Cơ sở lý thuyết biến dạng dẻo kinh loại part 5 pdf

hấp phụ của mặt ma sát. Khi trong chất bôi tr[ncos các phân tử phân cực, l m thay
đổi sức căng bề mặt của chất bôi trơn, l m tăng lực hấp phụ giữa dụng cụ (vật
dập) với chất bôi trơn.
Trong gia công áp lực, mặt tiếp xúc tại ổ biến dạng chịu áp lực rất lớn đạt
100MPa, nên chất bôi trơn thờng bị nén ép ra ngo i trờng ma sát. Lực pháp
tuyến c ng lớn, độ nhớt v hoạt tính của chất bôi trơn c ng nhỏ thì chất bôi trơn
bị nén ép ra ngo i c ng nhiều. Nh vậy, nếu cùng một điều kiện biến dạng, độ
bền của kim loại biến dạng c ng lớn, thì ứng suất pháp trên bề mặt tiếp xúc c ng
lớn, nên chọn chất bôi trơn có độ nhớt lớn. Độ nhớt tăng, chiều d y lớp bôi trơn
c ng tăng, nhng độ nhớt c ng lớn l m cho hoạt tính các chất điểm của chất bôi
trơn giảm, từ đó l m tăng lực ma sát. Nh vậy, lực ma sát tăng l m chiều d y lớp
bôi trơn tăng l m lực ma sát giảm; mặt khác, do giảm hoạt tính của các chất điểm
của chất bôi trơn l m lực ma sát tăng.
Nếu bề mặt dụng cụ v vật biến dạng có độ nhám lớn, sẽ ngăn cản chất bôi
trơn bị ép ra, nhng mặt khác lại l m diện tích ma sát tăng l m lực ma sát tăng.
Phơng pháp gia công cũng ảnh hởng đến chiều d y lớp bôi trơn. Khi
chuốt qua lỗ, kim loại biÕn d¹ng tõ kÝch th−íc lín th nh kÝch nhá, đồng thời chất
bôi trơn cũng dễ bị ép v o những r nh tế vị v hấp phụ trên bề mặt kim loại, l m
kim loại dễ biến dạng.
Nh vậy, độ nhớt v hoạt tính của chất bôi trơn c ng nhỏ, c ng dễ phá huỷ
lớp bôi trơn, v ngợc lại. Lực pháp tuyến c ng lớn, chất bôi trơn bị ép khỏi mặt
tiếp xúc c ng dễ, nên chiều dầy lớp bôi trơn c ng nhỏ, c ng dễ phá huỷ lớp bôi
trơn. Độ nhám bề mặt tiếp xúc c ng lớn, chất bôi trơn c ng khó ép ra v chiều d y
lớp bôi trơn c ng lớn. Khi chiều biến dạng của kim loại ngợc với chiều lực ma
sát, chiều d y của lớp bôi trơn c ng nhỏ, khả năng phá huỷ lớp bôi trơn c ng lớn.
Chất bôi trơn có tác dụng giảm lực ma sát ngo i trong gia công áp lực, l m
giảm nhiệt độ dụng cụ, khử hiện tờng dính giữa kim loại v dụng cụ, nâng cao
chất lợng bề mặt chi tiết gia công. Khi lực ma sát giảm, có thể giảm trở lực biến
dạng của kim loại, từ đó giảm tổng lực tác dụng của kim loại lên dụng cụ v giảm
công tiêu hao, giảm độ m i mòn dơng cơ, n©ng cao ti thä dơng cơ.

102


3.4.2. Các yêu cầu đối với chất bôi trơn
Để tăng hiệu quả của chất bôi trơn, trong gia công áp lực cần chọn chất bôi
trơn phù hợp.
Chất bôi trơn phải có hoạt tính lớn;
Chất bôi trơn có đủ độ nhớt, để bảo đảm độ bám dính tốt trên bề mặt dụng
cụ v chi tiết;
Có khả năng nhanh chóng phủ hết bề mặt tiếp xúc;
Chất bôi trơn có tính ổn định hoá học tốt trong điều kiện l m việc, có nhiệt
độ nóng chảy cao, nhiệt độ bắt cháy cao, sản phẩm cháy có tính ổn định hoá học
tốt.
3.4.3. Các chất bôi trơn thờng dùng trong gia công áp lực
Điều kiện gia công áp lực rất đa dạng, nên chất bôi trơn cũng khác nhau.
Có thể dùng độ nhớt để phân loại chất bôi trơn.

a. Emunxi, thuộc loại chất nhũ tơng gồm các chất dầu v nớc ho tan. Các
hạt dầu t¹o th nh chÊt hun phï n»m trong n−íc. Lo¹i chất bôi trơn n y vừa có
tác dụng bôi trơn, vừa có tác dụng l m nguội v không có tác dụng ăn mòn vật
liệu. Nhng tính ổn định hoá học kém, không dùng trong gia công áp lực nhiệt độ
cao. Có thể sử dụng êmunxi 3 th nh phần gồm nớc, dầu khoáng v x phòng.
Nớc có tác dụng l m nguội, dầu khoáng v x phòng có tác dụng bôi trơn. Chất
bôi trơn n dùng trong dập nguội, hoặc gia công nóng vật liệu nhôm.

b. Dầu mazut v hỗn hợp dầu. Trong trờng hợp lực pháp tuyến lớn, cán, dập
nguội , chuốt, để giảm thiểu khả năng chất bôi trơn bị nén ép khỏi bề mặt tiếp
xúc, dùng hỗn hợp dầu, gồm dầu động vật, dầu thực vật v các loại mỡ. Trong
th nh phần của mỡ có chất hình th nh với lớp ôxyt một hợp chất gần giống x
phòng có độ bền tốt v tính dẻo tốt, chịu đợc áp lực khi gia công.

c. Dầu pha các chất điều chỉnh độ nhớt. Để tăng độ nhớt cho các loại dầu kể
trên, có thể cho thêm các chất nh paraphin, x phòng. Các chất n y tăng độ nhớt,
đồng thời không giảm chất lợng bôi trơn. Khi gia công hợp him nhôm, có thể
dùng hỗn hợp mỡ ®éng vËt, pha thªm 15% graphit

103


d. Dầu pha thêm các phụ gia. Để tăng hoạt tính của chất bôi trơn có thể cho
v o trong dầu các chất có hoạt tính cao, nh graphit, bột mica, hoặc hỗn hợp mởgaphit...Các chất n y tạo nên một lớp bôi trơn hoặc hợp chất khá bền vững, ngăn
cản bị nén ép ra ngo i mặt tiếp xúc. Dới áp lực cao các chất pha thêm có thể
chèn v o các r nh trên bề mặt tiếp xúc, l m tăng tác dụng bôi trơn. Trong ép chảy
nóng, sử dụng dầu khoáng pha graphit, sau khi bôi phủ v o cối ép, các chất bốc
hơi dễ bị cháy, trên bề mặt còn lại graphit, có tác dụng bôi trơn v ở nhiệt độ cao
cũng không bị phá huỷ. Chất n thờng dùng khi ép chảy thép không gỉ, thép chịu
nhiệt.

e. Nớc thuỷ tinh. Khi gia công áp lực nóng ở nhiệt độ cao, nh ép chảy thép
hoặc chất khó nóng chảy, graphit có thể sinh ra hiện tợng thấm các bon., nên sử
dụng nớc thuỷ tinh. Nớc thuỷ tinh bám trên dụng cụ vừa có tác dụng bôi trơn
vừa có tác dụng bảo vệ lòng khuôn. Khi dập nóng các thép không gỉ, nhiệt độ gia
công đến 1000~12000C, nên dùng keo, sơn thuỷ tinh hoặc thuỷ tinh bột

f. Chất bôi trơn bột. Để tránh việc chất bôi trơn bị nén ép ra ngo i, thờng
dùng chất bôi trơn dạng bột: bột x phòng, bột MoS2.

g. Chất bôi trơn kim loại. Khi chuốt dây thép, có thể dùng chất bôi trơn kim
loại, bằng cách phủ mạ trên bề mặt phôi lợp chì hoặc đồng, có tác dụng bôi trơn
chịu áp lực cao.

h. Phốt phát hoá. Gần đây trong gia công áp lực sử dụng lớp phốt phát l m
chất bôi trơn. Lớp n y có độ bám dính trên bề mặt vật liệu tốt, bảo đảm bôi trơn
tốt trong điều kiện bề mặt ma sát mới đợc hình th nh trong quá trình biến dạng
cũng đợc bôi trơn tốt.
3.5. Các yếu tố ảnh hởng đến giá trị lực ma sát tiếp xúc
Các yếu tố ảnh hởng đến độ lớn của lực ma sát trên bề mặt tiếp xúc đơn
vị khi biến dạng dẻo:
3.5.1. Trạng thái bề mặt dụng cụ, độ nhám bề mặt c ng lớn, giá trị lực
ma sát c ng lớn. Lực ma sát khác nhau còn phụ thuộc quan hệ giữa phơng trợt

104


v phơng gia công bề mặt dụng cụ. Khi gia công bề mặt dụng cụ bằng phơng
pháp m i lực ma sát giảm đến 2 lần, khi có bôi trơn lực ma sát phơng ngang gia
công lớn hơn khoảng 20% so với phơng dọc gia công. Trên bề mặt tiếp xúc kim
loại không có bôi trơn v m ng ôxyt hoá quan sát thấy có hiện tợng kim loại bị
dính trên bề mặt dụng cụ, điều đó l m tăng lực ma sát.
3.5.2. Trạng thái bề mặt vật biến dạng: trạng thái bề mặt vật biến dạng
có ảnh hởng lúc ban đầu. Sau đó kim loại biến dạng, tính không đồng đều biến
dạng giảm, bề mặt vật biến dạng mang hình của dụng cụ, nên ảnh hởng giảm.
Th nh phần hoá học vật liệu biến dạng, quá trình công nghệ gia công (đúc, xử lý
bề mặt, nung, ủ..), trạng thái vẩy ôxyt, nhiệt độ...có ảnh hởng lớn đến trạng thái
bề mặt vật biến dạng.
Thí dụ, do th nh phần hoá học khác nhau, tính chất của lớp vẩy ôxyt có ®é
cøng kh¸c nhau, l m cho hƯ sè ma s¸t khác nhau, chúng thay đổi trong phạm vi
0,16~0,80. Mặt khác, hệ số ma sát còn phụ thuộc chiều d y lớp vẩy ôxyt, độ bền
của lớp đó.
3.5.3.Th nh phần hoá học của hợp kim biến dạng v dụng cụ

Trong gia công áp lực, tính chất của lớp ôxyt trên bề mặt, lực liên kết giữa lớp
ôxyt v kim loại, tốc độ ôxyt hoá, độ dẫn nhiệt, trở lực biến dạng... đều phụ thuộc
th nh phần hoá học của vật liệu. Trong gia công áp lực, có hiện tợng tơng tác
trên bề mặt giữa bề mặt kim loại v chất bôi trơn. Trong ma sát khô, sự cọ xát
giữa các mặt tiếp xúc trực tiếp cũng liên quan đến th nh phần hoá học. Vật liệu có
độ bền cao, độ đ n hồi tốt, nhất l độ bền nhiệt, khả năng duy trì độ nhấp nhô
trong thời gian d i, độ m i mòn ít, có hệ số ma sát nhỏ.
Thực nghiệm cho thấy, trong phạm vi nhiệt độ 1200~8000C, tăng h m
lợng các bon trong thép, hệ số ma sát gi¶m.

105


Hình 3.6 Quan hệ giữa hệ số ma sát v h m lợng Cácbon
3.5.4. Lực pháp tuyến, hay áp lực đơn vị trên mặt tiếp xúc.
Lực pháp tuyến, hay áp lực đơn vị trên mặt tiếp xúc có ảnh hởng đến hệ số
ma sát, do liên quan đến việc thoát sản phẩm m i mòn. Nếu sản phẩm m i mòn
đợc luôn khử khỏi bề mặt tiếp xúc, áp lực tăng lực ma sát giảm, nhng sản phẩm
còn lu lại sẽ l m tăng lực ma sát. Khi có bôi trơn, áp lực đơn vị tăng,
hệ số ma sát giảm.
Nh vậy trong trờng hợp ma
sát khô, không khử đợc sản
phẩm m i mòn, nên các sản
phẩm đó đợc coi l các chất
bôi trơn, lúc n y trở th nh ma
sát nửa khô. Sự ảnh hởng của
áp lực đơn vị đối víi hƯ sè ma
s¸t phơ thc sù h¸p phơ c¸c
chÊt trên bề mặt, hấp phụ các
Hình 3.7 Quan hệ giữa áp lực đơn vị v hệ số

ma sát

106

chất bôi trơn, l m cho áp lực
tăng l m giảm hệ số ma s¸t.


3.5.5.Nhiệt độ dụng cụ v
vật biến dạng.
Quan hệ điều kiện nhiệt độ
đến hệ số ma sát rất phức
tạp, do nhiệt độ ảnh hởng
đến trạng thái bề mặt của
dụng cụ v vật biến dạng,
đến trạng thái hấp phụ chất
Hình 3.8 Quan hệ giữa hệ số ma sát v nhiệt độ bôi trơn v tính chất chất bôi
vật rèn
trơn.
Có 2 mặt đối lập: kim
loại dới tác dụng của nhiệt tạo lớp ôxyt hoá l m tăng ma sát, đồng thời, tăng
nhiệt độ, bề mặt thô giữa lớp ôxyt v kim loại trở nên nhẵn bóng, l m giảm hệ số
ma sát. Thực nghiệm cho biết, ở nhiệt độ tiêu chuẩn, hệ số ma sát có giảm, tăng
nhiệt độ lên, hệ số ma sát tăng, nhất l trong khoảng nhiệt độ 500~8000C hệ số
ma sát lớn nhất, đạt giá trị max tại 8000C. Tiếp tục tăng nhiệt, hệ số ma sát giảm.
Hệ số ma sát khi cán thép
trên trục gang có thể tính:
à = 1,05 -0,0005T,
T- nhiệt độ cán.
Thực nghiệm cho biết, khi

cán nãng thÐp cã h m l−ỵng
0,5~0,8% C hƯ sè ma sát đạt giá
trị lớn nhất tại 7000C.
Hình 3.9 Quan hệ giữa hệ số ma sát v nhiệt
độ của thép 0,5~0,8%C

Nói chung, trong gia công áp
lực, phạm vi nhiệt độ gia công từ
1200~9000C, nhiệt độ kim loại

c ng cao, hệ số ma sát c ng giảm.

107


Đối với hợp kim m u, nhiệt độ gia công dới 9000C, đồng đỏ: dới 7500C, đồng
Brôn dới 8500C, hợp kim nhôm dới 5000C, nhận thấy, nhiệt độ c ng giảm hệ số
ma sát c ng nhỏ.

Hình 3.10 Quan hệ giữa hệ số ma sát v lợng biến dạng v nhiệt độ khi
chồn.
Trong hình 3.10, Đờng 1 biểu diền biến đổi của hệ số ma sát trong trờng
hợp không bôi trơn, đờng 2 đợc bôi trơn bằng nitrit Bo, đờng 3 bôi trơn bằng
mỡ graphit; hình a,b biểu diễn biến đổi của hệ số ma sát theo nhiệt độ; hình c
biểu diễn biến đổi ma sát theo lợng biến dạng ở nhiệt độ t = 10000C.
3.5.6. ảnh hởng của chất bôi trơn
Chất bôi trơn có tác dụng giảm hệ số ma sát v giảm nhiệt độ dụng cụ.
Bảng dới đây cho c¸c gi¸ tri hƯ sè ma s¸t khi gia công đồng v nhôm với các
chất bôi trơn khác nhau.
3.5.7. ảnh hởng của tốc độ gia công

Thực nghiệm cho thấy, khi tăng tốc độ biến dạng v tốc độ trợt giữa dụng
cụ v kim loại, hệ số ma sát giảm.
Gupkin đ chỉ rõ, khi chồn kim loại nhôm cứng trên đầu búa nhẵn, tại
4000C hệ số ma sát tĩnh l 0,32, hệ số ma sát động l 0,22. Tại nhiệt ®é 4500C hƯ
sè ma s¸t tÜnh l 0,38 v hƯ số ma sát động l 0,22. Có nghĩa l ở trạng thái tĩnh
hệ số ma sát lớn hơn hệ số ma sát ở trạng thái động.

108


Hệ số ma sát của một số kim loại
Chất bôi trơn

Bảng 3.2
Hệ số ma sát

Nhôm

Đồng

Không bôi trơn

0,1

0,36

Dầu công nghiệp

0,30

0,26

Nớc

0,14

0,19

Dầu biến thế

0,14

0,15

Glixêrin

0,09

0,15

Dầu máy C

0,07

0,12

Dầu nặng số 9

0,04

0,11

Hệ số ma sát của một số kim loại hợp kim khi biến dạng Bảng 3.3
Điều kiện

Hệ số ma sát

gia công
Bôi trơn

Nhiệt

Thép C

0

HK

Kim loại

HK chịu

Nhôm

độ

HK

Mg

nặng

nhiệt

C

V1

V2

V2

V1

V2

Không

0,8~0,9

0,4

0,35 0,50 0,48

0,4

0,35 0,32 0,30 0,28 0,25

bôi trơn

Tnc

Không
bôi trơn
Không
bôi trơn

V1

V1

V2

V1

V2

0,5~0,8 0,45 0,40 0,48 0,45 0,38 0,32 0,34 0,32 0,26 0,22
Tnc
0,3~0,5 0,43 0,30 0,35 0,30 0,32 0,24 0,26 0,24 0,24 0,20
Tnc

Bôi trơn T=250C

0,12~0,06

Ghi chó: V1 - Tèc ®é < 1 m/s; V2 - Tèc ®é > 1 m/s v ®iỊu kiƯn va đập. Khi
dùng chất bôi trơn cho gia công nóng, có thể dùng giá trị 85~75% số liệu trong
bảng để chọn chất bôi trơn.
3.6 Định luật trở lực nhỏ nhất

109


Các vấn đề nêu trên cha chỉ ra phơng biến dạng của các chất điểm của
vật liệu. Ta biết, kim loại biến dạng theo phơng chính. Nhng trên một trục, kim
loại có khả năng biến dạng theo hớng dơng hoặc âm.
Khi gia công áp lực, kim loại chảy theo hớng trở lực nhỏ nhất.
Hay nói cách khác, kim loại khi bị biến dạng, hớng n o ít ma sát hơn, chúng
chảy theo hớng đó nhiều hơn, hớng n o có ít ma sát có nghĩa l trở lực trên bề
mặt ít hơn. Định luật trở lực nhỏ nhất cho biết phơng hớng biến dạng v dịch
chuyển của các chất điểm khi chịu tác dụng của ngoại lực. Nếu không có ma sát,
hoặc ma sát theo các chiều nh nhau, các chất điểm kim loại trên bề mặt sẽ biến
dạng đều theo 3 h−íng.
Khi biÕt 2 h−íng chÝnh biÕn d¹ng cđa vËt thĨ, h−íng trơc thø 3 biÕn d¹ng
chØ cã thĨ theo 1 hớng. Thí dụ, khi ép chảy, hình dáng kích thớc của lỗ cối
quyết định giá trị biến dạng cđa 2 h−íng chÝnh δ2, δ3. BiÕn d¹ng cđa h−íng thứ 3
đợc xác định bằng định luật thể tích không đổi 1=2+3. Hớng chảy kim loại
theo hớng ép, nh vậy có thể xác định đợc hớng biến dạng.
Nếu cho biết hớng biến dạng của 1 phơng chính, phơng thứ 2 bị ngăn
cản, thì phơng thứ 3 cũng có thể xác định. Thí dụ, chồn trong khuôn dạng r nh,
kim loại chỉ có thể chảy theo 1 phơng duy nhất- dọc theo hớng trái v phải của
r nh.

Hình 3.11 Kim loại trong khuôn

Hình 3.12 Hớng chuyển vị của các
chất điểm kim lo¹i khi chån

110

Khi 1 phơng trục chính biến dạng xác định, trên 2 phơng trục chính kim
loại có thể dịch chuyển tự do. Thí dụ, chồn trên đe phẳng.
Nếu tiết diện phôi l tròn, sau biến dạng chồn ta đợc tiết diện cũng tròn.
Nhng nếu tiết diện phôi hình vuông, do chiều d i tiếp xúc v biến dạng của các
điểm theo các phơng khác nhau l khác nhau, theo hớng trục ngắn hơn theo
đờng chéo. Nên khi chồn, ở các cạnh kim loại chảy ra nhiều hơn, dần dần tiết
diện phôi trở nên tròn. Nếu tiết diện hình chữ nhật ta cũng thấy hiện tợng tơng
tự. Do ma sát trên các đờng chéo lớn, trên trục d i lớn nên, đầu tiệ hình th nh
hình ôvan, sau mới th nh hình tròn.

Hình 3.13 Chuyển vị của các điểm theo hớng kính
3.7. Sự phân bố không đều của ứng suất v biến dạng
Trong biến dạng dẻo kim loại, có hiện tợng biến dạng không đều, từ đó
l m tổ chức kim loại không đều v tính năng vật liệu không đều.
Biến dạng không đều do trạng thái ứng suất: Ta biết, trạng thái ứng suất tại
một điểm có thể ho n toán xác định bằng 1 ten xơ ứng suất. Khi quá độ sang
điểm khác, ta lại đợc một ten xơ ứng suất với các th nh phần khác ten xơ trớc,
kể cả phơng trục chính cũng thay đổi. Để đợc to n cảnh trạng thái ứng suất của
cả vật thể biến dạng, cần biết trạng thái ứng suất của tất cả các điểm, tập hợp của
tất cả các trạng thái ứng suất gọi l trờng ứng suất. Nếu thu đợc một trờng ứng
suất đồng nhất cùng một ten xơ ứng suất, ta đợc trạng thái biến dạng đồng nhất.
Trong gia công áp lực kim loại, không có sự biến dạng đồng nhất, dù các
giả thiết khi tính toán có chỉ rõ vật liệu đồng nhất, đẳng hớng v liên tục.

111


Nguyên nhân cơ bản của biến dạng không đều - trạng thái ứng suất không

đều:
a. Ma sát tiếp xúc.
Nh nói ở trên, trong gia công áp lực, giữa dụng cụ v kim loại biến dạng có
mặt tiếp xúc, mặt ma sát. Trên bề mặt tiếp xúc, lực ma sát ngăn cản kim loại dịch
chuyển. Đó l lực ma sát ngo i. Do t¸c dơng cđa lùc ma s¸t ngo i dần yếu đi khi
đi v o sâu trong kim loại, nên tạo th nh vùng khó biến dạng, có phân giíi theo
®−êng chÐo 450 tõ mÐp ngo i cđa dơng cụ. Do tác dụng của ma sát tiếp xúc, hình
th nh các vùng có trạng thái ứng suất khác nhau, nên biến dạng khác nhau.

Hình 3.14 Biến dạng không đều khi chồn
b. Hình dạng vật rèn H/D v tỷ số nén h/H không đều.
Vật rèn c ng phức tạp, tỷ số nén c ng sai khác, biến dạng c ng không đều. Tại
các mặt cắt khác nhau, do lợng nén khác nhau, điều kiện dẻo khác nhau, nên có
chỗ biến dạng nhiều, có chỗ biến dạng ít, có chỗ chỉ có biến dạng đ n hồi. Việc
các tiết diện khác nhau biến dạng khác nhau gây ra ứng suất phụ, l m trở lực biến
dạng tăng.
b. Hình dáng dụng cụ
Hình dáng dụng cụ có thể khác nhau, phẳng, lõm chữ V hoặc hình ôvan,
hình đa tuyến (prôfin tiết diện phôi bánh răng) tạo nên lợng nén tại các tiết diện
khác nhau v từ đó tỷ số nén tại các vị trÝ kh¸c nhau l kh¸c nhau.

112


Nếu nh vậy, tại
các

vùng

khác nhau,

chúng có sơ đồ biến dạng
gần nh nhau, nhng trị
số biến dạng khác nhau.
d. Nhiệt độ nung
không đều hoặc do gia
công tại các thời điểm
khác nhau có nhiệt độ kết
tinh lại khác nhau.

Hình 1.15 Sự phân bố ứng suất trên vật rèn, chồn
trên đe lõm

thời điểm bắt đầu (a) v thời điểm trờng ứng suất
Một chi tiết phức tạp, khi nung chúng truyền nhiệt trong điều kiện khác

nhau, tạo nên nhiệt độ tại các vùng khác nhau l khác nhau. Một chi tiết d i cần
vuốt, một đầu sẽ đợc vuốt ở nhiệt độ cao, đầu kia vuốt ở nhiệt độ thấp. Khi biến
dạng dẻo ở nhiệt độ cao, tính dẻo tốt hơn dễ biến dạng hơn. Nhng quan trọng l
nhiệt độ rèn ở lần gia công cuối. Vùng dừng rèn ở nhiệt độ cao sẽ kết tinh lại ở
nhiệt độ cao v hạt tinh thể lớn, tính chất vật liệu tại vùng đó thấp. Vùng dừng rèn
ở nhiệt độ thấp, gần nhiệt độ Ac3 sẽ cho hạt nhỏ sau kết tinh lại. Từ đó tính chất
cơ học sau biến dạng tốt hơn.
e. Tính chất của vật liệu không đều. Do kim loại gồm nhiều pha, mỗi pha
có tính dẻo khác v do đó, dới tác dơng cđa cïng mét ngo¹i lùc, chóng sÏ biĨu
hiƯn tr¹ng thái biến dạng khác nhau.
3.8. Các hiện tợng sinh ra khi biến dạng không đều
a. Sinh ra phình tang trống. Theo điều kiện dẻo, kim loại biến dạng khi ứng
suất tiếp lớn nhất hoặc cờng độ ứng suất đạt giá trị giới hạn chảy. Xét mặt cắt ổ
biến dạng chồn, vùng kim loại theo đờng chéo l m với bề mặt một góc 45 0 l

vùng sớm đạt điều kiện dẻo,. Nên biến dạng sớm nhất, trong khi đó các vùng kia
cha kịp biến dạng.

113


Vùng dới đe, chịu trạng thái ứng
suất nén 3 chiều, khó biến dạng
nhất. Vùng biên trạng thái ứng
suất có 1 chiều tiếp tuyến l kéo,
nên dễ tạo hình trống v tạo vết
nứt bề mặt. Do các vùng, các lớp
Hình 3.16 Các dạng tang trống khi chồn

kim loại biến dạng khác nhau, dễ
gây ứng suất d. Lợng biến dạng
tăng l m tăng độ biến dạng không

đều. Ta có thể lấy hệ số phình tang trống để đánh giá.
b. Biến dạng không đều trên bề mặt.
Do tỷ số H/D lớn, lợng biến dạng nhỏ sẽ gây biến dạng bề mặt, tầng giữa
không biÕn d¹ng, t¹o ra 2 tang trèng nèi nhau b»ng 1 hình trụ.
c. Hiện tợng một bộ phận diện tích mặt chuyển lên bề mặt tiếp xúc.
Khi biến dạng không đều, bề mặt bị hạn chế không dịch chuyển do lực ma
sát. Dới tác dụng lực bề mặt bên bị gấp khúc lên mặt tiếp xúc v l m tăng mặt
tiếp xúc.
Hiện tợng tăng diện tích bề mặt v phình
tang trèng phô thuéc tû sè H/D v tû sè nÐn ∆h/H.
NÕu tû sè nÐn nhá h¬n 50% chđ u do phình tang
trống v kim loại chuyển dịch lên bề mặt tiếp xúc.

Khi tỷ số nén vợt quá 50% chủ yếu l do diện
tích mặt tiếp xúc dịch chuyển.
Hình3.17

Sự

chuyển

dịch để hình th nh diƯn tÝch
tiÕp xóc míi

d. Vïng dÝnh v khã biến dạng.
Trong trờng hợp biến dạng không đều,
diện tích tiếp xúc tăng chủ yếu do mặt bên dịch

chuyển lên mặt tiếp xúc. Khi đó, không có sự trợt tơng đối giữa kim loại biến
dạng v dụng cụ. Đó l hiện tợng dính, vùng kim loại đó gọi l vùng dính.

114


Trờng hợp không ho n to n dính, có vùng dính v vùng trợt. Hệ số ma sát c ng
lớn, tû lƯ H/D c ng lín vïng dÝnh c ng lớn.
e. ảnh hởng của vùng ngo i. Trong trờng hợp nén cụ bộ, có vùng biến
dạng kề sát vùng không biến dạng. Vùng không chịu nén gọi l vùng ngo i. Do
kim lo¹i l mét khèi thèng nhÊt, biÕn d¹ng sẽ lan truyền sang vùng không "bị
nén" v vùng không bị nén sẽ tác động ngợc lại l m thay đổi trạng thái ứng suất
v biến dạng trong ổ biến d¹ng.
f. øng st phơ.
øng st phơ hay øng st d−, cã 3 d¹ng. øng suÊt d− lo¹i I l øng suất tạo

cân bằng giữa các phần các lớp của vật liệu. ứng suất d loại II l ứng suất cân
bằng giữa các hạt tinh thể. ứng suất d loại II l ứng suất cân bằng giữa các phần
của mạng tinh thể. ứng suất d bao giờ cũng còn lu lại trong vật thể sau biến
dạng, l m tăng trở lực biến dạng, l m giảm tính dẻo vật liệu, biến đổi phân bố ứng
suất v giảm tính ổn định hình häc. Do cã øng st phơ, cïng víi øng st tác
dụng l m biến dạng dẻo tại các phần, các hạt tinh thể khác nhau. Mặt khác, ứng
suất phụ có thể gây ứng suất tập trung, l nguyên nhân gây vết nứt tế vi, phá hoại
tính ho n chỉnh của tinh thể, tạo ra vết nứt.
Nh vậy, để bảo đảm biến dạng đồng đều trong vùng biến dạng cần phải
bảo đảm các nguyên tắc v dùng các biện pháp xử lý:
Bảo đảm tính đồng hớng của vật liệu;
Trạng thái vật lý của các chất điểm trong vật biến dạng đồng đều, nhất l
giới hạn chảy;
Lợng biến dạng tơng đối v tuyệt đối phái bằng nhau;
Tiếp xúc đồng đều giữa dụng cụ v vật biến dạng;
Ma sát tiếp xúc nhỏ hoặc ma sát không gây trở lực lớn.
Việc bảo đảm biến dạng dều l rất khó, do phải gia công các chi tiết có
hình dáng phức tạp. Trong thiết kế công nghệ cần chủ động giải quyết v đa ra
các giải pháp nhằm giảm thiểu ảnh hởng của biến dạng không ®Òu.

115


Trớc hết cần thiết kế chính các khuôn, tạo điều kiện phân bố biến dạng
đều. Thông thờng, cho lợng biến dạng không đều tập trung v o nguyên công
gia công thô, tại nguyên công gia công tinh, cho biến dạng đều v ít để bảo đảm
sau kết tinh lại đợc tổ chức hạt nhỏ.
Bề mặt khuôn cần đợc gia công có độ nhẵn cao, bề mặt đợc bôi trơn v
l m nguội tốt, tránh ảnh hởng xấu của ma sát;
Nung kim loại đều, giữ nhiệt đồng đều. Đối với vật liệu có độ dẫn nhiệt

thấp, cần có quy trình gia nhiệt đúng, thời gian giữa nhiệt đồng đều đủ. Đối với
vật rèn phức tạp, phải bảo đảm giữ nhiệt đồng đều tại tất cả các mặt cắt.
Trong thao tác quy trình công nghệ, cần thực hiện đầy đủ theo quy trình
công nghệ, l m đúng các chế độ công nghệ.

116


Chơng 4
ứng suất và trạng thái ứng suất
4.1. Khái niệm chung
4.1.1. Các giả thiết cơ bản
Thuộc tính của vật rắn thực rất đa dạng, tuỳ theo mục đích nghiên cứu cã
thĨ chó träng v o mét sè thc tÝnh cÇn thiết v không xét đến các thuộc tính
khác. Vì vậy, trong lý thuyết biến dạng dẻo cần đa ra một số giả thiết, nhằm đơn
giản hoá v đi v o một số thuộc tính cơ bản. Trong chơng n y nghiên cứu lý
thuyết biến dạng dẻo toán học, sử dụng công cụ toán, nghiên cứu ứng xử của vật
liệu dới tác dụng ngoại lực - ứng suất - biến dạng.
Cơ học vật rắn biến dạng khác với cơ học vật rắn ở chỗ coi vật có tính biến
dạng, có nghĩa l , có thể thay đổi hình dáng, kích thớc dới tác dụng của ngoại
lực. Lý thuyết biến dạng dẻo toán học dựa trên các các giả thuyết, khái niệm v
các quy luật của cơ học vật rắn v cơ học môi trờng liên tục. Khi nghiên cứu
trạng thái ứng suất v trạng thái biến dạng của vật liệu, phải nghiên cứu trạng thái
đặc trng chung cho chúng. Vật liệu thực l không ho n to n đồng nhất, thí dụ,
khối kim loại đúc có tổ chức đúc với cấu trúc khác nhau, nhng khi nghiên cứu,
có thể coi vật ®ã l ®ång nhÊt - c¸c thuéc tÝnh vËt lý giống nhau tại mọi điểm vật
chất. Trong vật thể thực cũng còn có nhiều khuyết tật, nh các rỗ khí khi đúc, các
khuyết tật điểm trong mạng..., nhng vẫn phải coi vật thể l liên tục. Có nghĩa l
các thuộc tính vật lý nh nhiệt độ, mật độ v các thuộc tính cơ học nh ứng suất
biến dạng liên tục tõ ®iĨm vËt chÊt n y sang ®iĨm vËt chÊt khác. Mặt khác cũng

giả thiết, các thuộc tính cơ học v vËt lý cđa vËt thĨ kim lo¹i cịng gièng nhau
theo mọi hớng.
Nh vậy, đối tợng nghiên cứu của lý thuyết biến dạng dẻo (toán học) l
vật thể có tính liên tục, đồng nhất v đẳng hớng.
Đối với vật thể biến dạng có cấu trúc phức tạp, cần sử dụng phơng pháp
mô hình, chọn kích thớc đối tợng để thoả m n các điều kiện trên.

117


4.1.2. Lực khối. Lực mặt
Lực l đại lợng véctơ. Lực tác dụng lên mọi điểm vật chất trong to n thể tích
của đối tợng l lực khối, nh lực hấp dÉn, lùc qu¸n tÝnh. C¸c lùc n y tû lƯ với
khối lợng riêng.
Lực tác dụng lên mặt ngo i của đối tợng l lực mặt, hay lực ngo i. Chúng
có thể l lực tập trung hoặc lực phân bố.
Theo nguyên lý vật rắn, khi ngoại lực cân bằng, hệ điểm vật chất luôn nằm
trong trạng thái cân bằng, chúng không chuyển động v không biến dạng.
ở trạng thái đ n hồi cân bằng có thể sảy ra trong mọi điều kiện lực tác dụng
của ngoại lực khác nhau. Nhng ở trạng thái dẻo, cân bằng chỉ sảy ra trong điều
kiện giá trị ngoại lực nhất định.
Nhng, khi giải b i toán đ n hồi, trong điều kiện biên nhất định, b i toán l
duy nhất nghiệm. Nhng giải b i toán dẻo, với cùng một điều kiện biên, b i toán
l đa nghiệm.
4.1.3. ứng suất
Giả thiết nghiên cứu một vật thể chịu tác dụng các lực bề mặt Pi, ngoại lực
tác dụng trên bề mặt v trong trạng thái cân bằng. Dới tác dụng ngoại lực, trong
vật thể xuất hiện lực tơng tác giữa các phần của vật thể, đợc gọi l nội lực. Có
thể dùng phơng pháp mặt cắt để nghiên cứu. Nếu chia vật thể bằng một mặt cắt
th nh 2 phần, sau đó bỏ đi một nửa, thí dụ phần bên trái. Để cân bằng, phải xuất

hiện nội lực P, tác dụng trên mặt cắt F, giá trị tổng hợp của nội lực đó phải cân
bằng với tổng giá trị ngoại lực tác dụng lên diện tích mặt ngo i của nửa vật thể.
Xét một điểm M trên tiết diện nhỏ F của mặt cắt, mặt chia đôi vật thể, chịu
tác dụng một nội lực P v có vec tơ pháp tuyến n. Nh vậy, có thể coi trên diện
tích F tác dụng nội lực phân bố đều, v tổng hợp lực bằng P tác dụng tại tâm
diện tích con. Nói chung, phơng của P không trùng víi n.

118


Hình 4.1 ứng suất trung bình tại M (a) v véc tơ ứng suất (b)
ứng suất tại một điểm M l giíi h¹n cđa tû lƯ néi lùc ∆P víi diện tíc F
khi F tiến đến không, v đợc ký hiêụ l S

P
F 0 F

(4.1)

S = lim

Giá trị trên còn đợc gọi l ứng suất Côsi. ứng suất tại một điểm l đại lợng
véc tơ. có thể phân véc tơ ứng suất
th nh 2 th nh phần, th nh phần vuông
góc với mặt cắt gọi l ứng suất pháp,
th nh phần nằm trên mặt cắt gọi l ứng
suất tiếp. Thờng phân th nh ứng suất
pháp v ứng suất tiếp . Đồng thời
cũng có thể phân th nh 3 ứng suất theo
Hình 4.2 Các th nh phần của

toạ độ 0xyz : Sx, Sy, Sz.

vectơ ứng suất S

4.2. Trạng thái ứng suất tại một điểm
Để xác định vec tơ ứng suất tại 1 điểm bất kỳ trong vật thể, cần dứng mặt
cắt qua điểm đó. Nhng, qua một điểm có thể dựng rất nhiều mặt cắt, trên mỗi
mặt đó đều tác dụng một vectơ lực Pn. Từ định luật tác dụng v phản tác dụng, tại
mặt có phơng ngợc với n, cũng có thể xác định ứng suất của phơng đó.
Tập hợp mọi vectơ ứng suất, tác dụng trên mọi mặt cắt đi qua điểm cho
trớc, đợc gọi l trạng thái ứng suất tại điểm đó.
119


dựng một phân khối nhỏ, có 1 đỉnh đặt tại O, 3 mặt bên l 3 mặt toạ độ v
song song với trục toạ độ x y z. Cạnh của khối đó l vô cùng nhỏ dx, dy, dz. Theo
định nghÜa, nÕu vøt bá phÇn vËt chÊt ngo i khèi vuông, thì lực tác dụng trên diện
tích mặt bên của phân khối chính l nội lực (ứng suất).

a.
Hình 4.3 ứng suất to n phần (a) v các b.
th nh phần của trạng thái ứng suất tại A (b)
Có thể biểu diễn véc tơ ứng suất tác dụng lên điểm A thông qua các véc tơ
ứng suất th nh phần tác dụng lên 3 mặt vuông góc với nhau (Hình 4.2). Mỗi ứng
suất tác dụng lên một mặt đợc phân th nh 3 th nh phần có phơng v chiều
song song với 3 trục toạ độ. Kết quả l có 3 øng suÊt ph¸p v 6 øng suÊt tiÕp.
øng suÊt ph¸p đợc biểu diễn

X, Y, Z.

Các ứng suất tiếp đợc biểu diễn xy, xZ, yx, yz, zx, zy.
Các chỉ số đợc ghi nh− sau: ChØ sè thø 1 chØ chiỊu trơc toạ độ m véc tơ lực
tác dụng hớng theo;
Chỉ số thứ 2 chỉ chiều trục toạ độ m véc tơ pháp tuyến của mặt có ứng suất
tác dụng.
Thí dụ: xy øng st tiÕp cã chiỊu theo trơc X v n»m trên mặt có pháp tuyến
chỉ theo trục Y.
ứng suất pháp dơng khi nếu trên tiết diện có pháp tuyến ngo i trùng với
chiều dơng của 1 trục toạ độ, lực tác động theo chiều dơng của trục. Hay ứng
suất pháp kéo l dơng, nén l âm. Chiều của ứng suất tiÕp l d−¬ng, khi øng suÊt
120


tiÕp cã xu h−íng l m ph©n tè quay theo chiều kim đồng hồ. Hình 4.3 biểu diễn
các ứng suất với chiều dơng.
Theo định luật cân bằng lực v mômen, có thể chứng minh các ứng suất tiếp
trên các mặt bằng nhau từng đôi một:
xy= yx, yz= zy, xZ= zx

(4.2)

Nh vËy, 9 øng suÊt th nh phÇn chØ cã 6 ứng suất độc lập.
ứng suất to n phần có thể phân th nh các ứng suất th nh phần theo ph−¬ng x,
y, z, t−¬ng øng Sx, Sy, Sz, viÕt d−íi dạng vec tơ:
Sx = xi + xyj + xzk
Sy = τyzi + σyj + τyzk

(4.3)

Sz = τzxi + τzyj + zk
Có thể viết các ứng suất th nh phần dới dạng ma trận v nhận thấy đây l
ma trận đối xøng qua ®−êng chÐo.

σx
τ yx

τ xy
σy

τ xz
τ yz

τ zx

τ zy

σz

τ xy
y

xz
yz

.

hay

x

.

.

(4.4a)

z

(4.4b)

4.3. ứng suất trên mặt nghiêng
Nếu biết các ứng suất th nh phần tác dụng lên 3 mặt phẳng vuông góc đi
qua điểm khảo sát, có thể xác định trạng thái ứng suất của điểm đó.
Qua điểm 0 tại gốc toạ độ, dựng mặt phẳng nghiêng so với hệ toạ độ đó, sẽ
đợc một tứ diện vuông 0ABC. N l pháp tuyến của mặt nghiêng ABC. Nh vậy,
có thể xác định côsin chỉ phơng của pháp tuyến N nh− sau:

121


cosα x = cos(N , x ) = l 

cosα y = cos(N, y ) = m 

cosα z = cos(N, z) = n 

(4.5)

C¸c diƯn tÝch cđa khèi tø
diƯn đợc tính theo công thức:

ABC l F,
0BC l Fx,
0AC l Fy
v 0AB l Fz.
Giả thiết trên mặt nghiêng
tác dụng một øng st S, v cã
chiỊu bÊt kú nh− h×nh 4.4. Đem
chiếu S trên các trục toạ độ
Hình 4.4 ứng suất trên mặt nghiêng ABC

đợc các ứng suất th nh phần
Sx, Sy, Sz. Điểm O, hay khối tứ

diện nằm trong trạng thái cân bằng. Có nghĩa l , hợp lực theo các phơng bằng
không. Vậy có thể viết:

Fx =S x ∆F −σ x ∆Fx − τ xy ∆Fy − τ xz ∆Fz =0;
∑ Fy =S y ∆F − τ yx ∆Fx −σ y ∆Fy− τ yz ∆Fz =0;
∑ Fx =S z ∆F − τ zy ∆Fx − τ zy ∆Fy −σ z ∆Fz = 0;
BiÕt:

(4.6)

∆Fx = ∆F . l
∆Fy = ∆F . m
∆Fz = ∆F . n

V× vËy
Sx = σX. l + τxym + τxz. n
Sy = τyx. l + σy .m + τyz.n

Sz = τzx. l + τzy.m + σz .
122

(4.7)


S xác định theo các vec tơ ứng suất th nh phÇn :
2
2
2
S 2 =S x + S y + S z

(4.8)

Mặt khác, ứng suất pháp trên mặt nghiêng N có thể xác định theo các ứng
suất th nh phần Sx, Sy, Sz:

σN= Sx.l + Sy.m + Sz.n

(4.9)

NÕu biĨu diƠn ứng suất pháp theo các th nh phần của trạng thái ứng suất
đợc:

N = X. l2 + Y.m2 + Z.n2+ 2τxy. l.m+ 2 τyz.m.n +2 τzx.n.l

(4.10)

øng suÊt tiÕp tæng n»m trên mặt nghiêng có thể xác định nh sau:

2 = S2 - 2N

(4.11)

Nh vậy, có thể xác định đợc các giá trị của ứng suất trên mặt nghiêng bất
kỳ. Nói cách khác, nếu biết đợc 6 th nh phần ứng suất tác dụng lên một điểm
trên 3 mặt vuông góc với nhau, có thể xác định đợc trạng thái ứng suất của
điểm đó. Trong đó, S l véc tơ ứng suất trên mặt nghiêng, 6 ứng suất th nh phần
l th nh phần của tenxơ ứng suất, sẽ đợc nghiên cứu tiếp sau.
4.4 ứng suất pháp chính
Xét công thức tính N , thấy đó l phơng trình của một mặt cong. Nếu từ
gốc toạ độ vẽ một véctơ r theo phơng pháp tuyến N của mặt nghiêng. Bình
phơng của độ lớn véc tơ tỷ lệ nghịch với ứng suất pháp.

r2=

c

N

(4.12)

Vậy, côsin chỉ phơng của vectơ đó có thể biểu diễn nh sau:

x
y
z
l= ; m= ; n= .
r
r

r

(4.13)

Thay các giá trị côsin chỉ phơng v o công thức tính N , ®−ỵc:

c = σX. x2 + σY.y2 + σZ.z2+ 2(τxy.xy+ τyz.yz + τzx.zx)

(4.14)

123


Đây l công thức biểu diễn phơng trình đờng cong bậc hai, đó l mặt cong
ứng suất Côsi. Các hệ số của phơng trình l :
c, x, y, z, xy, yz,zx
Nếu thay đổi phơng v toạ độ x, y, z của vectơ r theo các vị trí của mặt
nghiêng, nhận thấy, đầu mút của véc tơ r luôn nằm trên một mặt cong xác định
bằng biểu thức trên. Bề mặt đó ho n to n xác định đợc trạng thái ứng suất của
một điểm, mặt đó gọi l mặt ứng suất Côsi.
Nhận thấy, khi thay đổi vị trí của trục toạ độ, hệ số của phơng trình thay đổi,
có nghĩa l thay đổi các giá trị của ứng suất trên mặt ứng suất theo toạ độ khảo
sát. Có nghĩa l , tuỳ theo việc chọn trục toạ độ, có thể đợc các phơng trình
đờng cong bậc hai khác nhau. Nh vậy, có thể chọn một hệ toạ độ trùng với
phơng cđa trơc chÝnh cđa mỈt cong. Trơc chÝnh l trơc trên đó chỉ có giá trị của

ứng suất pháp. Mặt tác dụng của ứng suất pháp chính gọi l mặt chính. Nếu trục
toạ độ chọn song song với hớng chính thì trên mặt toạ độ tơng ứng chỉ có một
ứng suất pháp duy nhất. ứng suất pháp trên trục chính đợc gọi l ứng suất pháp

chính, đợc ký hiệu bằng chØ sè 1, 2, 3, theo thø tù ®é lín, 1, 2, 3. Góc chỉ
phơng của pháp tuyến của mặt nghiêng so với trục chính tơng ứng l 1, 2, 3
tơng ứng côsin chỉ phơng l, m, n. Vậy ứng suất pháp trên mặt nghiêng có thể
biểu diễn:

N = 1l2 + 2m2 + 3 n2 ,

(4.15)

Các th nh phần véctơ øng st cã thĨ viÕt theo trơc chÝnh:

S1 = σ1l ; S2 = σ2 m ; S3 = σ3 n

(4.16)

S2 = σ12l2 + σ22m2 + σ32 n2 ,

(4.17)

øng suÊt tiÕp đợc xác định :

2 = S2 - 2N = 12l2 + σ22m2 + σ32 n2 - (σ1l2 + σ2m2 + 3 n2 )2

(4.18)

Biết, quan hệ giữa các côsin chỉ phơng :

l2 + m2 + n2 = 1
Cã thÓ suy ra :
124

(4.20)


S12

12

+

2
S2
2
2

+

2
S3
2
3

(4.21)

=1

(4.21) l phơng trình mặt elipxôit.
Trong một trạng thái ứng suất nhất định, 1, 2, 3 l các giá trị không đổi.
Biểu thức trên biểu diễn một mặt elip với hệ trục toạ độ l các ứng suất pháp
chính. Khảo sát một véctơ ứng suất S, thấy S1, S2 , S3 l các hình chiếu của S trên

các mặt toạ độ. Giá trị của vectơ không thay đổi khi thay đổi hệ trục toạ độ, chỉ
thay đổi các giá trị hình chiếu th nh phần. Trong hệ toạ độ 1, 2, 3 giá trị ứng
suất l không đổi. Nh vậy, một điểm trên mặt cầu elip biểu diễn một trạng thái
ứng suất, trạng thái ứng suất n y có đặc trng của một tenxơ.
Nếu 3 ứng suất chính bằng nhau v cùng dấu, elíp cầu trở th nh hình cầu ứng
suất. Trong trờng hợp đó, ứng suất tại bất kỳ phơng n o đều bằng nhau v đều
l ứng suất pháp chính.
Nếu một ứng suất pháp chính bằng không, elipxôit trở th nh hình elip. Trạng
thái ứng suất khối trở th nh trạng thái ứng suất phẳng. Nếu 2 ứng suất chính bằng
không, hình elíp trở th nh đờng thẳng, tơng ứng trạng thái ứng suất đờng.

4.5. Tenxơ ứng suất
Cho một mặt nghiêng chịu tác dụng của ứng suất pháp chính , mặt đó gọi l
mặt chính. Giả sử vị trí của mặt chính đợc xác định bằng các côsin chỉ phơng l,
m, n so với hệ trục toạ độ x y z, vậy công thức (4.7) có dạng:

Sx = σ. l = σX. l + τxym + τxz. n
Sy = σ. m = τyx.l + σy .m + τyz.n

(4.22)

Sz = σ . n = τzx. l + τzy.m + z .n
Chuyển vế ta đợc:

(X-) l + xym + τxz.n = 0

τyx.l + (σy-σ).m + τyz.n = 0

(4.23)

τzx. l + τzy.m + (σz-σ) .n = 0
125


Để phơng trình có nghiệm, định thức của các hệ số phải bằng không, có
nghĩa l :

x
xy
xz
τ yx
σ y −σ
τ yz =0
τ zx
τ zy
σ y −σ

(4.24)

TriÓn khai định thức đợc một phơng trình bậc ba đối víi σ .

σ3 - I1σ2- I2σ - I3 = 0

(4.25)

trong ®ã: I1, I2, I3 - c¸c bÊt biÕn thø nhÊt, thø 2 v thø 3 cđa tenx¬ øng st.
NghiƯm cđa hệ phơng trình trên chính l 3 giá trị của øng suÊt ph¸p
chÝnh σ1, σ2, σ3.
I1 = σx + σy + σz = const
I2 = σx σy + σy σz + σz σx - τzx2 - τyz2 - τzx2 = const

(4.26)

I3 = σx σy σz + 2 τxyτyzτzx - σx τyz2 - σy τzx2 - σzτxy2 = const.
BÊt biÕn thø 3 cã thÓ viÕt :

σ x

I 3 = τ yx
τ zx


τ xy τ xz 

σ y τ yz 
τ zy σ z 


BÊt biÕn thø 2 cã thÓ viÕt:

σ x
I2 = 
τ yx

τ xy   σ x τ xz   σ y τ yz 
+
+
σ y  τ zx σ z  τ zy σ z 

 




C¸c bÊt biÕn cđa tenx¬ øng st cã ý nghÜa lín, chúng đặc trng cho trạng
thái ứng suất không phụ thuộc v o hệ toạ độ biểu diễn.
Các bất biến trên l đặc trng của trạng thái ứng suất, nhng cũng chứng
minh trạng thái ứng suất mang thuộc tính của tenxơ.
Trên đ chứng minh, trạng thái ứng suất tại một điểm đợc biểu diễn bằng
một mặt elip cầu, với các trục chính l 1, 2, 3. Các giá trị ứng suất thay đổi theo
sự thay đổi của côsin chỉ phơng của ứng suất. Trong đó, ứng suất chính l không
126