ĐỀ THI CUỐI HỌC KÌ GIẢI TÍCH 1

ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM
Khoa Khoa học ứng dụng-BM Toán ứng dụng
ĐỀ MINH HỌA
(Đề gồm có 20 câu/4 trang)

ĐỀ THI CUỐI KỲ HK201
Mơn: Giải tích 1
Ngày thi : 25/01/2020 Mã đề thi 1101
Thời gian: 100 phút, không kể thời gian phát đề

Sinh viên không được sử dụng tài liệu
PHẦN I: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Thời gian: 50 phút

Z+∞
Câu 1. Tính In =
xe−nx dx, với mọi số tự nhiên n (khơng tính số 0).
0

1
A. − .
n

B.

n2 .

C.

In phân kỳ.

D.

1
.
n2

Câu 2. Hàm số nào sau đây là nghiệm của phương trình vi phân (x2 + 1) y 0 = xy thỏa y(0) = a, với
a ∈ R.
√
√
√
a
B. y = a + x2 + 1.
C. y = x2 + a2 .
D. y = √
.
A. y = a x2 + 1.
2
x +1
Câu 3. Tính thể tích vật thể tạo ra khi phần hình trịn x2 + y 2 ≤ 2, x ≥ 0, y ≥ x quay quanh Ox (bỏ
qua đơn vị).
8π
2π
4π
10π
A.
.
B.
.

C.
.
D.
.
3
3
3
3
Câu 4. Khi dùng phương pháp hệ số bất định tìm nghiệm riêng y ∗ (x) của phương trình vi phân
y 00 − 12y 0 − 13y = (2 − x)ex ,
ta được hàm
 số nào dưới đây?
x
29
x − 29 x
A.
−
e .
ex .
B.
24 288
288


C.

x
19
−
24 288



ex .

D.

x − 19 x
e .
288

1
Câu 5. Biết y(x) là nghiệm của phương trình vi phân y 0 − 2y = ex − x thỏa điều kiện y(0) = . Tính
4
y(−1).
1
1
1
1
A. e−2 − e−1 − .
B. e2 − e−1 − .
C. e−2 − 2e−1 − .
D. e−2 − e−1 − .
4
2
4
2

Trang 1/4- Mã đề thi 1101

Câu 6. Phần dầu tràn từ một tàu chở dầu loang trên biển có hình dạng bề mặt như hình bên dưới. Sử
dụng thơng tin của hình, dùng tổng trung tâm (tổng giữa) với khoảng chia 200 feet để ước tính
diện tích của vệt dầu loang.

A.

300, 000 ft2 .

B.

770, 000 ft2 .

C.

600, 000 ft2 .

D.

450, 000 ft2 .

Câu 7. Cho C1 , C2 là các hằng số tùy ý, công thức nào sau đây mô tả nghiệm tổng quát của phương
trình vi phân
y 00 − 3y 0 = 2x,
A.
B.
C.
D.

C1 + C2 e3x + Ax2 + Bx, với A, B là các hằng số nào đó.

C1 + C2 e−3x + Ax2 , với A là hằng số nào đó.
C1 + C2 e3x + Ax + B, với A, B là các hằng số nào đó.
C1 + C2 e−3x + Ax2 + B, với A, B là các hằng số nào đó.

Câu 8. Chi phí cận biên để sản xuất x chiếc mũ thể thao cao cấp được cho bởi hàm số
C 0 (x) = 4 − 0.001x

A.
C.

USD/chiếc.

Tìm C(x) nếu biết chi phí để sản xuất 100 chiếc mũ là 500 USD.
C(x) = 4x − 0.0005x2 + 106.
B. C(x) = 4x − 0.0005x2 + 105.
C(x) = 4x − 0.0005x2 + 107.
D. C(x) = 4x − 0.0005x2 + 108.

Câu 9. Ông A muốn tạo ra một khoản thu nhập cho người thừa kế vào năm thứ t tính từ thời điểm hiện
tại ở mức
P (t) = 200 + 10t triệu đồng/năm,
bắt đầu từ năm kế tiếp. Giả sử khoản tiền đầu tư luôn nhận được lãi suất kép liên tục là r%/năm
thì khoản tiền đầu tư tại thời điểm hiện tại được ước tính là
Z+∞
PV ≈
P (t)e−rt dt.
0

Ước tính khoản tiền đầu tư này nếu lãi suất r = 5%/năm
A. 12 tỷ đồng.

B. 8 tỷ đồng.
C. 10 tỷ đồng.

D.

6 tỷ đồng.

Trang 2/4- Mã đề thi 1101


Câu 10. Tốc độ thay đổi nồng độ một loại kháng sinh trong máu sau t giờ kể từ lúc tiêm tỷ lệ thuận với
nồng độ kháng sinh. Gọi C(t) là nồng độ kháng sinh trong máu sau t giờ. Với k là một hằng số
dương nào đó, phương trình vi phân nào sau đây mô tả sự thay đổi nồng độ trong máu của loại
kháng sinh này?
k
.
D. C 0 (t) = −kt.
A. C 0 (t) = kC(t).
B. C 0 (t) = −kC(t).
C. C 0 (t) =
C(t)
√
Câu 11. Cho đường cong y = x, 0 ≤ x ≤ 1. Tính diện tích mặt trịn xoay tạo ra khi đường cong này
quay quanh trục Ox.








π √
2π √

π √
π √
A.
5 5−1 .
B.
5−1 .
C.
5 5−1
D.
5−1 .
3
3
6
12
Câu 12. Hàm số y = 3xe−2x là nghiệm của phương trình vi phân nào dưới đây
A. y 00 + 5y 0 + 6y = 0.
B. y 0 + xy = 0.
C. y 0 − 3xe−2x = 0.
D. y 00 + 4y 0 + 4y = 0.
x
Câu 13. Cho f (x) = √
. Tìm x0 ∈ [0, 3] sao cho f (x0 ) bằng giá trị trung bình của f (x).
x+1
A. ≈ 2.12.
B. ≈ 1.37.
C. ≈ 3.41.
D. ≈ 3.22.
Câu 14. Khi chất thải hữu cơ được đổ và một hồ nước, q trình oxy hóa diễn ra làm giảm lượng oxy
trong nước. Lượng oxy trong hồ sẽ được khôi phục theo thời gian. Sau t ngày, kể từ ngày chất
thải hữu cơ đổ vào hồ, phần trăm lượng oxy trong hồ so với mức chuẩn ước tính theo công thức

f (t) = 100

t2 + 10t + 100
.
t2 + 20t + 100

Tính phần trăm oxy trung bình trong hồ nước trong 10 ngày đầu tiên kể từ khi chất thải hữu cơ
đổ vào.
A. ≈ 56%.
B. ≈ 72%.
C. ≈ 76%.
D. ≈ 81%.
Z1
Câu 15. Tính I =
√
A. 4( 2 − 1)

arcsin(x)
√
dx.
1−x

0

B.

√
2 2 − 1.

C.

√
4 2 − 1.

D.

2

√



2−1 .

Câu 16. Cho hai hàm số f và g có đồ thị như hình vẽ. Diện tích các miền giới hạn được cho như trong
hình, tính
Z2
I = [f (x) − g(x)] dx.
−2

A.

14.01

B.

6.87

C.

−7.59

D.

−14.01

Trang 3/4- Mã đề thi 1101


Câu 17. Tìm một hàm số f (x) liên tục trên [−2, 1] biết
Zx

f (t)
dt = x2 + 2.
+1

t2
−2

A.

2x.

B.

2x
.
x2 + 1

C.

(x2 + 1)2 .

D.

2x (x2 + 1).

Câu 18. Một thanh kim loại mỏng, không đồng chất dài 2 mét được đặt dọc theo chiều dương trục Ox
bắt đầu từ gốc tọa độ. Nếu mật độ phân bố vật chất trên thanh tại vị trí x của dây là ρ(x)
gam/centimet (g/cm), khối lượng của thanh kim loại (gam) có thể được tính bằng cơng thức nào
dưới đây?
Z2
Z200
Z200
A.
ρ(x)dx.
B.
xρ(x)dx.
C. 200ρ(200).
D.
ρ(x)dx.
0

0

0

Câu 19. Cơng√thức nào sau đây
√ dùng để tính diện tích miền phẳng D giới hạn bởi các đường cong
y = 2x − x2 , y = 2x, x = 2?
Z2 √

Z1 √


√
√
A.
2x − 2x − x2 dx.
B.
2x − 2x − x2 dx.
0

C.

Z2 √
0

0

2x −

x2

−

√



2x dx.

D.

Z2 √


√
2
2x − 2x − x dx.

1

Câu 20. Cho phương trình vi phân (x2 + y 2 )dx − 2xydy = 0, với y = y(x) là ẩn hàm. Bằng cách đặt
y
u = , phương trình đã cho đưa về dạng nào dưới đây
x
2udu
2udu
2udu
udu
= −dx.
B. 2
= −dx.
C. 2
= −dx.
D. 2
= dx.
A. 2
u −1
u +1
u −1

u +1

Trang 4/4- Mã đề thi 1101


ĐÁP ÁN

Mã đề thi 1101
Câu 1. D.

Câu 5. A.

Câu 9. B.

Câu 13. B.

Câu 17. D.

Câu 2. A.

Câu 6. C.

Câu 10. B.

Câu 14. D.

Câu 18. D.

Câu 3. C.

Câu 7. A.

Câu 11. C.

Câu 15. A.

Câu 19. A.

Câu 4. A.

Câu 8. B.

Câu 12. D.

Câu 16. B.

Câu 20. C.

Trang 1/4- Mã đề thi 1101


PHẦN II: PHẦN TRẢ LỜI NGẮN

Thời gian: 50 phút

Câu 1: (L.O.1; L.O.2)
M +3
, với M là chữ số cuối trong mã số sinh viên.
5
Ví dụ: Nếu MSSV là 2013012 thì a = 1.

Trong câu hỏi này, a =

Cho miền phẳng D giới hạn bởi các đường cong y = ln(ax), y = ax − 1, x = e.
(a) Xác định hoành độ giao điểm giữa các đường y = x − 1 và y = ln x.
x=1
(Nếu có hơn 2 giao điểm thì viết nối tiếp phía sau.)
(b) Viết cơng thức tính diện tích cơng thức mặt trịn xoay khi đoạn đường cong
y = f (x), a ≤ x ≤ b, quay xung quanh trục Ox.
Zb
q
Sx = 2π |f (x)| 1 + [f 0 (x)]2 dx
a

(c) Tính diện tích bề mặt tạo ra khi biên của miền D quay xung quanh trục Ox.
Yêu cầu viết
và kết quả.
 e công thức

s tính
 2
Z
Ze
√


1
Sx = 2π  |ln x| 1 +
dx + |x − 1| 2dx + π (e − 1)2 − 12
x

1

1

≈ 26.31
Câu 2: (L.O.2)
Một viên đạn có khối lượng m bắn xuyên qua 1 bức tường dày x cm. Biết rằng lực cản của
tường tỷ lệ thuận với bình phương vận tốc, hệ số tỷ lệ k. Vận tốc viên đạn khi chạm tường
là 400 m/s, khi ra khỏi tường là 100 m/s. Gọi v(t) là vận tốc của viên đạn sau t giây kể từ
lúc chạm tường.
(a) Viết phương trình vi phân dùng để xác định vận tốc của viên đạn (dùng định luật 2
của Newton: F=ma).
k
v0 − v2 = 0
m
(b) Xác định v(0).
v (0) = 400 (m/s)
k
(c) Xác định nghiệm tổng quát v(t) của phương trình tìm được ở câu (a) theo α = .
m
−1
v(t) =
αt + C
(d) Nếu mất 0.001 giây để viên đạn xuyên qua tường, tìm v(t).
400
v (t) =
1 + 3000t
(e) Với giả thiết câu
xác địnhbề dày x của tường.
 (d),0.001

Z
x = 0.18 (m) x =
v(t)dt
0

1


Câu 3: (L.O.1; L.O.2)
Để đo cung lượng tim (lượng máu được tim bơm đi trong một đơn vị thời gian) bằng chỉ
thị màu, bệnh nhân sẽ được tiêm một lượng chất chỉ thị màu vào các ven. Theo vịng tuần
hồn, chất chỉ thị màu sẽ đến động mạch chủ. Nếu tiêm 5 mg chất chỉ thị màu, nồng độ
C(t) của nó trong động mạch chủ một bệnh nhân được mơ tả như đồ thị bên dưới.

Cung lượng tim ở một bệnh nhân được tính bởi cơng thức
R=

60 × 5
lít/phút (L/p).
Z28
C(t)dt
2

(a) Dùng tổng Riemann trung tâm (tổng giữa) với khoảng chia 4 giây để ước tính giá trị
Z28
của C(t)dt (Yêu cầu ghi rõ cách tính).
0

Z28
C (t) dt ≈ 4 [C (2) + C (6) + C (10) + C (14) + C (18) + C (22) + C (26)]

0

= 4 (0 + 2 + 4.4 + 3.2 + 1.8 + 0.8 + 0.2) =

248
= 49.6
5

(b) Uớc tính cung lượng tim của bệnh nhân này.
R ≈ 6.05( L/p )
HẾT

2


Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa Học Ứng Dụng

ĐỀ THI CUỐI KỲ DỰ THÍNH - HK 192
Mơn học: Giải tích 1

Ngày: 06/07/2020.
Thời gian: 100 phút.
(Đề gồm 8 câu, in trên 2 mặt tờ giấy A4. Sinh viên không được sử dụng tài liệu.)
Câu 1: (1.0 điểm) Tìm tất cả các tiệm cận của đường cong cho bởi phương trình tham số
sau đây

2t − 1

x =

,
t+2
2t

y =
.
t+3
Câu 2. (1.0 điểm) Một bệnh nhân được tiêm một loại thuốc và sau t giờ nồng độ thuốc còn
lại trong máu của bệnh nhân được cho bởi công thức
C(t) =

3t
(t2

+ 36)

3
2

(mg/cm3 ).

Hãy tìm nồng độ thuốc trung bình trong máu của bệnh nhân từ t = 5 giờ tới t = 10 giờ kể từ khi
tiêm thuốc.
Câu 3. (2.0 điểm) Biết rằng ở một thành phố A ta có mật độ dân số tại vị trí cách trung
tâm thành phố r km là:
2
p(r) = 3e−0.01r (ngàn người/km2 ).
Số dân sống trong vùng bán kính r km tính từ trung tâm thành phố được cho bởi công thức:
Z r
u.p(u)du (ngàn người).

P (r) = 2π
0

a. Tìm tốc độ thay đổi của dân số theo bán kính r tại vùng cách trung tâm thành phố 5 km
và hãy tìm bán kính r sao cho tại đó tốc độ thay đổi của dân số theo bán kính đạt lớn nhất.
b. Biết rằng ở thành phố này càng ở cách xa trung tâm thành phố, mật độ dân số càng thấp
và mật độ dân số thấp nhất là 1000 người/km2 . Hãy tìm bán kính của thành phố và tìm số dân
của thành phố sống ngồi vùng bán kính 5 km (kể từ trung tâm thành phố) nếu giả sử như thành
phố A có dạng hình trịn.
Câu 4. (1.0 điểm) Tính diện tích của miền phẳng D giới hạn bởi các đường sau
D : y = ex , y = 1, x + y = e2 + 2.
Câu 5. (1.0 điểm) Khảo sát sự hội tụ của tích phân
Z∞


ln

x2 + 3
x2 + 1

1

1


dx.


Câu 6. (1.0 điểm) Một chiếc xe máy ở thời điểm t đang ở vị trí A (như hình vẽ) cách B một
khoảng AB = x m. Một người cảnh sát đang đứng ở vị trí C (như hình vẽ) cách B một khoảng

BC = 30 m. Góc tạo bởi vectơ CB và vectơ CA nối vị trí của người cảnh sát và xe máy là α. Biết
rằng tại thời điểm này xe máy đang chạy theo hướng của vectơ BA vng góc với