của lý thuyết độ tin cậy ................................................. 12
1.2.5 Sự cần thiết của phân tích độ tin cậy kết cấu ................................. 13
1.3 Một số phương pháp phân tích độ tin cậy của kết cấu cơng trình ... 14
1.3.1 Phương pháp tuyến tính hố .......................................................... 15
1.3.2 Phương pháp gần đúng bậc hai ...................................................... 18
1.3.3 Phương pháp tập mờ ...................................................................... 19
1.3.4 Phương pháp số khoảng ................................................................. 22
1.3.5 Phương pháp xác suất thống kê ..................................................... 24
1.4 Nhận xét ................................................................................................. 27
CHƯƠNG 2. TÍNH TỐN ĐỘ TIN CẬY CỦA DÀN PHẲNG CÓ KỂ
ĐẾN MỘT SỐ BIẾN NGẪU NHIÊN BẰNG PHƯƠNG PHÁP
MONTE-CARLO ........................................................................................ 29
2.1 Phương pháp Monte Carlo ................................................................... 29

2.1.1 Lấy mẫu ngẫu nhiên ....................................................................... 29
2.1.2 Lấy mẫu ngẫu nhiên từ phân bố đều .............................................. 30
2.1.3 Lấy mẫu ngẫu nhiên từ phân phối đều bằng phương pháp biến đổi
nghịch đảo (Inverse Transform Method) ................................................ 33
2.1.4 Sử dụng phương pháp mơ phỏng Monte Carlo để giải bài tốn tích
phân xác định bằng mơ phỏng tương tự ................................................. 38
2.1.5 Phân tích độ nhạy bằng phương pháp mơ phỏng Monte Carlo ..... 41
2.2 Áp dụng phương pháp Monte Carlo để mơ phỏng trong bài tốn xác
suất thống kê ................................................................................................ 44


2.2.1 Áp dụng phương pháp mô phỏng Monte Carlo để tính xấp xỉ số pi
................................................................................................................. 45
2.2.2 Áp dụng phương pháp mơ phỏng Monte Carlo để giải bài tốn
Monty Hall .............................................................................................. 47
2.2.3 Áp dụng phương pháp mô phỏng Monte Carlo để tính tốn độ tin
cậy của dàn phẳng. .................................................................................. 48
2.3 Thiết lập trình tự phân tích độ tin cậy kết cấu dàn dựa trên phương
pháp Monte Carlo ....................................................................................... 56
CHƯƠNG 3. MỘT SỐ VÍ DỤ PHÂN TÍCH ĐỘ TIN CẬY ................... 60
3.1 Tính tốn độ tin cậy của kết cấu dàn có một thông số ngẫu nhiên
theo phương pháp Monte Carlo................................................................. 60
3.2 Tính tốn độ tin cậy của kết cấu dàn có hai thông số ngẫu nhiên theo
phương pháp Monte Carlo ......................................................................... 73
3.3 Tính tốn độ tin cậy của kết cấu dàn có ba thơng số ngẫu nhiên theo
phương pháp Monte Carlo ......................................................................... 87
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .................................................................. 102
Kết luận. ...................................................................................................... 102
Kiến nghị. .................................................................................................... 102
TÀI LIỆU THAM KHẢO

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
Chữ viết tắt

Tên đầy đủ

CDF

Cumulative distribution function

ĐLNN

Đại lượng ngẫu nhiên

ĐTC

Độ tin cậy

KCCT

Kết cấu cơng trình

MCS

Monte Carlo simulation

PDF

Probability density function

TT

Tuổi thọ

XSTK

Xác suất thống kê


DANH MỤC CÁC BẢNG, BIỂU
Số hiệu
bảng, biểu
Bảng 2.1.
Bảng 2.2.
Bảng 2.3.

Tên bảng, biểu

Trang

Kết quả xấp xỉ số pi qua mô phỏng Monte Carlo

46

Kết quả bài tốn Monty Hall qua mơ phỏng
Monte Carlo
Kết quả nội lực các thanh dàn ví dụ 2.1

48

50

Kết quả ước tính xác suất hư hỏng thơng qua mơ
Bảng 2.4.

phỏng Monte và sai lệch kết quả so với phương pháp

53

tuyến tính hố ví dụ 2.1
Kết quả tính giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của
Bảng 2.5.

xác suất hư hóng với kích thước mơ phỏng khác nhau

53

ví dụ 2.1
Bảng 3.1.

Kết quả độ tin cậy của các thanh dàn ví dụ 3.2

86

Bảng 3.2.

Kết quả lực dọc các thanh dàn ví dụ 3.3

91

Bảng 3.3.

Kết quả độ tin cậy của các thanh dàn ví dụ 3.3

97


DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, SƠ ĐỒ, ĐỒ THỊ
Số hiệu

Tên hình

Trang

Hình 1.1.

Hình minh họa kết cấu dàn phẳng

05

Hình 1.2.

Hình minh họa kết cấu dàn khơng gian

05

Hình 1.3.

Ứng dụng dàn phẳng trong nhà cơng nghiệp

06

Hình 1.4.

Vịm sinh quyển Montreal, Canada

07

Hình 1.5.

Sân bay quốc tế Đà Nẵng, Việt Nam

07

Hình 1.6.

Các đồ thị của hàm mật độ phân bố chuẩn

17

Hình 1.7.

Số mờ M

21

hình

Hình 1.8.

Hình 2.1.

Hình 2.2.

Sơ đồ phương pháp tính tốn ĐTC theo lý thuyết
XSTK
Phương pháp biến đổi nghịch đảo cho phân bố liên
tục
Phương pháp biến đổi nghịch đảo cho phân bố rời
rạc, k=2=>X=x2

26

34

37

Hình 2.3.

Kết quả mơ phỏng ước tính số pi

46

Hình 2.4.

Hình vẽ ví dụ 2.1

48

Hình 2.5.

Phản lực liên kết ví dụ 2.1

49

Hình 2.6.

Tách nút B ví dụ 2.1

49

Hình 2.7

Tách nút C ví dụ 2.1

50

Hình 2.8.

Biểu đồ phân tán xác suất hỏng với các kích thước
mẫu N khác nhau ví dụ 2.1

54

Hình 3.1.

Hình vẽ bài tập ví dụ 3.1

60

Hình 3.2.

Tách nút B ví dụ 3.1

61

Hình 3.3.

Tách nút A ví dụ 3.1

62


Số hiệu

Tên hình

Trang

Hình 3.4.

Tách nút C ví dụ 3.1

62

Hình 3.5.

Tách nút D ví dụ 3.1

63

Hình 3.6.

Tách nút F ví dụ 3.1

64

Hình 3.7.

Tách nút E ví dụ 3.1

64

Hình 3.8.

Biểu đồ lực dọc ở trạng thái thực N P ví dụ 3.1

65

Hình 3.9.

Biểu đồ lực dọc ở trạng thái ảo N k ví dụ 3.1

66

hình

Hình 3.10.

. Biểu đồ phân phối giá trị qng an tồn M của

chuyển vị tại G ví dụ 3.1

73

Hình 3.11.

Hình vẽ bài tập ví dụ 3.2

74

Hình 3.12.

Tách nút F ví dụ 3.2

75

Hình 3.13.

. Tách nút A ví dụ 3.2

75

Hình 3.14.

Tách nút C ví dụ 3.2

76

Hình 3.15.

Tách nút B ví dụ 3.2

77

Hình 3.16.

Tách nút D ví dụ 3.2

77

Hình 3.17.

Tách nút E ví dụ 3.2

78

Hình 3.18.

Biểu đồ lực dọc ở trạng thái thực N P ví dụ 3.2

79

Hình 3.19.

Biểu đồ lực dọc ở trạng thái ảo N k ví dụ 3.2

80

Hình 3.20.

Hình 3.21.

Biểu đồ phân phối giá trị quãng an tồn M của thanh
số 2,18 ví dụ 3.2
Biểu đồ phân phối giá trị quãng an toàn M của thanh
số 6,13 ví dụ 3.2

84

86

Hình 3.22.

Hình vẽ bài tập ví dụ 3.3

88

Hình 3.23.

Tách nút C ví dụ 3.3

89

Hình 3.24.

Tách nút R ví dụ 3.3

89

Số hiệu

Tên hình

Trang

Hình 3.25.

Tách nút Q ví dụ 3.3

90

Hình 3.26.

Trạng thái ảo k với Pk=1 ví dụ 3.3

91

hình

Hình 3.27.

Hình 3.28.

Hình 3.29.

Hình 3.30.

Kết quả mơ phỏng của qng an tồn M theo điều
kiện bền thanh số 2 ví dụ 3.3

Biểu đồ phân phối giá trị quãng an toàn M thanh số 2
ví dụ 3.3
Kết quả mơ phỏng của qng an tồn M theo điều
kiện cứng chuyển vị ngang tại nút B ví dụ 3.3
Biểu đồ phân phối giá trị quãng an tồn M của
chuyển vị ngang tại B ví dụ 3.3

95

97

99

101


1

MỞ ĐẦU
* Lý do chọn đề tài
Việc tính tốn, phân tích độ tin cậy của các hệ điện, hệ cơ khí đã được
phát triển sớm, cho đến nay đã có nhiều tài liệu đề cập đến. Ứng dụng lý
thuyết độ tin cậy vào đánh giá an toàn của hệ thống cơng trình xây dựng,
được phát triển chậm hơn, song cho đến nay cũng đã đạt nhiều thành tựu to
lớn. Công cụ toán học để giải quyết bài toán độ tin cậy của các lĩnh vực là lý
thuyết xác suất thống kê và quá trình ngẫu nhiên.
Thực tế khách quan, trong những năm qua, việc ứng dụng lý thuyết độ tin
cậy vào đánh giá an tồn của cơng trình xây dựng bằng phương pháp dựa trên
lý thuyết xác suất và thống kê tốn học được xem là một mơ hình tốn học
mang lại những hiệu quả nhất định và được ứng dụng rộng rãi. Tuy nhiên

phương pháp này còn một số điểm hạn chế: Phương pháp đòi hỏi tập hợp
nhiều số liệu và đo đạc đồng thời các số liệu của nhiều biến ngẫu nhiên (để xử
lý tìm mật độ đồng thời) mà thực tế khơng thể có được; Có những tập số liệu
không thể áp dụng vào một quy luật thống kê nào, vì khơng thoả mãn các tiêu
chuẩn phù hợp quen thuộc của lý thuyết thống kê; Công cụ tốn học ngẫu
nhiên chưa đủ để miêu tả và tính tốn các hiện tượng tự nhiên thường gặp như
gió bão, lũ lụt, động đất, v.v…
Phương pháp Monter-Carlo là phương pháp thường được dùng để mô
phỏng các hiện tượng xác suất, những hiện tượng thay đổi đặc tính theo thời
gian, nó cũng được sử dụng để tính tốn các biểu thức không theo xác suất
bằng cách sử dụng phương pháp theo xác suất. Khi có mức độ khơng chắc
chắn lớn trong q trình đưa ra các dự báo hoặc ước tính, thay vì chỉ thay thế
biến khơng chắc chắn bằng một giá trị trung bình duy nhất, phương pháp


2

Monte-Carlo là một giải pháp tốt hơn nhiều. Chính vì vậy sử dụng mô phỏng
Monte Carlo sẽ khắc phục các vấn đề của phương pháp nêu trên.
Tại Việt Nam các nghiên cứu về tính tốn độ tin cậy của cơng trình sử
dụng phương pháp mơ phỏng Monte-Carlo cịn ít được đề cập đến. Do đó học
viên chọn đề tài nghiên cứu “Tính tốn độ tin cậy của dàn phẳng có kể đến
một số biến ngẫu nhiên bằng phương pháp Monte-Carlo” làm đề tài luận văn
tốt nghiệp cao học.
* Mục đích nghiên cứu
 Thiết lập lời giải phân tích chuyển vị, nội lực bài toán tiền định kết cấu
dàn phẳng bằng phương pháp giải tích.
 Lựa chọn một số biến ngẫu nhiên đầu vào, để phân tích độ tin cậy cho
kết cấu.
 Xây dựng các bước phân tích độ tin cậy của dàn phẳng khi chịu tại

trọng tĩnh bằng phương pháp mô phỏng Monte-Carlo trên phần mềm
Excel.
* Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Kết cấu dàn phẳng tĩnh định chịu tải trọng tĩnh.
Phạm vi nghiên cứu: Sử dụng lý thuyết tính chuyển vị nhỏ, vật liệu làm
việc trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính.
* Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết kết hợp với mô phỏng trên phần mềm Excel để
phân tích, tính tốn độ tin cậy của kết cấu dàn phẳng.
* Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề xuất trình tự các bước tính tốn độ tin cậy của kết cấu dàn dựa trên
phương pháp Monte – Carlo. Các kết quả và phương pháp nghiên cứu có thể
làm tài liệu tham kháo hữu ích cho các kỹ sư thiết kế, sinh viên và các học


3

viên cao học có một phương pháp hiệu quả để phân tích độ tin cậy cho bài
tốn kết cấu dàn khi kể đến một số biến không chắc chắn (biến ngẫu nhiên).
* Cấu trúc luận văn
Ngoài các phần Mở đầu, kết luận và kiến nghị, tài liệu tham khảo và
phụ lục, nội dung chính của luận văn gồm ba chương:
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ PHÂN TÍCH ĐỘ TIN CẬY CỦA KẾT
CẤU DÀN
CHƯƠNG 2. TÍNH TỐN ĐỘ TIN CẬY CỦA DÀN PHẲNG CÓ KỂ ĐẾN
MỘT SỐ BIẾN NGẪU NHIÊN BẰNG PHƯƠNG PHÁP MONTE-CARLO
CHƯƠNG 3. MỘT SỐ VÍ DỤ PHÂN TÍCH ĐỘ TIN CẬY


Edited with the trial version of

Foxit Advanced PDF Editor
To remove this notice, visit:
www.foxitsoftware.com/shopping

THƠNG BÁO
Để xem được phần chính văn của tài liệu này, vui
lịng liên hệ với Trung Tâm Thơng tin Thư viện Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội.
Địa chỉ: T.1 - Nhà F - Trường Đại học Kiến trúc Hà Nội
Đ/c: Km 10 - Nguyễn Trãi - Thanh Xuân Hà Nội.
Email: ĐT: 0243.8545.649

TRUNG TÂM THÔNG TIN THƯ VIỆN


102

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Kết luận: Qua các nội dung đã trình bày trong các chương của luận văn, có
thể đưa ra một số kết luận sau đây:
- Luận văn đã trình bày tóm tắt các khái niệm, các phương pháp tính tốn độ
tin cậy của kết cấu hiện nay. Cuối chương 1 luận văn đã phân tích được một
số ưu, nhược điểm của một số phương pháp.
- Luận văn đã nghiên cứu được sự ảnh hưởng của số mẫu thử đến độ chính
xác của độ tin cậy của kết cấu dàn khi phân tích theo phương pháp Monte
Carlo. Đồng thời, luận văn đã đề xuất số lượng số mẫu thử tối thiểu khi phân
tích độ tin cậy của kết cấu dàn theo phương pháp này.
- Trên cơ sở kết hợp với phương pháp mô phỏng Monte Carlo và sử dụng
phần mềm Excel để mô phỏng luận văn đã xây dựng được trình tự các bước
để xác định độ tin cậy của các phần tử của kết cấu dàn khi kết cấu dàn có một
hoặc nhiều đại lượng ngẫu nhiên.

- Trên cơ sở kết hợp với phương pháp mô phỏng Monte Carlo và sử dụng
phần mềm Excel để mô phỏng luận văn đã xây dựng được cách xác định độ
tin cậy của toàn bộ kết cấu dàn theo điều kiện bền và theo điều kiện cứng.
- Trên cơ sở lý thuyết đã xây dựng luận văn đã áp dụng tính tốn độ tin cậy
cho một số kết cấu dàn có một hoặc nhiều đại lượng ngẫu nhiên. Kết quả tính
tốn độ tin cậy bằng phương pháp mô phỏng Monte Carlo trong luận văn đã
so sánh với kết quả tính tốn độ tin cậy bằng phương pháp tuyến tính hố cho
thấy độ tin cậy của phương pháp này.
Kiến nghị: Do cách xác định nội lực và chuyển vị bằng phương pháp giải tích
đơn giản hơn so với phương pháp pháp phần tử hữu hạn hoặc phương pháp
chuyển vị khi tính tốn các bài toán kết cấu dàn đơn giản và chỉ phân tích
được cho bài tồn dàn tĩnh định. Vì vậy kết hợp phương pháp giải tích và
phương pháp mơ phỏng Monte Carlo để xác định độ tin cậy của kết cấu dàn


103

trong luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao
học… trong việc học tập thực hành tính tốn độ tin cậy của các kết cấu dàn.


TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tài liệu Tiếng Việt
1. Võ Như Cầu (2005), Tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà
xuất bản Xây dựng.
2. Mai Văn Công (2006), Thiết kế cơng trình theo lý thuyết ngẫu nhiên và phân
tích độ tin cậy, Nhà xuất bản Xây dựng.
3. Phạm Văn Đạt (2017), Tính tốn kết cấu hệ thanh theo phương pháp phần tử
hữu hạn, Nhà xuất bản Xây dựng.
4. Lê Xuân Huỳnh (2016), Độ tin cậy của kết cấu xây dựng, Nhà xuất bản Xây

dựng.
5. Nguyễn Hữu Lộc (2002), Độ tin cậy trong thiết kế kỹ thuật, Nhà xuất
bản Đại học quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh.
6. Chu Quốc Thắng (1997), Phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất bản Khoa
học và kỹ thuật.
7. Nguyễn Hùng Tuấn, Lê Xuân Huỳnh (2013), một cách tiếp cận độ tin cậy
trên cơ sở chuyển đổi từ đại lượng mờ sang đại lượng ngẫu nhiên, Tạp chí
KHCN xây dựng
8. Lều Thọ Trình (2000), Cơ Học Kết Cấu Tập 1, NXB Khoa Học Kỹ Thuật
9. Nguyễn Vi (2017), Độ tin cậy của các công trình bến cảng, Nhà xuất
bản Giao thơng vận tải.
10. Nguyễn Vi (2009), Phương pháp mơ hình hóa thống kê từng bước
trong tính tốn độ tin cậy của các cơng trình cảng, Nhà xuất bản Giao
thông vận tải.
11. Cao Văn Vui (2018), Độ tin cậy kết cấu, Nhà xuất bản ĐHQG – HCM.
12. Nguyễn Doãn Ý (2004), Độ tin cậy trong thiết kế chế tạo máy và hệ cơ khí,
Nhà xuất bản Xây dựng.


Tài liệu Tiếng Anh
13. Andrzej S. Nowak, Kevin R.Collin (2000), Reliability of structures,
McGraw-Hill.
14. Dr. K. Manjunath, Santhosh Kumar.C.N (2012), Reliability based Analysis
of Steel Truss Member, International Journal of Emerging Technology and
Advanced Engineering Volume 2, p.1-4.
15. Didier Dubois –Henri Prade – Sandra Sandri, On Possbility/Probability
Transformations. Proceedings of Fourth IFSA Conference, 1993.
16. Didier Dubois, Laurent Foulloy, Gilles Mauris and Henri Prade, Probability
– Possibility Transformations, Triangular Fuzzy Sets, and Probabilistic
Inequalities, Reliable Computing 10:273-297, 2004 Kluwer Academic

Publishers, Printed Netherlands.
17. Didier Dubois, Possibility Theory and Staticstical Reasoning May 15 2006.
18. Enrico Zio (2013), The Monte Carlo Simulation Method for System
Reliability and Risk Analysis, Springer.
19. M.Hansson, P.Ellegaard, (2006), System reliability of timber trusses based
on non – linear structural modelling, Materials and structures 39, p.593-600.
20. R.E.Melchers , A.T. Beck (2018), Structural Reliability, Wiley Publishing
House.
21. R.Ranganathan (2006), Structural Reliability Analysis and Design, Jaico
Publishing House.
22. Xiaoping Du, Interval Reliability Analysis, Proceedings of the ASME 2007
International Design Engineering Technical Conferences & Computers and
Information in Engineering Conference, 2007.