(Luận văn thạc sĩ) sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho phương trình maxwell trong lý thuyết tán xạ

BáGI ODệCV
TRìNG

OT O

I HC Sì PH M TH NH PHă H˙ CH MINH

Nguy„n Thanh Tó

SÜT˙NT IV DUYNH TNGHI M CHO PHìèNG TR
NH MAXWELL TRONG Lị THUY T T N X

Chuyản ng nh: To¡n gi£i t‰ch
M¢ sŁ: 846 01 02

LU NV NTH CS TO NH¯C

NG×˝I HײNG D N KHOA H¯C:
TS. NGUY N TH NH NH N

Th nh ph Hỗ Ch Minh - 2020


Lới cam

oan

Tổi xin cam oan Ơy l lun vôn do chnh tổi thỹc hiằn dữợi sỹ hữợng dÔn
khoa hồc ca TS. Nguyn Th nh NhƠn. CĂc ni dung nghiản cứu v kt quÊ
tham khÊo trong lun vôn ữổc trch dÔn v li»t k¶ ƒy ı trong mưc T i li»u
tham khÊo.

Th nh ph Hỗ Ch Minh, ng y 25 thĂng 05 nôm 2020

Hồc viản

Nguyn Thanh Tú


Líi c£m ìn
Líi ƒu ti¶n, tỉi xin b y tä lặng bit ỡn sƠu sc nhĐt tợi Thy TS. Nguyn Th
nh NhƠn, ngữới  tn tnh hữợng dÔn v giúp ï ” tæi câ th” ho n th nh lu“n vôn
n y. Tổi xin cÊm ỡn quỵ thy cổ trong Hi ỗng chĐm lun vôn  ồc
v

gõp ỵ giúp cho lun vôn ữổc ho n chnh hỡn. Xin chƠn th nh cÊm ỡn quỵ

thy cổ Khoa ToĂn - Tin hồc trữớng i hồc Sữ phm th nh ph Hỗ Ch Minh
 truyãn t cho tổi nhng kin thức quỵ bĂu trong suŁt nhœng n«m håc vła
qua, t⁄o cho tỉi mºt nãn tÊng vng chc thỹc hiằn lun vôn. Cui cịng, tỉi
cơng gßi líi c£m ìn gia …nh, b⁄n b– v tp th lợp ToĂn giÊi tch K28 Â ht
lặng ıng hº v ºng vi¶n, gióp ï tỉi trong qu¡ tr…nh håc t“p cơng nh÷ trong qu¡
tr…nh thüc hi»n lu“n vôn n y. Tuy nhiản, do thới gian cõ hn nản lun vôn
cặn nhiãu hn ch v khổng trĂnh khọi nhng sai sõt. V vy, tổi rĐt mong
nhn ữổc sỹ õng gõp ỵ kin ca quỵ thy cổ v cĂc bn lun vôn ữổc ho n
thiằn hỡn. Xin chƠn th nh cĂm ỡn.
Th nh ph Hỗ Ch Minh, ng y 25 thĂng 05 nôm 2020

Hồc viản

Nguyn Thanh Tú

Mºt sŁ k‰ hi»u
R

T“p sŁ thüc.

C

T“p sŁ phøc.

Re a

Phƒn thüc ca a.

Im a

Phn Êo ca a.
Miãn b chn.

,@

Biản ca miãn

.

E

Cữớng

iằn trữớng.

Ei

Sõng tợi ca trữớng

Es

Sõng tĂn x ca trữớng

H

Cữớng t trữớng.

Hi

Sõng tợi ca trữớng t.

Hs

Sõng tĂn x ca trữớng t.

F+

Giợi hn t bản ngo i cho trữớng vectỡ hoc h

mF.

F

Giợi hn t bản trong cho trữớngvectỡ hoc h

mF.

"

Hng s i»n mỉi cıa mỉi tr÷íng.

i»n.
i»n.

H‹ng sŁ tł mỉi cıa mỉi trữớng.
Tnh chiral ca mổi trữớng.
r , div

ToĂn tò divergence. Trong tåa º Descartes,


@ax

@ay

@x

ra=

@az

@y

+

@z

+

r , curl, rot To¡n tß vectì mỉ t£ º xoĂy ca trữớng vectỡ. Trong tồa

Descartes, vợi i, j, k l vectì
curl a =

@yz

@a

@zy

@a

i+

b

ìn và cıa c¡c trưc x, y, z,
@z

x

@a

@xz

@a

j+

b

@x

y

@a

@yx

@a


(= (x)) Vectỡ phĂp tuyn

ỡn v ti x 2

hữợng ra ngo i mi•n

.

SŁ sâng (mang gi¡ trà thüc).

k

SŁ sâng (mang gi¡ trà phøc). s‡ câ c¡c gi¡ trà k ho°c ik.
T“p hæp c¡c sŁ sâng phøc
:= f 2 C : 6= 0; Re0; Im0g.
Nghiằm cỡ bÊn.
Trữớng sõng tĂn x.

u

ToĂn tò Laplace cıa u.

u

To¡n tß Gradient.

r
2

C¡c h m câ gi¡ trà vổ hữợng theo cĂch thổng thữớng, ữổc trang

L (D)

1

vợi

R l t“p con

RR

bà chu'n kukL2(D) :=

2
D ju(x)j dx

2

,

3

D
1

Khæng gian c¡c h m trìn câ gi¡ compact.
º i»n th'm ch¥n khỉng.
º tł th'm chƠn khổng.

C0
"0
0

Mt iằn tch.
J

Mt dặng iằn.

c

Vn tc Ănh sĂng.

!

Tn s gõc.

F

ToĂn tò trữớng sõng xa.
QL, QR

CĂc trữớng Beltrami.
QL := E + iH v QR := E iH.

E1

PhŒ i»n tr÷íng cıa tr÷íng sâng xa.

H

S

1

PhŒ tł tr÷íng cıa tr÷íng sõng xa.
Hnh cu ỡn v.

2
m

pn , qn

o ữổc bĐt k câ º o d÷ìng.

m

C¡c h» sŁ Fourier.


Mưc lưc
Líi cam

oan

Líi c£m ìn
Mºt sŁ k‰ hi»u
M— U

1

1 Ph÷ìng trnh tch phƠn Lippmann-Schwinger

3

1.1 B i toĂn t trữớng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1

Giỵi thi»u b i to¡n tł tr÷íng . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2

Cæng thøc bi‚n ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2 B i to¡n i»n tr÷íng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Giỵi thi»u b i to¡n i»n tr÷íng . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.2

Cỉng thøc bi‚n ph¥n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3 Phữỡng trnh vi tch phƠn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Sỹ tỗn ti v duy nhĐt nghiằm

14
19

2.1 Chứng minh sỹ tỗn ti nghiằm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2 Chøng minh t‰nh duy nh§t nghi»m . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3 Bi”u di„n nghi»m qua chuỉi cĂc h m cu iãu hặa
3.1 Phữỡng trnh Maxwell trong hằ vectỡ cu iãu hặa . . . . . . . . .

32
33

3.1.1

PhŒ tr÷íng sâng xa v toĂn tò trữớng sõng xa . . . . . . .

33

3.1.2

Vectỡ h m cu iãu hặa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38


3.1.3

Phữỡng trnh Maxwell trản miãn achiral . . . . . . . . . . . 41

3.1.4

B i to¡n truy•n sâng trong qu£ cƒu chiral . . . . . . . . . . 44
3.2 ToĂn tò trữớng sâng xa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.1

ChuØi khai tri”n cıa sâng phflng . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.2

Tr÷íng hỉp achiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.3

Tr÷íng hỉp chiral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

K‚t lu“n
T i li»u tham kh£o

56
57


M— U
Ph÷ìng tr…nh Maxwell l mºt trong nhœng ph÷ìng tr…nh cõ nhiãu ứng
dửng trong Vt lỵ, c biằt l trong lỵ thuyt tĂn x iằn t. Phữỡng trnh n y nhn
ữổc khĂ nhiãu sỹ quan tƠm ca cĂc nh ToĂn hồc. Cho n nay, nhiãu b i toĂn
xung quanh phữỡng trnh n y vÔn l cĂc vĐn ã m. CĂc nghiản cứu vã phữỡng

trnh n y liản quan n sỹ tỗn ti v duy nhĐt nghiằm, cĂc tnh chĐt nghiằm,
cĂc ph÷ìng ph¡p gi£i t‰ch v ph÷ìng ph¡p sŁ ” gi£i phữỡng trnh. Mt trong
nhng kt quÊ hu ch gn Ơy l chứng minh sỹ tỗn ti v duy nhĐt nghiằm
ca phữỡng trnh Maxwell bng cĂch ữa vã phữỡng trnh tch phƠn
Lippmann-Schwinger. T õ, thay cho viằc nghiản cứu phữỡng trnh Maxwell,
c¡c nh to¡n håc t“p trung v o ph÷ìng tr…nh tch phƠn Lippmann-Schwinger.
Nghiản cứu vã phữỡng trnh tch phƠn n y cõ mt s thun lổi nhĐt nh.
Lun vôn tp trung tm hiu viằc chứng minh sỹ tỗn ti v duy nhĐt nghiằm
ca phữỡng trnh Maxwell tng quĂt bng cĂch khÊo sĂt phữỡng trnh tch
phƠn Lippmann-Schwinger, dỹa trản cĂc t i li»u tham kh£o ch‰nh [6], [8],
[10], [11], [15], [16]. B¶n c⁄nh â, t¡c gi£ tr…nh b y l⁄i bi”u di„n nghi»m cıa
ph÷ìng tr…nh Maxwell thỉng qua chi c¡c h m cu iãu hặa trong cÊ
trữớng hổp achiral v chiral. C¡c bi”u di„n n y s‡ mang l⁄i gi¡ trà cho ngữới
nghiản cứu vã phữỡng phĂp s giÊi phữỡng trnh Maxwell.
Ni dung chnh ca lun vôn ữổc trnh b y th nh 3 chữỡng:
Trong Chữỡng 1, u tiản tĂc giÊ giợi thiằu mt s kỵ hiằu v kin thức cỡ
bÊn vã phữỡng trnh Maxwell trong lỵ thuyt tĂn x iằn t, ỗng thới mổ tÊ
hai b i toĂn tữỡng ứng vợi quĂ trnh truyãn sõng iằn trữớng v sõng t
trữớng. CĂc lợp cổng thức bin phƠn tữỡng ứng vợi hai b i to¡n
1


2

n y cơng ÷ỉc ÷a ra ngay sau â. Ti‚p theo, tĂc giÊ trnh b y kt quÊ vã
sỹ tữỡng ữỡng ca cĂc dng bin phƠn vợi phữỡng trnh tch phƠn
Lippmann-Schwinger.
Chữỡng 2, tĂc giÊ trnh b y cĂc kt quÊ vã sỹ tỗn ti v duy nhĐt nghiằm
ca phữỡng trnh tch phƠn Lippmann-Schwinger, t õ thu ữổc sỹ tỗn
ti v duy nhĐt nghiằm ca b i toĂn ban u.

Chữỡng 3 ca lun vôn tp trung xƠy dỹng cổng thức biu din ca cĂc i
lữổng sõng tợi, sõng tĂn x thổng qua chuỉi cĂc h m vectỡ cu iãu hặa.
Cổng thức khai trin cử th trong trữớng hổp sõng tợi l sâng phflng trong
c£ tr÷íng hỉp achiral v chiral ÷ỉc ÷a ra trong phƒn cuŁi cịng cıa lu“n
v«n.


Chữỡng 1
Phữỡng trnh tch phƠn
Lippmann-Schwinger
1.1
1.1.1

B i toĂn t trữớng
Giợi thiằu b i toĂn t trữớng

Trong lun vôn n y, chúng tỉi kh£o s¡t h» ph÷ìng tr…nh Maxwell câ d⁄ng
nh÷ sau:
curl H =

ik"(E + curl E);

curl E =

ik (H + curl H);

s

E ;H
"

= =1; =0

s

i

E; H

"(x); (x); (x)

X¥y düng b i to¡n thu“n.
n

2

3

trong mi•n R n , trong â 2 C l biản ca miãn b chn R , k > 0 l sŁ sâng, c¡c h
1

3

m ", , 2 C (R n lƒn l÷ỉt °c tr÷ng cho h‹ng sŁ i»n mỉi, h‹ng sŁ tł mỉi v t‰nh
chiral cıa mỉi tr÷íng. Lữu ỵ rng cĂc i lữổng n y
l

cĂc h m phøc khỉng phư thuºc thíi gian v s‡ câ gi¡ tr l hng s khi cĂc vt

liằu l ỗng nhĐt. Mỉi tr÷íng ÷ỉc gåi l achiral trong tr÷íng hỉp = 0,

3

i


4

v

ng÷ỉc l⁄i gåi l mỉi tr÷íng chiral. C¡c ⁄i l÷ỉng E v H l nghi»m cıa h» ph÷ìng

tr…nh, lƒn l÷ỉt °c tr÷ng cho sâng i»n tr÷íng v sâng tł tr÷íng.
Qu¡ trnh tĂn x sõng

iằn trữớng v

ữổc truyãn qua mt vt, giÊ sò

sõng t trữớng xÊy ra khi sõng tợi

ữổc t trong mổi trữớng chƠn khổng, nghắa

l " = = 1 v = 0 nm bản ngo i miãn . GiÊ sß " 6= 0 v 6= 0, °t q := 1 v q := 1 " 1.
C¡c ⁄i l÷ỉng sâng tợi v sõng tĂn x ca trữớng iằn v trữớng "
i

i

s

s

t ln lữổt ữổc kỵ hiằu l E , H , E , H . Khi
â sâng to n phƒn E, H ch‰nh
l sâng tŒng hỉp cıa sâng tỵi v sâng t¡n x⁄, tøc l
i

s

i

s

E=E +E v H=H +H :

B‹ng c¡ch thay tr÷íng i»n E trong (1.1) v o tr÷íng tł H trong (1.2), ta thu
÷ỉc ph÷ìng tr…nh sau
1

h

curl

2 2

k

"

2

curl H i

2

k [curl ( H) + curl H] k

n

trong mi•n R n . Theo ành ngh¾a cıa c¡c h m tham s ", v
trản biu th cĂc phữỡng trnh Maxwell dng achiral bản ngo i

H = 0;

(1.3)

, phữỡng trnh
v cĂc phữỡng

i

. Khi õ trữớng sõng tợi H thọa mÂn phữỡng trnh
trnh dng chiral bản trong
Maxwell trong chƠn khổng, nghắa l
2 i

2 i

curl H

3

trong R :

k H = 0;

(1.4)

i

s

Ph¥n t‰ch sâng tng hổp trong (1.3) th nh sõng tợi H v
ữổc

sõng t¡n x⁄ H , ta

1
2 i

2 i

curl H

k H

+k

curl

2

curl

h

2 2

k

"
i

curl(Hi + Hs)

s

i

s

i

(H + H ) + curl(H + H ) + k

2

i

s

(H + H ) = 0:

Rót gån bi”u thøc trản v sò dửng 1.4, ta nhn ữổc
1
curl

h

"

2 2

k

i
curl Hs

2

s

s

2

k [curl ( H ) + curl H ] k

H

s


q" + k

= curl
3

trong mi•n R n

2 2

i

curl H + k

vỵi q =

2

curl

1 v q" = 1

i

i

2

i

H + curl H + k q H ;
1

" .

(1.5)


5

Ti‚p theo ta x¡c ành c¡c i•u ki»n truy•n sâng. K‰ hi»u = (x) l vectì ph¡p
tuy‚n ìn và t⁄i x 2 = @ hữợng ra ngo i miãn . Trong phn tip theo, tĐt cÊ cĂc
phữỡng trnh liản quan n vectỡ tip tuyn ữổc phĂt biu trản .
Ta kỵ hiằu F+ v F ln lữổt l giợi hn t bản ngo i v bản trong cho trữớng vectỡ
hoc h m F .
C¡c th nh phƒn ti‚p tuy‚n cıa E v H liản tửc trản cĂc mt phƠn cĂch, nghắa l
=

H+

iãu n y dÔn

v

H

n cĂc

E+

=

trản :

E

iãu kiằn truyãn sõng trản bi¶n

(1.6)

cıa

. V‰ dư ti‚p

theo minh håa vi»c x¡c ành c¡c i•u ki»n truy•n sâng.
V‰ dư 1.1. ( i•u ki»n truy•n sâng trong tr÷íng hỉp achiral)
Trong mỉi tr÷íng khỉng tł t‰nh achiral ( = 0; = 0) c¡c ph÷ìng tr…nh
Maxwell (1.1), (1.2) câ d⁄ng
curl H =

ik"E

v

3

trong R n :

curl E = ikH
3

GiÊ sò cho " nhữ trản, nghắa l " = 1 trong R n
. Ta câ th” vi‚t c¡c i•u
ki»n liản tửc (1.6) theo H dữợi dng cĂc phữỡng trnh Maxwell nh÷ sau
1
E =

1

v E+ =

ik" curl H

ik curl H+

Khi õ
1

v

H+=H

curl H+ =

" curl H :

Ơy l cĂc iãu kiằn truyãn sõng cho trữớng sõng tng hổp. Do õ iãu kiằn
s

i

truyãn cho trữớng sõng tĂn x H = H H ÷ỉc suy ra tł ph†p trł cıa tr÷íng sâng
tŒng hỉp cho iãu kiằn
i

H+ =H

ta ữổc
s

s

H+ =H

v

i

i

v

i

curl H =curl H+ =curl H
s

s

" curl H curl H+ =
1

1

"
1

i

curl H:

i



6

BƠy giớ, ta s xĂc nh cĂc iãu kiằn truyãn sõng cho trữớng hổp chiral. CĂc
giợi hn ca E xuĐt hiằn trong iãu kiằn liản tửc (1.6) cõ th ữổc bi”u di„n
b‹ng H theo c¡c ph÷ìng tr…nh chiral (1.1) v
ngo i, ta câ = 0 v

(1.2). C¡c i•u ki»n mi•n b¶n

" = 1. Tł â ta suy ra

i

1

E+ = k curl H+ v

v iãu kiằn truyãn tữỡng ứng l

2

k

k"

E =i

curl H

ik( ) H

1

v

H+=H

hay

curl H+ =

"

2 2

k

2

k ( )H

curl H

1
2 2

H+=H

2

k ( )H :
" k
v curl H+ =
curl H
B‹ng ph†p trł ta cõ
ữổc cĂc iãu kiằn truyãn theo trữớng sõng tĂn x⁄

s

i

H:

H =H

s

H+ =H

s

v
1
"

2 2

k

curl H

s

2

k ( )H

s

= (q" + k

curl H+
2 2

)

i

s
2

i

curl H + k ( )H : (1.7)

C¡c cæng thøc n y câ v· kh¡ phøc t⁄p. Nh÷ng ” phĂt trin cĂc cổng thức bin
phƠn ta s sò dửng nhœng bi”u thøc n y, chóng xu§t hi»n trong c¡c tch
phƠn trản biản khi ta thỹc hiằn tch phƠn tng phn.

1.1.2

Cổng thức bin phƠn

1
1
1
GiÊ sò rng " j ; "j ; j ; j ; j 2 L ( ). Vã ỵ tững, ta s nhƠn phữỡng trnh
(1.5) vợi h m thò v sò dửng tch phƠn tng phn ta suy ra cæng thøc


7
s

bi‚n ph¥n cho H . °t:
1
2 2

Ms :=
s

m := k

" k
s
2
s
curl H + k H ;

2

i

M := (q" + k
i

2

2

2

i

m := k q H + k

i

i

2

2

2

s

H ;

H;

i

3

s

k

curl H :

i

s

s

i

) curl H + k

Lữu ỵ rng M v m b triằt tiảu trong R n
ch cặn
M M+ =M

curl H

. Khi õ iãu kiằn truyãn (1.7)

i

trản

v phữỡng trnh tĂn x (1.5) l
curl M

s

s

i

i

m = curl M + m :

Tr¶n c£ hai v‚ cıa ph÷ìng tr…nh n y, ta h…nh th nh t‰ch vổ hữợng vợi h
1
3
m bĐt ký. Khi õ tch phƠn trản B l
thò 2 C0 (B; C ) cho quÊ cu B
ZZ
ZZ
B

curl M

s

m

s

dx =

curl M

i

+m

i

dx:

Ta chia miãn lĐy tch phƠn cıa bi”u thøc b¶n tr¡i th nh B n v , v Ăp dửng
nh lỵ Green dữợi dng

ZZD curl v w
vợi ln lữổt D = B n
ZZBn

s

M curl

v curl w dx =

Z

@D

(v w) ds =

Z

@D( v) w ds

v D = . Khi â, ta câ
m

s

Z

dx +

ZZ

s

( M+ ) ds +

= ZZ

s

M curl

Z

i

m

s

dx

s

( M ) ds

M curl

m

i

dx +

Z

i

( M ) ds:

C¡c tch phƠn trản biản b triằt tiảu do iãu kiằn truy•n sâng. Tøc l


ZZ

R3 M

s

curl

ms

dx =

ZZ

i

M curl

m

i

dx


8
s

s

i

i

câ gi¡ compact. Thay c¡c bi”u thøc cho M ; m ; M v
vợi mồi h m thò
cõ dng bin phƠn ca phữỡng trnh tĂn x:
ZZ

2 2

k

"
1

R3

s

2

curl H curl

k

2

H

s

s

k ZZ [H curl
=

ZZ

(q" + k

2 2

m ta

dx

+ curl H
i

s

] dx

2

) curl H curl + k q H

2

i

i

+ k ZZ H curl

dx

+ curl H

i
s

i

(1.8)
sau

dx

câ gi¡ compact. Ta x¡c ành c¡c khæng gian h m cho H ; H v
vỵi måi
khi h…nh th nh iãu kiằn truyãn sõng yu tữỡng ứng.

1.2
1.2.1

B i toĂn

iằn trữớng

Giợi thiằu b i toĂn

iằn trữớng

Ta cõ th thĐy rng c¡c ph÷ìng tr…nh b“c hai cho E v H l giŁng nhau khi ta
Œi chØ " v . T÷ìng tü nhữ trữớng hổp t trữớng, ta cõ th xƠy dỹng
b

i toĂn truyãn sõng cho trữớng iằn. Ta tõm tt ữa ra kt quÊ. Mt ln na
i

trữớng sõng tợi E l mt nghiằm giÊi tch cho cĂc phữỡng trnh Maxwell trong

chƠn khỉng
2

i

2 i

3

curl E k E = 0trong R
s

v ph÷ìng tr…nh cho tr÷íng sâng t¡n x⁄ E = E
2 2

curl

1

k "

= curl
3

trong R n

2

s

2

k [curl (" E ) + " curl E ] k "E

curl Es

2 2

p +k "

vỵi p" := " 1 v

s

i

E l

i

2

i

s

i

2

curl E + k curl
" E + " curl E + k p"E
1
. i•u ki»n truy•n l
p =1
s

E + =E

s

i


9

v