Bài tập dạy thêm toán 11 bộ sách kết nối tri thức cả năm (9 chương, lý thuyết, bài tập tự luận, trắc nghiệm, vở bt) (bản giáo viên)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (31.81 MB, 561 trang )
C
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
H
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Ư
Ơ
N 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC
BÀI
G
I
LÝ THUYẾT.
I
=
1. GÓC
= LƯỢNG GIÁC
a. Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác
=
Trong mặt phẳng cho hai tia Ou , Ov . Xét tia Om cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia Om
I
quay điểm O , theo một chiều nhất định từ Ou đến Ov , thì ta nói nó quét một góc lượng giác với
tia đầu Ou , tia cuối Ov và kí hiệu là Ou , Ov .
Góc lượng giác Ou , Ov chỉ được xác định khi ta biết được chiều chuyển động quay của tia Om
từ tia đầu Ou đến tia cuối Ov . Ta quy ước: chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ là
chiều dương, chiều quay cùng với chiều quay của kim đồng hồ là chiều âm.
Khi tia Om quay góc thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo . Số đo của góc
lượng giác với tia đầu Ou , tia cuối Ov được kí hiệu là sd Ou , Ov .
Cho hai tia Ou , Ov thì có vơ số góc lượng giác tia đầu Ou , tia cuối Ov . Mỗi góc lượng giác
như thế đều kí hiệu là Ou , Ov . Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên
của 360 .
b. Hệ thức Chasles: với 3 tia Ou , Ov, Ow bất kì ta có:
sd Ou , Ov sd Ov, Ow sd Ou , Ow k .360
Từ đó suy ra: sd Ou , Ov sd Ou , Ow sd Ov, Ow k .360
k
k
2. ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRỊN
a. Đơn vị đo góc và cung trịn
Đơn vị độ:
Đơn vị radian: Cho đường tròn O tâm O bán kính R và một cung AB trên O . Ta nói cung
AB có số đo bằng 1 radian nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính R . Khi đó ta cũng nói rằng góc
AOB 1 radian
AOB có số đo bằng 1 radian và viết
b) Quan hệ giữa độ và radian
10
0
180
rad và 1rad
.
180
b. Độ dài của một cung trịn
Một cung của đường trịn bán kính R có số đo rad thì có độ dài là R .
3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC
3) cot xác định với mọi k k .
a. Đường tròn lượng giác
Đường tròn lượng giác là đường trịn có tâm tại gốc tọa độ,
bán kính bằng 1, được định hướng và lấy điểm A 1;0 làm
4) Dấu của các giá trị lượng giác của góc
đường trịn lượng giác.
gốc của đường trịn.
Đường trịn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A 1;0
phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn
A ' 1;0 , B 0;1, B ' 0; 1.
Điểm trên đường trịn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có
số đo là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho
sd OA, OM .
b. Giá trị lượng giác của góc lượng giác
Giả sử M x; y là điểm trên đường trịn lượng giác, biểu
diễn góc lượng giác có số đo .
• Hồnh độ x của điểm M gọi là cơsin của và kí hiệu là
cos .
Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
cos x
• Tung độ y của điểm M gọi là sin của và kí hiệu là
sin .
sin y
sin
gọi là tang của và kí hiệu là tan (người ta cịn dùng kí hiệu
cos
• Nếu cos 0, tỉ số
tg ): tan
sin
.
cos
• Nếu sin 0, tỉ số
cos
gọi là côtang của và kí hiệu là cot (người ta cịn dùng kí hiệu
sin
cos
cotg ) : cot
.
sin
Các giá trị sin , cos , tan , cot được gọi là các giá trị lượng giác của cung .
c. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
6
4
3
2
0
1
2
2
2
3
2
1
cos
1
3
2
2
2
1
2
0
tan
0
1
3
1
3
Không xác định
cot
Không xác định
3
1
1
3
0
0
sin
Chú ý:
a) Ta cũng gọi trục tung là trục sin, cịn trục hồnh là trục cơsin
b) Từ định nghĩa ta suy ra:
1) sin và cos xác định với mọi .
Hơn nữa, ta có:
sin k 2 sin , k ;
cos k 2 cos , k .
2) tan xác định với mọi
2
k
k .
1 sin 1
1 cos 1.
4. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
a. Công thức lượng giác cơ bản
M trên
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau
sin 2 cos 2 1
1
1 tan
, k , k
cos 2
2
Góc đối nhau
Góc bù nhau
Góc phụ nhau
cos( ) cos
sin( ) sin
sin cos
2
sin( ) sin
cos( ) cos
cos sin
2
tan( ) tan
tan( ) tan
tan cot
2
cot( ) cot
cot( ) cot
cot tan
2
2
1
1 cot
, k , k
sin 2
2
k
tan .cot 1,
, k
2
b. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Góc hơn kém
II
=
=
=I
Góc hơn kém
2
sin( ) sin
sin cos
2
cos( ) cos
cos sin
2
tan( ) tan
tan cot
2
cot( ) cot
cot tan
2
HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH ĐỘ DÀI CUNG TRỊN
Một cung trịn có số đo a (hoặc rad) có độ dài là l
a R
(hoặc l R )
180
Câu 1:
Một đường trịn có bán kính 10. Tính độ dài cung trịn có số đo 30o
Lời giải
.30
.30
.R
.10 5, 26(cm)
Độ dài cung tròn có số đo 30 là l
180
180
Câu 2:
Một bánh xe máy có đường kính 60. Nếu xe chạy với vận tốc 50(km / h) thì trong 5 giây bánh xe
quay được bao nhiêu vòng.
Lời giải
50.1000
: (0, 6. ) .5 36,9 .
Trong một phút bánh xe quay được:
3600
Câu 3:
Một đu quay ở cơng viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao
lâu để đu quay quay được góc 270 ?
Lời giải
Tính được: 270
Ta có: Đu quay quay được 1 vòng trong
Đu quay quay được
3
vòng
4
sin x
tan x
cos x
1
phút
3
3
3 1 1
vịng trong . phút.
4
4 3 4
Câu 6:
Vì
vạch nên cung trịn có độ dài bao nhiêu?
Lời giải
l R. l 10, 25.
12
Sử dụng công thức lượng giác cơ bản trong các bài toán:
1
, k , k
sin 2
4) tan .cot 1,
5) tan
6) cot
Câu 5:
Câu 7:
3) 1 cot 2
2
k
, k
2
Cho tan x
4
cos x
4
5
cot x
3
sin x
3
5
3
x . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.
4
2
2
cos x 0
tan x.cot x 1 cot x
1
1 4
tan x 3 3
4
2
Ta có
cos
.
sin
1
16
3 25
1 tan 2 x 1
cos 2 x
cos 2 x
25
4 16
4
Vậy cos x .
5
2
x 0 . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.
5 2
x 0 sin x 0
x cos x 0
Vì x
tan x
Lời giải
Vì
2
Lời giải
sin
.
cos
Cho cos x
3
sin x
3
5
tan x
;
cos x 4
4
5
DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC HOẶC MỘT BIỂU THỨC
1
, k , k
cos 2
2
3
x . Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.
5 2
4
Vậy cos x .
5
2,68 cm .
2) 1 tan 2
2
cos x
cot x
5 2
sin x 1
5
2
rad . Khi đó độ dài cung trịn mà kim giờ vạch ra trong 30 phút là
1) sin 2 cos 2 1
1
5 1;
2
2
5
3 16
2
2
2
2
Ta có sin x cos x 1 cos x 1 sin x 1
5 25
Trong 6 giờ kim giờ vạch nên một cung có số đo là rad , vậy trong 30 phút kim giờ vạch
12
Cho sin x
Lời giải
Một đồng hồ treo tường có kim giờ dài 10, 25cm , kim phút dài 13, 25cm . Trong 30 phút kim giờ
nên cung có số đo là
1
.
5
Vậy sin x
270
3
3
.2
180
2
4
Vậy đu quay quay được góc 270 khi nó quay được
Câu 4:
2
2 1
2
2
2
2
Ta có sin x cos x 1 sin x 1 cos x 1
5 5
Câu 8:
sin x
3 4
3
sin x tan x.cos x .
cos x
4 5
5
Cho cot x
3
3
x
4
2
. Tính giá trị của các giá trị lượng giác còn lại.
cos a sin a
cot a tan a
cos2 a sin 2 a
sin a cos a
Ta có A
tan a 2 cot a sin a
cos a sin 2 a 2 cos2 a
2
cos a
sin a
Lời giải
Vì x
3
sin x 0
2
tan x.cot x 1 tan x
1
1 4
cot x 3 3
4
2
Ta có
1
16
3 25
1 cot 2 x 1
sin 2 x
sin 2 x
25
4 16
Vậy sin x
cot x
Câu 9:
2
2
4
.
5
Ta có: A
sin x
cos x
2
5
2sin x 5cos x
cos x 2 tan x 5 2. 4 5 13 .
cos x
cos x sin x
3cos x sin x
3 tan x
3 4
3
cos x cos x
Câu 14: Cho tan 3 , khi đó giá trị của biểu thức P
1
1
1
cos
.
1 tan 2 5
5
Chia cả tử và mẫu của P cho cos 0 ta được: P
0
0
Do 180 270 nên cos 0 cos 0 . Suy ra, cos
1
5
. sin tan .cos
2
5
Câu 15: Cho góc thỏa mãn
.
2
1
1
0 và cos . Giá trị của biểu thức P sin
bằng
2
cos
Lời giải
2
3sin cos
sin cos
Lời giải
Với cos
3sin cos 3 tan 1
7.
sin cos
tan 1
2sin x cos x
Câu 11: Cho tan x 3 . Tính P
.
sin x cos x
Vì
2
3
1
1 3
sin 2 1 sin
2
2
2 4
0 nên sin 0sin
A
Vậy: P sin
Lời giải
Câu 12: Cho sin a
2sin cos
2 tan 1 5
.
3sin 5cos 3 tan 5 4
Cách 1: Ta có: sin 2 cos 2 1 sin 2 1 cos 2
3 5
.
5
Câu 10: Cho tan 2 . Tính giá trị của biểu thức: A
Ta có tan x 3
2sin x 5cos x
là
3cos x sin x
Lời giải
2sin cos
là
3sin 5cos
Lời giải
Biết tan 2 và 1800 2700 . Tính giá trị của biểu thức: sin cos
Lời giải
Do đó, sin cos
2
2
2
Câu 13: Cho tan x 4. Giá trị của biểu thức A
cos x
3 4
3
cos x cot x.sin x .
sin x
4 5
5
cos 2
1 sin a sin a 1 2 sin a 7
sin a 2 1 sin a 2 sin a 17
2
sin x
2.3cos x cos x 5cos x 5
3 sin x 3cos x. Khi đó P
.
cos x
3cos x cos x
4 cos x 4
1
cot a tan a
. Giá trị của biểu thức A
bằng
3
tan a 2 cot a
Lời giải
3
.
2
1
3 1
3
4 3
2
.
1
cos
2
2
2
2
1
cos 2
.
Cách 2: Theo giả thiết:
3
0
2
Vậy P sin
1
sin
cos
3
1
3
4 3
2
.
2
2
cos
3
Câu 16: Cho tan 2 . Tính giá trị của biểu thức P
sin 4 3sin 3 cos cos 2
.
sin 2 sin 2 cos 2 2cos 2
Lời giải
Do tan 2 nên cos 0 . Chia cả tử và mẫu của biểu thức P cho cos 4 ta được:
1
sin 4
sin 3 cos cos 2
tan 4 3 tan 3
3.
2
4
4
4
cos
cos
cos
cos
P
1
1
sin 2 sin 2 cos 2
cos 2
2
2
tan
.
tan
2.
2.
cos 2
cos 2
cos 4
cos 4
cos 4
tan 4 3 tan 3 tan 2 1
tan 2 . tan 2 1 tan 2 2. tan 2 1
tan 4 3 tan 3 tan 2 1
tan 4 4 tan 2 2
3
Vậy P
2
0 . Tính giá trị biểu thức P
tan 8 a 2 cot a
3
3 tan
a
2
Lời giải
2 tan a cot a 1 2 tan a
Vì
2
ab
ab
ab
at 2 bt 2 2bt b
a b t 2 2bt b
ab
ab
ab
b
2
a b t 2 2b a b t b 2 0 t
ab
Vậy:
Câu 17: Cho 2 tan a cot a 1 với
tan a 1
1
1
.
tan a 1
tan a
2
0 nên tan a 0 , suy ra tan a
1
, cot a 2
2
3
a cot a .
Ta có: tan 8 a tan a ; cot a cot a ; tan
2
1
tan 8 a 2 cot a tan a 2 cot a 2 4 7
P
.
3cot a
6
12
3
3 tan
a
2
Câu 18: Cho sin x cos x m . Tính giá trị của biểu thức: M sin x cos x
Lời giải
Ta có: M 2 sin x cos x sin 2 x 2 sin x.cos x cos 2 x 1 2 sin x.cos x .
2
Mặt khác: M 2 sin x cos x sin x cos x 4 sin x.cos x m 2 4 sin x.cos x .
2
2
m2 1
Suy ra: 1 2sin x.cos x m 4sin x.cos x sin x.cos x
.
2
2
Do đó: M 2 2 m 2 M 2 m 2 .
sin 4 cos 4
1
sin 8 cos8
Câu 19: Cho
Tính giá trị của biểu thức: A
a
b
ab
a3
b3
Lời giải
t2
1
b ab
2
2
3
.
34
a
b 1 t at 2
Suy ra cos 2
2 3.2 2 1
3
.
24 4.22 2
34
4
1 t
2
2
Đặt cos t
b
a
;sin 2
ab
ab
sin 8 cos8
a
b
1
.
4
4
3
a3
b3
a b a b a b
DẠNG 3: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GĨC CĨ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
Câu 20: Tính giá trị của biểu thức: S 3 sin 2 90 2 cos 2 60 3 tan 2 45
Lời giải
2
1
1
Ta có S 3 sin 2 90 2 cos 2 60 3 tan 2 45 3 12 2. 3.12 .
2
2
5
cos 13 3sin 5 .
Câu 21: Rút gọn biểu thức D sin
2
Lời giải
5
cos 13 3sin 5
Ta có D sin
2
sin cos 3sin cos cos 3sin 3sin .
2
Câu 22: Tính giá trị của biểu thức: sin 2 100 sin 2 200 sin 2 300 ... sin 2 700 sin 2 800
Lời giải
sin 2 100 sin 2 200 sin 2 300 ... sin 2 700 sin 2 800
sin 2 100 sin 2 200 sin 2 300 ...cos 2 30 cos 2 200 cos 2 100
sin 2 100 cos 2 100 sin 2 200 cos 2 200 sin 2 300 cos 2 30 sin 2 400 cos 2 40
4
Câu 23: Tính giá trị của biểu thức:
M cos 2 100 cos 2 200 cos 2 300 cos 2 400 cos 2 500 cos 2 600 cos 2 700 cos 2 800 .
cos 2 900 cos 2 1000 cos 2 1100 cos 2 1200 cos 2 1300 cos 2 1400 cos 2 1500 cos 2 1600
cos 2 1700 cos 2 1800
Lời giải
Áp dụng công thức cos cos 1800 , cos 2 sin 2 1 ta có:
sin 6 cos 6 sin 2 cos 2
M cos 2 100 cos 2 200 cos 2 300 ... cos 2 1700 cos 2 1800
Câu 29: Cho 0
Đặt A
DẠNG 4: RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC. ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Câu 24: Rút gọn biểu thức A 1 – sin 2 x .cot 2 x 1 – cot 2 x
Vì 0
Câu 25: Rút gọn biểu thức M sin x cos x sin x cos x .
2
2
C 2 cos x sin x cos x sin x
Câu 26: Rút gọn biểu thức
4
2
2
cos
2
8
cos
4
x sin x
4
2 cos
2
1 2 cos 2 x sin 2 x
4
2 cos
2
2 cos
2
2
x sin 2 x 1 2 cos 2 x sin 2 x
4
2
4
Suy ra : C 2 1 cos 2 x sin 2 x 1 4 cos 2 x sin 2 x 2 cos 4 x sin 4 x .
2
C 2 1 2 cos 2 x sin 2 x cos 4 x sin 4 x 1 4 cos 2 x sin 2 x 2 cos 4 x sin 4 x
=1 .
1
tan x sin x.cos x
Gía trị lớn nhất là 7 .
P cot 2 a cot 2 b 2 cot 2 a.cot 2 b 2 tan 2 a.tan 2 b 2
2
sin x cos x
A
2
1
2 cos x.sin x
2 cos x.sin x cos x 2 cos 2 x
2 cot 2 x
tan x sin x.cos x sin x sin x.cos x
sin 2 x
sin x 1 cos 2 x
cos x
6
6
2
2
Câu 28: Tính giá trị của biểu thức A sin cos 3sin cos .
Lời giải
Ta có:
M 7 1 sin 2 x 2 sin 2 x 7 9 sin 2 x .
Câu 32: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P cot 4 a cot 4 b 2 tan 2 a. tan 2 b 2
Lời giải
sin x cos x
A
Lời giải
Ta có:
3
Ta có Q sin 6 x cos 6 x 1 sin 2 2 x .
4
Ta có: 0 sin 2 x 1, x 0 9 sin 2 x 9, x 7 7 2 sin 2 x 2, x .
2
Câu 27: Đơn giản biểu thức
2
cos
Câu 31: Giá trị lớn nhất của biểu thức M 7 cos 2 x 2 sin 2 x là.
Lời giải
4
1 4 cos 2 x sin 2 x 2 cos 4 x sin 4 x .
x sin 4 x
nên cos 0 do đó A
Nên giá trị lớn nhất là 1. .
x sin x 1 4 cos x sin x 2 cos x sin x
2
4
2
3
3
1
3
Vì 0 sin 2 2 x 1 sin 2 2 x 0 1 sin 2 2 x 1 .
4
4
4
4
Ta có :
cos 2 x sin 2 x
Lời giải
x sin x
8
Lời giải
cos8 x sin 8 x
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
Câu 30: Giá trị lớn nhất của Q sin 6 x cos 6 x bằng:
M sin x cos x sin x cos x 1 2sin x cos x 1 2sin x cos x 2 .
4
. Tính
DẠNG 5: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
Lời giải
2
2
2
A 1 – sin x .cot x 1 – cot x cot x cos 2 x 1 cot 2 x sin 2 x .
2
1 sin
1 sin
1 sin
1 sin
2
2
cos 2 sin 2 cos 2 1 3sin 2 cos 2 .
1 sin
1 sin
4
Khi đó A2
1 sin
cos 2
1 sin
Lời giải
2
2
Lời giải
2 sin 2 800 ... sin 2 500 cos 2 500 ... cos 2 800 cos 2 900 8
2
2
2
2
2
2
Suy ra: A 1 3sin cos 3sin cos 1 .
cos 2 100 cos 2 200 ... cos 2 800 cos 2 900 cos 2 800 ... cos 2 200 cos 2 100 cos 2 900
2 cos 2 100 cos 2 200 cos 2 300 ... cos 2 800 cos 2 900
3sin
cot 2 a cot 2 b 2 cot 2 a.cot 2 b tan 2 a.tan 2 b 2 6
2
cot 2 a cot 2 b 2 cot 2 a.cot 2 b tan 2 a.tan 2 b 2 cot a.cotb.tan a.tan b 6
2
cot 2 a cot 2 b 2 cot a.cot b tan a.tan b 6 6
2
2
2
cot 2 a cot 2 b
cot a 1
2
Dấu bằng xảy ra khi
cot a.cot b tan a.tan b
cot b 1
ab
4
k
, (k ) .
2
Câu 33: Tính giá trị lượng giác cịn lại của góc x biết:
3
3
1
a. sin x với x
. b. cos x với 0 x .
5
2
4
2
c. cos x
3
với 0 x 900 .
5
d. cos x
5
với 1800 x 2700 .
13
Lời giải
sin x 0
cos x 0
3
a. Do x
.
2
tan x 0
cot x 0
sin x 3
tan x
3
4
cos x 4
2
Từ đó với sin x cos x 1 sin x
.
cos x 4
5
5
cot x
sin x 3
sin x 0
cos x 0
b. Do 0 x
.
tan x 0
2
cot x 0
sin x
tan x
15
1
15
cos x
2
Từ đó với cos x sin x 1 cos x
.
cos x
1
4
4
cot x
sin x
15
sin x 0
0
cos x 0 .
0
x
90
c. Do
tan x 0
cot x 0
sin x 4
tan x
3
4
cos x 3
2
Từ đó với cos x sin x 1 cos x
.
cos x 3
5
5
cot x
sin x 4
sin x 0
cos x 0
0
0
d. Do 180 x 270
.
tan x 0
cot x 0
sin x 12
tan x
5
12
cos x
5
2
Từ đó với cos x sin x 1 cos x
.
cos x
5
13
13
cot x
sin x 12
Câu 34: Tính giá trị lượng giác cịn lại của góc x biết
a) cos x
c) sin x
2
4
với x 0 . b) cos x với 270 x 360 .
2
5
5
5
1
với x d) sin x với 180 x 270 .
13
2
3
sin x 0
cos x 0
a) Do x 0
.
tan x 0
2
cot x 0
Lời giải
sin x
1
tan x
2
5
cos
x
2
2
sin x 1 cos x
Từ đó với cos x
.
5
1
5
cot x
2
tan x
sin x 0
cos x 0
b) Do 270 x 360
.
tan x 0
cot x 0
sin x
3
tan x cos x 4
4
3
2
Từ đó với cos x sin x 1 cos x
.
5
5
1
4
cot x
tan x
3
sin x 0
cos x 0
c) Do x
.
tan x 0
2
cot x 0
sin x
5
tan x
5
12
cos x
12
2
sin
x
cos
x
1
sin
x
Từ đó với
.
13
13
1
12
cot x
tan x
5
sin x 0
cos x 0
d) Do 180 x 270
.
tan x 0
cot x 0
sin x
2
tan x
2 2
1
2
cos x
4 .
Từ đó với sin x cos x 1 sin x
3
3
1
cot x
2 2
tan x
Câu 35: Tính giá trị lượng giác cịn lại của góc x biết
a) tan x 3 với x
c) tan x
3
.
2
1
với x
2
2
b) tan x 2 với
x .
2
d) cot x 3 với x
3
.
2
Lời giải
1
a) tan x 3 cot x
3
sin x
9
tan x 3
3 sin 2 x 9 cos 2 x sin 2 x 9 1 sin 2 x 0 sin 2 x
.
cos x
10
sin x 0
3
Vì x
2
cos x 0
3 10
10
; cos x
.
10
10
1
b) tan x 2 cot x
2
sin x
4
tan x 2
2 sin 2 x 4 cos 2 x sin 2 x 4 1 sin 2 x 0 sin 2 x .
cos x
5
sin x 0
Vì x
2
cos x 0
Do đó sin x
Do đó sin x
2 5
5
; cos x
.
5
5
1
c) tan x cot x 2
2
1
sin x
1
1
tan x
4 sin 2 x cos 2 x 4sin 2 x 11 sin 2 x 0 sin 2 x .
2
cos x
2
5
sin
x
0
Vì x
cos x 0
2
2 5
5
; cos x
.
5
5
1
d) cot x 3 tan x
3
1
sin x 1
1
tan x
9sin 2 x cos 2 x 9sin 2 x 1 sin 2 x 0 sin 2 x
.
3
cos x 3
10
sin x 0
3
Vì x
2
cos x 0
Câu 36: Tính giá trị lượng giác của các biểu thức sau:
5cot x 4 tan x
2sin x cos x
, A2
.
a) Cho tan x 2. Tính: A1
5cot x 4 tan x
cos x 3sin x
b) Cho cot x 2. Tính: B1
c) Cho cot x 2. Tính: C1
10
3 10
; cos x
.
10
10
2sin x 3cos x
2
, C2
.
3sin x 2 cos x
cos 2 x sin x cos x
3
cot x tan x
.
d) Cho sin x , 0 x . Tính: E
5
2
cot x tan x
8 tan 2 x 3cot x 1
1
.
e) Cho sin x ,900 x 1800. Tính: F
tan x cot x
5
Lời giải
5
4.2
1
5cot x 4 tan x
21
2
a) tan x 2 cot x A1
2
5cot x 4 tan x 5 4. 2
11
2
tan x 2 A2
2sin x cos x 2 tan x 1 2.(2) 1
3
cos x 3sin x 1 3 tan x 1 3.(2)
7
b) cot x 2 B1
3sin x cos x 3 cot x 3 2
5 4 2
sin x cos x
1 cot x 1 2
cot x 2 B2
sin x 3cos x 1 3cot x 1 3 2 19 6 2
sin x 3cos x 1 3cot x 1 3 2
17
c) cot x 2 C1
2sin x 3cos x 2 3cot x 2 3.2
8
3sin x 2 cos x 3 2 cot x 3 2.2
cot x 2 C2
d) 0 x
Do đó sin x
Do đó sin x
3sin x cos x
sin x 3cos x
, B2
.
sin x cos x
sin x 3cos x
E
2 1 cot 2 x
2 1 22
2
1
2
cos x sin x cos x 3cot x cot x
3.22 2
2
2
3
sin x 0
4
sin x 3
4
cos x 1
tan x
; cot x .
5
5
cos x 4
3
cos
x
0
2
4 3
cot x tan x 3 4 25
.
cot x tan x 4 3
7
3 4
2
sin x 0
1
2 2
cos x 1
e) Ta có 90o x 180o
cos x 0
3
3
tan x
sin x
1
; cot x 2 2 .
cos x 2 2
1
8.
3.2 2 1
8 tan x 3cot x 1
8
2 2
.
Do đó F
1
tan x cot x
3
2 2
2 2
2
d. cot 2 x cos 2 x
2
1
cos 2 x
1 sin 2 x
cos 2 x cos 2 x 2 1 cos 2 x.
cot 2 x.cos 2 x
2
sin x
sin x
sin 2 x
Câu 40: Chứng minh các đẳng thức sau:
1
a. tan x cot x
sin x.cos x
Câu 37: Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cos 2 x sin 2 x 1 2 sin 2 x .
b) 2 cos 2 x 1 1 2 sin 2 x
c) 3 4 sin 2 x 4 cos 2 x 1
d) sin x cot x cos x tan x sin x cos x
c.
b.
1 cos x
sin x
sin x
1 cos x
1
1
2
d. 1
1
tan x 0
cos x
cos x
1
1
1
1 tan x 1 cot x
Lời giải
Lời giải
a) Ta có cos x sin x 1 sin x cos x 1 2 sin x .
2
2
2
2
2
a. tan x cot x
b) Ta có 2 cos 2 x 1 2 1 sin 2 x1 1 2sin 2 x .
b.
1 cos x
sin x
1 cos x 1 cos x sin 2 x 1 cos 2 x sin 2 x sin 2 x cos 2 x 1
sin x
1 cos x
c) Có 3 4sin 2 x 3 4 1 cos 2 x 4 cos 2 x 1 .
d) Ta có sin x cot x cos x tan x sin x.
cos x
sin x
cos x.
sin x cos x .
sin x
cos x
Câu 38: Chứng minh các đẳng thức sau:
a. sin 4 x cos 4 x 1 2 sin 2 x.cos 2 x
c.
b. cos 4 x sin 4 x cos 2 x sin 2 x
d. 1 cos xsin 2 x cos x cos 2 x sin 2 x
c. 4 cos 2 x 3 1 2sin x 1 2sin x
Lời giải
a. sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 x 2sin 2 x.cos 2 x 1 2sin 2 x.cos 2 x
2
2
2
2
2
2
c) B cos 4 x cos 2 x sin 2 x sin 2 x
c. 1 2sin x 1 2sin x 1 4sin x 1 4 1 cos x 4 cos x 3
2
2
2
Lời giải
d. 1 cos x sin 2 x cos x cos 2 x 1 cos x 1 cos x 1 cos 2 x sin 2 x
Câu 39: Chứng minh các đẳng thức sau:
a. sin 4 x cos 4 x 1 2 cos 2 x 2 sin 2 x 1
c. tan x sin x tan x.sin x
2
2
2
2
a) Ta có sin x cos x 2sin x sin x cos 2 xsin 2 x cos 2 x 2sin 2 x
4
4
2
2
sin 2 x cos 2 x 1.
b. sin x.cos x sin x.cos x sin x.cos x
3
3
d. cot x cos x cot x.cos x
2
2
2
2
Lời giải
a. sin 4 x cos 4 x sin 2 x cos 2 xcos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x
1 sin 2 x sin 2 x 2 sin 2 x 1 2 1 cos 2 x1 1 2 cos 2 x
b. sin 3 x.cos x sin x.cos3 x sin x.cos x sin 2 x cos 2 x sin x.cos x
c. tan 2 x sin 2 x
1
1
1
sin 2 x sin 2 x cos 2 x 1
2
0
d. 1
1
tan x 1
2
cos x cos x
cos x cos 2 x
cos 2 x
b) B sin 4 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x .
b. cos x sin x cos x sin xcos x sin x cos x sin x
4
1
1
1
1
1
tan x
1
1 tan x 1 cot x 1 tan x 1 1
1 tan x 1 tan x
tan x
Câu 41: Chứng minh các đẳng thức sau không phụ thuộc vào biến x :
a) A sin 4 x cos 4 x 2 sin 2 x .
2
4
sin x cos x sin 2 x cos 2 x
1
cos x sin x
sin x.cos x
sin x.cos x
1
sin 2 x
1 cos 2 x
sin 2 x sin 2 x 2 1 sin 2 x.
tan 2 x.sin 2 x
2
cos x
cos x
cos 2 x
b) Ta có B sin 4 x cos 2 x sin 2 x cos 2 x sin 2 x sin 2 x cos 2 x cos 2 x
1.sin 2 x cos 2 x 1.
c) Ta có B cos 4 x cos 2 x sin 2 x sin 2 x cos 2 x cos 2 x sin 2 x sin 2 x
cos 2 x.1 sin 2 x 1 .
C
H
Ư
Ơ
N
IIG
=
=
=I
Câu 1:
Lời giải
I
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Câu 6:
BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
Góc có số đo 108 đổi ra rađian là:
3
A.
.
B.
.
5
10
3
C.
.
2
Lời giải
Câu 3:
Nếu một cung trịn có số đo là a thì số đo radian của nó là:
180
a
A. 180 a .
B.
.
C.
.
a
180
Lời giải
Tính được: 10 rad
Góc có số đo
A. 315 .
o
10
C.
180a
.
Câu 8:
.70
180
Góc có số đo 120 đổi sang radian là
3
2
A.
.
B.
.
2
3
D.
7
.
9
7
rad
18
C.
.
4
D.
10
.
Lời giải
Ta có 120 đổi sang radian là:
D.
9
.
8
Câu 9:
.
D. 5275728 .
A.
4
.
4
.
B.
D.
2
D. 135 .
o
.
.
2
Lời giải
Từ hình vẽ ta có OA, OB
C. 1 45 .
120
Câu 10: Trên đường trịn lượng giác
Số đo của góc lượng giác OA, OB là
.180 5725728 .
o
180
2
ra D.
3
Góc lượng giác có số đo thì mọi góc lượng giác cùng tia đầu và tia cuối với nó có số đo dạng
nào trong các dạng sau?
A. k180
B. k 360 .
C. k 2 .
D. k .
Lời giải
C.
7
thì góc đó có số đo là
4
B. 630o .
9
.
7
.a
180
0
Suy ra góc 70 có số đo bằng radian là
π
9π
.
180
4
18
Lời giải
C.
Lời giải
Đổi số đo của góc 10 rad sang đơn vị độ, phút, giây ta được
B. 1800 .
4
.
7
0
Góc 70 có số đo bằng radian là:
18
7
A.
.
B.
.
7
18
0
Góc a có số đo bằng radian là
D.
D.
9
405 9
(rad ).
. Vậy 405 tương ứng với
4
108 4
a
.
180
Cho góc có số đo 405 , khi đổi góc này sang đơn vị rađian ta được
8
9
9
A.
.
B.
.
C. .
9
4
4
Lời giải
A. 5725728 .
Câu 5:
D. .
4
108 . 3
.
180
5
Khi đổi góc 405 sang đơn vị rađian ta được 405
Câu 4:
Câu 7:
Số đo radian của một cung trịn có số đo a là
Số đo theo đơn vị rađian của góc 405 là:
9
7
5
.
.
.
A.
B.
C.
4
4
4
Lời giải
Ta có:
DẠNG 1: ĐỔI ĐƠN VỊ ĐO GĨC
7
thì góc đó có số đo là:
4
7.180o
315o .
4
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Ta có: 108
Câu 2:
Góc có số đo
2
.
rad thì mọi góc lượng giác có cùng
2
tia đầu và tia cuối với góc lượng giác trên đều có số đo dạng:
A. .
B. k , k . C. k 2 , k . D. k , k .
2
2
2
2
2
Lời giải
Câu 11: Trên đường trịn lượng giác, cho góc lượng giác có số đo
Câu 12: Kết quả nào sau đây là đúng?
2006
bằng
thì số đo góc hình học uOv
5
4
6
9
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
5
5
5
5
Lời giải
2006 6
6
400 uOv
Ou, Ov
5
5
5
Câu 18: Nếu số đo góc lượng giác Ou , Ov
o
A.
1(rad ) 1 .
180
B. 1(rad )
. C. 1(rad ) 180 .
Lời giải
Câu 13: Kết quả nào sau đây là đúng?
A. (rad ) 360 .
B. (rad ) 180 .
C. (rad ) 1 .
D. 1(rad ) 100 .
D. (rad ) 360 .
Lời giải
Câu 14: Góc lượng giác Ox, Ot có một số đo là
2017 , số đo tổng quát của góc lượng giác
2
Ox, Ot là
A.
k 2 .
2
B.
k .
2
C.
3
k 2 .
2
D.
3
k .
2
Lời giải
2
2017
2
2016
3
k 2
2
Câu 15: Cho góc lượng giác (OA;OB)
6
5
B.
. Trong các góc lượng giác sau, góc nào có tia đầu và tia
5
11
.
5
C.
31
.
5
D.
9
5 .
31
6 3.2
5
5
Câu 16: Cho Ou , Ov 25 k 360 k với giá trị nào của k thì Ou , Ov 1055 ?
B. k 2 .
C. k 3 .
Lời giải
D. k 4 .
Ou, Ov 25 k 360 1055 k 3
Ou, Ov 12 k 360
B. k 2 .
15
k 2
54 21
. cm .
Ta có l 7.
180 10
Câu 20: Trên đường trịn đường kính 8cm, tính độ dài cung trịn có số đo bằng 1,5 rad .
A. 12cm.
B. 4cm.
C. 6cm.
Lời giải
D. 15cm.
Câu 21: Một đường trịn có bán kính 15 cm . Tìm độ dài cung trịn có góc ở tâm bằng 30 là:
5
.
2
B.
5
.
3
C. k 3 .
Lời giải
59
k 2
15
59
?
15
D. k 4 .
C.
2
.
5
D.
.
3
Lời giải
l
a.R
180
.30.15
180
5
2
Câu 22: Một đường trịn có bán kính 10, độ dài cung tròn 40 trên đường tròn gần bằng
A. 7.
B. 9.
C. 11.
D. 13.
Lời giải
a.R .40.10 20
l
7
180
180
9
Câu 23: Một đường trịn có bán kính R
Câu 17: Cho Ou, Ov 12 k 360 với giá trị nào của k thì số đo (Ou , Ov)
A. k 1 .
a R
180
Câu 19: Trên đường trịn bán kính 7 cm , lấy cung có số đo 54 . Độ dài l của cung tròn bằng
21
11
63
20
cm .
cm .
cm .
cm .
A.
B.
C.
D.
10
20
20
11
Lời giải
A.
Lời giải
A. k 1 .
Một cung trịn có số đo a có độ dài là l
8
Tính được: l .R 1,5. 6 cm .
2
cuối lần lượt trùng với OA, OB .
A.
DẠNG 2: XÁC ĐỊNH ĐỘ DÀI CUNG TRỊN
B. 5 .
A. 5.
10
, độ dài cung trịn
C.
Lời giải
l .R
10
. 5
2
Câu 24: Chọn khẳng định sai
là
2
5
.
D.
.
5
A. Cung trịn có bán kính R 5cm và có số đo 1,5(rad ) thì có độ dài là 7,5 cm .
Vậy đu quay quay được góc 270 khi nó quay được
180
B. Cung trịn có bán kính R 8cm và có độ dài 8cm thi có số đo độ là
.
Ta có: Đu quay quay được 1 vòng trong
C. Độ dài cung tròn phụ thuộc vào bán kính của nó.
D. Góc lượng giác Ou , Ov có số đo dương thì mọi góc lượng giác Ou , Ov có số đo âm.
Đu quay quay được
Lời giải
Câu góc lượng giác Ou , Ov 330; Ov, Ou 30
Câu 25: Cho đường trịn có bán kính 6 cm. Tìm số đo của cung có độ dài là 3cm :
0,5
A. 0,5.
B.
.
C. 0,5 .
D. 1.
Lời giải
l 3
l .R 0,5
R 6
Câu 26: Cung trịn bán kính bằng 8, 43 cm có số đo 3,85 rad có độ dài là
A. 32, 46cm
B. 32, 45cm
l .R 3,85.8, 43 32, 46
C. 32, 47cm
B. 2,78cm .
Lời giải
C. 2,76cm .
D. 2,8cm .
Lời giải
2 .0,5
Trong 30 phút mũi kim giờ quét được một góc là
12
12
l .R
12
C. 500 cm .
D. 200 cm .
Lời giải
Ta có r 50 cm suy ra l 50.2 .5 500 cm .
Câu 29: Một đu quay ở cơng viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao
lâu để đu quay quay được góc 270 ?
1
1
1
A. phút.
B. phút.
C.
phút.
D. 1,5 phút.
3
6
4
Lời giải
Tính được: 270
270
3
3
.2
180
2
4
Câu 30: Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc A, cung lượng giác có số đo 30o có điểm đầu A, có bao
nhiêu điểm cuối N?
A. Có duy nhất một điểm N.
B. Có hai điểm N.
C. Có 4 điểm N.
D. Có vơ số điểm N.
Lời giải
Câu 31: Trên đường trịn lượng giác gốc A cho các cung có số đo:
I.
13
7
71
II.
III.
IV.
4
4
4
4
A. Chỉ I và II.
Ta có
4
B. Chỉ I, II và III.
C. Chỉ II,III và IV.
Lời giải
D. Chỉ I, II và IV.
7
2 nên cung I và II trùng nhau.
4 4
71
4
A. 120 .
Câu 28: Bánh xe đạp có bán kính 50 cm . Một người quay bánh xe 5 vòng quanh trục thì quãng đường đi
B. 1000 cm .
3
3 1 1
vòng trong . phút.
4
4 3 4
18 9.2 nên cung I và IV trùng nhau.
Câu 32: Lục giác ABCDEF nội tiếp trong đường tròn tâm O, điểm A cố định, điểm B, C có tung độ dương.
Khi đó số đo lượng giác của cung OA, OC là
.10,57 2, 77
được là
A. 250 cm .
1
phút
3
Hỏi các cung nào có điểm cuối trùng nhau?
D. 32,5cm .
Câu 27: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10, 57cm .Trong 30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có
độ dài là
A. 2, 77cm .
3
vịng
4
B. 240 .
C. 120 hoặc 240 .
Lời giải
D. 120 k 360 .
AOC 120 . Điểm B và C có tung độ dương nên lục giác ABCDEF có
ABCDEF là lục giác đều
thứ tự đỉnh ngược chiều kim đồng hồ. Vậy số đo lượng giác cung OA, OC là 120 k 360
Câu 33: Trên đường trịn lượng giác có điểm gốc là điểm A, điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng
giác AM có số đo bằng 45 . Điểm N đối xứng với M qua trục Ox, số đo cung AN là?
A. 45 .
B. 45 hoặc 315 .
C. 45 k 360 .
D. 315 k 360 .
Lời giải
45 , cung lượng giác OA, ON ngược chiều dương
Điểm N đổi xứng với M qua trục Ox NOA
nên số đo lượng giác cung OA, ON 45 k 360 315 k 360
Câu 34: Trên đường trịn lượng giác có điểm gốc là điểm A, điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng
giác AM có số đo bằng 60 . Điểm N đối xứng với M qua trục Oy, số đo cung NA là?
A. 120 k180 .
B. 120 hoặc 240 . C. 240 k 360 .
D. 120 k 360 .
Lời giải
AON 180 60 120 , cung lượng giác OA, ON
Điểm N đổi xứng với M qua trục Oy nên
cùng chiều dương nên số đo lượng giác cung OA, ON 120 k 360
Câu 35: Trên đường trịn lượng giác có điểm gốc là điểm A, điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng
giác AM có số đo bằng 75 . Điểm N đối xứng với M qua gốc tọa độ, số đo cung AN là?
A. 105 k 360 .
B. 105 hoặc 255 . C. - 255 k 360 .
D. 105 .
Lời giải
Ta
có POG
OP; OG
Câu 36: Cho hình vng ABCD tâm O, đường thẳng a qua O và trung điểm AB. Xác định góc tạo bởi
đường thẳng a và tia OA
A. 45 k 300 .
B. 15 k 360 .
C. 135 .
D. 155 .
Lời giải
Ta có
12
B.
.
12
C.
.
giác
12
D.
k 2 .
12
k 2
Lời giải
NOG
12 , cung
ON , OG
12
ON , OG
Câu 42: Trên đồng hồ tại thời điểm đang xét kim giờ OG chỉ số 3, kim phút OP chỉ số 12. Đến khi kim phút
và kim giờ gặp nhau lần đầu tiên, tính số đo góc lượng giác mà kim giờ quét được
A.
B. k .
C.
D. k 2 .
k 2 .
k .
22
22
22
2
k 2
2
3
: 2
6 11
Vậy số đo góc lượng giác mà kim phút quét được là
D. 4 .
22
k 2
22
3
, số đo cung
AN . Lấy điểm P trên đường trịn sao cho tam giác MNP cân tại P, tìm số đo cung AP
2
2
A.
B.
C. k .
D. k 2 .
k .
k 2 .
3
3
2
2
Lời giải
Câu 40: Trên đồng hồ tại thời điểm đang xét kim giờ OG chỉ số 3, kim phút OP chỉ số 12. Lúc đó sđ
OP; OG là
2
k 2 .
.
k 2
Câu 43: Trên đường tròn định hướng cho ba điểm A, M, N sao cho số đo cung AM
cung
ngược chiều dương nên số đo lượng giác cung
6 11
2
Sau 4 giờ kim giờ sẽ quay được một góc là 6 .4 3
Lời giải
lượng
3
Kim giờ đã quét được một góc có số đo là .
Sau 1 giờ kim giờ sẽ quay được một góc là 6
C.
đo
k 2
Thời gian từ lúc 3h đến lúc hai kim trùng nhau lần đầu tiên là
Lời giải
.
số
6
Trong 3 giờ kim giây quay được góc: 360.3.60 64800
Câu 39: Sau quãng thời gian 4 giờ kim giờ sẽ quay được một góc là
2
3
A. 3 .
B. 3 .
C. 4 .
nên
Trong 1 giờ, kim phút quét được một góc lượng giác 2 , kim giờ quét được góc
Câu 38: Sau một quãng thời gian 3 giờ thì kim giây sẽ quay được một góc có số đo là:
A. 12960 .
B. 32400 .
C. 324000 .
D. 64800 .
Lời giải
Trong 1 phút kim giây quay được góc: 360
2
dương
Khi kim phút chỉ số 12, kim giờ chỉ số 3 thì sđ (OG, OP) là
360
Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 12 răng là 72 .10 50
chiều
Lời giải
Lời giải
B.
2
ngược
22
Câu 37: Một bánh xe có 72 răng, số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là
A. 50o .
B. 60o .
C. 120o .
D. 70o .
.
2
, OP; OG
ON , OG là
A.
A.
2
Câu 41: Trên đồng hồ tại thời điểm đang xét kim giây ON chỉ số 5, kim phút OP chỉ số 6. Lúc đó sđ
AON 180 75 115 , cung lượng giác
Điểm N đổi xứng với M qua gốc tọa độ O nên
OA, ON ngược chiều dương nên số đo lượng giác cung OA, ON 115 k 360
Gọi I là trung điểm của AB, ta có AOI 45 , vậy góc tạo bởi tia OA và đường thẳng a bằng 45
hoặc 135
D.
2
k 2
.
Xét trường hợp sđ MN
2
3
sđ PM
sđ MN
Tam giác MNP cân tại P PM PN sđ PN
2
3
Áp
dụng
hệ
thức
Sa
–
P 2
sđ OA, OP sđ OA, OM s đ OM , OP sđ
AM sđ M
3 3
3
lơ:
Số đo lượng giác OA, OP
2
k 2
3
Câu 47: Trên đường tròn định hướng, điểm gốc
k 2
AM
Lập lượng tương tự với trường hợp xét sđ MN
OA, OP
3
4
3
ta được số đo lượng giác
k 2
2
k
3
, số đo cung
3
3
. Lấy điểm P trên đường tròn sao cho tam giác MNP cân tại N, tìm số đo cung AP
4
7
7
A.
B.
C. k .
D. k 2 .
k .
k 2 .
6
6
3
3
AN
Lời giải
trịn
định
D. 3.
hướng
ta
có
k 2
,
AOM
5
mà
thức
Câu 48: Trên đường trịn định hướng, điểm gốc A Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn số đo cung
k
AM
–
Trên
5
, số đo cung sđ
AN
k
,
80
tìm k để M trùng với N
A. 15(1 20m), m . B. 15(1 10m), m . C. 16(1 10m), m . D. 16(1 20m), m .
Lời giải
đường
trịn
C. 5.
Lời giải
định
hướng
D. 6.
ta
có
k
,
AOM
4
2
mà
6
, sđ
AN
đường
trịn
định
C. 8.
Lời giải
hướng
k
, tìm k để M
798
C. 133(7 16m), m . D. 133(5 12m), m .
AN sđ
AM 2m 1
sao cho sđ
k
2m 1 k 133 1596m 798 k 133(7 12m), m
798 6
có
AOM 30 k 45, k ,
mà
của M trên đường trịn
Câu 50: Cho
hai
góc
lượng
giác
có
sđ Ox, Ou 45 m360, m
và
sđ
B. Trùng nhau.
D. Vng góc.
Lời giải
Ta có Ox, Ou Ox, Ov 45 135 180
Câu 51: Cho hai góc lượng giác có sđ Ox, Ou
đối xứng với N qua gốc tọa độ
A. 133(7 12m), m . B. 133(5 12m), m .
Lời giải
ta
D. 10.
2
22
0
AOM 360 0 30 k 45 360 k
có 8 giá trị của k . Vây có 8 vị trí
3
3
A. Tạo với nhau góc 450.
C. Đối nhau.
k
l 2 k 16 160l k 16(1 10m), m
80 5
B. 4.
Ox, Ov 135 n360, n . Ta có hai tia Ou và Ov
Để M trùng với N thì tồn tại một số nguyên l sao cho sđ AN sđ AM l 2
m
B. 4.
?
A. 6.
7
Số đo lượng giác OA, OP
k 2
6
Để M đối xứng với N thì tồn tại một số nguyên
2
A. 3.
AM 30 k 45, k
Câu 49: Trên đường tròn định hướng góc A có bao nhiêu điểm M thỏa mãn sđ
lơ:
3 5 7
sđ OA, OP sđ OA, ON s đ ON , OP sđ
AN
đ s NP
4 12
6
Câu 46: Trên đường tròn định hướng cho ba điểm A, M, N sao cho sđ
AM
trên đường tròn
Sa
Câu 45: Trên đường tròn định hướng cho ba điểm A, M, N sao cho sđ
AM
4
k
1
3
0
AOM 2 0
2 k có 4 giá trị của k . Vây có 4 vị trí của M
4
2
2
2
sđ NP
5
Tam giác MNP cân tại N NM NP sđ NM
12
hệ
đường
C. 6.
Lời giải
đường trịn
Trên
5
Ta có sđ MN
12
dụng
B. 4.
k 2
0
AOM 2 0
2 0 k 5 có 5 giá trị của k . Vây có 5 vị trí của M trên
5
Câu 44: Trên đường tròn định hướng cho ba điểm A, M, N sao cho số đo cung AM
Áp
5
A. 5.
Trên
Vậy Số đo lượng giác OA, OP
A. Có bao nhiêu điểm M thỏa mãn số đo cung
m 2, m và sđ Ox, Ov n 2 , n . Ta có
4
4
hai tia Ou và Ov
A. Tạo với nhau góc 450.
C. Đối nhau.
Ta có Ox, Ou Ox, Ov
B. Trùng nhau.
D. Vng góc.
Lời giải
4 4 2
Câu 52: Cho
hai
góc
lượng
giác
sđ Ox, Ou 45 m360, m
có
Ox, Ov 315 n360, n . Ta có hai tia Ou
A. Tạo với nhau góc
C. Đối nhau.
450.
và
sđ
và Ov
Câu 58: Cho góc lượng giác (Ou, Ov)
B. Trùng nhau.
D. Vng góc.
Lời giải
A. k 3 12l .
Ta có Ox, Ou Ox, Ov 45 315 360
Câu 53: Cho hai góc lượng giác có sđ Ox, Ou
D. Tạo với nhau một góc
4
.
C. 1, 4 .
D. 0, 4 .
Ta có 2
3
trịn
C. 3.
Lời giải
định
hướng
3
D. 12.
ta
có
k
,
AOM
3
3
mà
k
0
AOM 2 0
2 1 k 5 có 6 giá trị của k . Vây có 6 vị trí của M trên
3
3
A. m 4 24k .
3
và
m
có cùng tia đầu và tia cuối khi m có giá trị là
12
C. m 4 20k .
D. m 4 22k .
Lời giải
Để hai góc lượng giác trùng nhau thì tồn tại một số nguyên k sao cho
m
k 2 m 4 24 k 4 24k
12
B. m 4 14k .
3
Câu 57: Cho lục giác đều A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 , A 1 là điểm gốc, thứ tự các điểm sắp xếp ngược chiều kim
đồng hồ. Số đo cung A 2 A 4 là
A. 240 k 360 .
B. 240 k 360 .
B. cos 0 .
C. tan 0 .
Lời giải
D. cot 0 .
C. sin 0 .
Lời giải
D. cos 0 .
5
nên tan 0 .
2
3
, tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau:
2
A. sin x 0.
B. cos x 0.
C. tan x 0.
Lời giải
C. 240 k180 .
Lời giải
D. 240 k180 .
D. cot x 0.
sin x 0
cos x 0
3
.
Ta có :
2
tan x 0
cot x 0
Câu 62: Cho góc
đường trịn
Câu 56: Hai góc lượng giác
2
Câu 61: Cho
k
Câu 55: Có bao nhiêu điểm M trên đường tròn định hướng gốc A thoả mãn sđ
AM
,k ?
đường
12
Câu 60: Cho 2
Lời giải
Trên
D. k 4 6l
DẠNG 1: XÉT DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
5
. Chọn mệnh đề đúng.
2
A. tan 0 .
B. cot 0 .
5
2
2 2
B. 4.
C. k 3 6l .
Lời giải
Khẳng định đúng là tan 0 .
137
137
Ta có Ou , Ov
28 0, 6
5
5
A. 6.
k
, tìm k để Ou vng góc với Ov
12
B. k 4 12l .
A. sin 0 .
B. Ou và Ov đối nhau.
B. 27, 4 .
Câu 59: Cho góc thoả mãn 90 180 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
137
Câu 54: Biết góc lượng giác Ou, Ov có số đo là
thì góc Ou , Ov có số đo dương nhỏ nhất là:
5
A. 0, 6 .
4
4
và sđ Ox, Ov n 2 , n
2
Lời giải
Ta có Ox, Ou Ox, Ov
k
Để Ou vng góc với Ov thì tồn tại một số nguyên l sao cho
l k 3 12l
5
m 2 , m
2
. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Ou và Ov trùng nhau.
C. Ou và Ov vng góc.
A 2 OA 4 240 , OA 2 , OA 4 ngược chiều kim đồng hồ nên sđ
A2 A4 240 k 360
Ta có
thỏa
A. cos 0 .
3
. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
2
B. cot 0 .
C. sin 0 .
Lời giải
D. tan 0 .
Do 3 nên điểm M biểu diễn cung AM có số
2
thuộc góc phần tư số II. Do đó
-Ta thấy ở góc phần tư thứ nhất thì: sin 0; cos 0; tan 0; cot 0
=> chỉ có Câu A thỏa mãn.
sin 0, cos 0, tan 0, cot 0 .
2021
2023
x
Câu 63: Cho
. Khẳng định nào sau đây đúng?
4
4
A. sin x 0, cos 2 x 0 . B. sin x 0, cos 2 x 0 .C. sin x 0, cos 2 x 0 .D. sin x 0, cos 2 x 0 .
Lời giải
2021
2023
5
7
x
504
x 504
Ta có
nên sin x 0 .
4
4
4
4
2021
2023
2021
2023
3
x
2x
1010 2 x 1010
Lại có
4
4
2
2
2
2
nên cos 2 x 0 .
Câu 65: Cho 2
5
. Kết quả đúng là:
2
A. tan 0; cot 0 . B. tan 0; cot 0 . C. tan 0; cot 0 . D. tan 0; cot 0 .
Lời giải
Vì 2
5
nên tan 0; cot 0
2
Câu 66: Điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ mấy nếu sin , cos cùng dấu?
A. Thứ II.
B. Thứ IV.
C. Thứ II hoặc IV.
D. Thứ I hoặc III.
Lời giải
Câu 67: Điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ mấy nếu cos 1 sin 2 .
A. Thứ II.
B. Thứ I hoặc II.
C. Thứ II hoặc III.
D. Thứ I hoặc IV.
Lời giải
Ta có cos 1 sin 2 cos cos 2 cos cos cos .
Đẳng thức cos cos cos 0 điểm cuối của góc lượng giác
ở góc phần tư thứ I
hoặc IV.
Câu 68: Cho
2
. Kết quả đúng là:
A. sin 0; cos 0 . B. sin 0; cos 0 .
C. sin 0; cos 0 . D. sin 0; cos 0 .
Lời giải
Câu 64: Ở góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau
đây.
A. sin 0 .
B. cos 0 .
C. tan 0 .
D. cot 0 .
Lời giải
Nhìn vào đường trịn lượng giác:
Vì
2
nên tan 0; cot 0 .
Câu 69: Ở góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây.
A. tan 0 .
B. sin 0 .
C. cos 0 .
D. cot 0 .
Lời giải
- Ở góc phần tư thứ tư thì: sin 0; cos 0; tan 0; cot 0 .
chỉ có C thỏa mãn.
Câu 70: Cho thuộc góc phần tư thứ nhất của đường trịn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các
kết quả sau đây.
A. sin 0.
B. cos 0.
C. tan 0.
D. cot 0.
Lời giải
sin 0
cos 0
thuộc góc phần tư thứ nhất
tan 0
cot 0
Câu 71: Điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ mấy nếu sin , tan trái dấu?
A. Thứ I.
B. Thứ II hoặc IV.
C. Thứ II hoặc III.
D. Thứ I hoặc IV.
Lời giải
Câu 72: Điểm cuối của góc lượng giác ở góc phần tư thứ mấy nếu sin 2 sin .
A. Thứ III.
B. Thứ I hoặc III.
C. Thứ I hoặc II.
D. Thứ III hoặc IV.
Lời giải
2
Đẳng thức sin sin sin 0 điểm cuối của góc lượng giác
ở góc phần tư thứ I
hoặc II.
Câu 77: Cho
Bấm máy ta được: sin
2
2
0 nên α thuộc cung phần tư thứ IV nên chỉ II, II sai.
. Xét các mệnh đề sau đây:
A. Chỉ I.
2
3
1
. II. cos . III. tan 3 .
2
2
B. Chỉ II và III.
I. cos 0 . II. sin 0 . III. cot 0 .
2
2
2
Câu 73: Cho a 15000 .Xét câu nào sau đây đúng?
A. Chỉ I và II.
Mệnh đề nào đúng?
Ta có sin 2 sin sin sin .
I. sin
C. Cả I, II và III.
Lời giải
D. Chỉ I và III.
B. Chỉ I và II.
C. Chỉ II và III.
Lời giải
D. Cả I, II và III.
3
nên đáp án là D
2 2
Câu 78: Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?
A. sin 90 sin150 .
C. cos 9030 ' cos100 .
B. sin 9015' sin 9030 ' .
D. cos150 cos120 .
Lời giải
Các góc trong đề bài đều là góc tù, chú ý rằng các góc tù thì nghịch biến với cả hàm sin và
3
1
; cos = ; tan 3.
2
2
cos
Từ đó dễ nhận thấy phương án đúng là phương án C.
=>Cả I, II, III đều đúng.
Câu 74: Cho 3
10
.Xét câu nào sau đây đúng?
3
A. cos 0 .
3
B. sin 0 .
C. tan 0 .
Lời giải
D. cot 0 .
10
2 2 nên α thuộc cung phần tư thứ III vì vậy đáp án đúng là
3
3
B
Câu 75: Cho
7
2 . Khẳng định nào sau đây đúng?
4
A. cos 0 .
B. sin 0 .
C. tan 0 .
Lời giải
D. cot 0 .
7
3
2
2 nên α thuộc cung phần tư thứ IV vì vậy đáp án đúng là A
4
2
4
Câu 76: Cho
2
Câu 79: Cho hai góc nhọn và phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai?
A. sin cos .
B. cos sin .
C. cos sin .
Thường nhớ: các góc phụ nhau có các giá trị lượng giác bằng chéo nhau
Nghĩa là cos sin ; cot tan và ngược lại.
. Xét các mệnh đề sau:
Câu 80: Cho 0 . Khẳng định nào sau đây đúng?
2
I. cos 0 . II. sin 0 . III. tan 0 .
2
2
2
A. sin 0.
B. sin 0.
C. sin 0.
D. sin 0.
Lời giải
Mệnh đề nào sai?
A. Chỉ I.
D. cot tan .
Lời giải
B. Chỉ II.
C. Chỉ II và III.
Lời giải
D. Cả I, II và III.
Ta có 0
điểm cuối cung thuộc góc phần tư thứ
2
2
III sin 0.
Câu 81: Cho 0
2
Câu 85: Cho
A. M 0.
. Khẳng định nào sau đây đúng?
B. cot 0.
C. tan 0.
2
Lời giải
A. cot 0.
2
cot 0
2
.
3
0
tan 0
2
2
Ta có
Câu 82: Cho
2
0
2
D. tan 0.
2
2
B. cos .
2
C. cos .
DẠNG 2: TINH GIA TRỊ LƯỢNG GIAC CỦA MỘT CUNG
D. tan .
Lời giải
sin sin ; cos sin ; cos cos ; tan tan .
2
sin 0
Do
cos 0
2
tan 0
3
3
0. C. tan
0.
B. tan
2
2
Lời giải
3
0.
D. tan
2
. Xác định dấu của biểu thức M cos .tan .
2
A. M 0.
B. M 0.
C. M 0.
D. M 0.
Lời giải
Câu 84: Cho
A. sin
35
.
6
B. sin
C. sin
5
.
6
D. sin
2
Ta có
35
1
2
sin 0 . Nên sin 1 cos 1
.
6
2
6
1
.
3
5
3
2 .
và
3
2
1
2
B. .
C. .
3
3
Lời giải
Ta có: sin 2 1 cos 2 1
Do
Câu 88: Cho cos x
A.
2
D. .
3
5 4
2
sin .
9 9
3
3
2
2 nên sin 0 . Vậy sin .
2
3
2
x 0 thì sin x có giá trị bằng
5 2
3
.
5
B.
3
.
5
C.
1
.
5
Lời giải
2
cos 0
2 0 2 2
2
M 0.
Ta có
0
tan 0
2
2
35
.
36
Lời giải
A.
3
sin 2 0
3
3
3
0
tan
0.
Ta có
2
2
2
2
cos 3 0
2
1
Câu 86: Cho cos = ;
. Tính sin .
6
2
Câu 87: Tính sin , biết cos
3
. Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 83: Cho
2
3
0.
A. tan
2
3
3
sin 0
2 2 2 2
2
Ta có
3 2 5
cot 0
2
2
M 0 .
. Giá trị lượng giác nào sau đây luôn dương?
A. sin .
3
. Xác định dấu của biểu thức M sin .cot .
2
2
B. M 0.
C. M 0.
D. M 0.
Lời giải
Vì
2
x 0 sin x 0
2
2 1
2
2
2
2
Ta có sin x cos x 1 sin x 1 cos x 1
5 5
Vậy sin x
1
.
5
D.
1
5
35
.
6
Câu 89: Cho sin
1
biết 00 900 . Tính cos ; tan
4
15
15
; tan
.
4
15
A. cos
C. cos
2
cos 21 sin
Áp dụng hệ thức sin 2 cos 2 1 ta có: α
B. cos
15
15
; tan
.
4
15
D. cos
15
15
; tan
.
4
15
15
15
; tan
.
4
15
Lời giải
1
sin 4
15
15
cos
Ta có
; với 00 900 nên cos
.
4
15
4
cos 2 1 sin 2
16
Và sin
sin
1
15
1
nên tan
.
4
cos
15 15
Câu 90: Cho cos
21
.
5
A.
2
90o 180o , khi đó tan bằng:
5
B.
21
.
2
C.
Vậy, tan
21
.
5
21
.
3
D.
2
cos
Câu 92: Cho sin
4 3
A. ; .
5 4
3
4
cos 0 cos
2
5
3
sin
3
tan
5 .
cos 4 4
5
4
3
Vậy cos ; tan .
5
4
4
Câu 93: Cho cos với . Tính giá trị của biểu thức M 10sin 5 cos .
5
2
1
A. 10 .
B. 2 .
C. 1 .
D. .
4
Lời giải
Vì
2
9
4
3
4
sin 2 1 cos 2 1
sin
5
5
25
5
nên sin
3
.
5
3
4
M 10sin 5 cos 10. 5. 2 .
5
5
Câu 94: Cho cos
sin
21
.
cos
2
3
Câu 91: Cho sin và . Giá trị của cos là:
5
2
4
4
4
A. .
B. .
C. .
5
5
5
Lời giải
Vì
9 16 4
.
25 25 5
2
21
4 21
sin
.
5
25 25
Ta có: sin 2 cos 2 1 cos 2 =1 sin 2 1
1
2
Do
cos
Lời giải
2
2
Ta có: sin 1 cos 1
cos
2
A. sin
1
7
4 . Khẳng định nào sau đây đúng?
và
3
2
2 2
.
3
B. sin
2 2
.
3
C. sin
2
.
3
D. sin
2
.
3
Lời giải
D.
16
.
25
4
cos 5
9 16
.
25 25
cos 4
5
4
.
5
3
3
và
. Khi đó giá trị của cos và tan lần lượt là
5
2
4 3
4 3
3 4
B. ; .
C. ; .
D. ; .
5 4
5 4
4 5
Lời giải
2 2
8
1
1
sin 2 1 cos 2 1 sin
3
3
3
9
2
cos
Vì
2 2
7
.
4 nên sin
3
2
Câu 95: Cho góc thỏa mãn
A.
4 3
.
2
2
1
1
0 và cos . Giá trị của biểu thức P sin
bằng
2
cos
B.
4 3
.
2
1 3
.
2
Lời giải
C.
Cách 1: Ta có: sin 2 cos 2 1 sin 2 1 cos 2
2
Với cos
3
1
1 3
sin 2 1 sin
2
2
2 4
D.
1 3
.
2
