Độ tin cậy của một số kết cấu tấm và vỏ mỏng đàn hồi thông dụng theo tiêu chuẩn bền

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC XÂY DỰNG HÀ NỘI

TA THANH VẤN

ĐỘ TIN CẬY CỦA MỘT SỐ KẾT CẤU TẤM VÀ VỎ MỎNG
DAN HOI THONG DUNG THEO TIEU CHUAN BEN

Chuyên ngành: Sức bền vật liệu và cơ học kết cấu
Mã số

: 2-01-02

CHUYÊN ĐỀ TIẾN SỸ SỐ 2
Số đơn vị học trình: 3

CAN BO HUGNG DAN: GS.TS NGUYEN VAN PHO _ —
PGS.TS LE NGOC THACH.

Hà nội,6/2003


MỞ ĐẦU
Chuyên đề này trình bày phương pháp xác định độ tin cậy của kết cấu tấm và

vỏ mỏng đàn hồi theo tiêu chuẩn bền.

Để xác định độ tin cậy ta cần tìm lời giải tiền định của bài tốn, lời giải tiền
định cho ta giá trị kỳ vọng của nội lực, căn cứ vào các đặc trưng bằng số của các đại

lượng ngẫu nhiên cơ bản để tính xác suất tin cậy theo điều kiện bền.
Các kết cấu tấm và vỏ thơng dụng thường có thể tìm nghiệm dưới dạng giải
tích, các bài tốn phức tạp hơn thì phải tìm nghiệm bằng số.
Chun đề gồm 3 chương.
Chuongl.

Bài tốn và phương pháp xác định độ tin cậy của kết cấu tấm và vỏ

mỏng đàn hồi thông dụng theo tiêu chuẩn bền.
Chương 2. Độ tin cậy của tấm đàn hồi theo tiêu chuẩn bền.
Chương 3. Độ tin cậy của kết cấu vỏ đàn hồi thông dụng theo tiêu chuẩn bền.
Tác giả chân thành cám ơn các thầy hướng dẫn Bộ môn sức bên vật liệu và
Khoa Sau Đại học Trường Đại học Xây dựng đã hướng dẫn và cho những gợi ý quý
báu trong khi tiến hành viết chuyên đề này.


MUC

LUC

MO DAU
CHUGNG 1: BAI TOAN VA PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH ĐỘ TIN CẬY

CUA KET CAU TAM VA VO MONG DAN HOI
THONG DUNG THEO TI£U CHUAN BEN

1.1.Mo ddu

|

1.2. Dinh nghia dé tin cậy tổng quái

|

1.3. Pitwong phdp Gin xde sudt tin cậy
1.3.1. Ham phân phối xác suất đồng thời
| .3.2. Chi s6 do tin cay theo Hasofer - Lind

3
3
6

1.3.3. Phương pháp xấp xỉ tìm [| cho hệ phần bổ tham sé

CHƯƠNG 2: ĐỘ TIN CẬY CUA TAM ĐÀN HỔI THEO TIỂU CHUẨN BỀN
2.1. Mở đầu
2.2. Bài toán độ tỉn cậy của tấn chịu trốn

‹

2.2.1 Phương trình cơ bản

it
12
12

2.2.2. Điều kiện biên
2.2.3. Điệu kiện bền đối với tấm
2.2.4. Bài toán độ tin cậy của tấm chữ nhật chịu trốn
2.3. Độ tỉn cậy của tấn cứng chịu trốn

2.3.1. Trường hợp phương trình trạng thái có nghiệm giải tích
—

8

16
17
20
22
22

243.11. Trường hợp tín c äữ nhật chịu uốn

22

2.3.1.2. Tấm enlíp

29

2.3.2. Trường hợp phương trình trạng thái có nghiệm số

CHƯƠNG 3: ĐỘ TIN CAY CỦA KẾT CẤU VO DAN HOI THONG DUNG
THEO TIỂU CHUAN BEN
3.1. Mở đầu
3.2 Độ tỉn cây của vỏ [iimôren

36

37
37

3.2.1. Một vài mỡ đầu về hình học của vỏ fimơmien

37

3.2.2. Phương trình cân bằng

39

3.2.3. Độ tin cậy của vỏ cầu

l

40

3.2.4. Vỏ cầu chịu tải q = qạ cos+27

42

3.2.5. Vỏ trụ chịu áp lực đều

43

3.2.6. Vỏ enlipsơit hình. xuyến

3.2.7. Vỏ enlipsơit hình xuyến tiết điện tròn
3.3. Độ tỉn cây của vo théng dung theo thuyét mémen
- 3.3.1. Độ tin cậy của bể chứa hình trụ
Tài liệu tham khảo

|

44

47
49
`4


CHUONG

|

nAtTOAN VA PHUONG PHAP XAC BINH BO TIN CAY CUA KET CẤU

TAM VA VO MONG DAN HOL THONG DUNG THEO THRU CHUAN BEN
1.1 MỞ ĐẦU
Kết cấu tấm và vỏ mỏng đã và đang được sử dụng để xây dựng nhiều

loại cơng trình khác nhau. Chẳng bạn, bể chứa nhiên liệu, nhà thể thao, hội
trường lớn, nhà công nghiệp, các phương tiện đi trong nước và trong khơng

khí v.v..

|

Đa số loại cơng trình nói trên địi hỏi độ an tồn cao, song về mặt lý
luận cũng như phương pháp tính tốn thì đối với kết cấu tấm và vỏ mỏng phức
tạp hơn nhiều sò với kết cấu khung, đàn.

Ngày nay việc tính tốn cơng trình theo độ tin cậy đã được quy định
trong tiêu chuẩn thiết kế của nhiều nước [1, 2, 4, 5].
`
Vì vậy bài tốn xác định độ tin cậy của kết cấu tấm và vỏ móng phải
được nghiêm cứu là điều hiển nhiên. Song do mức độ phức tạp của nó, mà
cách đặt bài tốn và phương pháp giải chỉ mới được bắt đầu nghiên cứu, nhiều

vấn đề chưa được giải quyết.
Trong [6], có đề cập đến bài tốn độ tín cậy của hệ phân bố tham số và
xét cho tấm tròn, song cũng chỉ dừng lại ở việu xây dung mién an toan.
Trong các tiêu chuẩn thiết kế hiện hành thì điều kiện an tồn là điều
kiện trạng thái giới hạn.
Trong cơ học cơng trình, điều kiện an toàn được thể hiện trên ba vấn đề:

- Độ bền (khả năng chịu lực)
- On định (giữ vững vị trí cân bằng khi bị kích động)
- Dao động (khơng xây ra cộng hưởng)
Chuyên đề này chỉ xét bài toán dO tin cay theo điều kiện an toàn là độ

bền của kết cấu. Vật liệu được xét là vật liệu đàn hồi, vì vậy tiêu chuẩn bền là

bảo đảm cho kết cấu làm việc trong giai đoạn dàn hồi.
1.2. ĐỊNH NGHĨA ĐỘ TIN CẬY TỔNG QUAT CUA V.V BOLOTIN [6]
Để đưa đến định nghĩa độ tin cậy của kết cấu tấm và vỏ, ta xuất phát từ
định nghĩa tổng quát về độ tin cậy của kết cấu do V.V Bôlôtin dé xuất.
"

2

Goi Lu(x,t)= g(x,9) (l-l)
Là phương trình trạng thái, u=u(x,t)la bién trạng thái,

ạ=a(x,)là

tải

trọng ngồi, x= {xí} là biến khơng gian 3 chiều, t là thời gian.

Trong bài toán 3 chiều của lý thuyết đàn hồi, khi chọn + là chuyển vị
thì =

H,

40,
Ul,

u, các vị là chuyển vị theo 3 trục.
“trong bài tốn tấm và vỏ thì ¡ là chuyển vị của mặt trung bình, L là

tốn tử vị phân tương ứng với bài tốn. Trong tính tốn gần đúng (sai phân,
phần tử hữu hạn) thì L là một tốn tử đại số.
Biến trạng thái ø(x,:) có thể khơng phải là biến chất lượng. Chẳng hạn,

khi kiểm tra chất lượng theo độ bền thì dùng biến ứng suất, trong khi giải bài
tốn thì đùng biến chuyển vị. Do đó, người ta dùng phép đổi biến.

M u(x,t) =v(x,t) (1-2)
Trong đó M là tốn tử của phép biến đổi, o(x,:) là biến chất lượng. Phép.

biến đổi (1-2) có thể là phép biến đổi đồng nhất. Chẳng hạn, giải bài toán theo
ứng suất mà kiểm tra bền theo ứng suất thì (1-2) là biến đổi đồng nhất, nghĩa
là không cần thực hiện.
Trong kết cấu tấm và vỏ ta chon biến trạng thái là chuyển vị của mặt

trung bình, mà kiểm tra bến theo ứng suất thì phép biến đổi(†-2) là hai phép
biến đổi liên tiếp. Cụ thể là: biến từ chuyển vị về biến dạng theo phương trình
hình học và chuyển từ biến dạng về ứng suất theo định luật Húc.
Điều kiện bền (bảo đảm vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi) là
ƒf(o)eQ

(1-3)

Trong đó ƒ(u} là hàm chit lugng, Q, là miền chất lượng đàn hồi.
Trong biểu điễn tốn học thì( 1-3) là một hệ bất đẳng thức.
Điều đáng chú ý là khi kiểm tra bền của kết cấu tấm và vỏ có thể tiến
. hành theo hai loại đại lượng, đó là ứng suất tại từng điểm của kết cấu ơ, (x,t)


ì

hay ứng suất tổng thể: môinen uốn, mômen

xoắn và lực cắt. Giữa hai loại biến

đó có quan hệ chặt chẽ với nhau.
Gọi V là miền kết cấu chiếm trong không gian, về nguyên tắc phải kiểm
tra bển tại mọi điểm của kết cấu, nghĩa là (l-3) phải thoả mãn với.
VxeV

(1-4)

Phương trình trạng thái, điều kiện bền phải thoả mãn với mọi thời điểm
1 trướct và chính. tại thời điểm đang xét.t. Vì vậy các điều kiện (1-1), (1-2),
(1-3), (1-4) phải thoả mãn với
vrelo, tÌ

(1-5)

Từ năm điều kiện trên, độ tin cậy của cơng trình được biểu diễn dưới

đạng tổng qt sau:

(

Lu(x,r)=q(,t)

)

M u(x,t) =v(x,7)

P(t) = Prob

‘

flv) €eQ,

`

(1-6)

VxeV
Ộ

Vre

{o, tÌ

J

Xác suất (1-6) là xác suất đồng thời thoả mãn hệ phương trình và bất
phương trình. Để xác định xác suất đó là việc khó khăn, vì hai lý đo là địi hỏi
lượng thơng tin lớn để xây đựng mật độ xác suất đồng thời và thuật tốn tính
(1-6).

Trong chun đề này chỉ xét cho trường lợp riêng, đó là chỉ xét bài
tốn tĩnh, nghĩa là loại trừ yếu tố thời gian t và đối tượng để. xét chỉ là các kết
cấu tấm và vỏ thơng dụng. Do đó, nghiệm của phương trình (1- Ï) và phép biến
đổi (1-2) có thể tìm được đạng đúng (giải tích) hay gần đúng(nghiệm số) một
cách dễ dàng.

1.3 PHƯƠNG PHÁP TÌM XÁC SUẤT TIN CẬY(1-6)
1.31. Hàm phán phối của xác suất đồng thời
Trong bài tốn tính, phương trình(Í-I) và (1-2) đã có lời giải nghĩa là tìm
được v(x), con f(v)eQ, là một hệ bất đẳng thức thì(1-6) ở thành.


C f0) <0^
fv)

P= Pi. <

<0

crerrererrree L

a

(1-7)

2

(1-7) là một xác suất đồng thời thoả mãn một hệ bất dang thức, trong đó

là vectơ

ngẫu nhiên, ø là hàm của tải trọng các tham số vật lý và hình học.

Như ta đã biết trong [6], hàm phân phối đồng thời của n đại lượng ngẫu nhiên

X, (i = 1,n) là hàm n biến.
F%,

X;,..., Xa¿)=P

AS x
j=

1,2, 0...

và hàm mật độ xác suất đồng thời tương ứng

r”

F(X

—

K =1,2,...."

(X,, X,..., X,) = lim

Xe

Ax,


Ax, , Ax,,..., Ax,

0

Nếu biết hàm mật độ xác suất đồng thời ƒ (Xq, X¿,.... x„) thì thục hiện phép

tính phân nhiền lớp ta có hàm phân phối xác suất.
F (x), X5,.--, X,) = [.. [Z(,x;-.x,)

dx,, dx,... dx,

Trường hợp các Xi thuộc một miền, chẳng ham, bị < xị < a¡ thì

F (XI, X¿... Xa)=
b,

--|/Œ.x;.....X„)

đx,, dx¿... đX„

Ss Xị S tụ

¡= ln
Trong (1-7) các biến ngẫu nhiên là các biến thiết kế nó chứa trong U, ngồi
ra nó được

biểu diễn qua hàm chất lượng ƒ(0). Vì vậy, khi có hàm mật độ phân

phối đồng thời của các biến thì tìm mật độ phân phối đồng thời của các các hàm
f (b} cũng rất khó khăn.


Cfing trong [5] tie giả đưa ra các công thức tổng qt để giải quyết bài tốn

bền có.kể đến các yếu tố ngẫu nhiên. Lý luận đó có thể tóm tắt như sau:
Giả sử rằng trạng thái cơng trình có thể đặc trưng bởi một số hữu hạn các
tham số dq¡, q;,.....q„. Một trong những tham số này đặc trưng cho tải trọng ngồi,

các tham số cịn lại đặc trưng cho độ bền vật liệu, điều kiện làm việc và sơ đồ tính
loan viv...

Tất cả các tham số q, là các đại lượng ngẫu nhiên và giả thiết rằng biết được
mật độ xác suất đồng thời của chúng là p (q¡, q;....,qạ).

Như ta đã biết bài toán cơ bản của tính tốn an tồn là phải thoả mãn điều
kiện trạng thái giới hạn.

PA

Trong bài tốn bến ta có R = R(q¡,.....q,„) là khả năng chịu luc, S = S (q,„¡,
=. qạ) là hiệu quả tải trọng thì điều kiện bền là.
\Ụ=

R

(qụ.

qa›-..„q;)

-S

(Grit. đÌ::2:

---- q„)

2 0.

Do đó, xác suất an tồn là:
P(+) = |--|
W

(dị,

Qa,

p (q¡;qa;.....q„) đq¡ đq;...... da,

da: ........... Cn)

2

(1-8)

Q

Và xác suất mất an toàn là
P(-)

=

[...f

p(q;;

q›;....đa)

dq,

dq,.....dq,,

(1-9)

\/ (q¡; d2;-.--1a) < 0

Khi điều kiện an tồn trong tính tốn là
PC) <[{PO)]

(1-10).

Trong đó [P(-)] là giá trị xác suất cho phép đạt tới trạng thái giới hạn,

nó phải đủ nhỏ, thường có bậc từ 103, 10, 10,10, 10”.
Các công thức (1-8), (1-9), (1-10) là những

công thức cơ bản để tính

tốn bền của kết cấu.
Rõ ràng ta vẫn thấy đòi hỏi phải biết mật độ phân phối đồng thời p (qy,
d›,....q„). Trong thực tế rất khó tìm p (q¡, qo,.....,qa). Khó khăn vì 2 lý do:

+ Thứ nhất !À đòi hỏi rất nhiều số liệu do đạc đồng thời các tham số,
trong thực tế không thực hiện được (gọi là khó khăn vì địi hỏi q nhiều
thông tin mà thực tế không thu thập được).


+ Thứ hai là dù máy tính hiện đại thì việc xử lý để có hàm phân phối

đồng thời khơng dễ. Nếu tìm được p(q,, q›,.....,q.) thì ta đã tính tốn độ tin

cậy ở mức ba là mức chính xác.
Cũng chính vì khó khăn đó mà hiện nay ISO 2394 về độ tin cậy cũng
chỉ tính ở mức 2 là mức gần đúng khơng địi hỏi biết mật độ phân phối đồng
thời của các tham

số ngẫu

nhiên.

Do đó, để xác định độ tin cậy theo tiêu

chuẩn bền của kết cấu tấm và vỏ cần được sử dụng một phương pháp gần đúng
đủ mạnh, song chỉ ở mức 2.
Sau đây chuyên đề đã sử dụng phương pháp tính độ tin cậy của hệ phân
bố tham số do GS. Nguyễn Văn Phó đề xuất được cơng bố trong [8,10].

'Ì.3.2. Chỉ số độ tin cậy theo Hasofer - Lind [9]
Để đơn giản ta xét trường hợp hai biến ngẫu nhiên độc lập và có phân
phối chuẩn R-và S, R là khả năng chịu lực, S là hiệu quả tải trọng. Mặt giới
hạn giữa miễn an tồn và mất an tồn có phương trình

M=R-S=0
Đó là đường thẳng đi qua géc toa d6 (hinh 1-1)

Yo

AR

0

Hinh 1-]

®

Bay giờ ta xét trên các biến ngẫu nhiên mới, gọi là các biến ngẫu nhiên
chuẩn hố như sau:

Trong đó 1u¿ và It¿ là kỳ vọng của R và S

Ơp và ơ; là độ lệch chuẩn của R và S
thì phương trình mặt phá hoại R - S = 0 được viết lại như sau:
R°Gp + Itạy - (S”Øs + Hạ) = O
hay Ơn. R'- 6.5” + (ftp - pls) = Ö

Trong hé toa dO mdi R’ va S’ mat gidi han là đường thẳng khơng đi qua
gốc (hình 1-2).
AR’

S’

Hình 1-2

Bay gid ta hay tim khoang cach 0’A; ttc khoang cach ttc géc 0° của hệ

toạ độ đã chuẩn hoá đến mặt phá hoại.
Theo kiến thức của hình giải tích (phần phương trình pháp dạng) thì

khoảng cách đó bằng.

Ang Harts,
\o; +05

A

Rõ ràng thấy rằng 0°A = ÿ. Vì vậy ý nghĩa hình học của

là khoảng

cách ngắn nhất từ góc toa độ chuẩn đến mặt phá hoại tuyến tính.
Kết luận trên còn đúng cho trường hợp n biến ngẫu nhiên độc lập và
mặt phá hoại là phi tuyến (Hình 1-3).

PR
A
fy

Hinh 1-3

Điểm A thường được gọi là điểm thiết kế (hay điểm nghiệm tốn).
Điểm A có hai đặc điểm đó là:
- A nằm trên mặt phá hoại
- Tiếp tuyến với mặt phá hoại tại A thẳng góc với 0°A.
Từ hai đặc điểm trên mà ta lập được hệ phương trình phi tuyến để tìm A va B.
Chỉ số B được định nghĩa là khoảng cách hình học O°A nói trên được

gọi là chỉ số độ tin cậy Hasofor-Lind [7]. 1.3.3. Phương pháp xấp xỉ tìm / cho hệ phản bố tham số [7].
Ở dây xét trường hợp riêng của (1-6), đó

là:

( f0) <ãi `
ƒ?2(0) P = Prob

.

_====~=~=m=

“
(1-l])


Thật ra các biến chất lượng 0, là hàm của các biến ngẫu nhiên cơ bản.
Song để đơn giản, ta lý luận trực tiếp trên các biến chất lượng vu,

Thực hiện phép biến đổi chuẩn hóa, đưa các biến 0, về các biến chuẩn

0°. Trong không gian các biến chuẩn thì miền chất lượng chứa điểm øốc 0Ì
(vì kỳ vọng các biến bằng 0, phương sai bang 1).
Xác suAt tín cđy (Í-T E7 trở thành.

an

aann

"

(1-12)

Khơng mất tính chất tổng qt, ta giả sử hệ bất đẳng thức ƒ,(0'}< a1 =

1, xác định trong khơng gian chuẩn một miền nào đó. Vì ta chỉ xét điều kiện
bền là các miền lồi, nên miền nói trên cũng là miền lồi bao gốc. Song miền đó

khơng phải là miền có biên là trơn (trơn Ở đây được hiểu theo nphĩa tốn học
là có đạo hàm). Điều này có thể minh họa trên hình 1-4 trong trường hợp 2
biến.

A

Ay
os

Ay

|

`0N

A, ⁄
A;

Z

Tinh 1-4

10

7


Tai cde didn poe A,, Aj, Ay. Ag, Ay khong tén tat dao ham.

Tại A; (điểm góc) ta thay phần đường cong (hay mặt cong) gần A, bởi

đường gần đúng “đường chấm chấm” sao cho nó trơn tại A,. Điều đó về mặt
tốn học hồn tồn làm được, song trường hợp nhiều biến thì khá phức tạp.
(Sau đây sẽ trình bày rã khơng cần tìm đạng cụ thể của mặt trên). Làm như
vậy ta đã thay hai đường hay mặt bởi một đường hay mặt trơn. Cũng lý luận

tương tự cho những điểm khác. Nhờ đó đưa n bất đẳng thức về một bất bằng
thức xấp xỉ. Khi đã đưa về một mặt xấp xỈ thì theo định nghĩa của HasoferLind độ tin cậy là khoảng cách ngắn nhất từ góc 0° đến mặt xấp xỈ trơn.
Trong thực tế tính tốn ta khơng cần xây dung một xấp xỈ mà ta chỉ cần
tìm B tương ứng với từng bất đẳng thức. Ứng với mỗi bất đẳng thức ta có một
giá trị Ð.

Giá trị ứng với mặt xấp xỉ là:
p=

min B,

( 1-13)

Tìm các B;¡ bằng phương pháp tuyến tính hố, lặp hay tách biến đã được
trình bày trong các tài liệu [7, 8].

`

1.3.4. Ghỉ chú:
Khi thành lập xác suất (I-l 1) ta đã giả thiết tìm được nghiệm giải tích
(nghiệm đúng) của phương trình trạng thái (1-1) và phép biến đổi từ biến trạng
thái

về biến chất lượng (1-2) sau đó thay vào điều kiện bền tức f0)

in. Vay trường hợp phương trình trạng thái khơng có nghiệm giải tích, mà chỉ
tìm được lời giải số thì thủ tục tìm j như đã nêu ở trên có thực hiện được

khong ?
Gặp trường hợp (1-l) khơng có nghiệm giải tích thì thủ tục nêu trên vẫn
thực hiện được. Vì hàm ƒ là thương của kỳ vọng và độ lệch chuẩn của cận an

toàn, kỳ vọng thì nghiệm chính xác hay nghiệm số vẫn tính được, cịn độ lệch
chuẩn thì cần biết đạo hàn của quảng an tồn, lúc đó ta thay ƒ” ~ vn, nghĩa là

khơng khó khăn, song khối lượng tính tốn tăng.

1)


CHUƠNG

2

DO TIN CAY CUA TAM ĐÀN HỒI THEO ĐIỀU KIỆN BEN
2.1 MỞ ĐẦU
Tính tốn bền của kết cấu thường phải tiến hành qua hai bước chính :
- Tính tốn nội lực

- Kiểm tra bền
Để tính tốn nội lực, người ta có thể đùng các phương pháp khác nhau.
Phương pháp giải tích (lập phương trình vị phân của bài tốn, tính phân
các phương

trình đó cùng điều kiện biên tương

ứng) để tìm nghiệm

đúng.

Phương pháp này chỉ đùng trong các bài toán đơn giản.

- Phương pháp số (hay phương pháp gần đúng), ngày nay phương pháp

số được sử dụng phổ biến nhất là phương pháp phần tử hữu hạn, đỏ tính chất
“vạn năng” của nó mà nó đã thay dần phương pháp sai phân và các phương
pháp gần đúng khác. Nhờ các ưu việt của bản thân nó và tận dụng được khả
năng của máy tính, phương pháp phần tử hữu hạn đã cho phép tìm nghiệm gần
đúng của các bài tốn phức tạp.

Để kiểm tra bền thì trước hết phải thiết lập điều kiện bền hay thừa nhận
một điều kiện bền nào đó. Thơng thường trong cơ học cơng trình để kiểm tra

bền tại từng điểm của cơng trình điều kiện bền được thiết lập đối với các thành
phần của tenxơ ứng suất ơ, tại từng diém [11].

|

Trong bài toán tấm và vỏ mỏng, khi tính tốn nội lực người ta đã dùng

giả thiết Kirchhoff (giả thiết phần tử thẳng), nhờ đó vốn tấm và vỏ mỏng là vật
thể 3 chiều, song đo chiều dày bé so với 2 chiều còn lại mà đưa về bài toán hai
chiều trên mặt cong (mặt trung bình). Do đó, chuyển vị của tấm hay vỏ chỉ xét

các chuyển vị của mặt trung bình, ứng suất tại từng điểm đưa về xét ứng lực
trên các mặt cắt thẳng póc với mẠt trung bình, các ứng lực này được

gọi là

ứng suất tổng thé (gencral strees) hay ứng lực tfong tấm vỏ. Đó là céc momen

uốn, mơmen xoắn, lực cất, lực đọc.

Giữa ứng suất tổng thể và ứng suất vật lý tại từng điểm ơ, có mối quan
hệ chặt chẽ với nhau. Chẳng hạn, trong tấm từ các thành phần ứng suất ơ,.,
Ơyy. Ta dễ dàng tính được các ứng suất tổng thể M,, M,, M,,, Q,, Q, nho mot
phép lấy tinh phan [12].

|
12


Trong tính tốn bền của tấm và vỏ dù nghiệm giải tích hay nghiệm gần
đúng thì đều tính tốn trên các biến tổng thể. Vì vậy, nếu ta đồng điều kiện

bền theo các ứng suất tổng thể thì kiểm tra bền trực tiếp, nếu điều kiện bền
được chọn theo ứng suất thơng thường thì phải chuyển từ ứng suất tổng thể về
ứng suất thông thường để kiểm tra bền.
Trên đây là sơ lược tính tốn bên của kết cấu tấm và vỏ theo quan điểm

tiền định của kết cấu tấm, vỏ. Nếu trong tính tốn có kể đến những sai lệch
ngẫu nhiên của tải trọng, vật liệu và kích thước hình học .... thì dẫn đến bài
tốn tính xác suất đồng thời thoả mãn

phương

trình trạng thái và điều kiện

bền. Đó chính là bài tốn độ tin cậy của kết cấu tấm, vỏ.
Sau đây xét một số bài toán độ tin cậy của tấm đàn hồi theo điều kiện bền.

2.2. BÀI TOÁN ĐỘ TIN CAY CỦA TẤM CHỊU UỐN.
2.2.1. Phuong trinh co bdn [13]
0

!

»

!

X

lq

Z

Y9,

}

————————— “7

Xx

-

ky
Chọn mặt phẳng trụđg bình của tấm là mặt phẳng xy, trục Z. hướng về
phía võng của tấm.
Độ võng theo phương Z ký hiệu là w = w (x,y) góc lệch của đường cong

giao tuyến của mặt giữa với mặt phẳng song song với xz là Ð, thì
ư

9u,=
mm"—“

2-1
(2-1)

Tương tự đốt với tiết diện song song với mặt ÿyZ

Q, = ot

y

(2-2)

Độ cong của tiết điện có giá trị dương, nếu tấm vồïig theo chiều đương
của trục Z„ khi đó độ cong trong các tiết diện song song với các mặt phẳng xz
va yz la

{3


Ø8

=

Hay

x

a

—

Ä_

;

—

0’,

‘

x

8

— __

|

Ox’

_

,

3.

Ow

)

-1

(2-4)

Ay’

Nói chung, góc 9, có thể thay đổi đọc theo đường song song với trục y
nghĩa là Ö, là hàm của

y. Vì vậy ta gọi độ xoắn của mặt trung bình là
—

y

Ha

_ 80,

oy

— —

— _ ag,

(2-5)

Ox

Ow
are

(2-6) 2-6

Trường hợp tấm cứng thì mặt giữa khơng co hoặc đãn mà chỉ bị uốn
cong (võng).

Ký hiệu biến dạng dài của lớp cách mặt trung bình khoảng Z2. là e„„ và
E„„ thì
Đà

— “Xx

Cựu

— LY y

(2-7)

Bién dang truot y, = 2ZX

(2-8)

Các ứng suất pháp oo, và ứng suất tiếp t được xác định theo nh lut
Hỳc khi b qua thnh phn oy tacd:


X,u

=
(I

Ovu==
yu

U

ô5

x

E

tr

_. y3)

|

2q

ơ vÏ

(

+

Yu

vy)

+ VE.)
“va

+

)

VE

YE.)

`

(2-9)

J

Hay

Oxu

Hinh 2-3

14


Oyu

_

Ez

=7p?

4:

+ YX,)

)

EZ

(2-10)

`

+ YX)

Oyu = Ty

= l4+y)
2%

u

~Z

Các mômen uốn tác dụng trên các tiết thắng góc với các trục x và y và
trên một đơn vị chiều đài của điện tích là
hia

M,

=

\o.,

0,

hi3

Ld ;

My

=

"3

|Z„„.Z4;

|

5

Hay M,=D(x,. + 7xXy),

My =D (x, + YX.)

(2-1

| )

(2-12)

Ở đây D là độ cứng trụ của tấm
~

-

p=

—/

3

(2-12)

~ 120-9?)

Ứng suất tiếp tụ tạo nên mômen xoắn trên một đơn vị chiều đài của tiết
diện.
h

My

hay

2
= fr, .2dz

(2-14)

M,,=D(l-v)x

(2-15)

Tu-(1-4) va (4-6) ta có:

M, =-D

M:. y = -D

2

2

Ow yy Ow

Oxy”
cn
+
ay?

\:

Ov

(2-16)

ar?

M., xy = 7 -D(I-v)(I-v) ôxay
2:
Ta ký hiệu lực cắt Q,, Q, tác dụng trong các tiết điện xz va y7, trên một

đơn vị chiều đài của tiết diện, chúng có giá trị bằng.

15


h/2
Q,

=

h/2
r,„đ>

h-2

,

Qy

=

[r,„4

h~2

Từ các công thức (2-10) (2-12) (2-16) ta rút ra quan hệ giữa ứng suất và
momen.

—

12M, .z

xX,Uu

he

12M...y2

_

Ơ..—
wl
7

$

h`

_

1

9

12M1... xy

(2-17)

————

ul

h

4

Qiiá trị cực đại của các ứng suất trên đạt tại z = + 5

Ta có:
(Oy

w)max

=

6M

na

*

’

(Dy

wimax

—

6M,
Ae

$

(Tu) max

—

6M,,
h?

(2-18)

Phương trình cân bằng của yếu tố có kích thước đương là:

Oe,

a,

ey

a,

=-q

oM,
OM,,
2. x + 3, Y=
~
27ha

OM

OM

(2-19)
Q,

(2-20)
2 - 2(

2-2
=0, 2-21)

Y=

Khi:Q„, Qy-từ (19) - (2E) ta tìm được.

?

0 Meso
Ox

0’M,,

aM

0,0,

oy

—=+—-=-d

(2-22)

Từ (12), (16), (4), (6) ta có phương trình ví phân uốn của tẤm cứng.
D

ơ°w

_„Ø%w

dw

+2———+——)=

hayD.Vi=q

2-23

(2-24)

Trong đó, Vi= V?Vˆw với V?= 2 Q ,2 ()
2

Ox

_ Là toán tử Laplace

16

°

2

Oy

2.2.2. Điều kiệ¡t biên:
Để tính phân phương

trình trạng thái (1-23), nghiệm

khơng

chỉ thỏa

mãn phương trình (1-23) mà cần thoả mãn các điều kiện biên.
Sau đây xin xét một số điều kiện biên thường gặp.
a. Btén

far

bebn ld.

Gia sir doc theo luc x = ö tấm: tựa bản lề, khi dé dd ving va momen
uốn trên cạnh này bằng không.
(W),., = O

(1-25)

(M,) 20 = D|

a
att

at).
By |=0

(2-26)

Nhưng điều kiện (25) cịn có fighia ring doc theo canh x=o thi 2 = 0.
2

«

Vì vậy điều kiện (26) được viết lại dưới dạng ( os )=o_
2

(2-27)

b. Biên ngâm.
Giả sử x:= o là biên ngàm.
Độ võng và góc xoay tại mọi điểm trên x = ư phải bằng không.
CW),..

Ow
(8)

=

(2-28)

_
- =O

_
(2-29)

C. Biên đàn hồi.

Giả sử biên x=0

gắn với sườn đần hồi có độ cứng chống uốn E1, mặt

trong các điều kiện liên hợp là độ võng bằng nhau.
= (W),_,

(2-30)

Trong đó Wy là độ võng cua suon.
Điều kiện thứ 2 là điều kiện lực tác dụng từ tấn lên sườn phải bằng phản
lực của sường, theo [2].
BJ

Ø!
3°
—=-Dj}]—“4(2ax‘
an
ax?

a
oY) ôx.ôy' |

17

=()

(

>
(2-34

)


d. Biên tự do:
Giả sử trên biên x = o là biên tự do
Giả sử z,= öð là biên tự đọ, thì điều kiện biên là
(M,),-, =O

(2-35)

(R,) <0

(2-36), R, la phan lại của sườn.

hay E

a

8?

+S]

|

=O

6?

—"1+(2—
35
+(2—v)

-

(2-37)
O

2

—
el

( 2-38 )

=O

Để chỉ các loại biên khác nhau người ta thường quy ước ký hiệu như
sau:

Biên ngam:

ITTTITTTTTTTTTTTTTTTI

Biên tự bản lề:
Biên tự đo:

Bién dan héi:

ewe

_

meme c—

wee

mee

eee

ee

ee a

eee

----------------------emt

em

eee

wee

ee

we

te

ee

ee

wee

we

ee

=

2.2.3. Điều kiện bền đốt với tấm:
Như ta đã biết, khi tính tốn đầm

cũng như tấm

và vỏ mỏng,

ta có thể

xết ứng suất tại từng điểm. ơ, của tiết diện, hoặc xét trực tiếp trên các ứng suất
tổng thể (mômen uốn, mômen xoắn, lực cắt .v.v), nghĩa là xét trên những đại
lượng đặc trưng cho một tiết điện (từ - 5 đến h/2) có chiều rộng một đơn vị

diện tích chứa điểm đang xét.

.Giữa các biến đó có liên hệ chặt chế với nhau khi ta thừa nhận giả thiết

Kirchgoff, chúng có thể chuyển đổi cho nhau. Cũng như quan hệ đó mà qua

ứng suất tổng thể ta có thể biết được trạng thái làm việc của từng điểm của tiết
diện. Trong quá trình đặt tải.
Để đơn giản, trước hết ta xét đâm chịu uốn thuần tuý có tiết điện nganp

chữ nhật (hình 1-4).

18


VY

ao

Hinh ] - 4

Momen u6n tai it di¢n ngang duge tinh theo biểu thức.

M=b

h/2

[zơ,)&

(2-39)

"

Theo giả thiết tiết điện phẳng trong đầm, biến đạng doc
E„= X7 s-

(2-40)

Trong đó x là độ cong của mặt miffa (7 ~ ©)
Trước hết ta xét trường hợp vật liệu làm việc trong miền đàn hồi với mô

đun đàn hồi E và ứng suất tỷ lệ là ð,.
Khi mômen

uốn M chưa đủ lớn, mọi điểm của tiết điện có ứng suất

pháp chưa vượt quá ơ,, nghĩa là tiết điện ngang làm việc trong giai đoạn đàn

hồi, ta có:
oO, = Es, = Eyz
Do đó mơmen uốn Ja M = -

Ebh*y

(2-41)

_Mômen đàn hồi cực đại xuất hiện khi |ơ,| = ơ, tại các thở ngoài cùng
(mặt trên và đưới) của đầm, nghĩa là tại z = + h/2 ta ký hiệu môinen đàn hồi
cực đại là M, và độ cong tương ứng của trục fa x,, ta cd:

|
M.

== —bh’a.,
EPG,

26
Xe =— Ace
FF

( 2-42 )

M. không đại diện cho khả năng chịu lực của dầm, vì khi tăng tải thì
đầm có thể chịu đựng được. Thật vậy, giả sử vật liệu làm việc theo mơ hình

đàn - đẻo lý tưởng, qua các giai đoạn tăng tải, biểu đồ ứng suất pháp ơ được
a
biểu điễn như sau (hình vẽ 1-5)

19


<===——=~-

¬

"`...

.

AT...

(b)

Hinh 1-5
(a) Giai đoạn đàn hồi;

(b) Giai đoạn đàn hồi cực đại

(c) Giai đoạn đàn - dẻo;

(đ) Giai đoạn đẻo cực đại.

Người ta có thể biểu điễn mơmen M đưới dạng tổng quát như sau:
h

M = 2b

3

202°

0

Gh

Í

:

ne

|

Je + [o,zdz =sbơ,h G ~¿”)
h

2

Khi ¢ = 0 thi M = M, 14 momen tuong tng voi toan tiét điện rơi vào giai
doan déo va.

M, = 7 o bh
Khi

M

(2-43)

đạt giá trị M,, thì dù tăng tải thì M, cũng

khơng

đổi, khi đó

người ta nói tại đó (chỗ M = M,) hình thành khớp dẻo với mơrmmen M,.

Hình ảnh đối với đầm trên đây có thể mở rộng cho ứng suất tổng thể
(mômen uốn, mômen xoắn, lực cắt...) trong tiết điện của tấm và vỏ.

Khi chọn b là một đơn vị chiều dai thi:
M, = - Ho, va M, = . o,h’

(2-44)

Bay giờ ta xét điều kiện đàn hỏi của tấm theo các ứng suất tổng thể M,,
M,, y’ M

xy"

- Điều kiện mises cho ứng suất ơ; [13]
O,-O,0,+0,

+31,

<5;

20

Jk

(2-45)


Đối với ứng suất tổng thể ta có điều kiện đảm

M?-M.M,+M?+3M?
hồi là:

(2-46)

- Điều kiện đẻo trèo ca đối với ứng suất 0,
Max (lø.|.|ơ:| ilo, -o,|) <6,

(2-47)

Đối với ứng suất tổng thể:
Max (|AZ,|,|M;|,|M,
- M;|)
(2-48)

Trong đó ơ;, ơ; là các ứng suất chính của trạng thái ứng suất phẳng.
Trong tính tốn điều kiện (1-48) thường được biểu diễn dưới dạng một

hệ bất đẳng thức sau:
JA,| < M,

| JM;| |M,-M;| hay

- M,.
-M.
-M.2.2.4. Bài toán độ tỉn cây của tấm chữ nhát chịn trốn.
Trong trường hợp tấm cnữ nhật thì bài tuần độ tin cậy tổng quát (0.1)

được biểu diễn cụ thể như sau:
- Chọn biến trạng thái là độ võng W phương trình trạng thái là:
D|

ỡ†
2:

2h

O°

—44+2——".4+—“
Ox’ dy’

s3]

|=

g

(

2-50

)

Và các điều kiện biên tương ứng.
- Chọn biến chất lượng là các ứng suất tổng thể M,, My M¿, thì phép

biến đổi từ biến trạng thái về biến chất lượng là:

M.=D (2 -v2) of Sav)
2

2

X

M

/

—= _ D

Ì

2

y

2
— oy

ay?

—y

2

x

2
Oy

Ax?

— _-/)

}

2
Oy

8`

+

x

2
ow.

Ax?

0-51
(2-52)


2

M,, =D (I-v) ( con os.
|§ voy

--(=- Wye

(2-53)

- Điều kiện bảo đảm chất lượng (điều kiện đàn hồi)
Mƒ-M.M,+3M;.Do đồ,

(2-54)

độ ti cây của bản chữ nhật là xác suất:
(—

6.

D

O° w

(2+

P=P.,

0°
-+L—W

Ox’Oy?

—

ay”

>

q

và điều kiện biên tương ứng đối với w

ee

2
Ax?

pv on

"Oy?

2

ay?

(2-55)

2
)

?

=

M,, =-D(L-v) 2». .p=- Eh’

; 0,’

M;

120—v?)

-M,M, +M,+3MMb<

M:

Loy, x,y œ mặt trung bình của tẩm

_

2.3. TÌM ĐỘ TIN CẬY CỦA TẤM CỨNG CHỊU UỐN.
Trong chương Ï, chuyên đề đã trình bày phương pháp tổng quát để tìm

, Xác suất tin cậy của kết cầu tấm vỏ, ở đây chỉ áp dụng phương pháp đó cho
trường hợp tấm chữ nhật chịu uốn (tải trọng ngang).
Ta xét cho hai trường hợp, phương trình trạng thái (phương trình xơ-ÍI -

Réc manh) cùng với các điều kiện biên tương ứng có nghiệm giải tích hoặc
chỉ có nghiệm số.

2.3.1. Trường hợp phương trình trạng thái (2-23) có nghiệm giải tích.
Giá sử ta tìm được W = W(x,y) = F(x,y)

Từ các công thức (2.16) ta im dugc M,, M,, M,,

Thay M,, M,, M,, vao (2.46) hoadc (2.48) để kiểm tra bần (2.46). Từ đó
tính xác suất dạng (†. 12).

2.3.1.1. Trường hợp tâm chữ nhật chịu tốn phương trình trạng thái có
nghiệm giải tích.
:
Gia su rang ta Qin được độ võng của bàn W(x,y) = f(x,y)

Theo các cơng thức (2.16) tacó các môimen trốn và môinen xoắn.
22