Tìm hiểu lý thuyết điều khiển tuyến tính

Nguyễn Don Phớc

lý thuyết
điều khiển tuyến tính
(In lần thứ t, có sửa đổi v bổ sung)

Nh xuất bản Khoa học vμ Kü thuËt

Hµ Néi 2009


Lời nói đầu

Sau lần xuất bản đầu tiên năm 2002, tác giả đà nhận đợc rất nhiều đóng góp từ
phía bạn đọc để có đợc nội dung với chất lợng tốt hơn cho những lần xuất bản sau ny
ny. Tác giả hy vọng với sự sửa đổi đó, các bạn sinh viên đang theo học các ngnh Điều
khiển tự động, Đo lờng v Tin học công nghiệp, Tự động hóa, học viên cao học, nghiên
cứu sinh thuộc các ngnh liên quan, sẽ có đợc một ti liệu với chất lợng tốt hơn hỗ trợ
cho việc tự học, cũng nh cho việc hiểu kỹ, hiểu sâu bi giảng.
Lý thuyết điều khiển tuyến tính l phần nền tảng cơ bản v quan träng nhÊt cđa Lý
thut ®iỊu khiĨn nãi chung. RÊt nhiỊu các phát triển mới về khái niệm cũng nh
phơng pháp của Điều khiển nâng cao nh ổn định đều, ổn định theo hm mũ, ổn định
ISS, Điều khiển tuyến tính hóa chính xác, Điều khiển thích nghi kháng nhiễu ... ®Ịu cã
®−ỵc sù gỵi ý vỊ t− t−ëng tõ Lý thuyết điều khiển tuyến tính. Nắm vững v lm chủ Lý
thuyết điều khiển tuyến tính sẽ giúp ta có đợc một kiến thức cơ bản chắc chắn để tự tin
tiến sâu hơn vo các lĩnh vực khác của Điều khiển.
So với lần xuất bản thứ nhất, ở lần xuất bản thứ t ny, quyển sách đợc bố cục lại
hon ton bằng việc phân chia các chơng theo chủ đề từng dạng mô hình mô tả hệ
thống đợc sử dụng. Cụ thể l:

Chơng 1 đợc dnh cho phần nhập môn Lý thuyết điều khiển tuyến tính, các
bớc cơ bản cần phải thực hiện khi phải giải quyết một bi toán điều khiển.



Chơng 2 trình by các bớc thực hiện bi toán điều khiển khi mô hình toán học
của đối tợng l mô hình trong miền phức (miền tần số).



Chơng 3 l nội dung các bớc thực hiện bi toán điều khiển ứng với mô hình
trạng thái của đối tợng (điều khiển trong không gian trạng thái).



Chơng 4 l nội dung từng bớc thực hiện bi toán điều khiển khi đối tợng có mô
hình không liên tục, đợc xem nh phần nhập môn của điều khiển số.

trong đó, từng chơng 2, 3 v 4 lại đợc trình by theo đúng thứ tự thực hiện các bớc
một bi toán điều khiển, nh: 1. Công cụ toán học cần thiết, 2. Xây dựng mô hình mô tả
đối tợng, 3. Phân tích đối tợng v 4. Thiết kế bộ điều khiển.
Cũng so với lần xuất bản thứ nhất, ở các lần tái bản sau ny, tác giả đà đa thêm
một số nội dung đợc cho l cần thiết của điều khiển nâng cao, nhng có liên quan đến
mô hình tuyến tính của đối tợng. Các phần đợc bổ sung thêm bao gồm:


Phân tính tính bền vững của hệ tuyến tính có mô hình toán học của đối tợng l
hm truyền.

3





Thuật toán thiết kế bộ điều khiển theo mô hình mẫu.
Phơng pháp tham số hóa Youla, phơng pháp thiết kế bộ điều khiển ổn định
mạnh v ổn định song hnh để điều khiển ổn định bền vững đối tợng tuyến tính
(nguyên lý điều khiển đa mô hình).



Thiết kế bộ điều khiển tuyến tính theo nguyên lý bám tín hiệu mẫu (tracking
control).



Thiết kế bộ điều khiển bù bất định cho đối tợng tuyến tính.



Thiết kế bộ lọc Kalman.

Cuối cùng, quyển sách đà đợc viết với sự giúp đỡ, chia sẻ rất to lớn của những
thnh viên trong gia đình tác giả l vợ Ngô Kim Th, con gái Nguyễn Phớc My v hai
cháu ngoại Bông, Bo. Không có họ chắc chắn quyển sách không thể hon thnh đợc.
Quyển sách còn đợc hoμn thμnh nhê sù cỉ vị, khun khÝch vμ t¹o điều kiện thuận lợi
của các đồng nghiệp trong Bộ môn Điều khiển Tự động, Trờng Đại học Bách khoa, nơi

tác giả đang công tác. Tác giả xin đợc gửi tới gia đình v các bạn lời cám ơn chân
thnh.
Mặc dù đà rất nỗ lực, song chắc không thể không có thiếu sót. Do đó tác giả rất
mong nhận đợc những góp ý sửa đổi, bổ sung thêm của bạn đọc để hon thiện. Th góp
ý xin gửi về:
Trờng Đại học Bách khoa H Nội
Khoa Điện, Bộ môn Điều khiển Tự động

H Nội, ngy 29 tháng 10 năm 2009

4


Mục lục
1

Nhập môn

1.1 Nội dung bài toán điều khiển

11
11

1.1.1 Bài toán có tín hiệu tiền định (Điều khiển tiền định)........................................................ 14
Khái niệm tín hiệu ......................................................................................................... 14
Phân loại tín hiệu tiền định ........................................................................................... 15
Một số tín hiệu tiền định điển hình ................................................................................ 17
Chn cđa tÝn hiƯu (hay hµm sè).................................................................................. 19
1.1.2 Bµi toán có tín hiệu ngẫu nhiên (Điều khiển ngẫu nhiên) ............................................... 21
Khái niệm quá trình ngẫu nhiên.................................................................................... 21

Quá trình ngẫu nhiên dừng và ngẫu nhiên egodic........................................................ 22
1.2 Những cấu trúc cơ bản của hệ thống điều khiển

23

1.2.1 Phân loại hệ thống .......................................................................................................... 23
1.2.2 Xác định tín hiệu điều khiển thích hợp ............................................................................ 24
1.2.3 Sử dụng bộ điều khiển .................................................................................................... 25
Điều khiển hở................................................................................................................ 25
Điều khiển phản hồi trạng thái...................................................................................... 26
Điều khiển phản hồi tín hiệu ra ..................................................................................... 26
Câu hỏi ôn tập và bài tập

27

2

29

Điều khiển liên tục trong miền phức

2.1 Các công cụ toán học

29

2.1.1 Lý thuyết hàm biến phức ................................................................................................. 29
Định nghĩa, khái niệm hàm liên tục, hàm giải tích ........................................................ 29
Tích phân phức và nguyên lý cực đại modulus............................................................. 30
Hàm bảo giác (conform) ............................................................................................... 32
2.1.2 Chuỗi Fourier và phép biến đổi Fourier .......................................................................... 34

Chuỗi Fourier (cho tín hiệu tuần hoàn) ......................................................................... 34
Phép biến đổi Fourier ................................................................................................... 38
2.1.3 Phép biến ®ỉi Laplace..................................................................................................... 46
PhÐp biÕn ®ỉi Laplace cho tÝn hiƯu liªn tục .................................................................. 46
Phép biến đổi Laplace cho tín hiệu không liên tục (biến đổi Z).................................... 48
2.1.4 Phép biến đổi Laplace ngợc.......................................................................................... 49
Biến đổi ngợc hàm hữu tỷ ........................................................................................... 49
Phơng pháp residuence.............................................................................................. 52
2.1.5 Mét øng dơng cđa phÐp biÕn ®ỉi Laplace: Giải phơng trình vi phân ............................ 55
2.2 Xây dựng mô hình toán học

57

2.2.1 Phơng trình vi phân mô tả quan hệ vàora................................................................... 60
2.2.2 Hàm truyền, hàm trọng lợng và hàm quá độ ................................................................ 63
2.2.3 Phép biến đổi sơ đồ khối (đại số sơ đồ khối) .................................................................. 71
Hai khối song song ....................................................................................................... 71
Hai khèi nèi tiÕp ............................................................................................................ 72

5


HƯ cã hai khèi nèi håi tiÕp............................................................................................. 72
Chun nót nèi tÝn hiƯu tõ tr−íc ra sau mét khèi .......................................................... 73
Chun nót nèi tÝn hiƯu tõ sau tíi tr−íc mét khèi ......................................................... 73
Chun nót rÏ nh¸nh tÝn hiƯu tõ tr−íc ra sau mét khèi................................................. 74
Chun nót rÏ nh¸nh tÝn hiƯu tõ sau tíi tr−íc mét khèi ................................................ 74
Chun nót rÏ nh¸nh tõ tr−íc ra sau mét nót nèi ......................................................... 74
Chun nót rÏ nh¸nh tõ sau tíi tr−íc mét nót nèi ........................................................ 75
2.2.4 Sơ đồ tín hiệu và công thức Mason................................................................................. 77

2.2.5 Đồ thị đặc tính tần biênpha ........................................................................................... 83
Khái niệm hàm đặc tính tần .......................................................................................... 83
Xây dựng hàm đặc tính tần bằng thực nghiệm ............................................................. 85
Đồ thị đặc tính tần biênpha ......................................................................................... 86
2.2.6 Đồ thị đặc tính tần logarithĐồ thị Bode ......................................................................... 90
2.2.7 Quan hệ giữa phần thực và ảo của hàm đặc tính tầnToán tử Hilbert ........................... 96
Bài toán thứ nhất: Xác định hàm truyền từ phần thực hàm đặc tính tần....................... 97
Bài toán thứ hai: Xác định hàm truyền từ phần ảo hàm đặc tính tần............................ 99
Toán tử Hilbert: Trờng hợp tổng quát........................................................................ 100
2.2.8 Xây dựng mô hình toán học của các khâu động học cơ bản bằng thực
nghiệm chủ động........................................................................................................... 102
Khâu quán tính bậc nhất............................................................................................. 103
Khâu tích phânquán tính bậc nhất ............................................................................ 104
Khâu tích phânquán tính bậc n ................................................................................. 105
Khâu quán tính bậc hai ............................................................................................... 107
Khâu quán tính bậc cao .............................................................................................. 109
Khâu (bù) Lead/Lag .................................................................................................... 111
Khâu dao động bËc hai............................................................................................... 114
Kh©u chËm trƠ (kh©u trƠ) ............................................................................................ 115
2.2.9 Ma trận hàm truyền cho hệ MIMO ................................................................................ 117
2.3 Phân tích hệ thống

118

2.3.1 Những nhiệm vụ cơ bản của công việc phân tích ......................................................... 118
2.3.2 Xác định tính ổn định từ đa thức đặc tính ...................................................................... 120
Mối liên hệ giữa vị trí các điểm cực và tính ổn định của hệ thống .............................. 120
Tiêu chuẩn đại số thứ nhất: Tiêu chuẩn Routh........................................................... 122
Tiêu chuẩn đại số thứ hai: Tiêu chuẩn Hurwitz .......................................................... 127
Tiêu chuẩn đại số thứ ba: Tiêu chuẩn LienardChipart.............................................. 129

Tiêu chuẩn hình học: Tiêu chuẩn Michailov ............................................................... 131
2.3.3 Phân tích chất lợng hệ kín từ hàm truyền của hệ hở................................................... 134
Xét tính ổn định: Tiêu chuẩn Nyquist.......................................................................... 134
Kiểm tra tính ổn định hệ kín nhờ biểu đồ Bode........................................................... 140
Đánh giá sai lệch tĩnh ................................................................................................. 142
Thông số đặc trng của quá trình quá độ: Độ quá điều chỉnh và thời gian quá độ.... 144
Thông số đặc trng của quá trình quá độ: Sai lệch bám............................................ 147
2.3.4 Quan hệ giữa chất lợng hệ thống với vị trí điểm cực và điểm không của hàm
truyền............................................................................................................................. 150
Một số kết luận chung................................................................................................. 150
Điều kiện tồn tại độ quá điều chỉnh ............................................................................ 151
Khâu thông tần vµ hƯ pha cùc tiĨu ............................................................................. 154

6


Phân tích bằng phơng pháp quỹ đạo nghiệm số ...................................................... 156
2.3.5 Phân tích tính bền vững................................................................................................. 161
Đánh giá chất lợng bền vững nhờ hàm nhạy............................................................ 162
Đánh giá tính ổn định bền vững với sai lệch mô hình không có cấu trúc ................... 163
Hệ vừa có tính ổn định bền vững vừa có độ nhạy nhỏ ............................................... 164
Tính ổn định bền vững của hệ bất định có cấu trúc: Tiêu chuẩn Kharitonov ............. 165
Bài toán mở................................................................................................................. 169
2.4 Thiết kế bộ điều khiĨn

170

2.4.1 Chän tham sè cho bé ®iỊu khiĨn PID ........................................................................... 170
Hai phơng pháp xác định tham số PID của ZieglerNichols .................................... 172
Phơng pháp ChienHronesReswick....................................................................... 174

Phơng pháp tổng T của Kuhn................................................................................... 176
Phơng pháp tối u độ lớn.......................................................................................... 177
Phơng pháp tối u ®èi xøng...................................................................................... 183
Chän tham sè PID tèi −u theo sai lệch bám ............................................................... 191
2.4.2 Phơng pháp điều khiển cân bằng mô hình ................................................................. 193
Thiết kế bộ điều khiển cân bằng hµm trun cđa hƯ hë (loop shaping) .................... 193
ThiÕt kÕ bộ điều khiển cân bằng hàm truyền của hệ kín............................................ 196
Điều khiển theo nguyên lý mô hình nội (IMC) ............................................................ 199
Thiết kế bộ điều khiển dự báo Smith cho đối tợng có trễ ......................................... 201
2.4.3 Thiết kế bộ điều khiển theo mô hình mẫu..................................................................... 202
Thuật toán tìm nghiệm phơng trình Euclid................................................................ 204
Thuật toán thiết kế hai bộ điều khiển theo mô hình mẫu ........................................... 205
2.4.4 Tập các bộ điều khiển làm ổn định đối tợng và khái niệm ổn định mạnh, ổn
định song hành.............................................................................................................. 207
Một số khái niệm cơ bản............................................................................................. 207
Nội dung phơng pháp tham số hóa Youla ................................................................ 208
Khả năng điều khiển ổn định mạnh (strongly stable) ................................................. 212
Bộ điều khiển ổn định song hành (simultane stable).................................................. 213
2.4.5 Điều khiển tách kênh..................................................................................................... 216
Tách kênh trong toàn bộ miền thời gian ..................................................................... 216
Tách kênh trong chế độ xác lập ................................................................................. 217
Câu hỏi ôn tập và bài tập

3

Điều khiển liên tục trong miền thời gian

3.1 Công cụ toán học

218

229
229

3.1.1 Những cấu trúc đại số cơ bản ....................................................................................... 229
Nhóm .......................................................................................................................... 229
Vành............................................................................................................................ 230
Trờng......................................................................................................................... 230
Không gian vector....................................................................................................... 231
Không gian vector con ................................................................................................ 232
Đa tạp tuyến tính......................................................................................................... 233
Đại số.......................................................................................................................... 233
Ideale .......................................................................................................................... 233
3.1.2 Đại số ma trËn ............................................................................................................... 234

7


Các phép tính với ma trận........................................................................................... 235
Định thức của ma trận................................................................................................. 236
Hạng của ma trận ....................................................................................................... 238
Ma trận nghịch đảo ..................................................................................................... 238
Vết của ma trận........................................................................................................... 239
Ma trận là một ánh xạ tuyến tính ................................................................................ 240
Phép biến đổi tơng đơng......................................................................................... 240
Không gian nhân và không gian ảnh của ma trận...................................................... 241
Giá trị riêng và vector riêng......................................................................................... 242
Chuẩn của vector và ma trận...................................................................................... 244
Ma trận có các phần tử phụ thuộc thời gian................................................................ 245
3.2 Xây dựng mô hình toán học

245

3.2.1 Phơng trình trạng thái .................................................................................................. 245
Cấu trúc chung............................................................................................................ 245
Quan hệ giữa mô hình trạng thái và hàm truyền ........................................................ 249
3.2.2 Quỹ đạo trạng thái......................................................................................................... 255
Ma trận hàm mũ và cách xác định.............................................................................. 256
Nghiệm của phơng trình trạng thái có tham số không phụ thuộc thời gian .............. 262
Nghiệm của phơng trình trạng thái phụ thuộc thời gian............................................ 264
Quá trình cỡng bức và quá trình tự do ...................................................................... 266
3.3 Phân tích hệ thống

267

3.3.1 Những nhiệm vụ cơ bản của công việc phân tích ......................................................... 267
3.3.2 Phân tích tính ổn định.................................................................................................... 268
Phân tích tính ổn định BIBO........................................................................................ 268
Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov Hàm Lyapunov ......................................................... 271
3.3.3 Phân tích tính điều khiển đợc ...................................................................................... 276
Khái niệm điều khiển đợc và điều khiển đợc hoàn toàn ......................................... 276
Các tiêu chuẩn xét tính điều khiển đợc cho hệ tham số hằng.................................. 280
Tiêu chuẩn xét tính điều khiển ®−ỵc cho hƯ tham sè phơ thc thêi gian.................. 284
3.3.4 Phân tích tính quan sát đợc......................................................................................... 289
Khái niệm quan sát đợc và quan sát đợc hoàn toàn .............................................. 289
Một số kết luận chung về tính quan sát đợc của hệ tuyến tính ................................ 290
Tính đối ngẫu và các tiêu chuẩn xét tính quan sát đợc của hệ tham số hằng ......... 293
3.3.5 Phân tích tính động học không...................................................................................... 295
3.4 Thiết kế bộ điều khiển

297

3.4.1 Bộ điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực........................................................... 297
Đặt vấn đề và phát biểu bài toán ................................................................................ 297
Phơng pháp Ackermann ........................................................................................... 298
Phơng pháp Roppenecker ........................................................................................ 304
Phơng pháp modal phản hồi trạng thái..................................................................... 308
3.4.2 Điều khiển tách kênh..................................................................................................... 317
Bộ điều khiển phản hồi trạng thái tách kênh FalbWolovich...................................... 317
Bộ điều khiển tách kênh SmithMcMillan................................................................... 321
3.4.3 Điều khiển phản hồi trạng thái tối u ............................................................................ 324
Điều kiện cần và các bớc tổng hợp bộ điều khiển tối u .......................................... 324
Bàn về tính ổn định của hệ kín tối u và bài toán mở................................................. 330

8


Phơng pháp tìm nghiệm phơng trình Riccati........................................................... 332
3.4.4 Điều khiển bám (tracking control) bằng phản hồi trạng thái ........................................ 334
3.4.5 Điều khiển phản hồi trạng thái thích nghi...................................................................... 337
Trờng hợp đối tợng đà có chất lợng mong muốn khi không có nhiễu .................. 338
Trờng hợp tổng quát ................................................................................................. 340
3.4.6 Điều khiển phản hồi tín hiệu ra ..................................................................................... 341
Đặt vấn đề................................................................................................................... 341
Bộ quan sát Luenberger ............................................................................................. 344
Giảm bậc bộ quan sát Luenberger ............................................................................. 346
Bé quan s¸t Kalman ................................................................................................... 347
ThiÕt kÕ bé điều khiển tối u phản hồi đầu ra LQG.................................................... 350
Kết luận về chất lợng hệ kín: Nguyên lý tách ........................................................... 351
Điều khiển kháng nhiễu bằng phản hồi đầu ra........................................................... 355

3.4.7 Lo¹i bá sai lƯch tÜnh b»ng bé tiỊn xư lý ......................................................................... 356
3.4.8 Hiện tợng tạo đỉnh (peak) và bài toán chọn điểm cực................................................. 359
Câu hỏi ôn tập và bài tập

4

Điều khiển hệ không liên tục

4.1 Tín hiệu và công cụ toán học

364

371
371

4.1.1 Tín hiệu không liên tục đều ........................................................................................... 371
Mô tả quá trình trích mẫu ............................................................................................ 371
DÃy số, tính hội tụ và giá trị giới hạn........................................................................... 372
4.1.2 Công cụ toán học .......................................................................................................... 374
Phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT)............................................................................ 374
Phép biến đổi Z thuận................................................................................................. 377
Phép biến đổi Z ngợc................................................................................................ 380
Chuỗi và tính hội tụ của chuỗi .................................................................................... 383
4.1.3 Phép biến đổi z.............................................................................................................. 384
4.2 Xây dựng mô hình toán học

386

4.2.1 Khái niệm hệ không liên tục .......................................................................................... 386
4.2.2 Phơng trình sai phân, hàm trọng lợng và hàm truyền ............................................... 387

Phơng trình sai phân................................................................................................. 387
DÃy giá trị hàm trọng lợng (hàm trọng lợng)........................................................... 390
Hàm truyền ................................................................................................................. 390
Một số kết luận chung................................................................................................. 393
4.2.3 Mô hình trạng thái ......................................................................................................... 394
Xác định mô hình trạng thái từ phơng trình sai phân................................................ 394
Xác định mô hình trạng thái từ hàm truyền................................................................. 396
Xác định mô hình trạng thái hệ không liên tục từ mô hình trạng thái hệ liên tục........ 396
Xác định hàm truyền từ mô hình trạng thái................................................................. 398
Xác định hàm trọng lợng từ mô hình trạng thái......................................................... 399
4.2.4 Đại số sơ đồ khối hệ không liªn tơc .............................................................................. 399
Hai khèi nèi tiÕp: ......................................................................................................... 400
Hai khèi song song: .................................................................................................... 400
HÖ håi tiÕp:.................................................................................................................. 400

9


4.3 Phân tích hệ không liên tục

404

4.3.1 Phân tích tính ổn định.................................................................................................... 404
Quá trình tự do, điều kiện cần và đủ để hệ ổn định.................................................... 404
Tiêu chuẩn SchurCohn-Jury ..................................................................................... 407
Sử dụng các tiêu chuẩn xét tính ổn định hệ liên tục ................................................... 410
Tiêu chuẩn Nyquist ..................................................................................................... 413
4.3.2 Tính điều khiển đợc và quan sát đợc ........................................................................ 415
Phân tích tính điều khiển đợc.................................................................................... 415
Phân tích tính quan sát đợc ...................................................................................... 417

4.3.3 Chu kỳ trích mẫu và chất lợng hệ thống...................................................................... 421
Hiện tợng trùng phổ .................................................................................................. 421
Chọn chu kỳ trích mẫu để ®ång nhÊt ®iĨm cùc .......................................................... 422
Quan hƯ gi÷a chu kú trích mẫu và tính điều khiển đợc, quan sát đợc .................... 422
Quan hệ giữa chu kỳ trích mẫu và tính ổn định .......................................................... 423
4.4 Thiết kế bộ điều khiển

424

4.4.1 Chọn tham sè cho bé ®iỊu khiĨn PID sè....................................................................... 424
CÊu tróc bộ điều khiển PID số .................................................................................... 424
Xác định tham số cho PID số bằng thực nghiệm ....................................................... 425
4.4.2 Các phơng pháp thiết kế trong miền tần số ................................................................ 427
Sử dụng ánh xạ lỡng tuyến tính để thiết kế bộ điều khiển........................................ 427
Thiết kế bộ điều khiển không liên tục theo mô hình mẫu ........................................... 430
Thiết kế bộ điều khiển deadbeat............................................................................... 431
4.4.3 Các phơng pháp thiết kế trong miền thời gian ............................................................ 435
Điều khiển phản hồi trạng thái gán điểm cực ............................................................. 435
Bộ quan sát trạng thái tiệm cận và kỹ thuật giảm bậc bộ quan sát............................ 435
Thiết kế bộ lọc Kalman (quan sát trạng thái Kalman) ................................................ 437
Điều khiển phản hồi đầu ra theo nguyên lý tách ........................................................ 440
Thiết kế bộ điều khiển deadbeat............................................................................... 441
4.4.4 Nhập môn điều khiển dự báo ........................................................................................ 443
Nguyên tắc chung của điều khiển dự báo (MPCmodel predictive control)............... 443
Điều khiển dự báo hệ SISO trong miền phức ............................................................. 443
Điều khiển dự báo hệ MIMO trong không gian trạng thái........................................... 446
Câu hỏi ôn tập và bài tập

447

ảnh Laplace và ảnh Z của một số tín hiệu cơ bản

451

Tài liệu tham khảo

452

10


1

Nhập môn

1.1 Nội dung bài toán điều khiển
Điều khiển hệ thống đợc hiểu l bi toán can thiệp vo đối tợng điều khiển để
hiệu chỉnh, để biến đổi sao cho nó có đợc chất lợng mong muốn. Nh vậy rõ rng khi
thực hiện một bi toán điều khiển, ta cần phải tiến hnh các bớc sau đây:
1) Xác định khả năng can thiệp từ bên ngoi vo
đối tợng. Vì đối tợng giao tiếp với môi
trờng bên ngoi bằng tín hiệu vora nên chỉ
có thể thông qua tín hiệu vora ny mới có
thể can thiệp đợc vo nó. Nh vậy phải hiểu
rõ bản chất tín hiệu đối tợng l tiền định,
ngẫu nhiên, liên tục hay không liên tục.

Bắt đầu

Xác định loại

tín hiệu

2) Sau khi đà hiểu rõ bản chất, phơng tiện can
thiệp đối tợng thì bớc tiếp theo phải xây
dựng mô hình mô tả đối tợng. Hình thức mô
tả đợc dùng nhiều trong điều khiển l mô
hình toán học biểu diễn mối quan hệ giữa tín
hiệu votrạng tháitín hiệu ra.
3) Với mô hình toán học đà có, tiếp theo ta phải
xác định xem đối tợng hiện đà có những tính
chất gì, các đặc tính no cần phải sửa đổi v
sửa đổi nh thế no để hệ có đợc chất lợng
nh ta mong muốn. Nói cách khác l phải
phân tích hệ thống vμ ph¶i chØ râ tõng nhiƯm
vơ cđa sù can thiƯp.
4) Khi đà xác định đợc từng nhiệm vụ cụ thể cho
viÖc can thiÖp ta sÏ tiÕn hμnh thùc hiÖn viÖc
can thiệp đó m cụ thể l phải xác định tín
hiệu kích thích ở đầu vo một cách thích hợp,
hoặc phải thiết kế bộ điều khiển để tạo ra đợc
tín hiệu đầu vo thích hợp đó.

Xây dựng mô
hình toán học
Phân tích hệ
thống
Xác định tín hiệu
điều khiển hoặc thiết
kế bộ điều khiển

Không tốt

Đánh giá chất
lợng
Tốt
Kết thúc

Hình 1.1: Trình tự các bớc thực
hiện một bài toán điều khiển

11


5) Cuối cùng, do kết quả thu đợc hon ton đợc xây dựng trên nền mô hình toán học
đà có của đối tợng, song ở thực tế lại đợc áp dụng với đối tợng thực, nên cần
thiết phải đánh giá lại chất lợng của kết quả can thiệp khi chúng lm việc thực với
đối tợng. Nếu điều đó cũng mang lại chất lợng nh mong đợi thì ta kết thúc bi
toán điều khiển. Ngợc lại, ta phải quay lại từ đầu với bớc 1) hoặc 2).
Hình 1.1 cho ta một cái nhìn tổng quan về các bớc phải thực hiện trong một bi
toán điều khiển. Có thể thấy rằng kết quả bi toán điều khiển phụ thuộc rất nhiều vo
bớc xây dựng mô hình toán học mô tả đối tợng.
Việc xây dựng mô hình cho đối tợng đợc gọi l mô hình hóa. Ngời ta thờng
phân chia các phơng pháp mô hình hóa ra lm hai loại:


phơng pháp lý thuyết v



phơng pháp thực nghiệm (nhận dạng).

Phơng pháp lý thuyết l phơng pháp thiết lập mô hình dựa trên các định luật có
sẵn về quan hệ vật lý bên trong v quan hệ giao tiếp với môi trờng bên ngoi của đối
tợng. Các quan hệ ny đợc mô tả theo quy luật lýhóa, quy luật cân bằng, dới
dạng những phơng trình toán học. Điều kiện để có thể xây dựng đợc mô hình toán học
theo phơng pháp lý thuyết l phải biết đợc cấu trúc vật lý bên trong hệ thống v các
phơng trình cân bằng hóalý giữa các thnh phần bên trong đó.
Ví dụ 1.1: Xây dựng mô hình bằng phơng pháp lý thuyết

Chẳng hạn ta phải xây dựng mô hình cho đối tợng l một chiếc xe chuyển hng.
Tín hiệu đầu vo tác động để đẩy xe l lực u(t). Dới tác động của lực u(t) xe sẽ đi đợc
quÃng đờng ký hiệu bởi y(t). Hình 1.2 mô tả cấu trúc vật lý bên trong hệ.
Khi xe chuyển ®éng sÏ cã hai lùc c¶n trë sù
chun ®éng cđa xe (bá qua ma s¸t tÜnh). Thø
nhÊt lμ lùc ma sát động xác định bởi:
Fs = d

dy
,
dt

d l hệ số ma sát động

my
dy
u(t)

m

v thứ hai l lực cản trở sự thay ®ỉi tèc ®é

Fgt = m

d2 y
dt

2

, m lμ khèi lợng của xe.

y(t)

Hình 1.2: Hệ thống xe chuyển hàng.

Từ hai phơng trình cân bằng hóalý trên, cũng nh theo nguyên tắc bảo ton năng
lợng chung, ta có đợc mô hình mô tả đối tợng, tức l mô tả quan hệ gi÷a tÝn hiƯu vμo
u(t) vμ tÝn hiƯu ra y(t) nh− sau (gọi l mô hình vora):
m

12

d2 y
dt

2

+d

k
dy
1

m
= u hm trun G( s) =
vμ T =
.
víi k =
dt
s(1 + Ts)
d
d

S


Trong các trờng hợp m ở đó sự hiểu biết về những quy luật giao tiếp bên trong đối
tợng cũng về mối quan hệ giữa đối tợng với môi trờng bên ngoi không đợc đầy đủ
để có thể xây dựng đợc một mô hình hon chỉnh, nhng ít nhất từ đó có thể cho biết các
thông tin ban đầu về mô hình thì tiếp theo ngời ta phải áp dụng phơng pháp thực
nghiệm để hon thiện nốt việc xây dựng mô hình đối tợng trên cơ sở quan sát tín hiệu
vo v ra của đối tợng sao cho mô hình thu đợc thỏa mÃn các yêu cầu của phơng
pháp lý thuyết đề ra. Phơng pháp thực nghiệm đó đợc gọi l nhận dạng. Khái niệm
nhận dạng (identification) đợc Zadeh định nghĩa cụ thể nh sau:
Định nghĩa 1.1 (Nhận dạng): Nhận dạng l phơng pháp thực nghiệm để xác định một mô
hình cụ thể trong lớp các mô hình thích hợp, sao cho sai lệch giữa mô hình đó với hệ
thống lμ nhá nhÊt.
Nh− vËy cã thĨ thÊy bμi to¸n nhËn dạng có ba đặc điểm để nhận biết. Đó l:


thực nghiệm, nhận biết qua việc đo các tín hiệu vo v ra,

lớp các mô hình thích hợp, có đợc từ những thông tin ban đầu về hệ thống (gọi
chung lại l thông tin Apriori),



sai lệch giữa mô hình có đợc v hệ thống l nhỏ nhất, đợc nhận biết từ hm mục
tiêu mô tả sai lệch v đợc thực hiện bằng phơng pháp tối u.

Những phơng pháp xác định mô hình toán bằng thực nghiệm, song không có sự đánh
giá sai lệch giữa mô hình v hệ thống v không cần phải tìm nghiệm tối u để có đợc
mô hình với sai lệch nhỏ nhất, đợc gọi l phơng pháp xấp xỉ mô hình (model
estimation).
Tuy nhiên, từ nhiều lý do, chẳng hạn nh vì đà bỏ qua các giả thiết phải có cho các
định luật cân bằng đợc áp dụng, hay bỏ qua sự tác động của nhiễu trong quá trình đo
tín hiệu vo v ra, ta không thể hy vọng rằng mô hình thu đợc, cho dù bằng lý thuyết
hay thực nghiệm, l mô tả tuyệt đối chính xác hệ thống. Nói cách khác, giữa mô hình v
hệ thống thực luôn tồn tại sai lệch nhất định v sai lệch ny cũng luôn thay đổi theo thời
gian lm việc, theo điều kiện môi trờng xung quanh . Bởi vậy, thông thờng ngời ta
cũng đà rất thỏa mÃn, nếu có đợc một mô hình vừa có cấu trúc đơn giản, vừa mô tả đủ
chính xác đối tợng với một số giả thiết nhất định. Nhng điều ny cũng dẫn đến khả
năng kết quả thu đợc (bộ điều khiển) bị phụ thuộc vo những giả thiết ny v khi
chúng không còn đợc thỏa mÃn, chẳng hạn nh khi hệ thống thay đổi môi trờng lm
việc, hoặc khi có những tác động kh«ng l−êng tr−íc cđa m«i tr−êng xung quanh vμo hƯ
thèng thì chúng sẽ không còn đúng nữa v ta lại phải thực hiện lại bi toán điều
khiển từ đầu với các bớc đà nêu ở hình 1.1.
Nhằm hạn chế việc phải thực hiện lại từ đầu bi toán điều khiển chỉ vì không lờng
trớc đợc những sai lệch có thể có giữa mô hình v đối tợng thực, ngời ta đà phải giả
định có sự tồn tại sai lệch nμy ngay khi ph©n tÝch vμ khi thiÕt kÕ bé điều khiển. Đó cũng
chính l nội dung của hai chuyên ngμnh riªng cã tªn gäi lμ:

13




Điều khiển bền vững: Tạo ra đợc một bộ điều khiển mang lại chất lợng mong
muốn cho một tập hợp các mô hình của hệ thống (chứ không chỉ riêng cho một mô
hình), hoặc với một mô hình có chứa sai lệch bất định bị chặn.



Điều khiển thích nghi: Tạo ra đợc bộ điều khiển có khả năng tự chỉnh ®Þnh, tù
thay ®ỉi theo sù thay ®ỉi cđa sai lƯch (không bị chặn) giữa mô hình v đối tợng
thực, sao cho chất lợng của hệ thống không bị thay đổi.

Quyển sách ny sẽ trình by chi tiết từng bớc khi thực hiện một bi toán điều
khiển tuyến tính. Tuy nhiên, do các công cụ toán học đợc sử dụng phải phù hợp với kiểu
mô hình toán học thu đợc cũng nh chủng loại tín hiệu tác động vo hệ thống, nên các
bớc thực hiện sẽ đợc trình by theo ba dạng điển hình, cụ thể l:


Chơng 2 với các bớc thực hiện bi toán điều khiển khi mô hình thu đợc l một
mô hình trong miền phức (đối tợng điều khiển đợc mô tả bằng phơng trình đại
số trong miền phức).



Chơng 3 l nội dung các bớc thực hiện bi toán điều khiển ứng với lớp các mô
hình trạng thái (đối tợng điều khiển đợc mô tả bằng hệ các phơng trình vi

phân trong miền thời gian).



Chơng 4 l nội dung từng bớc thực hiện bi toán điều khiển khi tín hiệu vora
tác động lên đối tợng điều khiển, hay hệ thống điều khiển l loại tín hiệu không
liên tục, hoặc l tín hiệu số.

1.1.1

Bài toán có tín hiệu tiền định (Điều khiển tiền định)

Khái niệm tín hiệu

Định nghĩa 1.2 (TÝn hiƯu): TÝn hiƯu lμ mét hc nhiỊu hμm thêi gian, mang thông tin vật
lý v đợc truyền tải bằng một đại lợng vật lý (khác).
Nh vậy tín hiệu có ba đặc điểm để nhận biết. Đó l:


đợc mô tả b»ng mét (hc nhiỊu) hμm thêi gian x(t),

−

hμm thêi gian đó phải mang một thông tin vật lý nhất định,



v hm đó phải truyền tải đợc cũng bằng một đại lợng vật lý.

Ví dụ 1.2: Minh họa khái niệm tín hiệu

14

Để điều khiển một bình nớc sao cho mực nớc trong bình luôn l hằng số không
đổi thì độ cao cột nớc trong bình sẽ l một trong những thông số kỹ thuật đợc
quan tâm của hệ thống. Giá trị về độ cao cột nớc tại thời điểm t đợc đo bởi cảm
biến v đợc biểu diễn thnh một đại lợng điện áp dới dạng hm số phụ thuộc
thời gian u(t) có đơn vị l Volt. Đại lợng vật lý ở đây l điện áp đà đợc sử dụng
để truyền tải hm thời gian u(t) mang thông tin về độ cao cét n−íc.




Để điều khiển nhiệt độ thì tất nhiên nhiệt độ hiƯn thêi lμ mét th«ng sè kü tht
cđa hƯ thèng đợc quan tâm. Giá trị nhiệt độ tại thời điểm t dới dạng giá trị của
hm số phụ thuộc thời gian i(t) đợc đo bởi cảm biến v đợc biểu diễn thnh một
đại lợng dòng điện có đơn vị l Ampe. Nh− vËy tÝn hiÖu i(t) lμ mét hμm thêi gian
mang thông tin về nhiệt độ trong phòng tại thời điểm t v đợc truyền tải bởi đại
lợng vật lý l dòng điện.



Tiếng nói l một đại lợng vật lý. Tiếng nói đợc biến đổi thnh dòng điện l một
đại lợng vật lý khác để truyền hữu tuyến đi xa. Dòng điện đợc mô tả bằng một
hm thời gian i(t). Nh vậy hm thời gian i(t) ở đây l một tín hiệu, nó mang

S

thông tin của tiếng nói v đợc truyền tải nhờ dòng điện.

Nếu trong đối tợng có nhiều tÝn hiÖu x 1 (t), x 2 (t), … , x n (t) đợc quan tâm cùng
một lúc thì sau ®©y ta sÏ sư dơng ký hiƯu vector:
T
x(t) = ( x 1 (t), x 2 (t), … , x n (t) )

®Ĩ chØ chóng, trong ®ã chØ sè mị T lμ ký hiƯu cđa phÐp chun vÞ vector (hay ma trận).
Phân loại tín hiệu tiền định

Tín hiệu tiền định l tín hiệu nêu ở định nghĩa 1.2, nhng đợc mô tả chỉ bằng một
hm thời gian x(t). Do đợc mô tả bằng hm thời gian nên dựa vo tính chất của hm
thời gian đó ngời ta đà phân loại tín hiệu thnh từng cặp phạm trù nh sau:
1) liên tục v không liên tục (phân loại thông qua miền xác định t R ). Một tín hiệu
đợc gọi l liên tục, nếu hm x(t) mô tả nó liên tục từng đoạn, ngợc lại nó đợc gọi
l tín hiệu không liên tục. Khái niệm hm x(t) liên tục trong một đoạn đợc hiểu l
nó liên tục tại mọi điểm trong đoạn đó, tức l với mọi t0 thuộc đoạn đó luôn cã:
x( t0 ) = lim x( t ) = x( t0 − 0) = x( t0 + 0)
t → t0

vμ giới hạn ny không phụ thuộc chiều tt 0 từ bên trái sang (luôn có thiệu bởi x(t 0 0), hay từ bên phải tới (luôn có t>t 0 ), đợc ký hiệu l x(t 0 +0).
Tín hiệu không liên tục đợc mô tả bởi dÃy các gía trị {x k }, k=,1,0,1, của nó.
2) tơng tự v rời rạc (phân loại thông qua miền giá trị x R ). Tín hiệu tơng tự l tín
hiệu m hm x(t) mô tả nó có miền giá trị tạo thnh từng khoảng liên thông, ngợc
lại nó sẽ đợc gọi l tín hiệu rời rạc. Chẳng hạn tín hiệu có giá trị chỉ l những số
hữu tỷ l tín hiệu rời rạc.
3) tuần hon v không tuần hon. Tín hiệu x(t) đợc gọi l tuần hon nếu tồn tại hằng
số T để có x(t+T)=x(t), t. Hằng số T đợc gọi l chu kỳ của tín hiệu tuần hon.
4) nhân quả v phi nhân quả (causal v uncausal). Tín hiệu nhân quả l hm x(t) thỏa

mÃn x(t)=0 khi t<0, ngợc lại nó sẽ đợc gọi l phi nhân quả.

15


Việc phân chia chúng thnh từng cặp nh vậy để nói rằng một tín hiệu không thể
có các tính chất trong cùng một cặp. Chẳng hạn không thể có tín hiệu vừa tơng tự, vừa
rời rạc, song lại có tín hiệu vừa không liên tục v vừa rời rạc. Tín hiệu không liên tục v
rời rạc đợc gọi l tín hiệu số.
x(t)

x(t)
4,5
4,1
3,7
3
2

t

t

Liên tụctơng tự

Liên tụcrời rạc

x(t)

x(t)
4,2

3,8

t
T

2T

t

2

3T

Không liên tụctơng tự

T

2T

3T

Không liên tụcrời rạc (tín hiệu số)

Hình 1.3: Các dạng tín hiệu cơ bản khác nhau.

Hình 1.3 minh họa bốn dạng cơ bản của tín hiệu causal. Bốn kiểu tín hiệu trên chỉ
l sự phân loại cơ bản theo miền xác định hoặc theo miền giá trị của x(t). Trên cơ sở bốn
kiểu phân loại cơ bản đó m một tín hiệu x(t) khi đợc để ý chung đồng thời tới cả miền
xác định v miền giá trị có thể l:

dạng tín hiệu liên tụctơng tự,



dạng tín hiệu không liên tụctơng tự,



dạng tín hiệu liên tụcrời rạc,



dạng tín hiệu không liên tụcrời rạc,

Ví dụ 1.3: Khái niệm tín hiệu không liên tụcrời rạc (tín hiệu số)

Giả sử ta có tín hiệu liên tụctơng tự x(t). Để xử lý tín hiệu x(t) bằng những thuật
toán chạy trên máy tính ngời ta cần phải trích mẫu tín hiệu tại những điểm thời gian
cách đều nhau T a đợc gọi l thời gian trích mẫu. Nếu dÃy các giá trị tín hiệu { x k } ,
k=,1,0,1, thu đợc với x k = x(kT a ) đợc xem nh một tín hiệu thì do miền xác
định của { x k } l tập điểm đếm ®−ỵc

16


{ t = k T a ⏐ k ∈ Z} ,

Z l ký hiệu chỉ tập các số nguyên

không liên thông, tức l không tạo ra đợc một khoảng bất kỳ no để nên dÃy { x k } liên
tục tại các điểm trong đó, nên { x k } l tín hiệu có dạng không liên tụctơng tự.
Tín hiệu không liên tục tơng tự { x k } vẫn cha thể xử lý đợc bằng máy tính bởi
máy tính chỉ lm việc đợc với số hữu tỷ trong mét kho¶ng cho phÐp, trong khi x k cã thĨ
lμ mét sè thùc bÊt kú (vÝ dơ nh− sè v« tỷ

2,

3 , , ). Hơn nữa, miền giá trị cho phép

của các số hữu tỷ còn phụ thuộc máy tính, ngôn ngữ lập trình. Chẳng hạn biến thực kiểu
double của ngôn ngữ lập trình C chỉ lm việc đợc với những số hữu tỷ trong khoảng
308

từ 1,710

4932

1,110

đến 1,710308 hoặc với biến kiểu long double thì khoảng cho phép l từ

đến 1,1104932.

Bởi vậy bớc tiếp theo cần phải lm l xấp xỉ các giá trị xk thnh số hữu tỷ gần
nhất, ký hiƯu lμ xk , nh−ng kh«ng n»m ngoμi miỊn cho phÐp. ViÖc xÊp xØ { x k } thμnh

{ xk } vô hình chung đà rời rạc hóa miền giá trị của x ( t ). Miền giá trị của { xk } bây giờ
l tập các số hữu tỷ (các điểm không liên thông). Ví dụ

{ xk Q ⏐ −1,7⋅10−308 ≤ xk ≤ 1,7⋅10308} ,

Q lμ tËp các số hữu tỷ

v do đó dÃy { xk } l tín hiệu không liên tục rời rạc (tín hiệu số).

S

Một số tín hiệu tiền định điển hình

Trong vô số các các tín hiệu với nhiều dạng khác nhau, điều khiển tuyến tính có
một sự quan tâm đặc biệt đến một số tín hiệu điển hình thờng gặp trong ứng dụng
(hình 1.4). Đó l các tín hiệu bậc thang (Heaviside), tín hiệu tăng đều, tín hiệu xung
vuông v hm xung dirac. Tất cả các loại tín hiệu ny đều có một điểm chung l causal
(nhân quả), tức l x ( t )=0 khi t < 0 .
1) TÝn hiÖu bwớc nhảy đơn vị (còn gọi l hm Heaviside) định nghÜa bëi
⎧1 khi t ≥ 0
1(t) = ⎨
⎩0 khi t < 0

Cho mét tÝn hiÖu x ( t ) bÊt kỳ. Nếu x ( t ) liên tục, khả vi tõng khóc vμ cã giíi h¹n
lim x( t ) <

(tức l bị chặn)

t

thì nó biểu diễn đợc thông qua hμm Heaviside nh− sau:
x(t) = x( −∞ ) +

∞

∫

−∞

dx(τ )
1( t )d
dt

2) Tín hiệu điều hòa: x( t ) = A sin(ω t ) vμ y( t ) = B cos(ω t )
17


3) Tín hiệu tăng đều đợc xác định qua công thøc
⎧t khi t ≥ 0
r(t) = t1(t) = ⎨
⎩0 khi t < 0

4) Tín hiệu xung vuông, định nghĩa bởi
1( t ) − 1( t − Ta )
Ta

r a (t) =

1(t)

r a (t)

r(t)

Tăng đều

Bậc thang
1

t

1
Ta

Xung vuông

t

t
Ta

Hình 1.4: Các tín hiệu bậc thang, tăng đều và xung vuông.

5) Hm xung dirac (cßn gäi lμ hμm më réng delta)

1( t ) − 1( t − Ta )
d
1( t ) = lim ra ( t ) = lim
Ta →0
Ta →0
dt
Ta

δ(t) =

(1.1)

Mét tÝn hiÖu x(t) tïy ý, liªn tơc víi − ∞ < t < ∞ thĨ xÊp xØ thμnh (h×nh 1.5):
x( t ) ≈

∞

∑ x( kTa ) ra ( t − kTa )Ta

k =−∞

Bëi vËy víi T a → 0 ta sÏ cã (dÊu tỉng ∑ chun thμnh tÝch ph©n ∫ vμ T a thμnh d τ ):
x( t ) =

∞

∫

x(τ )δ ( t − τ )dτ

−∞

⇔

x( t0 ) =

∞

∞

−∞

−∞

∫ δ ( t − t0 ) x( t )dt = ∫ δ ( t ) x( t − t0 )dt

(1.2)

D o hμm 1(t) không liên tục tại 0, tức l tại đó không tồn tại đạo hm, nên định nghĩa
(1.1) không chặt chẽ. Bởi vậy nó thờng đợc thay bằng (1.2) v khi ®ã ng−êi ta gäi nã lμ
hμm më réng delta. Chó ý: hμm delta (hay xung diac) kh«ng mang ý nghÜa vật lý, nên nó
không phải l tín hiệu. Ngoi ra, từ công thức định nghĩa (1.2) ta dễ dng thấy ®−ỵc:
∞

∫ δ ( t )dt = 1 (thay x(t)=1) vμ do ®ã cịng cã x(t) δ (t−t 0 )=x(t 0 ) (t)



x(t)

Hình 1.5: Xung dirac và xấp xỉ
tín hiệu bất kỳ nhờ hàm
xung vuông.

18

Ta

Xấp xỉ nhờ xung vuông

(t)

Hàm xung dirac


Bên cạnh (1.1), (1.2) ngời ta còn sử dụng hm xung dirac dới những dạng công
thức định nghĩa khác nhau nh sau (xem thêm mục 2.1.2 của chơng 2, trang 42):

δ (t) =

1
2π

∞

∫

1
a→∞ 2π

cos(ω t )dω = lim

−∞

a

∫

sin( at )

πt
a→∞

cos(ω t )dω = lim

−a

0
Cịng nh− vËy, víi a ≠ 0 th× tõ x(0) = x( ) vμ
a
∞

∞

t/

0

6) Hμm trÝch mÉu (h×nh 1.6): s( t ) =

∑ δ ( t − kTa )

x(0) =

ta cã δ ( at ) =

1

/
/

∫ x( t )δ ( at )dt = a ∫ x( a )δ ( t )dt = x( a )
−∞
−∞

1
δ (t) .
a
∞

H×nh1.6: Đồ thị hàm trích mẫu

k =

Vì xung dirac l hm më réng nªn s(t) cịng lμ mét hμm më réng. Hm trích mẫu
đợc sử dụng để mô tả quá trình trÝch mÉu tÝn hiƯu liªn tơc x(t) thμnh tÝn hiƯu không
liên tục, biểu diễn thnh dÃy giá trị {x k }, k=…,−1,0,1,… víi x k =x(kT a ), trong ®ã Ta l
chu kỳ trích mẫu. Nếu sử dụng định nghĩa (1.2) vỊ hμm më réng cho xung dirac, cịng
nh− hμm mở rộng trích mẫu s(t) trên thì tín hiệu không liên tục {x k } ny sẽ có dạng:
đ.n.

{x k }=x(t)s(t) = x( t )
Nh− vËy x( t ) ={x k } cịng lμ mét hμm më réng.
Chn cđa tÝn hiệu (hay hm số)

Để so sánh các tín hiệu với nhau (lín h¬n, nhá h¬n …), ng−êi ta sư dơng khái niệm
chuẩn của tín hiệu. Mỗi tín hiệu (m bản chÊt to¸n häc chØ lμ mét hμm thêi gian) sÏ đợc
gắn với một số thực không âm phù hợp, gọi l chuẩn của tín hiệu đó. Khi cần phải so
sánh các tín hiệu, ngời ta chỉ cần so sánh chuẩn của chúng với nhau.
Cho tập hợp X các tín hiệu, ký hiệu l x(t). Định nghĩa phép tính cộng:
(x+y)(t) = x(t)+ y(t)

vμ phÐp tÝnh nh©n víi mét sè thùc a (không gian vector trên trờng số thực):
(ax)(t) = ax(t).
Khi đó, kh«ng gian X sÏ lμ mét kh«ng gian vector cã phần tử không x(t)=0.
Nếu trong không gian vector X ta định nghĩa thêm số thực d ( x , y ) để xác định
khoảng cách giữa hai phần tử x(t), y(t) đợc gọi l metric, v số thực ny thỏa m·n:
−

d(x,y)=0 khi vμ chØ khi x ( t ) = y ( t )

−

d(x,y)=d(y,x)

−

d(x,y)+d(y,z)≥ d(x,z)

19


thì không gian vector X đợc gọi l không gian metric.
XÐt kh«ng gian metric X . NÕu cã d·y { x k (t) } c¸c tÝn hiƯu thc X tháa m·n:
lim d( xn , xk ) = 0

n →∞

(n>k)

th× d·y hm { x k (t) } đợc gọi l dÃy Cauchy.
Khác với trờng số thực R , m ở đó mọi dÃy Cauchy đều hội tụ (tới giá trị giới hạn

x no đó cũng thuộc R ) , thì trong không gian metric X nói chung l cha đợc đảm bảo.
Nói cách khác, không phải mọi dÃy Cauchy của các hμm sè cđa mét kh«ng gian metric X
cịng héi tơ tới một hm số no đó thuộc X.
Một không gian metric X đợc gọi l không gian đủ (complete), nếu mọi dÃy Cauchy
trong nó đều hội tụ (tới một phần tử cũng thuộc X).
Một không gian metric X đợc gọi lμ kh«ng gian compact, nÕu mäi d·y { x k (t) } trong
nã ®Ịu chøa mét d·y con héi tơ.
Trong không gian vector X xác định trên trờng số thực R, nếu có thêm ánh xạ,
không nhất thiết phải tuyến tÝnh, ║ ⋅ ║ : X → R tháa m·n:

−
−
−

║ x ║ ≥ 0 vμ ║ x ║ = 0 khi vμ chØ khi x = 0 ,

║ a x ║ = | a | ⋅ ║ x ║ ®óng víi mäi a ∈ R vμ x ∈ X ,
║ x + y ║ ≤ ║ x ║ + ║ y ║ víi mäi x , y ∈ X .

th× giá trị thực x đợc gọi l chuẩn của phần tử x v không gian vector X đợc gäi lμ

kh«ng gian chuÈn. Do X lμ kh«ng gian vector nên từ chuẩn x ta cũng có đợc metric:
d(x,y) = xy

Ngợc lại, một không gian metric cũng sẽ lμ kh«ng gian chn víi ║ x ║ =d ( x , 0 ) ,

nÕu metric cđa nã cßn tháa m·n thªm:

−

d ( x + z , y + z ) = d ( x , y ) , tøc lμ metric bÊt biÕn víi phÐp dÞch chun vector.

−

d ( a x , a y ) = | a | ⋅ d ( x , y ) , tøc lμ nó thuần nhất (homogen).
Trong một không gian X có thể cã nhiỊu lo¹i chn. Hai chn ║ x ║ a v x b của nó

đợc gọi l tơng đơng nếu tồn tại hai số thực m v M để luôn có:
mxb xa Mxb
Các không gian chuẩn thờng gặp l:

1) Không gian L p [a,b] gồm các tín hiệu x ( t ) thực, xác định trên khoảng kín [ a , b ] , có
chuẩn đợc ®Þnh nghÜa lμ:
║ x║ p :=

20

b
p

∫ x( t )

a

p

dt ,

trong ®ã 1≤ p <∞.

2) Không gian L [a,b] l tập hợp các tín hiệu x(t) thực, xác định trên khoảng kín
[ a , b ] , có chuẩn đợc định nghĩa l:
x║ ∞ := sup x( t ) .
a≤ t ≤ b

Đặc biệt, cả hai loại chuẩn trên với ã p trong đó 1 p còn thỏa mÃn:



xy ║ 1 ≤ ║ x ║ p ║ y ║ q nÕu

−

║ x+y ║ p ≤ ║ x ║ p + y p

1 1
+ =1
p q

(định lý Hửlder)

(định lý Minkovski)

Chuẩn bậc 1 của tín hiệu còn đợc gọi l công suất P v chuẩn bậc 2 đợc gọi l
năng lợng E của tín hiệu. Với L p [ −∞ , ∞ ] ng−êi ta th−êng viÕt gän thnh L p .

1.1.2

Bài toán có tín hiệu ngẫu nhiên (Điều khiển ngẫu nhiên)

Khái niệm quá trình ngẫu nhiên

Các tín hiƯu mμ ta ®· lμm quen tõ tr−íc ®Õn nay có chung một đặc điểm l chúng
đều đợc mô tả b»ng mét hμm thêi gian x(t) cơ thĨ. Nh÷ng tÝn hiệu đó đợc gọi l tín
hiệu tiền định. Việc chúng mô tả đợc chỉ bằng một hm thời gian đà nói lên tính tờng
minh rằng trong các hon cảnh cũng nh thời điểm giống nhau ta luôn xác định đợc
cùng một giá trị nh nhau cho tín hiệu.
Những tín hiệu không mô tả đợc tờng minh bằng một hm thời gian cụ thể m
thay vo đó l một tập hợp cđa nhiỊu hμm thêi gian x i (t), cã tªn l tín hiệu ngẫu nhiên.
Tùy vo từng hon cảnh, từng trờng hợp, m tín hiệu ngẫu nhiên sẽ nhận một trong
c¸c hμm x i (t), i ∈ R , thuéc một tập hợp X ( t ) no đó lm mô hình v ngay cả hon cảnh
no, trờng hợp no nó sẽ có mô hình x i (t) ta cũng không biết đợc trớc. Nhiều nhất ta
chỉ có thể biết đợc về xác suất nó đợc mô tả bởi x i (t).
Tập hợp X ( t ) của tất cả các mô
x(t)

hình x i (t) có thể có của tín hiệu ngẫu
nhiên đợc gọi l quá trình ngẫu
nhiên v để mô tả tín hiệu ngẫu nhiên
một cách đầy đủ ta phải mô tả tập hợp

X(t)

t

X ( t ) , bằng cách xác định các tham số

đặc trng về nó.
Có hai tham số thờng đợc sử

dụng để mô tả quá trình ngẫu nhiên
X ( t ) . Đó l:

Hình 1.7: Tín hiệu ngẫu nhiên đợc mô tả
nh là phần tử của một tập hợp các
hàm thời gian có cùng tính chất.

21




Giá trị trung bình m x (t): Tại một điểm thời gian t0 cụ thể thì các hm x i (t 0 ) đều
l những số thực. Giá trị trung bình của tất cả các phần tử x i (t 0 ) lμ m x (t 0 ). Cho t0
ch¹y từ đến thì m x (t 0 ) sÏ trë thμnh hμm m x (t) phô thuéc thêi gian. Sư dơng
ký hiƯu M { ⋅ } ®Ĩ chØ phép tính lấy giá trị trung bình thì m x (t)= M { X ( t ) } .

−

Hμm t−¬ng quan r x (t, ): Tại một điểm thời gian t0 cụ thể thì hm tơng quan
r x (t 0 , ) l giá trị trung bình của tất cả các tích x i (t 0 )x j (t 0 + τ ). Cho t0 biÕn thiªn
nh− t thì hm tơng quan r x (t, ) sẽ lμ mét hμm cña hai biÕn t vμ τ . Nh− vËy, hμm
t−¬ng quan sÏ lμ r x (t, τ )= M { X ( t ) X ( t + ) } .

Quá trình ngẫu nhiên dừng v ngẫu nhiên egodic

Những quá trình ngẫu nhiên X ( t ) thờng gặp trong thực tế l các quá trình ngẫu
nhiên dừng. Đó l loại quá trình ngẫu nhiên m cả hai tham số ngẫu nhiên m x (t) v
r x (t, ) mô tả nó đều không phụ thuộc vo biến thời gian t. Nh vậy, quá trình ngẫu
nhiên dừng có:

Giá trị trung bình m x (t) của nã lμ mét h»ng sè, ký hiÖu lμ m x ∈ R .

−

Hμm t−¬ng quan r x (t, τ ) lμ hμm cđa mét biÕn τ , ký hiƯu lμ r x ( ).
Trong các loại quá trình ngẫu nhiên dừng, ta lại quan tâm nhiều tới quá trình ngẫu

nhiên egodic. Đây l loại quá trình ngẫu nhiên dừng m ở đó, các tham số m x v r x ( )
chỉ cần đợc xác định từ một phần tử x(t) lm đại diện l đủ. Nh vậy thì:



Giá trị trung bình m x của quá trình ngẫu nhiên egodic X ( t ) sẽ l giá trị trung
bình của một phần tử x(t):
1
T T

m x = lim

−

T

∫ x( t )dt

(1.3)

0

Hμm tù t−¬ng quan r x ( ) của quá trình ngẫu nhiên egodic X ( t ) l giá trị trung
bình của tích x ( t ) x ( t + τ ) víi x ( t ) lμ mét phÇn tư tïy ý cđa tËp hỵp X ( t ) :
1
T→ ∞ T

r x ( τ ) = lim

T

∫ x( t ) x( t + τ )dt

(1.4)

0

Trong ®iỊu khiĨn, Ýt khi ta chØ lμm việc với một tín hiệu ngẫu nhiên. Khi phải lm
việc với nhiều tín hiệu ngẫu nhiên thì cần phải để ý tới mối liên quan giữa chúng.
Cho hai quá trình ngÉu nhiªn egodic X ( t ) vμ Y ( t ) . Đặc trng cho sự liên quan giữa
X ( t ) vμ Y ( t ) lμ hμm hỗ tơng quan:

22


r xy ( τ ) = lim

T→ ∞

1

T

T

∫ x( t ) y( t + )dt

(1.5)

0

Hai quá trình ngẫu nhiên cã kú väng b»ng kh«ng X ( t ) vμ Y ( t ) sẽ đợc gọi l không
tơng quan nếu r xy ( )=0. Chẳng hạn nh hai thiết bị phát tín hiệu ngẫu nhiên khác
nhau, có cấu trúc khác nhau sẽ phát ra hai quá trình ngẫu nhiªn X ( t ) , Y ( t ) độc lập với
nhau. Giữa chúng không có một sự liên quan no v do đó phải có r xy ( τ )=0.
Hμm t−¬ng quan r x ( τ ) vμ r xy ( ) của các quá trình ngẫu nhiªn egodic X ( t ) , Y ( t )
luôn thỏa mÃn:



r x ( ) l hm chẵn vμ r x (0) ≥ | r x ( τ ) |

−

r xy ( τ ) = r yx ( − τ )

−

| r xy ( τ ) | ≤

rx (0)ry (0) ≤

rx (0) + ry (0)
2

1.2 Nh÷ng cÊu tróc cơ bản của hệ thống điều khiển
Định nghĩa 1.3 (Hệ thống): Hệ thống đợc hiểu l một tập hợp các phần tử (linh kiện,
thiết bị, thuật toán ), đợc kết nèi víi nhau ®Ĩ thùc hiƯn mét nhiƯm vơ cơ thể. Hệ
thống luôn đợc giao tiếp với môi trờng bên ngoμi b»ng c¸c tÝn hiƯu vμo vμ ra.

Nh− vËy cã ba đặc điểm để nhận biết một hệ thống . Đó l:



l tập hợp gồm nhiều phần tử thực hiện một nhiệm vụ chung,



giữa các phần tử có quan hệ qua lại,



có giao tiếp với môi trờng xung quanh.

1.2.1

Phân loại hƯ thèng

H×nh 1.8 minh häa cÊu tróc mét hƯ thèng gồm 4 phần tử với các đặc điểm nhận biết
trên. Các tín hiệu đầu vo của hệ sẽ đợc viết chung l¹i thμnh vector u = (u1 ,… , um )T .
Tơng tự các tín hiệu đầu ra cũng đợc viÕt chung l¹i thμnh y = ( y1 ,… , y p )T .

Dựa theo các đặc điểm nêu trong định nghĩa 1.3 m hệ thống đợc phân loại thnh:
1) HÖ SISO (single input−single output) , nÕu hÖ cã mét tÝn hiÖu vμo vμ mét tÝn hiÖu ra.
2) HÖ MIMO (multi inputs−multi outputs), nÕu sè tÝn hiƯu vμo ra cđa nã nhiỊu
vμo−nhiỊu ra.
3) Theo nguyªn lý nh− trªn, mét hƯ thống còn có thể l MISO (nhiều vomột ra) hoặc
SIMO (mét vμo−nhiÒu ra).
23


4) Liên tục, nếu các tín hiệu vora u( t ), y( t ) l liên tục, ngợc lại nếu c¸c tÝn hiƯu vμo
ra {uk },{ y } , k = , 1,0,1, l không liên tục hệ sẽ đợc gọi l không liên tục.
k

5) Tuyến tính, nếu nhiệm vụ chung của nó, mô tả bởi mô
hình toán:

T :u

y hay y = T ( u)

thỏa mÃn nguyên lý xếp chồng, tức l ánh xạ T thỏa:
n
n
n
T ⎜ ∑ aiui ⎟ = ∑ aiT (ui ) = ∑ yi
i =1
⎝ i =1
⎠ i =1

u1

u2

1

3

2

4

y1
y2

H×nh 1.8: HƯ thống

Ngợc lại, hệ sẽ đợc gọi l hệ phi tuyến.
6) Tham số hằng, nếu mô hình toán T : u

y của nó không thay đổi (theo thời gian v

theo không gian. Ngợc lại hệ sẽ đợc gọi l không dừng, nếu mô hình của nó thay
đổi theo thời gian (thờng còn đợc gọi l hệ nonautonom), hoặc hệ phân bố rải, nếu
mô hình của nó thay đổi theo không gian.
7) Hệ nhân quả (causal), nếu mô hình toán y = T ( u) cña nã tháa m·n:
y( t ) = T ( u(τ )) víi 0 ≤ τ ≤ t
Nh− vậy, ở hệ nhân quả, tín hiệu ra y( t ) ë thêi ®iĨm t chØ phơ thc tÝn hiƯu vo
u( t ) ở đúng thời điểm t v quá khứ của nó. Ngợc lại, nếu tín hiệu ra y( t ) ở thời

điểm t còn phụ thuộc tín hiệu vo u( t ) ở cả thời tơng lai > t thì nó đợc gọi l hệ
phi nhân quả (uncausal).

8) HÖ tÜnh (static), nÕu nÕu tÝn hiÖu ra y( t ) ở thời điểm t đợc xác định chính xác chỉ
cần qua tín hiệu vo u( t ) ở đúng thời điểm t đó. Ngợc lại nó sẽ đợc gäi lμ hƯ ®éng
(dynamic), nÕu tÝn hiƯu ra y( t ) ở thời điểm t chỉ có thể đợc xác định chính xác từ
tín hiệu vo u( t ) ở cả thời điểm t v quá khứ (hoặc tơng lai) cđa nã.
9) Håi tiÕp (hay hƯ kÝn), nÕu c¸c quan hệ bên trong giữa các phần tử (đợc mô tả bằng
những đờng nối trong hình 1.8) tạo thnh ít nhất l một vòng kín. Ngợc lại nó
đợc gọi l hệ hở.

1.2.2

Xác định tín hiệu điều khiển thích hợp

Đối tợng điều khiĨn cịng lμ mét hƯ thèng. HƯ thèng ®iỊu khiĨn l một hệ thống
bao gồm đối tợng điều khiển v bộ điều khiển. Kết quả của bi toán điều khiển cho một
đối tợng hay một hệ thống, tìm đợc theo trình tự các bớc nêu trong hình 1.1. Nhiệm
vụ điều khiÓn bao gåm:

24