Giáo trình toán cao cấp c1 trường đh võ trường toản

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VÕ TRƯỜNG TOẢN

ThS. PHẠM THANH DƯỢC

TOÁN CAO CẤP C1
Dùng cho sinh viên các ngành kinh tế

Hậu Giang - 2015


2


Mục lục

Lời nói đầu

5

1 Hàm nhiều biến
1.1 Định nghĩa hàm số hai biến . . . . . . . . . .
1.2 Giới hạn hàm số và tính liên tục . . . . . . . .
1.3 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Dùng đạo hàm riêng để tính gần đúng
1.3.3 Đạo hàm riêng cấp cao . . . . . . . . .
1.3.4 Vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Cực trị tự do . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . .

1.4.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất . . . . . .
1.4.4 Phương pháp bình phương nhỏ nhất .
1.5 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Tự luận . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

7
7
8
9
9
10
10
11
12
12

14
15
16
17
17

2 Ứng dụng hàm nhiều biến
2.1 Hàm số hữu dụng của người tiêu dùng . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tổ hợp sản phẩm sản xuất sao cho đạt lợi nhuận tối đa . . . . . . . . .
2.3 Mức phân phối sản phẩm để có lợi nhuận tối đa . . . . . . . . . . . . .

21
21
24
26

2.4

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.

Ứng dụng cực trị có điều kiện trong kinh doanh . . . . . . . . . . . . .

3 Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
3.1 Ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Định nghĩa ma trận . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Các ma trận thường gặp . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Các phép toán trên ma trận . . . . . . . . . . .
3.1.4 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Ma trận bậc thang . . . . . . . . . . . . . . . .
3

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

27
29
29
29
30
31
32
32


4

Mục lục

3.2

3.3

3.4

3.1.6 Ma trận nghịch đảo. . . . . . . . . . . . . . .
Định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Các khái niệm cơ bản về định thức . . . . . .
3.2.2 Các tính chất của định thức: . . . . . . . . . .
Hệ phương trình tuyến tính . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.

4 Một số ứng dụng đại số trong kinh doanh
4.1 Mơ hình cân bằng thị trường . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Cân bằng thị trường – Mơ hình tuyến tính . . .
4.1.2 Cân bằng thị trường – Mơ hình khơng tuyến tính
4.1.3 Cân bằng thị trường tổng quát . . . . . . . . . .
4.1.4 Phân tích điểm cân bằng về thu nhập quốc gia . .
4.2 Mô hình cân đối liên ngành . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài liệu tham khảo

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

34
36
36
39
40
40
41
42

.
.
.
.
.
.
.

45
45
45
47
47
50
51
55
57


Lời nói đầu
Tốn cao cấp C1 là mơn học cơng cụ nhằm cung cấp cho sinh viên các ngành Kinh tế
những kiến thức toán cần thiết để học được các kiến thức chuyên ngành. Giáo trình
gồm 4 chương
Chương 1: Hàm nhiều biến
Chương 2: Ứng dụng hàm nhiều biến
Chương 3: Ma trận, định thức và hệ phương trình tuyến tính
Chương 4: Một số ứng dụng đại số trong kinh doanh
Xuất phát từ yêu cầu cụ thể của các ngành Kinh tế là sinh viên cần hiểu rõ các
khái niệm và vận dụng được các công thức, kết quả vào bài tập. Do đó, tác giả khơng

trình bày các chứng minh q phức tạp trong giáo trình này. Thay vào đó, tác giả đã
đưa vào nhiều ví dụ và bài tập ứng dụng trong kinh tế để sinh viên làm quen với việc
sử dụng cơng cụ tốn học trong lĩnh vực kinh tế.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Chủ nhiệm Khoa Cơ bản đã nhiệt tình quan
tâm giúp đỡ chúng tơi trong suốt q trình biên soạn, cảm ơn lãnh đạo Trường Đại
học Võ Trường Toản đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi để giáo trình được hồn
thành. Dù đã cố gắng nhưng chắc chắn giáo trình khơng tránh khỏi sai sót. Tác giả
rất mong nhận được và chân thành biết ơn những ý kiến đóng góp của người đọc cả
về nội dung lẫn hình thức.
Tác giả

5


6

Lời nói đầu


Chương 1
Hàm nhiều biến
1.1

Định nghĩa hàm số hai biến

Định nghĩa 1.1. Cho ∅ =
6 D ⊂ R2 . Mỗi ánh xạ
f:

D

−→ R
kh
x = (x1 , x2 ) 7→ y = f (x) = f (x1 , x2 )

gọi là hàm của 2 biến độc lập x1 , x2 ; D được gọi là miền xác định của hàm số.
Ngoài các ký hiệu chung của ánh xạ , ta còn thường dùng một trong các ký hiệu
sau để chỉ hàm số: y = f (x1 , x2 ), f (x1 , x2 ) hay chỉ đơn giản là f .
Chú ý. Ta gọi z là giá trị của f tại (x, y) thì z = f (x, y). Khi đó, tập xác định là
tập các biến (x, y), tập giá trị là tập các giá trị tương ứng z.
Ví dụ 1.2. Cho f (x, y) = 2x + x2 y 3 . Tính f (1, 0), f (0, 1), f (−2, 3).
Giải.
f (1, 0) = 2
f (0, 1) = 0
f (−2, 3) = 104
Ví dụ 1.3. Cho hàm số f (x, y) = x + 2y. Tính f (0, 1), f (2, −1), f (a, a).
Ví dụ 1.4. Cho hàm số f (x, y) = xy 2 . Tính f (2, 1), f (−1, 2).
Ví dụ 1.5. Tìm miền xác định của các hàm số sau
√
√
(a) f (x, y) = 1 − x + y.
p
2
+ 9 − (x2 + y 2 ).
(b) f (x, y) = p
x2 + y 2 − 4
7


Chương 1. Hàm nhiều biến

8

1.2

Giới hạn hàm số và tính liên tục

Định nghĩa 1.6. Cho hàm số f (x, y) xác định tại lân cận của M0 (x0 , y0 ) . Số thực
L được gọi là giới hạn của f khi M (x, y) dần đến M0 (x0 , y0 ) (ta viết là M (x, y) →
M0 (x0 , y0 )) nếu mệnh đề sau được thỏa:

∀ε > 0, ∃δ > 0 : 0 < d(M, M0 ) < δ ⇒ |f (x, y) − L| < ε

(1.1)

Chú ý
(a) d(M, M0 ) =

p

(x − x0 )2 + (y − y0 )2 .

(b) M → M0 ⇔ d(M, M0 ) → 0.

Ví dụ 1.7. Cho f (x, y) = 3x − y + 1. Tính giới hạn

lim

(x,y)→(1,2)

f (x, y).

Giải.
Ta có:

lim

(x,y)→(1,2)

f (x, y) =

Ví dụ 1.8. Cho f (x, y) =

lim

(x,y)→(1,2)

(3x − y + 1) = 2.

sin xy
. Tính giới hạn
x

lim

(x,y)→(0,a)

f (x, y).

Giải.
Đặt t = xy.

Ta có: t → 0 khi (x, y) → (0, a),
lim

(x,y)→(0,a)

f (x, y) =

lim

(x,y)→(0,a)

y

sin t
= a.
t

Định nghĩa 1.9.
(a) Nếu

lim

(x,y)→(x0 ,y0 )

f (x, y) = f (x0 , y0 ) thì f được gọi là là liên tục tại điểm (x0 , y0 ).

(b) Nếu f liên tục tại mọi điểm của D ⊂ R2 thì f được gọi là liên tục trên D.
Chú ý
(a) Nếu f (x, y) là các đa thức theo các biến x, y thì f liên tục trên R2 .
(b) Tổng, hiệu, tích, thương, của các hàm liên tục là liên tục.

Ví dụ 1.10.
(a) Ta có: f (x, y) = 2x3 + 3xy + y 2 − 3 là hàm liên tục trên R2 .
x3 y 2 − 3x − y
là hàm liên tục trên R2 .
(b) Ta kiểm tra được f (x, y) =
2
2
x + 3y


9

1.3. Đạo hàm riêng

1.3
1.3.1

Đạo hàm riêng
Định nghĩa

Định nghĩa 1.11. Cho hàm số z = f (x, y) xác định trên D, M (x0 , y0 ) ∈ D. Xét hàm

số g(x) = f (x, y0 ). Nếu g khả vi tại x0 thì g ′ (x0 ) được gọi là đạo hàm riêng của f theo
biến x tại (x0 , y0 ) và được kí hiệu:
fx′ (x0 , y0 ); hoặc

∂z
∂f
(x0 , y0 ); zx′ (x0 , y0 );
(x0 , y0 )

∂x
∂x

Ví dụ 1.12. Cho z = x3 + 2y 2 .
Ta có:
∂z
= 3x2 .
•
∂x
∂z
= 4y.
•
∂y
Ví dụ 1.13. Cho f (x, y) =
Ta có
∂z
x
•
.
=p
∂x
x2 + y 2
∂z
y
.
•
=p
2
∂y
x + y2

Ví dụ 1.14. Cho z =

Ta có:
y 3 − x2 y
∂z
= 2
.
•
∂x
(x + y 2 )2
∂z
x2 − y 2
•
= 2
.
∂y
(x + y 2 )2

x2

p

x2 + y 2 .

xy
.
+ y2

Ví dụ 1.15. Hàm số f (x, y) = Kxα y β (K, α, β > 0 và α + β = 1) được gọi lừ hàm

cobbdouglas và được dùng để đặc trưng cho năng lực sản xuất của một xí nghiệp.
Trong một số trường hợp thì f (x, y) có giá trị là số sản phẩm sản xuất tại mức đầu tư
(x, y), x là số đơn vị nhân công, y là số đơn vị vốn.
1

3

Cụ thể, nếu f (x, y) = 4x 4 y 4 thì fy′ (2, 1) > fx′ (2, 1), nghĩa là f có giá trị tăng nhanh
hơn theo “hướng” gia tăng y so với theo “hướng” gia tăng x tại cùng mức đầu tư, nghĩa
là tại mức đầu tư đang xét, thì việc tăng thêm giá trị của y là có lợi hơn.


Chương 1. Hàm nhiều biến

10

1.3.2

Dùng đạo hàm riêng để tính gần đúng

Định lý 1.16. Giả sử f (x, y) có fx′ , fy′ trong lân cận ∆ của (x0 , y0 ) và fx′ , fy′ liên tục
tại (x0 , y0 ). Khi đó, ta có cơng thức tính gần đúng
f (x0 + ∆x; y0 + ∆y) = f (x0 , y0 ) + fx′ (x0 , y0 )∆x + fy′ (x0 , y0 )∆y,
trong đó (|∆x|, |∆y| khá nhỏ).
Ví dụ 1.17. Tính gần đúng số A = (2, 05)e−3,92+(2,05) .
2

Giải.
Xét f (x, y) = xey+x ; (x0 , y0 ) = (2; −4)), (∆x; ∆y) = (0, 05; 0, 08).
2

Ta có: f (x0 , y0 ) = 2 và

2

2

fx′ (x, y) = ey+x + 2x2 ey+x ⇒ fx′ (x0 , y0 ) = 9,
2

fy′ (x, y) = xey+x ⇒ fy′ (x0 , y0 ) = 2.

Vậy

A = f (x0 + ∆x; y0 + ∆y) ≈ 2 + 9.(0, 05) + 2.(0, 08) = 2, 61.

Ví dụ 1.18. Cho f (x, y) = xy 3 − 2x3 , f (2, 3) = 38. Tính gần đúng f (2.01; 2.98).

1.3.3

Đạo hàm riêng cấp cao

Định nghĩa 1.19. Nếu z = f (x, y) thì

∂f
∂f
và
được gọi là đạo hàm cấp 1. Giả sử
∂x
∂y

∂f
∂f
và
tồn tại đạo hàm theo, x, y thì các đạo hàm riêng này được gọi
∂x
∂y
là đạo hàm riêng cấp 2 của f (x, y). Kí hiệu là:

các hàm số

 
∂ ∂f
∂ 2f
′′
=
= fxx
.
∂x ∂x
∂x2
 
∂ ∂f
∂ 2f
′′
=
= fxy
.
∂x ∂y
∂x∂y
 

∂ 2f
∂ ∂f
′′
=
= fyx
.
∂y ∂x
∂y∂x
 
∂ ∂f
∂ 2f
′′
=
= fyy
.
∂y ∂y
∂y 2


11

1.3. Đạo hàm riêng

Ví dụ 1.20. Nếu f (x, y) = x3 ey . Tìm đạo hàm riêng cấp 1 và cấp 2 tại (x, y) = (1, 0).
2

Giải.
Ta có:
2

fx′ = 3x2 ey ⇒ fx′ (1, 0) = 3.
2

fy′ = 2x3 yey ⇒ fy′ (1, 0) = 0.
2

′′
′′
(1, 0) = 6e.
= 6xey ⇒ fxx
fxx
2

′′
′′
′′
′′
(1, 0) = 0.
(1, 0) = fyx
= 6x2 yey ⇒ fxy
= fyx
fxy
2

2

′′
′′
′′
(1, 0) = 2.

= 2x3 (ey + 2y 2 ey ⇒ fyy
= fyx
fyy

Ví dụ 1.21. Tìm đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số f (x, y) = x3 y + x2 y 2 + x + y 2 .
Hướng dẫn.
Ta có :

1.3.4

∂ 2f
= 6xy + 2y 2 .
∂x2
∂ 2f
∂ 2f
=
= 3x2 + 4xy.
∂x∂y
∂x∂y
∂ 2f
= 2x2 + 2.
∂y 2

Vi phân

Định nghĩa 1.22. Cho hàm số z = f (x, y).
(a) Vi phân của các biến độc lập x và y là các số tùy ý lần lượt kí hiệu là dx và dy.
(b) Vi phân của biến phụ thuộc z (hay của hàm f ) tại (x0 , y0 ) được kí hiệu là
dz(x0 , y0 ) hay df (x0 , y0 ) và được định nghĩa bởi
df (x0 , y0 ) = fx′ (x0 , y0 )dx + fy′ (x0 , y0 )dy.

Định nghĩa 1.23. Giả sử z = f (x, y) có vi phân cấp 1 là df trong một tập mở D.
Nếu df có vi phân tại điểm (x0 , y0 ) thì vi phân này được kí hiệu là d2 f (x0 , y0 ) và được
định nghĩa bởi
′′
′′
′′
(x0 , y0 )dy 2 .
(x0 , y0 )dxdy + fyy
d2 f (x0 , y0 ) = fxx
(x0 , y0 )dx2 + 2fxy


Chương 1. Hàm nhiều biến

12

1.4

Cực trị

1.4.1

Cực trị tự do

Định nghĩa 1.24. Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu) tại (x0 , y0 ) nếu tồn tại
một lân cận ∆ của (x0 , y0 ) sao cho với mọi x ∈ ∆,
f (x, y) ≤ f (x0 , y0 ) (f (x, y) ≥ f (x0 , y0 )∀x ∈ ∆).
Giá trị (x0 , y0 ) được gọi là cực đại (cực tiểu) của f . Cực đại hay cực tiểu được gọi
chung là cực trị.
Định lý 1.25 (Điều kiện cần để có cực trị).

Hàm khả vi z = f (x, y) đạt cực trị
 tại′ điểm (x0 , y0 ) nếu
fx (x0 , y0 ) = 0.
fy′ (x0 , y0 ) = 0.
Chú ý.
Nếu điểm (x0 , y0 ) thỏa điều kiện (∗) được gọi là điểm dừng của f.
Ví dụ 1.26. Tìm các điểm dừng của hàm số f (x, y) = x4 + y 4 − 4xy.
Giải.
Gọi (x, y) là điểm dừng của f , ta có

Từ (1) và (2) ta có:



fx′ (x, y) = 0
fy′ (x, y) = 0 ⇔



4x3 − 4y = 0 (1),
4y 3 − 4x = 0 (2).

x = 0
x = 1
x = 1
Vậy các điểm dừng: A(0;0), B(1;1), C(-1;1).
9

x −x=0⇔



⇒y = 0
⇒y = 1
⇒ y = −1

Ví dụ 1.27. Tìm các điểm dừng của hàm số f (x, y) = x2 + y 2 − xy − 4x.
Giải.
Gọi (x, y) là điểm dừng của f , ta có




8


 x =
n
3
fx (x, y) = 0
2x − y − 4 = 0 ⇔
= 0
fy (x, y) = 0 ⇔ 2y − x

4

 y =
3

8 4

Vậy A( ; ) là điểm dừng.
3 3

(∗)


13

1.4. Cực trị

Định lý 1.28 (Điều kiện đủ để có cực trị). Cho hàm số f (x, y) có các đạo hàm
riêng liên tục đến cấp 2 trong một lân cận của điểm dừng (x0 , y0 ).
′′
′′
′′
(x0 ; y0 ) và δ = AC − B 2 . Khi đó
(x0 ; y0 ), C = fyy
(x0 ; y0 ) , B = fxy
Gọi A = fxx

∗ δ > 0 và A > 0 ( hoặc C > 0) thì f (x0 ; y0 ) là điểm cực tiểu.
∗ δ > 0 và A < 0 ( hoặc C < 0) thì f (x0 ; y0 ) là điểm cực đại
∗ δ < 0 hàm khơng có cực trị tại (x0 ; y0 ).

Ví dụ 1.29. Tìm cực trị của hàm số y = −2x2 − 2xy − y 2 + 36x + 42y − 158.
Giải.

Mặt khác,



fx′ (x, y) = 0
fy′ (x, y) = 0 ⇔

n

−4x − 2y + 36 = 0 ⇔
−4y − 2x + 42 = 0

n

x = 5
y = 8

′′
′′
′′
fxx
= −4; fxy
= −2; fyy
= −4

A = −4
⇒ B = −2
C = −4
δ = AC − B 2 = 12 > 0; A = -4 <0.

⇒ f đạt cực đại tại (5, 8).

Ví dụ 1.30. Tìm cực trị của hàm số f (x, y) = x3 + 2y 3 − 3x − 6y.

Giải.



fx′ (x, y) = 0
fy′ (x, y) = 0 ⇔

n

3x2 − 3 = 0
6y 2 − 6 = 0

Ta có các điểm dừng M1 (−1, −1); M2 (−1, 1); M3 (1, −1); M4 (1, 1).
Mặt khác,

′′
′′
′′
= 12y
= 0; fyy
= 6x; fxy
fxx

Ta khảo sát cực trị của f (x, y) tại các điểm dừng.
∗ Tại M1 (−1, −1), A = -6, B = 0, C = -12,

δ = AC − B 2 = 72 > 0 và A = −6 < 0

⇒ f (x, y) đạt cực đại tại M1 .

∗ Tại M2 (−1, 1), A = -6, B = 0, C = 12,

δ = AC − B 2 = −72 < 0

⇒ f (x, y) không đạt cực trị tại M2 .

∗ Tại M3 (1, −1), A = 6, B = 0, C = -12,

δ = AC − B 2 = −72 < 0

⇒ f (x, y) không đạt cực trị tại M3 .


Chương 1. Hàm nhiều biến

14
∗ Tại M4 (1, 1), A = 6, B = 0, C = 12,

δ = AC − B 2 = 72 > 0 và A = 6 > 0
⇒ f (x, y) đạt cực tiểu tại M4 .

Ví dụ 1.31. Tìm cực trị của hàm số y = 3xy − x3 − y 3 .
Giải.
Ta có các điểm dừng M1 (0, 0), M2 (1, 1).
Tại M1 , δ = −9 < 0, f không đạt cực trị;
Tại M2 , δ = 27 > 0, và A = −6 nên f đạt cực đại tại M2 .

1.4.2

Cực trị có điều kiện

Những cực trị của hàm f (x, y) trong đó x, y bị ràng buộc bởi điều kiện g(x, y) = 0
(3.2), được gọi là những cực trị có điều kiện (hay cực trị ràng buộc).
Định lý 1.32 (Điều kiện cần của cực trị có điều kiện). Giả sử M(x; y) là điểm
cực trị có điều kiện của hàm f với điều kiện (3.2) và nếu
1. Ở lân cận M các hàm f, g có đạo hàm riêng cấp 1 liên tục;
2. Các đạo hàm riêng gx′ , gy′ khơng đồng thời bằng 0 tại M.
Khi đó tại M, ta có [0.5cm]
(

fx′ (x, y) + λgx′ (x, y) = 0
fy′ (x, y) + λgy′ (x, y) = 0
g(x, y) = 0

Số λ gọi là nhân tử Lagrange. Hàm số L(x, y) = f (x, y) + λg(x, y) gọi là hàm Lagrange.
Định lý 1.33 (Điều kiện đủ của cực trị có điều kiện). Xét hàm Lagrange với các
giả thiết f (x, y), g(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp 2 và vi phân cấp 2 của
nó
d2 L(x0 , y0 ) = L′′xx (x0 , y0 )dx2 + 2L′′xy (x0 , y0 )dxdy + L′′yy (x0 , y0 )dy 2
với ràng buộc dg(x0 , y0 ) = gx′ (x0 , y0 )dx + gy′ (x0 , y0 )dy = 0.
∗ Nếu d2 L > 0 thì hàm đạt cực tiểu có điều kiện.
∗ Nếu d2 L < 0 thì hàm đạt cực đại có điều kiện.


15

1.4. Cực trị
Ví dụ 1.34. Cho f (x, y) = xy + 2x

(1). Tìm cực trị với điều kiện 8x + 4y = 120

(2)
Trong trường hợp này ta giải như sau:
(2) ⇒ y = −2x + 30

(1) ⇒ f (x, y) = −2x2 + 32x.
fx′ = −4x + 32
fx′ = 0 ⇔ x = 8; y = 14.

Hàm số đạt cực đại tại (8; 14).

Ví dụ 1.35. Tìm cực trị của f (x, y) = x + 2y với điều kiện x2 + y 2 = 5.
Giải.
Xét hàm Lagrange L(x, y) = x + 2y + λ(x2 + y 2 − 5).
Ta có hệ

(

fx′ (x, y) + λgx′ (x, y) = 0
fy′ (x, y) + λgy′ (x, y) = 0 ⇔
g(x, y) = 0

(

1 + 2xλ = 0
2 + 2yλ = 0
x2 + y 2 = 5

1
1

và M2 (−1, −2) ứng với λ =
2
2
1
Tại M1 (1, 2), ta có L(x, y) = x + 2y − (x2 + y 2 − 5) và
2
d2 L(1, 2) = −dx2 − dy 2 < 0 do đó tại M1 hàm f đạt cực đại;
1
Tại M2 (−1, −2), ta có L(x, y) = x + 2y + (x2 + y 2 − 5) và
2
d2 L(1, 2) = dx2 + dy 2 < 0 do đó tại M2 hàm f đạt cực tiểu.
ta có điểm dừng M1 (1, 2) ứng với λ = −

1.4.3

Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm trên tập đóng và bị chặn S ta làm
các bước sau:
1. Tìm các điểm tới hạn trong miền mở S;
2. Tìm các điểm nghi ngờ hàm có giá tri lớn nhất và nhỏ nhất trên biên của miền
(cực trị có điều kiện);
3. So sánh các giá trị tại những điểm trên để tìm GTLN và GTNN.


Chương 1. Hàm nhiều biến

16

Ví dụ 1.36. Tìm GTLN và GTNN của hàm số f (x, y) = 1 + x + 2y trên miền x ≥

0; y ≥ 0; x + y ≤ 1.

• Vì fx′ (x, y) = 1; fy′ (x, y) = 2 nên f khơng có điểm dừng trong miền mở

x > 0; y > 0; x + y < 1

• Xét trên biên x = 0 và 0 ≤ y ≤ 1

Ta có f (0, y) = 1 + 2y, có các điểm nghi ngờ là y = 0, y = 1,
f (0, 0) = 1, f (0, 1) = 3.

• Xét trên biên y = 0 và 0 ≤ x ≤ 1

Ta có f (0, y) = 1 + x, có các điểm nghi ngờ là x = 0, x = 1,

f (0, 0) = 1, f (1, 0) = 2.
• Xét trên biên x + y = 1 và 0 ≤ x ≤ 1

Trên đoạn này y = 1 − x nên f trở thành f (x, 1 − x) = 3 − x, có các điểm nghi ngờ

là x = 0, x = 1,

f (0, 1) = 3, f (1, 0) = 2.
So sánh các giá trị nghi ngờ trên ta được giá trị lớn nhất là 3 đạt tại điểm (0, 1),
giá trị nhỏ nhất là 1 đạt tại điểm (0, 0).

1.4.4

Phương pháp bình phương nhỏ nhất

Trước hết ta xét một bài toán thực tế sau: " Một em bé được theo dõi sự tăng trọng từ
lúc mới được sinh ra trong một vài tháng đầu. Trong lượng của bé được ghi lại trong
bảng số liệu sau

t (tháng)
P (kg)

1
4,1

2
5,2

3
6

4
6,7

Hãy dự đoán đến thơi nơi (t = 12) thì trọng lượng của bé là bao nhiêu?
Giải.
Do P tăng khá đều nên có thể xem tốc độ biến thiên của P là hằng số, nghĩa là
ta có thể chọn P = at + b và gọi đây là công thức thực nghiệm để xác định P . Nếu
gọi Ptn , Ptt lần lượt là các giá trị nhận được từ công thức thực nghiệm và giá trị nhận
được qua các phép đo thực tế, ta có bảng so sánh sau:


17

1.5. Bài tập

t
1
2
3
4

Ptn
a+b
2a + b
3a + b
4a + b

Ptt
4,1
5,2
6
6,7

∆1
∆2
∆3
∆4

sai số
= a + b − 4, 1
= 2a + b − 5, 2
= 3a + b − 6
= 4a + b − 6, 7

Vấn đề dặt ra ở đây là tìm điểm (a, b) sao cho các Ptn đều gần với Ptt tương ứng. Một

trong các giải pháp được chọn là tìm (a, b) sao cho "tổng bình phương các sai số " đạt
giá trị nhỏ nhất, nghĩa là hàm
F (a, b) = ∆21 + ∆22 + ∆23 + ∆24
= (a + b − 4, 1)2 + (2a + b − 5, 2)2 + (3a + b − 6)2 + (4a + b − 6, 7)2
đạt giá trị nhỏ nhất. 
Hiển nhiên nếu có điểm (a, b) như vậy thì nó cũng là điểm cực trị
F (a, b) = 0
(tự do) của F , ta có Fa(a, b) = 0
b

2(a + b − 4, 1) + 4(2a + b − 5, 2) + 6(3a + b − 6) + 8(4a + b − 6, 7) = 0
⇔ 2(a + b − 4, 1) + 2(2a + b − 5, 2) + 2(3a + b − 6) + 2(4a + b − 6, 7) = 0
⇔

n

30a + 10b = 59, 3 ⇔
10a + 4b = 22

n

a = 0, 86
b = 3, 35

Khi đó P = (0, 86)t + 3, 35 và P (12) = 13, 67kg. Với cơng thức thực nghiệm tìm
được ta thấy các giá trị Ptn và Ptt rất "gần nhau"
t
1
2
3

4

1.5
1.5.1

Ptn
4,21
5,07
5,93
6,79

Ptt
4,1
5,2
6
6,7

Bài tập
Tự luận

Bài tập 1.5.2. Tìm miền xác định của hàm số:
x2 + y 2
1) f (x, y) = 2
x − y2
p
2) f (x, y) = 9 − (x2 + y 2 )
1
3) f (x, y) = x+y
e
−3

1 1
Bài tập 1.5.3. Cho f (x, y) = 3x2 − 2xy + y 3 . Tìm f (1; 1), f (−2; 3), f ( ; ).
x y
Bài tập 1.5.4. Cho f (x, y) = x2 + 2xy + y 2 .
a) Tìm f (−1; 2), f (a; a);
b) Chứng minh rằng f (2x, 2y) = 22 f (x, y) và f (tx, ty) = t2 f (x, y), ∀t.


Chương 1. Hàm nhiều biến

18
1

1

Bài tập 1.5.5. Cho F (K, L) = 10K 2 L 3 , K ≥ 0, L ≥ 0.
1
√
Tìm F (1; 1), F (4; 27), F (9, ), F (3; )2.
27
Bài tập 1.5.6. Tìm đạo hàm riêng cấp 1 của các hàm số:
a) f (x, y) = 2x + 3y.
b) f (x, y) = x2 + y 3 .
c) f (x, y) = x3 y 4 .
d) f (x, y) = (x + y)2 .

Bài tập 1.5.7. Tìm
a) z = x2 + 3y 2 .

∂z
∂z
và
cho các hàm số sau:
∂x
∂y

b) z = xy.
c) z = 5x4 y2 − 2xy 5 .
d) z = exy .

e) z = ln(x + y).
f) z = ln(xy).
Bài tập 1.5.8. Tìm đạo hàm riêng cấp 1 và 2 của các hàm số:
a) f (x, y) = 3x + 4y.
b) f (x, y) = x3 y 2 .
c) f (x, y) = 5x4 y 2 − 2xy 5 .
p
d) f (x, y) = x2 + y 2 .
x
e) f (x, y) = .
y
Bài tập 1.5.9. Chứng minh f (x, y) = ex siny thỏa phương trình Laplace
∂ 2f
∂ 2f
+
.
∂x2
∂y 2
Bài tập 1.5.10. Tìm các điểm dừng của hàm số sau:

a) f (x, y) = x4 + y 4 − 4xy.

b) f (x, y) = (2x − x2 )(2y − y 2 ).

c) f (x, y) = x3 + y 2 − 6xy − 39x + 18y + 20.
d) f (x, y) = −2x2 − y 2 + 4x − 4y − 3.


1.5. Bài tập
Bài tập 1.5.11. Tìm các điểm cực trị của f (x, y) trong các trường hợp:
a) f (x, y) = 2x3 + xy 2 + 5x2 + y 2 .
b) f (x, y) = −2x2 − y 2 + 4x − 4y − 3.

c) f (x, y) = 2x2 − 4xy + 4y 2 − 40x + 20y + 14.

d) f (x, y) = x2 + y 2 − 2xy + 2x − 2y.

e) f (x, y) = 2x4 + y 4 − x2 − 2y 2 .

Bài tập 1.5.12. a.f (x, y) = 4x + 6y; x2 + y 2 = 13.
b.f (x, y) = x2 y; x2 + 2y 2 = 6.
c.f (x, y) = 6 − 5x − 4y; x2 − y 2 = 9.

d.f (x, y) = 5 − 3x − 4y; x2 + y 2 = 25.

e.f (x, y) = 1 − 4x − 8y; x2 − 8y 2 = 8.

f.f (x, y) = x2 + y 2 + xy; x2 + y 2 = 1.

g.f (x, y) = 2x2 + y 2 + 12xy; x2 + 4y 2 = 25.

Bài tập 1.5.13. Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
a.f (x, y) = x2 + y 2 − xy + x + y trong miền D : x ≤ 0, y ≤ 0, x + y ≥ −3.
b.f (x, y) = 1 + 4x − 5y, D là tam giác với các đỉnh (0, 0), (2, 0), (0, 3).

c.f (x, y) = 3 + xy − x − 2y, D là tam giác với các đỉnh (1, 0), (5, 0), (1, 4).
d.f (x, y) = x2 + y 2 + x2 y + 4, D = {(x, y)||x| ≤ 1, |y| ≤ 1}.

e.f (x, y) = 4x + 6y − x2 − y 2 , D = {(x, y)|0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 5}.
f.f (x, y) = x2 − y 2 , D = {(x, y)|x2 + y 2 ≤ 25}.

19


20

Chương 1. Hàm nhiều biến


Chương 2
Ứng dụng hàm nhiều biến
2.1

Hàm số hữu dụng của người tiêu dùng
Hữu dụng – U (Utility): là sự thỏa mãn của một người cảm nhận được khi tiêu

dùng một loại sản phẩm hay dịch vụ.
Tổng hữu dụng – TU ( Total Utility): tổng mức thỏa mãn đạt được khi tiêu thụ
một số lượng sản phẩm hay dịch vụ trong một đơn vị thời gian.
Hữu dụng biên tế - MU (Marginal Utility): là sự thay đổi trong tổng hữu dụng khi

thay đổi một đơn vị sản phẩm tiêu dùng trong mỗi đơn vị thời gian (với điều kiện các
yếu tố khác khơng đổi).
Nhớ: Trên đồ thị thì MU chính là độ dốc của đường biểu diễn TU.
M Ux =

∆T U
∆Qx

M Ux =

dT U
dQx

( đạo hàm bậc 1 của TU nếu TU liên tục).
( đạo hàm bậc 1 của TU nếu TU liên tục).

a) Với hàm nhiều biến, thì hàm hữu dụng được cho là : U = U (x1 , x2 , . . . , xn )
Thì Ui =
M Ui =

: Hữu dụng biên tế của sản phẩm thứ i.

dU
dxi

∂U
∂xi

: Biểu diễn mức độ hữu dụng thay đổi khi người tiêu dùng sử dụng

thêm một đơn vị sản phẩm thứ i.
b) Quy luật dụng ích biên tế giảm dần :
Cho : U = f (x1 , x2 , . . . , xn ). Trong đó :
U : Dụng ích
x1 , x2 , . . . , xn : các sẩn phẩm dần được mô tả bằng công thức
d2 f
≤ 0, ∀i = 1, n
dx2i

21


Chương 2. Ứng dụng hàm nhiều biến

22

Ví dụ 2.1. Cho hàm dụng ích của một bé như sau : D = f (t, c), trong đó:
t : Thịt,
c : Cá,
U : là dụng ích của bé khi tiêu thụ (t, c).
Thì
Và :

∂2U
∂t2
∂2U
∂c2

=
=

∂2f
∂t2
∂2f
∂c2

< 0 =>
< 0 =>

∂U
∂t
∂U
∂c

= M Ut : giảm khi thịt tăng, cá không đổi.
= MUc : Ui =

dU
dxi

giảm khi cá tăng thịt khơng đổi, thịt

khơng đổi.
Ví dụ 2.2. Cho Q = f (K, L) là hàm sản xuất của một doanh nghiệp, trong đó
K : Tư bản vay vốn,
L : Số lao động.
Thì:
Và:

∂2f

∂f
∂2Q
= ∂K
2 < 0 => ∂K = MPK : giảm khi
∂K 2
∂2Q
∂2f
∂f
= ∂L
2 < 0 => ∂L = MPL : giảm khi L
∂L2

K tăng, L không đổi.
tăng, K khơng đổi.

c) Tính hệ số co dãn
Gọi Y là đại lượng kinh tế phụ thuộc vào hai biến kinh tế khác : x1 , x2 biểu diễn
qua quan hệ làm:
Y = f (x1 , x2 )
Khi đó độ co dãn của y theo biến xj được định nghĩa là:
Eyxj =

∂y xj
, ∀j = 1, n
∂xj y

Ví dụ 2.3. Với hàm sản xuất Q = AK α L1−α ; A < 0, 0 < α < 1.
EK =
EL =

α 1−α
∂Q K
= (αAK α−1 L1−α )( K
) = αAK QL
∂K Q
Q
∂Q L
L
= (1 − α)AK α L−α Q
= (1 − α).
∂L Q

= α.

Vấn đề quản trị : Một công ty sản xuất sản phẩm A có hàm sản xuất là Q = f (K, L).
K : Tư bản, L : nhân công.
Gọi:
α : Giá thuê tư bản, β : giá thuê lao động;
Co : Chi phí cố định;
P : Giá bán do thị trường quyết định.
Câu hỏi đặt ra : Công ty sử dụng các yếu tố đầu vào như thế nào để đạt được
lợi nhuận tối đa?


23

2.1. Hàm số hữu dụng của người tiêu dùng
Đặt bài toán :
Gọi
R = pQ = pf (K, L),

C = αK + βL + Co : chi phí cho việc sản xuất A.
Hàm lợi nhuận : π = R − C = pf (K, L) − (αK + βL + Co ).

Việc sử dụng K và L như thế nào để có lợi nhuận tối đa? Tìm cực trị cùa hàm lợi
nhuận π.
Ta có:

∂f
∂π
=p
− α.
∂K
∂K
∂f
∂π
=p
− β.
∂L
∂L

Điều kiện cần để có cực trị là:
 ∂π

∂K
∂π
∂L

Gọi :

∂f

∂f
= p ∂K
− α = 0 ⇔ p ∂K
= α,
∂f
∂f
= p ∂L
− β = 0 ⇔ p ∂L
= β.

(2.1)

∂2π
,
∂K 2
2
∂ π
,
∂K∂L
∂2π
.
∂L2

R=
s=
t=

Điều kiện đủ để cực trị là cực đại (Lợi nhuận tối đa)
 2


s − rt < 0
rt − s2 > 0
↔
r<0
r<0
t<0
t<0

(2.2)

Điều kiện (2.1) : Cho chúng ta biết điều kiện cần để công ty đạt lợi nhuận tối đa là
công ty sử dụng các yếu tố đầu vào sao cho sản phẩm biên tế của tư bản (tính bằng
tiền) bằng chi phí tư bản, và sản phâm biên tế của lao động bằng chi phí lao động.
Điều kiện (2.2) : Cho thấy sự tương quan của hai yếu tố K và L đến lợi nhuận tối
đa của cơng ty
Ví dụ 2.4. Cơng ty Nhơm Văn Hải, chuyên sản xuất đồ gia dụng và nồi cơm điện có
các thơng tin sau (10/2008):
Hàm số sản xuất : Q = f(K,L) = -K2 – L2 + 25K + 60L;
Hàm chi phí : C = 10K + 20L + 150 (150 chi phí cố định);
Đơn vị tính : 1.000.000;
Giá bán : p = 2.106 = 2 (đơn vị tính).
Hỏi : Nhôm Văn Hải cần phối hợp các yếu tố K và L như thế nào để đạt được lợi
nhuận tối đa?


Chương 2. Ứng dụng hàm nhiều biến

24
Ta có :
Doanh thu :

R = pQ = 2(−K 2 − L2 + 25K + 60L) = −2K 2 − 2L2 + 50K + 120L.
Hàm lợi nhuận :
π = R − C = −2K 2 + 40K + 100L − 150.
Để đạt lợi nhuận tối đa, π phải thỏa 2 điều kiện:
(2.1)

Và


 ∂π

∂ 2π
∂K∂L

∂K
∂π
∂L

2

= −4K + 40 = 0 ⇒ K = 10
= −4L + 100 = 0 ⇒ L = 25
 ∂2π
 ∂K 2 = −4
∂2π
(2.2) ∂L
= −4
 ∂ 22π
=0

∂K∂L
−



∂ 2π
∂K 2



∂ 2π
∂L2



= −16 < 0

Vậy Nhơm Văn Hải cần có phối hợp : K = 10 và L = 25 khi đó π = 130, Q = 1025
đơn vị sản phẩm, R = 2050, C = 750.
Tháng 10/2008 – Lãi được 1.300.000.000 ≈ 1, 3 tỷ.

2.2

Tổ hợp sản phẩm sản xuất sao cho đạt lợi nhuận tối đa

Ví dụ 2.5. Doanh nghiệp tư nhân Trần Hiền chuyên sản xuất độc quyền 2 loại sản
phẩm võng xếp và giường xếp. Thông tin do xưởng sản xuất cung cấp như sau :
Q1 : Số lượng võng xếp, giá P1 ;
Q2 : Số lượng giường xếp, giá P2 .
Hàm cầu : Q1 = 14 − 41 P1 của võng xếp;

Q2 = 24 − 21 P2 của giường xếp.

Hàm tổng chi phí là: T C = Q1 2 + 5Q1 Q2 + Q2 2 . Trần Hiền nên định giá bán 2 loại

sản phẩm là bao nhiêu để đạt lợi nhuận tối đa?
Ta có:
P1 = 56 − 4Q1 ,
P2 = 48 − 2Q2 .

Hàm doanh thu : T R = Q1 P1 + Q2 P2 ;


2.2. Tổ hợp sản phẩm sản xuất sao cho đạt lợi nhuận tối đa

25

Hàm lợi nhuận :
π = T R − T C = P1 Q2 + P2 Q2 − Q21 − 5Q1 Q2 − Q22
π = (56 − 4Q1 )Q1 + (48 − 2Q2 )Q2 − Q21 − 5Q1 Q2 − Q22
= 56Q1 + 48Q2 − 5Q21 − 3Q22 − 5Q1Q2
 ∂π

n
= 56 − 10Q1 − 5Q2 = 0
∂Q1
1 + 5Q2 = 56
(2.1) ∂π
↔ 10Q
5Q1 + 6Q2 = 48

=
48
−
6Q
−
5Q
=
0
2
1
∂Q2
Q2 ≈ 6; Q1 ≈ 3
( ∂2π
= −10 < 0
∂Q2
1

∂2π
∂Q22

= −6 < 0

∂ 2π
= −5
∂Q1 ∂Q2
∂ 2π
∂π 2
∂π 2
−
×

= (−5)2 − (−10)(−6) = −35 < 0
∂Q1 ∂Q2 ∂K 2 ∂L2
Vậy sản xuất đạt lợi nhuận tối đa ở mức giá là:
P1 = 56 − 4.3 = 44 (đv : 10.000đ) = 440.000đ/1 sản phẩm

P2 = 48 − 2.6 = 36 (đv : 10.000đ) = 360.000đ/1 sản phẩm

Ví dụ 2.6. Cơng ty Vissan sản xuất thịt hộp và lạp xưởng phục vụ Tết âm lịch 2008.
Các thông tin được cho như sau:
- Lạp xưởng : Q1 , giá thị trường P1 = 80.000 đ/ 1kg;
- Thịt hộp : Q2 , giá thị trường P2 = 50.000 đ/ 1kg.
Hàm chi phí cho hai sản phẩm trên là :
T C = 4Q1 2 − 5Q2 2 − 3Q1 Q2 .
Nhà quản trị hỏi : Chọn tổ hợp sản xuất (Q1 , Q2 ) như thế nào để công ty Vissan đạt
lợi nhuận tối đa.
Gọi hàm doanh thu : T R = P1 Q1 + P2 Q2 = 80Q1 + 50Q2 .
Hàm lợi nhuận là : π = T R − T C = 80Q1 + 50Q2 − 4Q21 − 5Q22 − 3Q1 Q2 .

Điều kiện cần để Vissan có lợi nhuận tối đa là:


∂π
= 80 − 8Q1 − 3Q2 = 0
∂Q1
∂π
= 50 − 10Q1 − 3Q2 = 0
∂Q2

8Q1 + 3Q2 = 80
⇔ 3Q

1 + 10Q2 = 50
n