chương 3 ánh sáng tuyến tính

Trang 1
Chương 3: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

3.1. Khái niệm
3.1.1. Định nghĩa
1. Định nghĩa. Cho V,W là hai không gian vectơ tùy ý. Ánh xạ f:V  W
được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu thỏa hai tính chất sau đây:
(i) f(x+y) = f(x) + f(y) , x,y  V
(ii) f(kx) = kf(x) , x  V , k  R
2. Ví dụ. Cho ánh xạ f : R
3
 R
2
xác định bởi
f(x
1
,x
2
,x
3
) = (2x
1
,x
2
-x
3
), (x
1
,x
2
,x

3
)  R
3
Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính
3. Phép đồng cấu, đẳng cấu
Phép đồng cấu
Ánh xạ tuyến tính f : V  W gọi là phép đồng cấu của V lên W
 Nếu W  V thì gọi là tự đồng cấu
 Nếu f là đơn ánh thì f được gọi là đơn cấu.
 Nếu f là toàn ánh thì gọi là toàn cấu.
Phép đẳng cấu
Ánh xạ tuyến tính f : V  W gọi là phép đẳng cấu của V trên W nếu f là 1
song ánh
3.1.2. Tính chất
 Cho ánh xạ tuyến tính : f : V  W
a/ f(O
v
) = O
w

b/ f(-x) = -f(x)
c/ f(x-y) = f(x) – f(y)
d/ f(
1
x
1
, 
2
x
2+…+


n
x
n
) = 
1
f(x
1
) + 
2
f(x
2
) +… + 
n
f(x
n
)
 Cho V, W là các không gian véctơ và f,g là các ánh xạ tuyến tính:

Ta định nghĩa:
a) (f+g)(x) = f(x) +g(x)
b) (kf) (x) = kf(x)
WVgWVf  :,:
Trang 2


Các ánh xạ f+g, kf cũng là ánh xạ tuyến tính
 Cho ánh xạ tuyến tính
:W; :WZfV g

 Ánh xạ hợp: g.f : V  W xác định bởi:
(g.f)(x) = g[f(x)], cũng là ánh xạ tuyến tính từ V vào Z.
3.2. Ảnh và hạt nhân của ánh xạ tuyến tính
3.2.1. Định nghĩa
 Ảnh của f
 Cho ánh xạ tuyến tính f: V  W
 Ảnh của f, ký hiệu Imf là tập hợp:
Imf = { y  W / x  V, y =f(x) }
 Ta thấy Imf =f(V)
 Hạt nhân của f
 Cho ánh xạ tuyến tính f : V 
W
 Hạt nhân của f , ký hiệu Kerf là tập hợp :
Kerf = { x  V / f(x) = O
w
}
Vi dụ:
Cho f là ánh xạ không : V  W
 Ta thấy x  V , f(x) = O
w,
nên:
Kerf = V và Imf = { O
w
}
3.2.2. Tính chất
 Cho ánh xạ tuyến tính f : V  W
 Kerf là không gian con của V
 Imf là không gian con của W
3.3. Ma trận của ánh xạ tuyến tính
Cho 2 không gian véc tơ hữu hạn chiều V và W với dim V = n, dim W = m.

 Giả sử (u) và (v) là cơ sở của V và W:
(u) = { u
1
,u
2
,…,u
n
} , (v) = { v
1
,v
2
,…,v
m
}
 Cho ánh xạ tuyến tính f: V  W
x y =f(x)
 Tọa độ của x đối với cơ sở (u) trong V:
x/
(u)
= (x
1
,x
2
,…,x
n
)


Trang 3

 Tọa độ của y = f(x) với cơ sở (v) trong W
f(x)/
(v)
= (y
1
,y
2
,…,y
m
)
 Tồn tại ma trận A cấp mxn liên hệ giữa các toạ độ trên :
[f(x)/
(v)
] = A. [x/
(u)
]

 Định nghĩa. Ma trận A thỏa đẳng thức trên gọi là ma trận của ánh xạ
tuyến tính f : V  W đối với cơ sở (u) trong V và cơ sở (v) trong W.
 Ma trận này được xác định như sau:
A = [[f(u
1
)/
(v)
], [f(u
2
)/
(v)

]
…
[f(u
3
)/
(v)
]

]
Trường hợp riêng
V = R
n
, W=R
m
có các cơ sở chính tắc tương ứng là : (e) ={e
1
, e
2
,…,e
n
},
(e’)={e’
1
, e’
2
,…,e’
m
}. Ma trận của ánh xạ tuyến tính : f: R
n
 R

m
được gọi là
ma trận chính tắc.
A = [[f(e
1
)] [f(e
2
)]
…
[f(e
n
)]

]

Ví dụ 1 Cho ánh xạ tuyến tính f: R
2
 R
2
xác định bởi
f(x
1
,x
2
) = (x
1
+2x
2
, x
1

-x
2
). Tìm ma trận chính tắc .
Ghi chú. Ma trận A có các hàng tương ứng là các hệ số của các tọa độ
véctơ f(x
1,
x
2
) .
Ví dụ 2 Cho ánh xạ tuyến tính f : R
4
 R
3
xác định bởi
f(x
1
,x
2,
x
3
,x
4
) = (x
1
- x
2
+x
3
+x
4

, x
1
+2x
3
-x
4
, x
1
+x
2
+3x
3
-3x
4
)
R
4
có các cơ sở (u) = {u
1
, u
2
, u
3
, u
4
} với u
1
= (1,0,0,0) , u
2
= (1,1,0,0) ,

u
3
= (1,1,1,0) , u
4
= (1,1,1,1) và R
3
có cơ sở chính tắc.
Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính .
Ví dụ 3 Cho ánh xạ tuyến tính f : R
2
 R
3
xác định bởi
f(x
1
,x
2
) = (2x
1,
x
1+
x
2
, x
1
-2x
2
)
R
2

có cơ sở chính tắc (e) = { e
1
, e
2
}
R
3
có cơ sở (u) ={ u
1
, u
2
, u
3
} với u
1
=(1,1,1) ,u
2
=(1,1,0) , u
3
=(1,0,0) . Tìm
ma trận của ánh xạ tuyến tính .
Ví dụ 4 Cho ánh xạ tuyến tính f : R
3
 R
2
xác định bởi
f(x
1
,x
2

,x
3
) = (x
1+
2x
2
+x
3
,x
1+
5x
2
+ x
3
).
Trang 4
Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính đối với cơ sở (u) ={ u
1
, u
2
, u
3
} trong
R
3
và (v) ={v
1
,v
2
} trong R

2
. Biết rằng :
u
1
=(1,1,1) ,u
2
=(1,1,0) , u
3
=(1,0,0)
v
1
=(1,3) , v
2
=(-1,2)
3.4. Sự đồng dạng
3.4.1. Ma trận đồng dạng
 Cho A và B là 2 ma trận vuông cùng cấp n.
 A và B đồng dạng  P khả đảo cấp n : B=P
-1
AP
3.4.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính qua phép đổi cơ sở
 Ma trận chuyển cơ sở
Cho không gian véc tơ V có 2 cơ sở là (u) = {u
1
,…,u
n
}
và (v) ={ v
1
, v

2
, v
3
} . Ma trận chuyển cơ sở từ (u) sang (v) là:
P= [[v
1
/
(u)
][v
2
/
(u)
]…[v
n
/
(u)
]]
 Định lý. Cho ánh xạ tuyến tính f : V  V (toán tử tuyến tính) , V là
không gian véc tơ dim V = n. Giả sử V có 2 cơ sở là (u) và (v). Nếu A là ma trận
của f đối với cơ sở (u) và A’ là ma trận của f đối với cơ sở (v) thì ta có :
A’=P
-1
AP trong đó P là ma trận chuyển cơ sở từ (u) sang (v) ( Ta thấy A’ đồng
dạng với A)
Ví dụ. Cho ánh xạ tuyến tính f : R
2
 R
2
xác định bởi
f(x

1
,x
2
) = (x
1+
x
2
,-2x
1+
4x
2
)
a. Tìm ma trận chính tắc của f
b. Tìm ma trận của f đối với cơ sở (u) ={ u
1
, u
2
} với u
1
=(1,1) và
u
2
=(1,2)
3.5. Giá trị riêng – Vectơ riêng
3.5.1. Định nghĩa
Cho V là không gian véctơ có n chiều và f: V  V là toán tử tuyến tính.
 Số  được gọi là trị riêng của f nếu tồn tại vectơ x  V , x  0 sao
cho f(x) = x.
 Vectơ x  V , x  0 thỏa f(x) = x được gọi là vectơ riêng của f
tương ứng với trị riêng .

 Nếu A là ma trận của ánh xạ tuyế
n tính thì số thực

được gọi là
giá trị riêng của A nếu tồn tại vector n chiều
0x

sao cho:





A
xx


.
Trang 5
Nhận xét. Từ phương trình






()0Ax x A I x


 có nghiệm 0x



suy ra
0AI



. Khi đó


A
I


được gọi là ma trận đặc trưng,
0AI

 được gọi là phương trình đặc trưng của ma trận A.
3.5.2. Cách tìm giá trị riêng và vector riêng
Bước 1: Lập ma trận đặc trưng


A
I

 .
Bước 2: Giải phương trình đặc trưng
0AI



 . Ta được các giá trị riêng:
12
,,


.
Bươc 3: Thay từng giá trị riêng
k



vào phương trình




.0AIx


.
Nghiệm của hệ phương trình là vector riêng của A ứng với GTR
k

.
Ví dụ 1 Tìm giá trị riêng và vector riêng của ma trận
13
02
A










 Ma trận đặc trưng:
13
02
A











.
 Phương trình đặc trưng:
13 1
00(1)(2)0
02 2
AI




 
 
  
 


 

Với
1
1

 , giải hệ phương trình

11
1
22
03
.0 . 0 ; \{0}
03 0
xx
AIx R
xx



 

  






 

Vậy vector riêng ứng với GTR
1


 là: (,0); \{0}xR




Với
1
2

 , giải hệ phương trình

11
2
22
33
. 0 . 0 ; \{0}
00
xx
AIx R

xx





 

  





 
.
Ví dụ 2 Tìm giá trị riêng và vector riêng của các ma trận
a.
200
022
022
A






b.
13 1

35 1
33 1
B



 




c.
125
024
101
C











d.
010
440

212
D








Giải
a. Ma trận A
Trang 6
 Ma trận đặc trưng:
200
02 2
022
AI








 








.
 Phương trình đặc trưng:
2
200
002 20(2)(2)40
022
AI





   



0
(2 )( )(4 ) 0 2
4

  




   





.
Với
1
0

 , giải hệ phương trình

11
122
33
0
200
.0022. 0 ; \{0}
022
xx
AIx x x R
xx



 




 









 

Vậy vector riêng ứng với GTR
0


là: (0; ; ), \{0}xR




Với
2
2

 , giải hệ phương trình

11
222
33
000
.0002. 0 0; \{0}

020
0
xx
AIx x x R
xx



 




 








 
.
Vậy vector riêng ứng với GTR
2
2


là: ( ;0;0), \{0}xR





Với
3
4

 , giải hệ phương trình

11
322
33
0
20 0
.0022. 0 ; \{0}
02 2
xx
AIx x x R
xx




 




 










 
.
Vậy vector riêng ứng với GTR
3
4


là:
(0; ; ), \{0}xR




.
b. Ma trận B
 Ma trận đặc trưng:
320
23 0
005
BI









 







.
Trang 7
 Phương trình đặc trưng:
320
0 2 3 0 0 (3 )(3 )(5 ) 4(5 ) 0
005
BI




    


2

1
(5 ) (1 ) 0
5 (bôi 2)





 



.
Với
1
1

 , giải hệ phương trình

11
122
33
220
. 0 2 2 0 . 0 ; \{0}
003
0
xx
BIx x x R
xx





 




 








 

Vậy vector riêng ứng với GTR
1


là: ( ; ;0), \{0}xR




Với
2

5

 , giải hệ phương trình

11
222
33
220
.0 220. 0
000
xx
BIx x x
xx







 




 









 
.
22
( , \{ 0})R
  

Vậy vector riêng ứng với GTR
2
5


là:
22
(;;),(, \{ 0})xR
   
    .
c. Ma trận C
 Ma trận đặc trưng:
125
02 4
101
CI









 







.
 Phương trình đặc trưng:
2
125
0 (bôi 2)
002 40 (4)0
4
101
CI








   






Với
1
0

 , giải hệ phương trình

11
122
33
125
.0024. 0 2; \{0}
101
xx
CIx x x R
xx




 




 









 

Vậy vector riêng ứng với GTR
1
0


là: (;2; ), \{0}xR




Trang 8
Với
2
4

 , giải hệ phương trình

11
222
33

3
32 5
.0024. 0 2; \{0}
10 3
xx
CIx x x R
xx





 




 









 
.
Vậy vector riêng ứng với GTR

2
2


là: (3 ;2 ; ), \{0}xR

 


d. Ma trận D
 Ma trận đặc trưng:
10
44 0
212
DI








 









.
 Phương trình đặc trưng:
10
0 4 4 0 0 ( )(4 )(2 ) 4(2 ) 0
212
DI




    


23
(2 )( 4 4) 0 (2 ) 0 2
   
   (bội ba).
Với
2

 , giải hệ phương trình

11
22
22
33
210
.0 420. 0 2;(, \{+0})

210
xx
DIx x x R
xx





 




   









 

Vậy vector riêng ứng với GTR
2



là:
22
(;2;);, \{ + 0}xR
  

3.6. Chéo hóa ma trận
Nhận xét. Nếu A là ma trận chéo thì việc tính
k
A , kN

rất dễ dàng.
Ví dụ. Nếu
100
020
003
A






thì
100
02 0
003
k
kk
k
A












.
Vấn đề. Đưa một ma trận vuông bất kì về dạng đường chéo như thế nào?
1. Định nghĩa
Ma trận vuông cấp n A được gọi là chéo hóa được nếu tồn tại ma trận
vuông cấp n không suy biến T và ma trận đường chéo
D

sao cho
1
TAT D



.
Khi đó ta nói T là ma trận làm chéo hóa A hay A được chéo hóa bởi ma trận T và
D

là ma trận đồng dạng với A.
Trang 9

Ví dụ Ma trận
85
10 7
A






chéo hóa được. Thật vậy với
11
21
T









và
20
03
D







thì
1
TAT D


 vì
1
11
21
T












.
2. Điều kiện chéo hóa ma trận
Nếu ma trận A có n giá trị riêng phân biệt thì A chéo hóa được.
Ngược lại A chéo hóa được khi và chỉ khi A có n giá trị riêng kể cả bội và
số chiều của tất cả các không gian con riêng bằng số bội của giá trị riêng tương

ứng.
3. Cách chéo hóa ma trận
Bước 1: Giải phương trình đặc trưng để tìm các giá trị riêng
i

.
Bước 2: Ứng với mỗi
i

, giải hệ phương trình




0
i
AIx


 . Lập không
gian nghiệm
W( )
i

của phương trình.
Bước 3: Lập ma trận T với cột thứ i là tọa độ của vector cơ sở của
W( )
i


và ma trận đường chéo
D

, trong đó phần tử nằm trên đường chéo và cột i là
i

.
Ví dụ. Hãy chéo hóa các ma trận A, B, C, D trong ví dụ ở phần 3.5.2
a. Ma trận A
 Với
1
0

 , ta có: W(0) {(0; ;- )| R}



 .
Khi đó:
W(0) (0; ; ) (0;1; 1)xx


      . Ta chọn một cơ sở của W(0)
là:
1
(0;1; 1)u .
 Với
2
2


 , ta có: W(2) {( ;0;0)| R}



 .
Khi đó:
W(2) ( ;0;0) (1;0;0)xx


    . Ta chọn một cơ sở của W(2) là:
2
(1;0;0)u  .
 Với
3
4

 , ta có: W(4) {(0; ; )| R}



 .
Khi đó:
W(4) (0; ; ) (0;1;1)xx


    . Ta chọn một cơ sở của W(4) là:
3
(0;1;1)u  .
Vậy ma trận A chéo hóa được với:
010

101
101
T












và
000
020
004
D








b. Ma trận B
 Với

1
1

 , ta có:
W(1) {( ; ;0)| R}




.
Trang 10
Khi đó:
W(1) ( ; ; 0) (1; 1; 0)xx


    . Ta chọn một cơ sở của W(1) là:
1
(1;1; 0)u  .
 Với
2
5

 (bội 2), ta có: W(5) {(- ; ; )| , R}

 

 .
Khi đó:
W(5) (;;)(;;0)(0;0;)xx


  
     . Ta chọn hai cơ sở
của
W(5) là:
2
(1;1;0)u  và
3
(0;0;1)u

.
Vậy ma trận B chéo hóa được với:
110
110
001
T












và
100
050

005
D








c. Ma trận C
 Với
1
0

 (bội 2), ta có: W(0) {( ;2 ; )| }
R



.
Ta chọn một cơ sở của
W(1) là:
1
(1; 2; 1)u

 .
 Với
2
2


 (bội 2), ta có: W(2) {(3 ;2 ; )| }
R

 

 .
Ta chọn một cơ sở của
W(2) là:
2
(3;2;1)u


Vì
dim (0) dim (2) 2 3WWn nên C không chéo hóa được.
d. Tương tự ma trận D không chéo hóa được vì
dim (2) 2 3Wn

.
BÀI TẬP CHƯƠNG 3

1. Cho ánh xạ f : R
2
 R
2
xác định bởi f(x
1
,x
2
) = (x

1
+2x
2
,x
1
-x
2
)
a. Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính .
b. Tìm ma trận chính tắc của ánh xạ f .
c. Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cơ sở (u) = {u
1
,u
2
} với u
1
=(1,1) ,
u
2
=(1,0)

2. Cho ánh xạ f : R
3
 R
2
xác định bởi f(x
1
,x
2
,x

3
) = (2x
1
+x
2
-x
3
,x
1
+x
2
-3x
3
)
a. Chứng tỏ f là ánh xạ tuyến tính .
b. Tìm ma trận chính tắc của f .
c. Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cơ sở (u) = {u
1
,u
2
, u
3
} với
u
1
=(1,1,1) , u
2
=(1,1,0), u
3
=(1,0,0) trong R

3
và (v) = {v
1
,v
2
} với
v
1
=(1,2) ,v
2
=(0,2) trong R
2


3. Cho ánh xạ tuyến tính f : R
3
 R
2
xác định bởi f(x
1
,x
2
,x
3
) =
(x
1
+2x
2
+x

3
,x
1
+5x
2
+x
3
)
a. Tìm ma trận chính tắc của f .
Trang 11
b. Tìm ma trận của ánh xạ f đối với cơ sở (u) = {u
1
,u
2
, u
3
} với
u
1
=(1,1,1) , u
2
=(1,1,0), u
3
=(1,0,0) trong R
3
và (v) ={v
1
,v
2
} với

v
1
=(1,3) ,v
2
=(-1,2) trong R
2


4. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của các ma trận :
a. A =
21
03



b. B =
34
21






c. C =
12
24









5. Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của các ma trận :
a. A =
332
11 2
310







b. B =
21 0
01 1
02 4












c. C =
221
131
122











6. Tìm giá trị riêng, vectơ riêng và cơ sở không gian riêng của các ma trận sau
:
a. A =
213
030
10 2









b. B =
500
150
015










c. C =
010
440
112














7. Các ma trận sau đây có chéo hóa được hay không ?
a. A =
011
002
001





b. B =
222
232
424












c. C =
211

121
112












8. Cho ánh xạ tuyến tính f : R
3
 R
3
với f(x
1
,x
2
,x
3
) = (x
1
+x
2
+x
3

, x
1
+x
2
+x
3
,x
1
+x
2
+x
3
)
a. Tìm ma trận chính tắc A của ánh xạ f .
b. Ma trận A có chéo hóa được hay không ? Nếu có hãy làm chéo A .