(Luận văn thạc sĩ) không gian phủ, ứng dụng tính nhóm cơ bản và liên quan đến lý thuyết galois

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hình Hiếu Trung

KHƠNG GIAN PHỦ, ỨNG DỤNG TÍNH NHĨM
CƠ BẢN VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT
GALOIS

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hình Hiếu Trung

KHƠNG GIAN PHỦ, ỨNG DỤNG TÍNH NHĨM
CƠ BẢN VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT
GALOIS

Chun ngành : Hình học và tơpơ
Mã số

: 8460105
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA
HỌC:
TS. NGUYỄN THÁI SƠN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2019


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp
với các đề tài khác.


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc
của Thầy Nguyễn Thái Sơn. Nhờ đó, tơi có ý thức và trách nhiệm trong việc
thực hiện. Tơi xin phép được bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc của mình đến Thầy
kính mến.
Tơi xin chân thành được tỏ lịng biết ơn đến Q Thầy Cơ trong khoa TốnTin và Phịng Sau Đại học của trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí
Minh vì sự giảng dạy tận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ trong suốt
q trình học tập và thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình và bạn bè đã ln cổ vũ,
động viên để tôi an tâm học tập và nghiên cứu.
Mặc dù tơi đã nỗ lực hết mình nhưng do khả năng và thời gian có hạn nên
luận văn này khơng thể tránh khỏi những sai sót. Mong Q Thầy Cơ góp ý để
luận văn được hồn thiện hơn.


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục

MỞ ĐẦU............................................................................................................ 1
Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ..............................................................3
1.1. Định nghĩa nhóm cơ bản và các ví dụ......................................................3
1.2. Khơng gian phủ........................................................................................ 5
1.3. Cái nâng....................................................................................................6
1.4. Phân loại khơng gian phủ.........................................................................7
1.5. Nhóm con của 1....................................................................................11
1.6. Phép biến đổi phủ...................................................................................12
Chương 2. PHÉP CHIẾU PHỦ VÀ NHÓM CƠ BẢN.................................17
2.1. Tích tự do............................................................................................... 17
2.2. Cấu trúc của khơng gian phủ..................................................................19
Chương 3. MỐI QUAN HỆ GIỮA NHÓM CƠ BẢN
HỌC VÀ LÝ THUYẾT NHĨM

VỚI HÌNH

VÀ LIÊN QUAN ĐẾN
LÝ THUYẾT GALOIS 29

3.1. Đa tạp Riemann có độ cong thiết diện hằng...........................................29
3.2. Phát triển nhóm cơ bản...........................................................................32
3.3. Đa tạp Riemann phẳng........................................................................... 34
3.4. Tinh thể 2-D và 3-D............................................................................... 46
3.5. Liên quan giữa lý thuyết Galois và không gian phủ...............................54
KẾT LUẬN......................................................................................................57
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 58


1

MỞ ĐẦU
Tôpô đại số là một môn học đặc thù của ngành tơpơ - hình học. Sử dụng
các kiến thức của tơpơ để giải các bài tốn đại số và ngược lại, trong đó một
trong các cơng cụ chủ lực là nhóm cơ bản. Nhóm cơ bản được xem như là một
hàm tử từ phạm trù các không gian tôpô vào phạm trù các nhóm. Từ đó ta
chuyển được một bài tốn tơpơ về một bài tốn lý thuyết nhóm. Ngược lại nhờ
tôpô đại số mà ta giải được nhiều bài tốn thú vị về lý thuyết nhóm. Ví dụ sử
dụng lý thuyết đồ thị ta chứng minh được nhóm con của một nhóm tự do là
một nhóm tự do.
Để tính được nhóm cơ bản một khơng gian tơpơ có thể có nhiều cách,
trong đó cách thơng dụng nhất là dùng ánh xạ phủ. Liên hệ với ánh xạ phủ ta
nghiên cứu về tác động nhóm bới nhóm cảm sinh của nhóm cơ bản.
Bên cạnh đó ta cũng tập trung nghiên cứu lí thuyết phủ của các khơng gian
tơpơ và ứng dụng của chúng trong hình học đại số và lí thuyết số. Điểm quan
trọng của lý thuyết Galois là sự tương quan giữa các nhóm đối xứng của các
mở rộng trường và bản thân các mở rộng trường, cung cấp cho ta một mối liên
kết giữa lý thuyết trường và lý thuyết nhóm. Các phủ của khơng gian tơpơ
cũng được trang bị cách định nghĩa tương tự. Ở đây, một phủ của không gian
tôpô X thực chất là một không gian tôpô cùng với một ánh xạ Y → X sao cho Y
và X “đồng dạng” địa phương. Lí thuyết Galois về các phủ sẽ đóng vai trị kết
nối giữa sự đối xứng của các phủ và các nhóm cơ bản, đóng vai trị như nhóm
Galois.
Hơn nữa vai trị của lí thuyết Galois về các phủ là một phép so sánh đơn
thuần và đặc biệt khi xem xét các đường cong, ta có thể thành lập một mối liên
kết trực tiếp giữa các phủ và các mở rộng trường trong ( z) về Riemann. Nếu
xét trường hợp của phủ của mặt cầu với ba điểm cực biên thì ta sẽ tìm được


2

mối tương quan giữa các đường cong đại số định nghĩa trên trường số và phủ
tôpô.
Những khám phá này cung cấp cho ta một phương pháp mã hóa các thơng
tin của nhóm Galois các số hữu tỉ theo dữ liệu tổ hợp. Tóm lại, những ghi chú
này nhằm khơi gợi những mối liên kết đầy mới mẻ giữa tôpô cổ điển và giải
tích phức với những sự phát triển mới mẻ trong hình học đại số và số học và từ
đó cho ta một góc nhìn khác với nhóm Galois của .
Nội dung của luận văn gồm 3 chương:
Chương 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.
Chương 2: PHÉP CHIẾU PHỦ VÀ NHÓM CƠ BẢN.
Chương 3: MỐI QUAN HỆ GIỮA NHÓM CƠ BẢN VỚI HÌNH HỌC VÀ LÝ
THUYẾT NHĨM VÀ LIÊN QUAN ĐẾN LÝ THUYẾT GALOIS.


3

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản của Tơpơ đại số
liên quan đến nhóm cơ bản, khơng gian phủ, phân loại khơng gian phủ, nhóm
con của 1 và phép biến đổi phủ.
1.1. Định nghĩa nhóm cơ bản và các ví dụ
1.1.1. Nhóm cơ bản
Cho khơng gian tơpơ X , một con đường trong

X

là một ánh xạ liên tục

 :I [0;1] X.

Mọi không gian tôpô đều liên thông đường địa phương, Hausdorf và mọi
ánh xạ giữa các không gian tôpô đều liên tục.
Cho hai con đường  và  với điểm cuối  (1) của 

 (0) của  . Khi đó tích 

bằng với điểm đầu

là con đường  nối với  .

Một con đường mà điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là con
đường đóng.
Ta chọn một điểm

x  X và gọi nó là điểm cơ sở. Tập hợp tất cả các con

đường đóng với điểm gốc x được kí hiệu là ( X , x) .
Cho một con đường đóng  ( X , x) ta định nghĩa 

1

bởi


1

(t )   (1 t)

Trên ( X , x) ta định nghĩa quan hệ tương đương , ký hiệu   , nếu 
và 

là hai tương đương đồng luân tương đối I , nghĩa là có một ánh xạ liên
tục G : I  I  X sao
cho:
G (t , 0)   (t)

G (t ,1)   (t)
G (0, s )   (0)   (0)   (1)   (1)  G (1, s)

.

Thương ( X , x)/ có một nhóm cấu trúc với phép nhân được định nghĩa
bởi tích của hai con đường đã định nghĩa ở trên. Nghịch đảo của lớp tương


4

1

]

.

đương [ ] của con đường đóng  kí hiệu là
 , đến con đường đóng cố
I
1
đối

Con đường đóng
là đồng luân tương

định x : t  x mà chúng đồng nhất của nhóm.
Đồng luân được xác định bởi:


0 

khi

 ( st )


G (t , s)  



 t ))

 ( s (1

khi
x kí hiệu là




Tập hợp các lớp tương đương của các con đường đóng tại

 ( X , x)
1

 ( X , x)
Mỗi phần tử của 1
kí hiệu là [ ] , [ ] , …
 ( X , x)
Trên 1
ta trang bị một phép nhân [ ][ ]  [ ] .
 ( X , x)
cùng với phép nhân như trên lập thành một nhóm được gọi là
1

nhóm cơ bản của X (với điểm gốc x ).
Một không gian tơpơ được gọi là đơn liên nếu nó là khơng gian tơpơ liên
thơng đường và nhóm cơ bản của nó tại mỗi điểm là tầm thường.
Hai nhóm
tắc. Thật vậy, vì

 ( X , x)
1

X

và

 ( X , y)
1

với x  y là đẳng cấu nhưng khơng chính

là liên thơng đường nên có

(0) 

:IX với x

và

  1
 cảm sinh một đẳng cấu  1 ( X , y ) 1( X , x) mà
(1)  y. Khi đó ánh xạ 
chỉ phụ thuộc vào  và vì thế nó khơng chính tắc.

Một ánh xạ f : ( X , x )  (Y , y) cảm sinh đồng cấu
f # ([ ]) [ f  ] với  1 ( X ,
x) .

f :  ( X , x )  (Y , y)
#

1

1

Nếu không gian co rút được thì nhóm cơ bản của nó là tầm thường.
f

#

bởi

Nếu f : ( X , x )  (Y , y) là một tương đương đồng luân thì

là một đẳng

cấu.
Quả cầu S n là đơn liên với

n 1 vì mỗi con đường đóng là đồng luân


5

tương đối  đến con đường đóng cố định. Trong phần này ta chỉ ra rằng
I



1(

1

S , x)

.
Ta gán cho mỗi con đường đóng trong S 1

số lần mà nó quấn quanh vòng

tròn với dấu dương hoặc âm theo chiều ngược

chiều quay kim đồng hồ hoặc

chiều quay kim đồng hồ.
1.2. Không gian phủ
1.2.1. Định nghĩa
Một không gian phủ của một không gian
với một một ánh xạ

p:X X

thỏa điều kiện sau đây:
1

Với x  X tồn tại một lân cận Ux của
mở trong X sao cho

là một không gian X cùng

X

p là đồng phôi từ p

X
1

để p (U x ) là hợp rời của các tập

(U x ) vào Ux . Ánh xạ p được gọi là

phủ, không gian X được gọi là không gian đáy của cái phủ và không gian X

gọi là khơng gian tồn thể của cái phủ.
1

Với mỗi x  X thì p ( x) được gọi là thớ đi qua x .
1.2.2. Ví dụ
1

Ánh xạ exp :

S

exp(t )  2it
xác định bởi
.
e

x e

Lấy điểm x tùy ý trên đường trịn. Ta có


Xét lân cận U  e 2 ( t k ) , k  ;
Lấy x ' sao cho t  2 x ' .
1

exp

với t  .





Khi đó

2it



1

.

(U) j
, trong đó S j
{S  | j  }


 x 


| x   x '



Ta thấy rằng S j là các tập mở rời nhau từng đôi một và
S j vào U .

là
không

V gian
ậ phủ
y của S .


exp


2j

; x '

1 2j

2
S
|

j


 .
2 

là đồng phôi từ


1.2.3. Ví dụ
Trong ví dụ này ta chỉ ra rằng chùm phân thớ là những phân thớ nghĩa là

6

thỏa mãn tính chất nâng đồng luân. Lấy
phân thớ mẩu F và đa tạp cơ sở M . Lấy

X là một đơn hình phức hữu hạn và

là một ánh xạ liên tục sao cho

F:XIM
'

nâng đến

là một chùm phân thớ với

:EM

F0  F (., 0)  f : X 
M

có một cái

. Ta muốn chứng minh sự tồn tại của F ': X  I  E

o

sao

F :X E
'

cho . F '( x , t )  F ( x , t) và

.

0

F '( x , 0)  F (
x)

Với một sự phân chia X đủ nhỏ và một phân hoạch
0  t  t  ... 
t
t r 1.
Giả sử với mỗi đơn hình c của X và mỗi j ,
1
0
1
r
F ( c [t j , t j
1

]) nằm trong một lân cận U ( c , j )  M

Với kí hiệu cố định, ta lấy ánh xạ

mà  : E  M là bó tầm thường.

 U :U  F 

1

(U )

thỏa điều kiện tầm

 :UF  F
thường hóa địa phương và
chỉ phép chiếu trên tọa độ thứ 2. Cho
kí hiệu s-cơ sở của X . Bằng quy nạp, ta sẽ mở rộng F
. Phép quy nạp
X
2

s

được giả định rằng việc mở rộng được xây dựng từ

j
n 1

(X

xây dựng nó đến ( X

n 1

[0;1]

)

và

[0;
(X t
])
n

[0;1]
) ( X n [0; t j 1 ]) . Cho c là một n-đơn hình của X để

có một sự mở rộng F , theo giả thuyết quy nạp có cách dựng cho
( c  [0,
t
j ])

( c
[0, t

Vì thế

j
1

].

j

j

j
1

j:(c 
( c 
])  c
[t
])
[t , t [t
j

:c 
[t
,t

j 1

j

j

j
1

j


]  ( c [t ]) ( c [t , t

là một tạo vết. Có một ánh xạ

,t

]

sao cho . j  id .

j 1

])

j

Với x c. và t [t , t 1 ] ta định nghĩa sự mở rộng
j

F '( x, t ) 
U

1
(c,j)

( F ( x, t ),  2 . U
(c,j)

.F '( ( x, t)))

.

vì

j

( x, t )  ( c 
[t
]

j

( c
[t , t

j
1

nên F '((x, t)))

được định nghĩa.

])

Sự mở rộng đáp ứng được yêu cầu.
1.3. Cái nâng
1.3.1. Định nghĩa Cho một phủ
f:Y X

là ánh xạ f : Y  X sao cho f  p

:X 
Xf.

. Cái nâng của ánh xạ


7

Lý thuyết của không gian phủ phụ thuộc vào hai tính chất quan trọng sau:
1.3.2. Mệnh đề (Tính chất nâng đồng luân)
Cho một không gian phủ
của

f 0 :YX

p : X  X , một đồng luân f t :Y  X và một cái nâng

f0 . Khi đó có duy nhất đồng luân f t : Y  X là cái nâng của

 X , x  

1.3.3. Mệnh đề Ánh xạ cảm sinh p* :  1

1

0

Khi đó p*
các

 X , x  là nhóm con của 
0

1

X có cơ sở tại

nâng từ những con đường đóng trong X có cơ sở tại
1.3.4. Định nghĩa Một khơng gian tơpơ

X

địa phương nếu nó liên thơng đường với mỗi điểm
chứa x thì có một tập mở

X , x0  là đơn ánh.

 X , x0 . Nhóm con này gồm có

1

lớp đồng luân của các con đường đóng trong

ft .

x
0

mà nó được

x0 .
được gọi là liên thông đường
x X

và một tập mở

U

V  U chứa x sao choV là liên thông đường.

1.3.5. Mệnh đề (Tiêu chuẩn cái nâng).
Cho

p:

X , x

 ( X , x )
0

0

một ánh xạ, với Y
đó

tồn

tại

cái

f * ( 1 (Y , y0 ))  p*

.

là một không gian phủ và

f : (Y , y )  ( X , x )
0

là liên thông đường và liên thông đường địa phương. Khi
nâng

  X , x
1

f : (Y , y 0 )  ( X , x0 )

của

f

nếu

Cho một không gian phủ
1, f 2 :YX

f

và chỉ

p:X X

và một ánh xạ

X với hai cái
f : Y Y liên thông

bằng nhau tại một điểm trong Y . Khi đó nếu

thì hai cái nâng bằng nhau trên Y .
1.4. Phân loại không gian phủ
1.4.1. Định nghĩa Một không gian X được gọi là nửa đơn liên nếu với
mỗi điểm x  X có một lân cận U sao cho


1





nếu

0

1.3.6. Mệnh đề (Tính chất cái nâng duy nhất).
nâng

là

0

là tầm thường.

i
*


U,x


8

1.4.2. Định lý Nếu một không gian Y là liên thơng đường và liên thơng
đường địa phương thì Y

có một không gian phủ đơn liên nếu và chỉ nếu Y là

đơn liên nửa địa phương.
Chứng minh. Trong phần này ta sẽ chứng minh nếu X là liên thông
đường, liên thông đường địa phương và nửa đơn liên thì

X có một không gian

phủ đơn liên và không gian phủ này được gọi là không gian phủ phổ dụng.
Chú ý rằng nếu

là khơng gian phủ đơn liên thì cho một điểm x 0  X ,

X

chúng có thể là những điểm khơng xác định x  X
luân [ ] sao cho  (0)  x0 và
đường trong X bắt đầu tại
tại

x0

với lớp các con đường đồng

 (1)  x . Bằng cái nâng đồng luân thì mỗi con
 p ( x0 ) nâng đến một con đường trong X bắt đầu

x0 cũng là những đồng luân. Vì vậy các lớp của con đường đồng luân trong

X tương ứng với điểm trong

X

(bằng cái nâng con đường duy nhất và liên

thơng đường thì có một con đường trong X tương ứng với mỗi điểm trong

X

Ta sẽ định nghĩa khơng gian phủ phổ dụng chính xác như sau:
 (0) 
X
x}

{[ ]:
là con đường trong X với
.
0
Ánh xạ phủ là

p([ ])   (1)

Ánh xạ trên được định nghĩa tốt vì những đồng ln có điểm cuối cố định.
Ta cần trang bị cho

X

một tôpô p vào một ánh xạ phủ (vì thế ta cần chứng

minh rằng mỗi điểm trong X ln có một lân cận phủ đều và
Cuối cùng ta cần phải chứng minh

X

p là liên tục).

là đơn liên.

Ta sẽ trang bị cho X một tôpô bằng cách xác định một lân cận cơ bản.
Ta sẽ định nghĩa lân cận của mỗi điểm như sau:
Cho U là một tập hợp các tập mở của liên thông đường mà phủ X (điều
này tồn tại vì X là liên thông đường địa phương).

).

Ta định nghĩa
U[

 ]

 {[ . ] : là một con đường trong U với  (0)   (1)}


9

Chú ý rằng

U

[ ]

chỉ phụ thuộc vào lớp đồng luân của

chú ý rằng lớp đồng luân này là lớp đồng ln trong

X ) và

 trong X

p :U

(cũng

[ 
]

là tồn
U

ánh vì U là liên thơng đường.
Ta có nhận xét rằng nếu *

(U [ ]

1

*

ip: 

1

1

(X)

là tầm thường thì p

)   (U) 

là đơn ánh vì ( là đồng luân trên X được chọn tùy ý). Nếu
địa phương thì ta có thể chọn tập hợp

A

X là nửa đơn liên

sao cho mỗi U  A có tính chất ánh xạ

thứ 2 trong phép hợp thành là tầm thường và vì thế phép hợp thành là tầm
thường.
Do đó

p :U

[ 
]

là song ánh.
U

Khẳng định 1. U [  ]
Chứng minh. Nếu

 U[  '] nếu [ ']U[

.

]

[ ']U[  ] thì  '


X . Vì tất cả các phần

.

trong

của U[  '] có dạng [ . . ] với một số con đường

U

U

một con đường thích hợp trong U và do đó

]

tử

trong U. Nhưng  .  là
. Chứng minh

U[ 


U

[ ']

]

[ ']

tương tự.
U[

 ']

thì U [

]

 U [ ] U[

 ']

. Giả sử [] U [ U .

[ ']
Cụ thể ta có nếu []U [  ]  ]
U  U[ ] và V[  ']  V[  ] . Nếu W  U W  U và  (1)
Khi đó [ ] V ,
thì
W
W U
[]
[ ]
V[ '] . Vì mỗi [ ] X được chứa trong U[  ] nên {U[  ] }[  ] là dạng cơ bản
của một tơpơ. Vì thế ta cần chọn A
để mỗi tập hợp là liên thơng đường, dẫn

đến tầm thường trong nhóm cơ bản và là một tôpô cơ bản của X
Điều này có thể làm như sau: bằng cách lấy
của tất cả liên thông đường sao
U

cho

A

 (U)  ( X )
1

1

.

là tập của các tập mở U
là tầm

thường. Nếu

V   thì có một tập mở của liên thơng đường chứa trong phần giao

(quanh điểm bất kỳ) vì X là liên thơng địa phương, và sử dụng bao hàm, nó
phải thỏa mãn nhóm cơ bản của các ánh xạ tầm thường vào nhóm cơ bản của