Tong the va mau trong mon hoc Xac suat thong ke

Chu’ ong
’ 3

˜
ˆ’
ˆ’ VA
` MAU
ˆ
TONG
THE
˜
ˆ’
ˆ’ VA
` MAU
ˆ
TONG
THE

1.
1.1

Tˆ
o’ng thˆ
e’

´’ vˆe`mˆo.t vˆa´n d¯ˆe`ngu’oi
`’ ta thu’ong
`’ khao
’ s´at trˆen mˆo.t dˆa´u hiˆe.u n`ao d¯o´,
Khi nghiˆen cuu
’’ Tˆa.p ho.’p c´ac phˆa`n tu’’ mang dˆa´u hiˆe.u

c´ac dˆa´u hiˆe.u n`ay thˆe’ hiˆe.n trˆen nhiˆe`u phˆa`n tu.
d¯u’o.’c go.i l`a tˆo’ng thˆe’ hay d¯´am d¯ˆ
ong (population).
´’ tˆa.p ho.’p g`a trong mˆo.t tra.i ch˘
• V´ı du. 1 Nghiˆen cuu
an nuˆoi ta quan tˆam d¯ˆe´n dˆ
a´u hiˆe.u
´
´
`’ d¯a.i ho.c ta
’ sinh viˆen trong mˆo.t tru’ong
tro.ng lu’o.’ng. Nghiˆen cuu
’ chˆat lu’o.’ng ho.c tˆa.p cua
’
´
´
quan tˆ
am d¯ˆen dˆau hiˆe.u d¯iˆem.

Ch´
uy
´ Trong phˆa`n n`ay ta su’’ du.ng mˆo.t sˆo´ kh´ai niˆe.m v`a k´ı hiˆe.u sau:
´’ cua
’ tˆo’ng thˆe’, d¯u’o.’c go.i l`a k´ıch thu’oc
’ tˆo’ng thˆe’.
1. N: sˆo´ phˆa`n tu’’ cua
’ s´at.
2. X ∗ : dˆa´u hiˆe.u m`a ta khao
’ dˆa´u hiˆe.u X ∗ d¯o d¯u’o.’c trˆen phˆa`n tu’’ cua
’ tˆo’ng thˆe’ (xi l`a

3. xi (i = 1, k): gi´a tri. cua
’ tˆo’ng thˆe’ l`a vˆa.t mang thˆong tin).
thˆong tin m`a ta quan tˆam, c`on c´ac phˆa`n tu’’ cua
’ xi (sˆo´ phˆa`n tu’’ c´o chung gi´a tri. xi ).
4. Ni (i = 1, k): tˆa`n sˆo´ cua
5. pi =

Ni
:
N

’ xi .
tˆa`n suˆa´t cua

’
’ tˆ

Bang
co’ cˆ
a´u cua
o’ng thˆ
e’

´’ giua
’’ bang
˜’ c´ac gi´a tri. xi v`a tˆa`n suˆa´t pi d¯u’o.’c biˆe’u diˆe˜n boi
’ co’ cˆa´u tˆo’ng
Su.’ tu’ong
’ ung
∗

thˆe’ theo dˆa´u hiˆe.u X nhu’ sau:
’ X∗
Gi´a tri. cua
Tˆa`n suˆa´t pi

x1
p1

59

x2
p2

...
...

xk
pk


Chu’ong
’ 3. Tˆ
o’ng thˆ
e’ v`
a mˆ
a˜u

60

’ tˆ

˘. c trung
• C´
ac d
¯a
cua
o’ng thˆ
e’
’
’ dˆa´u hiˆe.u X ∗ (trung b`ınh cua
’ tˆo’ng thˆe’) m =
1. Trung b`ınh cua

k
X

xi pi .

k
X

(xi − m)2 pi .

i=1

’ dˆa´u hiˆe.u X ∗ (phu’ong
’ tˆo’ng thˆe’) σ 2 =
2. Phu’ong
’ sai cua
’ sai cua

i=1

’ dˆa´u hiˆe.u X ∗ (¯
’ tˆo’ng thˆe’)
3. ¯Dˆo. lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n cua
doˆ. lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n cua
v

u k
√
uX
σ = σ 2 = t (xi − m)2 pi

1.2

i=1

Mˆ
a˜u

`’ tˆo’ng thˆe’ lˆa´y ra n phˆa`n tu’’ v`a d¯o lu’ong
`’ dˆa´u hiˆe.u X ∗ trˆen ch´
ung. Khi d¯´o n phˆa`n
• Tu
´
´’ cua
’
’
˜
˜

`
’ mˆau d¯u’o.’c go.i l`a k´ıch thu’oc
’
tu’ n`ay lˆa.p nˆen mˆo.t mˆau (sample). Sˆo phˆan tu’ cua
˜
mˆ
au.
`’ mˆa˜u suy ra kˆe´t luˆa.n cho tˆo’ng thˆe’ nˆen mˆa˜u phai
’ d¯a.i diˆe.n cho tˆo’ng thˆe’ v`a
• V`ı tu
’ d¯u’o.’c cho.n mˆo.t c´ach kh´ach quan.
phai
´’ lˆa´y mˆa˜u c´o ho`an la.i v`a lˆa´y
• Viˆe.c lˆa´y mˆa˜u d¯u’o.’c tiˆe´n h`anh theo hai phu’ong
’ thuc:
mˆa˜u khˆong ho`an la.i.

2.
2.1

˜
’ TONG
ˆ’ VA
` MAU
ˆ
ˆ’
ˆ H`INH XAC
´ SUAT
ˆ´ CUA
THE

MO
a˜u nhiˆ
en gˆ
o´c v`
a phˆ
an phˆ
o´i gˆ
o´c
¯Da.i lu’ o.’ng ngˆ

’’ Go.i X l`a gi´a tri. cua
`’ tˆo’ng thˆe’ ra mˆo.t phˆa`n tu.
’ X ∗ d¯o d¯u’o.’c trˆen phˆa`n
Lˆa´y t`
uy y
´ tu
tu’’ lˆa´y ra th`ı X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen c´o phˆan phˆo´i x´ac suˆa´t
X x1
P p1

x2
p2

...
...

xi
pi

...

...

xk
pk

’’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X. Khi d¯´o X d¯u’o.’c
Ta thˆa´y dˆa´u hiˆe.u X ∗ d¯u’o.’c mˆo h`ınh h´oa boi
´
´
˜
’ X d¯u’o.’c go.i l`a phˆan phˆo´i gˆo´c.
go.i l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆau nhiˆen gˆoc v`a phˆan phˆoi x´ac suˆa´t cua

2.2

’a d
C´
ac tham sˆ
o´ cu
¯a.i lu’ o.’ng ngˆ
a˜u nhiˆ
en gˆ
o´c
E(X) =

k
X

xi pi .

i=1

V ar(X) =

k
X
i=1

[xi − E(X)]2 pi


3. Thˆ
o´ng kˆ
e

2.3

61

Mˆ
a˜u ngˆ
a˜u nhiˆ
en

’ tˆo’ng thˆe’ theo phu’ong
Lˆa´y n phˆa`n tu’’ cua
’ ph´ap ho`an la.i d¯ˆe’ quan s´at. Go.i Xi l`a gi´a
∗
’ X d¯o d¯u’o.’c trˆen phˆa`n tu’’ thu´’ i (i = 1, n) th`ı X1 , X2 , . . . , Xn l`a c´ac d¯a.i lu’o.’ng
tri. cua

ngˆa˜u nhiˆen d¯oˆ. c lˆa.p c´o c`
ung phˆan phˆo´i nhu’ X. Khi d¯o´ bˆo. (X1 , X2 , . . . , Xn ) d¯u’o.’c go.i l`a
´’ n d¯u’o.’c ta.o nˆen tu
˜
˜
`’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen gˆo´c X. K´ı hiˆe.u
mˆo.t maˆu ngˆau nhiˆen k´ıch thu’oc
WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ).
’
Gia’ su’’ Xi nhˆa.n gi´a tri. xi (i = 1, n). Khi d¯´o (x1 , x2 , . . . , xn ) l`a mˆo.t gi´a tri. cu. thˆe’ cua
’
mˆa˜u ngˆa˜u nhiˆen WX , d¯u’o.’c go.i l`a mˆ
a˜u cu. thˆe. K´ı hiˆe.u wx = (x1 , x2 , . . . , xn ).
´’ gˆ
’’ bang
’ mˆ
’ sau
• V´ı du. 2 Kˆe´t qua’ d¯iˆe’m mˆon To´
an cua
o.t lop
o`m 100 sinh viˆen cho boi
’
3
¯Diˆem
’
´
´
Sˆo sinh viˆen c´o d¯iˆem tu’ong
25
’ ung

’

4
20

5
40

6 7
10 5

’ mˆo.t sinh viˆen d¯u’o.’c cho.n ngˆa˜u nhiˆen trong danh s´ach
Go.i X l`a d¯iˆe’m mˆon To´an cua
´’ th`ı X l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen c´o phˆan phˆo´i
lop
X
3
P 0,25

4
0,2

5
0,4

6
0,1

7
0,05

´’ d¯ˆe’ xem d¯iˆe’m. Go.i Xi l`a d¯iˆe’m cua
’
Cho.n ngˆa˜u nhiˆen 5 sinh viˆen trong danh s´ach lop
´’ n = 5 d¯u’o.’c xˆay du.’ng tu
`’ d¯a.i lu’o.’ng
sinh viˆen thu´’ i. Ta c´o mˆa˜u ngˆa˜u nhiˆen k´ıch thu’oc
˜
ngˆau nhiˆen X
WX = (X1 , X2 , . . . , Xn )
Gia’ su’’ sinh viˆen thu´’ nhˆa´t d¯u’o.’c 4 d¯iˆe’m, thu´’ hai d¯u’o.’c 3 d¯iˆe’m, thu´’ ba d¯u’o.’c 6 d¯iˆe’m
am d¯u’o.’c 5 d¯iˆe’m. Ta d¯u’o.’c mˆa˜u cu. thˆe’
thu´’ tu’ d¯u’o.’c 7 d¯iˆe’m v`a thu´’ n˘
wx = (4, 3, 6, 7, 5)

3.

ˆ´
ˆ
THONG
KE

Trong thˆo´ng kˆe (statistics), viˆe.c tˆo’ng ho.’p mˆa˜u WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ) d¯u’o.’c thu.’c
´’ da.ng h`am G = f (X1 , X2 , . . . , Xn ) cua
’ c´ac d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen X1 , X2 , . . . , Xn .
hiˆe.n du’oi
´
Khi d¯´o G d¯u’o.’c go.i l`a mˆo.t thˆong kˆe.

3.1

Trung b`ınh mˆ
a˜u ngˆ
a˜u nhiˆ
en

’ mˆ
2 ¯Di.nh nghi˜a 1 Trung b`ınh cua
a˜u ngˆ
a˜u nhiˆen WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ) l`
a mˆo.t thˆ
o´ng
’’
kˆe, k´ı hiˆe.u X, d¯u’o.’c x´ac d¯.inh boi
X=

n
1X
Xi
n i=1

(3.1)


Chu’ong
’ 3. Tˆ
o’ng thˆ
e’ v`
a mˆ
a˜u

62


Ch´
uy
´

i) V`ı X1 , X2 , . . . , Xn l`a c´ac d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen nˆen X c˜
ung l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen.

ii) Nˆe´u mˆa˜u ngˆa˜u nhiˆen WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ) c´o mˆa˜u cu. thˆe’ wx = (x1 , x2 , . . . , xn )
n
1X
’ mˆa˜u cu. thˆe’ wx =
th`ı X s˜
e nhˆa.n gi´a tri. x =
xi v`a x d¯u’o.’c go.i l`a trung b`ınh cua
n i=1
(x1 , x2 , . . . , xn ).
3 T´ınh chˆ
a´t
Nˆe´u d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen gˆo´c X c´o k`
y vo.ng E(X) = m v`a phu’ong
’ sai V ar(X) = σ 2
2
σ
th`ı E(X) = m v`a V ar(X) = .
n
’ X

Phˆ
an phˆ
o´i x´
ac suˆ
a´t cua

i) Nˆe´u X ∈ B(n, p) th`ı X ∈ B(n, p).
ii) Nˆe´u X ∈ P(a) th`ı X ∈ P(a).

2

iii) Nˆe´u X ∈ N (µ, σ 2 ) th`ı X ∈ N (µ, σn ).
iv) Nˆe´u X ∈ χ2 (n) th`ı X ∈ χ2 (n).

3.2

’ a mˆ
Phu’ ong
sai cu
a˜u ngˆ
a˜u nhiˆ
en
’

’ mˆa˜u ngˆ
2 ¯Di.nh nghi˜a 2 Phu’ong
a˜u nhiˆen WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ) l`
a mˆo.t thˆ
o´ng

’ sai cua
’’
kˆe, k´ı hiˆe.u S 2 , d¯u’o.’c x´ac d¯.inh boi
S2 =

n
1X
(Xi − X)2
n i=1

’ mˆa˜u ngˆ
trong d¯´
o X l`a trung b`ınh cua
a˜u nhiˆen.

Ch´
uy
´

ung l`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u
i) V`ı X1 , X2 , . . . , Xn l`a c´ac d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen nˆen S 2 c˜
nhiˆen.

ii) Nˆe´u mˆa˜u ngˆa˜u nhiˆen WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ) c´o mˆa˜u cu. thˆe’ wx = (x1 , x2 , . . . , xn )
n
1X
’ mˆa˜u cu.
th`ı S 2 nhˆa.n gi´a tri. s2 =
(xi − x)2 . Khi d¯o´ s2 d¯u’o.’c go.i l`a phu’ong
’ sai cua

n i=1
thˆe’.
3 T´ınh chˆ
a´t Nˆe´u V ar(X) = σ 2 th`ı E(S 2 ) =
’

Phu’ ong
sai d
¯iˆ
e`u chinh
’
n
2
02
02
2
¯Da˘. t S = n − 1 S th`ı ta c´o E(S ) = σ .

n−1 2
σ .
n


˘´p xˆ
4. Sa
e´p sˆ
o´ liˆ
e. u

63

’ cua
’ mˆa˜u ngˆa˜u nhiˆen WX .
S 02 d¯u’o.’c go.i l`a phu’ong
’ sai d¯iˆe`u chinh
´’ mˆa˜u cu. thˆe’ wx = (x1 , x2 , . . . , xn ) th`ı S 02 s˜
Voi
e nhˆa.n gi´a tri.
s02 =

n
n 2
1 X
s =
(xi − x)2
n−1
n − 1 i=1

’ cua
’ mˆa˜u cu. thˆe’.
s02 d¯u’o.’c go.i l`a phu’ong
’ sai d¯iˆe`u chinh

Phˆ
an phˆ
o´i x´
ac suˆ
a´t

`’ d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u

Gia’ su’’ WX = (X1 , X2 , . . . , Xn ) l`a mˆa˜u ngˆa˜u nhiˆen d¯u’o.’c xˆay du.’ng tu
2
´’ E(X) = m v`a V ar(X) = σ . Khi d¯´o
nhiˆen X c´o phˆan phˆo´i chuˆa’n voi
i)

n
(Xi − X)2
nS 2 X
=
∈ χ2 (n − 1).
2
σ2
σ
i=1
n
X

(Xi − m)2
ii)
∈ χ2 (n)
2
σ
i=1

3.3

’
o. lˆ
e.ch tiˆ

eu chuˆ
a’n v`
ad
¯o
ˆ. lˆ
e.ch tiˆ
eu chuˆ
a’n d
¯iˆ
e`u chinh
¯Dˆ

√
’ mˆa˜u ngˆa˜u nhiˆen WX l`a S = S 2 .
i) ¯Dˆo. lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n cua
√
’
’
˜
’
’ S.
D
ˆ
o
lˆ
e
ch
tiˆ
e
u

chu
ˆ
a
n
c
ua
m
ˆ
a
u
cu
th
ˆ
e
w
l`
a
s
=
s2 , trong d¯o´ s l`a gi´a tri. cua
x
.
¯. .
√
’ cua
’ mˆa˜u ngˆa˜u nhiˆen WX l`a S 0 = S 02 .
ii) ¯Dˆo. lˆe.ch tiˆeu chuˆa’n d¯iˆe`u chinh
√
’
’ cua

’ mˆa˜u cu. thˆe’ wx l`a s0 = s02 , trong d¯o´ s0 l`a gi´a
¯Dˆo. lˆe.ch tiˆeu chuˆan d¯iˆe`u chinh
’ S 0.
tri. cua

´ XEP
ˆ´ SO
ˆ´ LIE
ˆ. U
˘
SAP

4.

´’ thˆo´ng kˆe thu’ong
`’ tr˜
Qu´a tr`ınh nghiˆen cuu
ai qua 2 khˆau: thu thˆa.p c´ac sˆo´ liˆe.u liˆen
’
´
´
´
´
’ sa˘´p
y sˆo liˆe.u. ¯Dˆe viˆe.c xu’’ l´
y d¯u’o.’c thuˆa.n lo.’i ta cˆa`n phai
quan d¯ˆen viˆe.c nghiˆen cuu
’ v`a xu’ l´
xˆe´p la.i sˆo´ liˆe.u.

4.1

´’ nho’
`’
Tru’ ong
ho.’p mˆ
a˜u c´
o k´ıch thu’ oc

´’ n v`a d¯a.i lu’o.’ng ngˆa˜u nhiˆen gˆo´c X
Gia’ su’’ mˆa˜u c´o k´ıch thu’oc
´’ sˆo´ lˆa`n l˘
nhˆa.n c´ac gi´a tri. c´o thˆe’ xi (i = 1, k) voi
a.p la.i (tˆa`n sˆo´)
`’ lˆa.p bang
’ nhu’ sau:
ni (i = 1, k). Ta thu’ong

Ch´
uy
´

k
X

xi
xi
x2
...
xk

ni
n1
n2
...
nk

ni = n.

i=1

´’ tuˆ
`’ cua
’ 30 gia d¯`ınh o’’
• V´ı du. 3 Tiˆe´n h`anh thu thˆa.p du˜’ liˆe.u sˆ
o´ tre’ o’’ lua
o’i d¯ˆe´n tru’ong
’’ bang
’
mˆ
o.t huyˆe.n ta d¯u’o.’c kˆe´t qua’ cho boi


Chu’ong
’ 3. Tˆ
o’ng thˆ
e’ v`
a mˆ
a˜u

64

0
2
0
4
0

3
2
0
2
2

0
0
1
1
0

0
1
2
0
1

3
2
4
1

3

0
1
0
0
2

’ sau
Sa˘´p xˆe´p sˆo´ liˆe.u la.i ta c´o bang
´’ tuˆo’i d¯ˆe´n tru’ong
`’
Sˆo´ tre’ o’’ lua
ni
0
12
1
6
2
7
3
3
4
2

4.2

´’ lon
´’
`’

Tru’ ong
ho.’p mˆ
a˜u c´
o k´ıch thu’ oc

´’ trong mˆo˜i khoang
’ (lop),
’ ta cho.n mˆo.t gi´a tri. d¯a.i diˆe.n.
Ta chia mˆa˜u th`anh c´ac khoang
`’ ta thu’ong
`’ chia th`anh c´ac khoang
’ d¯ˆe`u nhau (c´o thˆe’ khoang
’ d¯ˆa`u ho˘
Ngu’oi
a.c cuˆo´i c´o d¯oˆ.
´’ d¯oˆ. d`ai cua
’ c´ac khoang
’ c`on la.i) v`a cho.n gi´a tri. d¯a.i diˆe.n l`a gi´a tri. trung tˆam
d`ai kh´ac voi
´’ d¯ˆa`u m´
’ khoang.
’
’ cua
’ mˆo˜i khoang
’ thuˆo.c khoang
’ d¯o´ m`a khˆong
cua
Ta qui u’oc
ut bˆen phai
´

´
˜
`
’ tiˆep theo khi t´ınh tˆan sˆo cua
’ mˆoi khoang.
’
thuˆo.c khoang
’ 400 cˆay sao d¯u’o.’c chia th`anh c´ac khoang
’ d¯u’o.’c xˆe´p trong
• V´ı du. 4 Chiˆe`u cao cua
’ sau:
bang
’ chiˆe`u cao Tˆ
Khoang
a`n sˆ
o´ ni ¯Dˆ
o. d`
ai
5,5 − 8,5
18
8,5 − 12,5
58
12,5 − 16,5
62
16,5 − 20,5
72
20,5 − 24,5
57
24,5 − 28,5
42

28,5 − 32,5
36
32,5 − 36,5
10

’ khoang
’
cua
3
4
4
4
4
4
4
4

’
BANG
T´INH x, s2

5.
5.1

T´ınh tru.’ c tiˆ
e´p
´’
Ta d`
ung cˆong thuc
k

1X
ni xi
n i=1
k
1X
ni x2i − (x)2
=
n i=1

x =
2

s

’ X ∗.
trong d¯´o xi (i = 1, k) l`a c´ac gi´a tri. cua

(3.2)


’
5. Bang
t´ınh x, s2

65

• V´ı du. 5 Sˆo´ xe hoi
a`n o’’ mˆ
o˜i d¯a.i l´y trong 45 d¯a.i l´y
’ b´an d¯u’o.’c trung b`ınh trong mˆo.t tuˆ

’
cho boi
’
Sˆ
o´ xe hoi
an
’ d¯u’o.’c b´
trong tuˆ
a`n / d¯a.i l´y

ni

1
2
3
4
5
6

15
12
9
5
3
1

’ t´ınh nhu’ sau
Ta lˆa.p bang
xi
1

2
3
4
5
6

P

Ta c´o
x=
s2 =

107
45
335
45

ni
ni xi
15
15
12
24
9
27
5
20
3
15
1

6
n = 45 107

ni x2i
15
48
81
80
75
36
335

= 2, 38
− (2, 38)2 = 7, 444 − 5, 664 = 1, 78.

`’ ho.’p t`au cˆa.p cang,
`’ ta thˆ
`’ gian nga˘´n
’
’ thoi
• V´ı du. 6 Theo d˜
oi 336 tru’ong
ngu’oi
a´y khoang
˜’ hai lˆa`n t`au v`ao cang
`’ thoi
`’ gian d`ai nhˆ
`’
’ liˆen tiˆe´p l`a 4 gio,
nhaˆ´t giua

a´t l`a 80 gio.
´’ c´o d¯oˆ. d`ai 8 v`a thay mˆo˜i lop
´’ boi
’’ gi´a tri.
V`ı sˆo´ liˆe.u nhiˆe`u nˆen ta sa˘´p xˆe´p th`anh lop
x
+
x
min
max
trung tˆam x0i =
.
2
’ t´ınh sau
Ta c´o bang
xi − xi+1
4 − 12
12 − 20
20 − 28
28 − 36
36 − 44
44 − 52
52 − 60
60 − 68
68 − 76
76 − 80
P

x0i
8

16
24
32
40
48
56
64
72
78

ni
143
75
53
27
14
9
5
4
3
3
336

ni x0i
1144
1200
1272
864
560
432

280
256
216
234
6458

2

ni x0i
9152
19200
30528
27648
22400
20736
15680
16384
15552
18252
195532


Chu’ong
’ 3. Tˆ
o’ng thˆ
e’ v`
a mˆ
a˜u

66

Ta c´o
x=
s2 =

5.2

6458
336

= 19, 22

195532
336

− (19, 22)2 = 212, 532.

T´ınh theo phu’ ong
ph´
ap d
¯ˆ
o’i biˆ
e´n
’
´’
’ khoang
’ kh´a lon.
Ta d`
ung phu’ong
a.c gi´a tri. trung tˆam x0i cua

’ ph´ap n`ay khi xi ho˘

¯Da˘. t

ui =

xi − x0
h

˜’ gi´a tri. t`
’ dˆa´u hiˆe.u X ∗ ; x0 v`a h l`a nhung
trong d¯´o xi l`a gi´a tri. cua
uy y
´.
´’ voi
´’ tˆa`n sˆo´ lon
´’ nhˆa´t v`a h l`a d¯oˆ. d`ai cua
`’ cho.n x0 l`a gi´a tri. xi (ho˘
’
Ta thu’ong
a.c x0i ) ung
’
khoang.
Khi d¯´o
x = x0 + hu
"
#
k
X
2 1

2
2
2
s = h
ni ui − (u)
n i=1
´’
’ cua
’ v´ı du. tru’oc.
• V´ı du. 7 T´ınh x v`a s2 tu`’ sˆo´ liˆe.u cho o’’ bang
Ta cho.n
´’ tˆa`n sˆo´ ni = 143 lon
´’ nhˆa´t)
´’ voi
x0 = 8 (ung
´’
’ lop)
h = 8 (¯
dˆo. d`ai cua
xi − xi+1
4 − 12
12 − 20
20 − 28
28 − 36
36 − 44
44 − 52
52 − 60
60 − 68
68 − 76
76 − 80

P

x0i
8
16
24
32
40
48
56
64
72
78

ni
ui
ni ui
ni u2i
143
0
0
0
75
1
75
75
53
2
106
212

27
3
81
243
14
4
56
224
9
5
45
225
5
6
30
180
4
7
28
196
3
8
24
192
3 8,75 26,25 229,6875
336
471,25 1176,6875

´ du.ng cˆong thuc
´’ ta c´o

Ap
x = 8. 471,25
+ 8 = 19, 22
336
s2 = 82 .[

471, 25 2
1776, 6875
−(
) ] = 212, 5229
336
336


67

6. B`
ai tˆ
a. p

6.

` TA
ˆ. P
BAI
´’ d¯ˆay. H˜
’’ bang
`’ d¯a.i ho.c cho boi
’ 40 sinh viˆen nam o’’ mˆo.t tru’ong
’ du’oi

1. Chiˆe`u cao cua
ay
´
`
´
´
´
’ ba˘ng c´ach chia sˆo liˆe.u th`anh c´ac khoang
’ th´ıch
sa˘p xˆep c´ac sˆo liˆe.u trˆen th`anh bang
ho.’p.
52
57
70
56
66

68
64
48
73
57

60
54
52
53
49

48

55
73
57
64

55
49
67
51
60

45
58
51
61
70

59
60
62
54
73

61
66
69
59
67

`’ ta thu d¯u’o.’c kˆe´t qua’ cho

’ 100 hecta l´
2. Theo d˜
oi n˘
ang suˆa´t cua
ua o’’ mˆo.t v`
ung, ngu’oi
’ sau:
o’’ bang
N˘
ang suˆa´t (ta./ha)
30 − 35
35 − 40
40 − 45
45 − 50
50 − 55
55 − 60
60 − 65
65 − 70

Diˆe.n t´ıch (ha)
7
12
18
27
20
8
5
3

’ cua

’ mˆa˜u cu. thˆe’ n`ay.
T´ınh gi´a tri. trung b`ınh, phu’ong
’ sai v`a phu’ong
’ sai d¯iˆe`u chinh
`’ gian cˆa`n thiˆe´t d¯ˆe’ san
’ xuˆa´t mˆo.t chi tiˆe´t m´ay ta thu d¯u’o.’c c´ac sˆo´
3. Quan s´at vˆe` thoi
’ sau:
liˆe.u cho o’’ bang
`’ gian (ph´
’ thoi
Khoang
ut)
20 − 25
25 − 30
30 − 35
35 − 40
40 − 45
45 − 50
50 − 55

Sˆo´ quan s´at
2
14
26
32
14
8
4

’ cua
’ mˆa˜u.
T´ınh gi´a tri. trung b`ınh, phu’ong
’ sai v`a phu’ong
’ sai d¯iˆe`u chinh
4. Thˆo´ng kˆe sˆo´ h`ang b´an d¯u’o.’c trong mˆo.t ng`ay v`a sˆo´ ng`ay b´an d¯u’o.’c sˆo´ lu’o.’ng h`ang
´’
’ sˆo´ liˆe.u sau:
tu’ong
ta c´o bang
’ ung,


Chu’ong
’ 3. Tˆ
o’ng thˆ
e’ v`
a mˆ
a˜u

68

Lu’o.’ng h`ang b´an trong 1 ng`ay kg
100 − 200
200 − 250
250 − 300
300 − 350
350 − 400
400 − 450
450 − 500

500 − 550
550 − 700

Sˆo´ ng`ay (ni )
5
12
56
107
75
70
35
30
10

’ n´o.
T´ınh gi´a tri. trung b`ınh mˆa˜u v`a nˆeu y
´ nghi˜a cua
`’ BAI
` TA
ˆ. P
• TRA’ LOI
2
0

2. x = 47, 5 ta./ha, s2 = 68, 5, s 2 = 69, 192.
0

3. x = 36, 6 ph´
ut, s2 = 44, 69, s 2 = 45, 14.
4. x = 375, 3kg