Giáo trình hình học hoạ hình chuyên ngành kiến trúc

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

BÀI MỞ ĐẦU
1. TỔNG QUAN VỀ MƠN HỌC
1.1. Giới thiệu
Trong q trình lao động, con người đã làm việc và sáng tạo ra những sản phẩm là
thực thể của không gian ba chiều. Lúc ban đầu, người suy nghĩ ra những đối tượng
ba chiều đó cũng chính là người trực tiếp làm ra chúng.

Hình 0-01 – Ví dụ như người suy nghĩ ra hình dạng của một cái bình cũng chính là người
nhào nặn ra cái bình đó.

Dần dần, theo sự phát triển của văn minh nhân loại, việc phân công lao động đã tách
q trình : Suy nghĩ ra đối tượng trong trí óc và tạo lập đối tượng đó thành một vật thể
ba chiều trên thực tế ra làm hai phần do những nhóm người khác nhau thực hiện.
Hình 0-02 – Ví dụ như kiến trúc sư thiết kế ra một công trình trên bản vẽ giấy hai chiều (2D).

Kỹ sư xây dựng có nhiệm vụ xây dựng cơng trình đó thành một đối tượng ba chiều (3D) trên
thực tế.

1


HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC

Hình 0-03 – Ví dụ nhà tạo dáng sản phẩm công nghiệp đưa ra ý tưởng bằng các hình vẽ 2D.
Thợ sản xuất dựa theo bản thiết kế đó mà làm ra sản phẩm 3D trên thực tế.

Như vậy, thông tin về một đối tượng trong không gian cần phải được thể hiện trên
những bản vẽ giấy để những nhóm người khác nhau có thể đọc và liên tưởng trở lại
hình ảnh khơng gian của đối tượng đó.
Việc thể hiện thơng tin của một đối tượng ba chiều lên trên những bản vẽ giấy hai
chiều địi hỏi phải có những phương pháp biểu diễn sao cho tất cả những thơng tin
về đối tượng đó đều phải được tìm thấy trên các bản vẽ hai chiều và người đọc bản
vẽ có thể tái hiện lại được hình ảnh ba chiều của đối tượng đó trong trí óc.
Nghiên cứu về những phương pháp biểu diễn đó để làm cơ sở lý luận cho việc xây
dựng các bản vẽ là nguồn gốc lịch sử và là một trong những nội dung của mơn Hình
Học Họa Hình.
1.2. Định nghĩa mơn học
Hình học họa hình là mơn học nghiên cứu cách thức biểu diễn một khơng gian hình
học lên một khơng gian hình học khác (thường có chiều thấp hơn) rồi dùng các hình
biểu diễn ấy để nghiên cứu khơng gian hình học ban đầu.
Trong giáo trình này, chúng ta chỉ giới hạn trong phạm vi biểu diễn không gian hình
học Euclide ba chiêu lên khơng gian hình học Euclide hai chiều.
2. MỤC ĐÍCH CỦA MƠN HỌC VÀ PHƯƠNG PHÁP HỌC
2.1. Mục đích của mơn học
Việc học mơn hình học họa hình nhằm tạo cơ sở để người học biết cách thể hiện các
bản vẽ kỹ thuật, kiến trúc, mỹ thuật,…Đồng thời cũng giúp cho việc rèn luyện về tư
duy khơng gian.
2.2. Phương pháp học
Để có thể tiếp thu tốt môn học, người học cần phải biết kết hợp tư duy không gian
(khả năng tưởng tượng) với việc vận dụng tư duy logic trên hình biểu diễn. (Xem hình
0-04)
2

CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 0-04 – Phương pháp học mơn hình học họa hình

3. QUI ƯỚC VỀ KÝ HIỆU BIỂU DIỄN CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC
Để tránh xảy ra nhầm lẫn khi biểu diễn các yếu tố hình học, ta qui ước sử dụng thống
1
nhất các ký hiệu sau đây : (xem hình 0-05)
- Để ký hiệu điểm, ta dùng các chữ in: A, B,
C, D, E, …
- Để ký hiệu đường (thẳng hoặc cong), ta
dùng chữ thường: a, b, c, d, e, …
- Để ký hiệu mặt (phẳng hoặc cong), ta dùng
chữ hoa:

,

,

, …hoặc ta để các chữ

trong dấu ngoặc đơn: (ABC), (p // q), …
- Để ký hiệu hình chiếu 1 của một đối tượng
hình học A, ta thêm các chỉ số: A’ hoặc A1
hoặc A2 hoặc A3, …

Hình 0-05

4. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC HỌA HÌNH 2
4.1. Phép chiếu
Ta có thể hiểu khái niệm về phép chiếu từ việc mơ hình hóa một vật thể ba chiều đặt
trước một nguồn sáng và cho bóng đổ lên trên một bề mặt nào đó. (xem hình 0-06)

1

Xem mục 4.1 để biết khái niệm về phép chiếu.

Phép chiếu, tương ứng 1-1 và sự suy biến là những thuật ngữ cơ bản của hình học họa hình, các
thuật ngữ này có thể được định nghĩa một cách chính xác bằng các cơng cụ tốn học ( tập hợp, ánh
xạ,…), tuy nhiên các định nghĩa này khá trừu tượng. Do đó giáo trình này chỉ đưa ra các khái niệm về
chúng nhằm cố gắng mô tả một cách dễ hiểu và trực quan nhất cho người đọc.

2

3


CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

- Nguồn phát ra tia sáng được mơ hình hóa thành một điểm gọi là nguồn chiếu (hay
tâm chiếu) S.
- Các tia xuất phát từ nguồn chiếu S được gọi là tia chiếu.
- Mặt (phẳng) nhận bóng của vật thể được gọi là mặt (phẳng) hình chiếu

.

- Bóng của vật thể A in lên trên mặt (phẳng) hình chiếu được gọi là hình chiếu A’
hay ảnh A’ của vật thể A.

Hình 0-06

4.2. Tương ứng 1-1
Ta có thể hiểu khái niệm tương ứng 1-1 như là một sự tương đương giữa hai vấn đề
A và B. Nếu biết được A thì sẽ biết được B và ngược lại. Hay nói cách khác, A và B
là hai cách thức khác nhau diễn đạt cùng một vấn đề duy nhất. (Hình 0-07)

Hình 0-07

Tương ứng 1-1 là điều kiện bắt buộc trong việc truyền đạt thông tin thông qua các
hình thức diễn đạt khác nhau nhằm đảm bảo cho thông tin nhận được không bị sai
lệch, thêm bớt so với thông tin ban đầu.

4


HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC

4.3. Sự suy biến
Hình chiếu A’ của một đối tượng hình học A gọi là bị suy biến khi có các đặc điểm
sau : (xem hình 0-08 a,b)
- Số chiều khơng gian của hình chiếu A’ (là n-1), giảm đi một so với số chiều khơng
gian của đối tượng hình học A (là n).
- Nếu mở rộng đối tượng hình học A trong khơng gian ra vơ tận thì nó ln đi qua

nguồn chiếu S.

Hình 0-08 a

Hình 0-08 b

Hình 0-08 a : đường thẳng a (một chiều) có hình chiếu a’  A là một điểm (không chiều).
Nếu kéo dài đường thẳng a ra vơ tận thì đường thẳng a sẽ đi qua nguồn chiếu S. Do đó ta
nói hình chiếu a’ bị suy biến thành một điểm.
Hình 0-08 b : mặt phẳng (ABC) (hai chiều) có hình chiếu (A’B’C’) là một đường thẳng
(một chiều). Nếu mở rộng mặt phẳng (ABC) ra vô tận thì nó sẽ đi qua nguồn chiếu S. Do đó
ta nói hình chiếu (A’B’C’) bị suy biến thành một đường thẳng.

Sự suy biến có một vai trị rất quan trọng trong việc giải quyết các bài tốn tìm giao
tuyến của hình học họa hình. Phần lớn các bài tốn muốn tìm ra lời giải thì trước hết
phải đi xác định (hoặc tạo lập) các yếu tố suy biến.
5. BỔ SUNG YẾU TỐ VƠ TẬN VÀO KHƠNG GIAN HÌNH HỌC EUCLIDE 3 CHIỀU
Để khơng gian hình học ba chiều có thể được biểu diễn đầy đủ bởi không gian giấy
vẽ hai chiều, đồng thời làm đơn giản hóa khi biểu diễn các yếu tố hình học, người ta
mở rộng khơng gian Euclide ba chiều bằng cách thêm vào yếu tố vô tận (∞)
Ta có hệ tiên đề mới về yếu tố vơ tận (∞) như
sau :
- Mỗi đường thẳng có một điểm vơ tận.
Những đường thẳng song song nhau thì
có chung với nhau điểm vơ tận. (Hinh 009)

Hình 0-09
5

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

- Mỗi mặt phẳng có một đường thẳng vơ
tận. Những mặt phẳng song song nhau
thì có chung với nhau đường thẳng vơ
tận. (Hinh 0-10)
- Quĩ tích tất cả những điểm vơ tận của
khơng gian tạo thành một mặt phẳng vô
tận. Mọi điểm vô tận và đường thẳng vơ
tận đều nằm trên mặt phẳng này.

Hình 0-10

➔ Ta xem các yếu tố vô tận và các yếu tố hữu hạn của khơng gian có vai trị bình
đẳng như nhau.
Sau khi bổ sung các yếu tố vơ tận vào khơng gian hình học Euclide ba chiều, các
mệnh đề liên thuộc 3 được phát biểu đơn giản hơn :
- Hai đường thẳng thuộc cùng một mặt phẳng thì có ít nhất một điểm chung.
- Một đường thẳng và một mặt phẳng trong khơng gian thì có ít nhất một điểm chung.
- Hai mặt phẳng trong khơng gian thì có ít nhất một đường thẳng chung.
6. CÁC PHÉP CHIẾU
6.1. Phép chiếu xuyên tâm
➔ Xây dựng phép chiếu : (hình 0-11)
Trong không gian ta lấy một điểm S hữu hạn
làm tâm chiếu (nguồn chiếu) và một mặt
làm mặt phẳng hình chiếu.

phẳng

Giả sử có một điểm A bất kỳ trong khơng
gian, để chiếu điểm A qua tâm chiếu S lên
mặt phẳng

ta vẽ tia SA. Tia SA giao với

mặt phẳng

tại điểm A’. A’ được gọi là hình

chiếu của điểm A qua tâm chiếu S lên mặt
phẳng

.

Hình 0-11

Nhờ bổ sung yếu tố vơ tận mà mọi điểm của không gian Euclide ba chiều đều có hình
chiếu của nó trên mặt phẳng

(trừ điểm nằm trùng với nguồn chiếu S).

Liên thuộc là một thuật ngữ của hình học họa hình dùng để chỉ mối liên hệ giữa những đối tượng có
liên quan và phụ thuộc với nhau.
3

6

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC

➔ Các tính chất của phép chiếu xuyên tâm :
- Hình chiếu của một điểm (khơng trùng tâm
chiếu) là một điểm.
- Hình chiếu của một đường thẳng (không
đi qua tâm chiếu) là một đường thẳng.
- Sự liên thuộc giữa điểm và đường thẳng
được bảo toàn: A  a  A’  a’
- Tỉ số kép giữa bốn điểm thẳng hàng được
bảo tồn: (hình 0-12)
AB AC A' B' A' C'
=
:
:
DB DC D' B' D' C'

Hình 0-12

Hay viết gọn hơn là (ABCD) = (A’B’C’D’)

6.2. Phép chiếu song song
➔ Định nghĩa : Phép chiếu song song là phép chiếu xun tâm có nguồn chiếu S ở
vơ tận.
➔ Các tính chất của phép chiếu song song :
- Hình chiếu của những đường thẳng song song nhau cũng là những đường thẳng
song song nhau : a // b  a’ // b’ (hình 0-13)

MN M' N'
=
- Tỉ số của hai đoạn thẳng song song nhau được bảo toàn :
PQ
P' Q'
(Hình 0-13)
- Tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng được bảo tồn:
Hay viết gọn hơn là (ABC) = (A’B’C’)

Hình 0-13

AB A' B'
=
CB C' B'

(Hình 0-14)

Hình 0-14

7


HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

6.3. Phép chiếu thẳng góc
➔ Định nghĩa : Phép chiếu thẳng góc là
phép chiếu song song có phương chiếu
vng góc với mặt phẳng hình chiếu.

➔ Các tính chất của phép chiếu thẳng góc:
- Phép chiếu thẳng góc là một trường hợp
riêng của phép chiếu song song nên nó
có tất cả các tính chất của phép chiếu
song song.
- Hình chiếu thẳng góc của một góc vng
có một cạnh song song với mặt phẳng
hình chiếu cũng là một góc vng. (hình
0-15)

Hình 0-15

7. CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN KHƠNG GIAN CỦA HÌNH HỌC HỌA HÌNH
Điều kiện cơ bản để thành lập được phương pháp biểu diễn một khơng gian hình học
lên một khơng gian hình học khác là giữa hai khơng gian này phải có tương ứng 1-1.
Sau đây là các phương pháp biểu diễn không gian của hình học họa hình thường
được dùng trong các ngành kỹ thuật :
7.1. Phương pháp hình chiếu thẳng góc
Phương pháp này được thiết lập bằng
cách chiếu vật thể lên các mặt phẳng
hình chiếu thơng qua các phép chiếu
thẳng góc. (hình 0-16 a,b)
- Ưu điểm của phương pháp này là
các kích thước khơng bị biến dạng,
do đó việc đo đạc trên hình vẽ rất
dễ dàng.

Hình 0-16 a

- Nhược điểm của phương pháp này

là khó hình dung lại vật thể ba
chiều khi vật thể có nhiều chi tiết
phức tạp.
➔ Phương pháp này được sử dụng
rộng rãi trong các ngành kỹ thuật : chế
tạo máy, kiến trúc, xây dựng, …

Hình 0-16 b

8


CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

7.2. Phương pháp hình chiếu trục đo
Phương pháp này được thành lập bằng cách gắn vật thể ba chiều vào một hệ trục tọa
độ Descartes vng góc Oxyz rồi chiếu vật thể lẫn hệ trục tọa độ lên trên một mặt
phẳng hình chiếu theo một hướng chiếu song song đã chọn trước. (hình 0-17)
- Ưu điểm của phương pháp này là
dễ dàng hình dung được các vật
thể ba chiều (tuy nhiên, hình ảnh
thu được bị biến dạng một lượng
nhất định, khơng hồn tồn giống
với thực tế).
- Nhược điểm của phương pháp
này là các kích thước bị biến
dạng theo một hệ số nào đó, khó
đo đạc và lấy kích thước trực tiếp

trên hình vẽ.
Hình 0-17
➔ Phương pháp này cũng được sử
dụng rộng rãi trong các ngành kỹ
thuật : chế tạo máy, kiến trúc, xây dựng, …Thường đi kèm với phương pháp hình
chiếu thẳng góc để minh họa hình khơng gian của vật thể.

7.3. Phương pháp hình chiếu phối cảnh
Phương pháp này được thiết lập bởi một phép chiếu xuyên tâm chiếu vật thể lên trên
mặt phẳng
phẳng

(thẳng đứng) và một phép chiếu thẳng góc chiếu vật thể lên trên mặt

(nằm ngang). Hình ảnh thu được trên mặt phẳng

được gọi là phối cảnh

của vật thể. (hình 0-18)

Hình 0-18
9


CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

- Ưu điểm của phương pháp này là dễ dàng hình dung được vật thể ba chiều trong
khơng gian. Hình biểu diễn đúng với những gì mà mắt người nhìn thấy.

- Nhược điểm của phương pháp này là kích thước bị biến dạng rất nhiều, hồn tồn
khơng thể đo đạc và lấy kích thước trực tiếp trên hình vẽ.
➔ Phương pháp này được sử dụng rộng rãi trong các ngành : hội họa, kiến trúc, …
7.4. Phương pháp hình chiếu có đánh số
Phương pháp này được thiết lập bằng một phép chiếu thẳng góc chiếu vật thể lên
trên mặt phẳng hình chiếu

(nằm ngang) và có kèm theo các số đo chỉ độ cao trên

các đường đồng mức. (hình 0-19)

Hình 0-19

- Ưu điểm của phương pháp này là biểu diễn được các đối tượng có hình dạng phức
tạp như địa hình đồi núi, nhiệt độ, sự phân bố mây, …
- Nhược điểm của phương pháp này là chỉ có thể biểu diễn được gần đúng các đối
tượng hình học ba chiều chứ khơng thể biểu diễn chính xác hồn tồn được.
➔ Phương pháp này được sử dụng rộng rãi trong các ngành đo đạc địa chất, thủy
văn, …
Nhằm mục đích phục vụ cho các đối tượng có liên qua đến khối ngành kiến trúc, xây
dựng nên giáo trình chỉ hạn chế trình bày các phương pháp biểu diễn của hình chiếu
thẳng góc, hình chiếu trục đo và hình chiếu phối cảnh. Khơng trình bày phương pháp
hình chiếu có đánh số.
10


HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

PHẦN 1

PHƯƠNG PHÁP HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC
BÀI 1 : BIỂU DIỄN ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG TRÊN
HÌNH CHIẾU THẲNG GĨC
BÀI 2 : BIỂU DIỄN CÁC VẬT THỂ HÌNH HỌC
BÀI 3 : CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH CHIẾU
BÀI 4 : BÀI TỐN TÌM GIAO TUYẾN
BÀI 5 : BÀI TỐN TÌM BĨNG TRÊN HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC

11


CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

BÀI 1. BIỂU DIỄN ĐIỂM - ĐƯỜNG THẲNG - MẶT PHẲNG TRÊN
HÌNH CHIẾU THẲNG GĨC
A. HỆ THỐNG HAI MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU
1. XÂY DỰNG HỆ THỐNG MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU THẲNG GĨC (hình 1-01)
Trong khơng gian, lấy hai mặt phẳng (mp) vng góc nhau. Mặt phẳng thẳng đứng
1

gọi là mp hình chiếu đứng. Mặt phẳng nằm ngang

bằng. Hai mặt phẳng

1

và

2

2

gọi là mp hình chiếu

giao nhau theo một đường thẳng gọi là trục hình

chiếu x.
là mp phân giác4 của góc nhị diện (thuộc phần tư thứ 2 và thứ 4 ) hợp bởi

Gọi
và

2

1

.

Gọi S1∞ và S2∞ lần lượt là những hướng chiếu thẳng góc (vng góc) với mặt phẳng
1

và

2

.

Với một vật thể bất kỳ trong không gian, ta sẽ chiếu vật thể này lên trên các mặt phẳng
hình chiếu

1

và

2

bằng hai phép chiếu thẳng góc có nguồn chiếu lần lượt là S1∞

và S2∞ .

Góc phần tư 2

Góc phần tư 1

Góc phần tư 3

Góc phần tư 4
Hình 1-01

Một số tài liệu khảo sát 2 mặt phẳng phân giác – một mặt phẳng phân giác của góc nhị diện (thuộc
phần tư thứ 1 và thứ 3) , một mặt phẳng phân giác của góc nhị diện (thuộc phần tư thứ 2 và thứ 4).
Giáo trình này chỉ xét một mặt phẳng phân giác G duy nhất thuộc góc phần tư thứ 2 và thứ 4.

4

12

CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

2. ĐỒ THỨC CỦA MỘT ĐIỂM
2.1. Thành lập đồ thức của một điểm (hình 1-02)
Giả sử có một điểm A bất kỳ trong khơng gian, để thành lập hình biểu diễn của điểm
A ta tiến hành như sau :
- Chiếu thẳng góc điểm A theo phương chiếu S1∞ lên mp

1

ta được điểm A1 .

- Chiếu thẳng góc điểm A theo phương chiếu S2∞ lên mp

2

ta được điểm A2 .

- Quay mặt phẳng

2

và mặt phẳng

quanh trục x đến trùng với mặt phẳng

thì điểm A2 có vị trí mới trên mặt phẳng

1

1

như hình vẽ 1-02.

Hình 1-02

Nhận thấy rằng A1 và A2 nằm trên cùng một đường gióng 5 thẳng đứng vng góc
với trục hình chiếu x.
➢ Ta định nghĩa :
- Cặp điểm (A1,A2) gọi là đồ thức của điểm A.

(A1A2 ⊥ x)

- A1 gọi là hình chiếu đứng của điểm A
- A2 gọi là hình chiếu bằng của điểm A
- Gọi Ax là giao điểm của A1A2 với trục x ta có :
Đường gióng (hoặc dóng) là những đường thẳng phụ trợ dùng để canh chỉnh, so sánh vị trí giữa các
hình chiếu của một đối tượng hình học. Đường gióng được vẽ bằng nét liền mảnh.
5

13


CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

. Độ cao của một điểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng

2.

Trên hình 1-02, độ cao của điểm A là đoạn thẳng AA2 = A1Ax .
. Độ xa của một điểm là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng

1.

Trên hình 1-02, độ xa của điểm A là đoạn thẳng AA1 = A2Ax .
➢ Lưu ý : Đồ thức của một điểm B nào đó - (B1,B2) có mối liên hệ ràng buộc duy nhất
là B1B2 ⊥ x . Còn thứ tự B1 nằm trên, B2 nằm dưới hay ngược lại, hoặc cả hai hình
chiếu B1 lẫn B2 cùng nằm trên hoặc nằm dưới trục x là tự do. Việc này tùy thuộc
vào vị trí tương đối của điểm B trong khơng gian so với các mặt phẳng hình chiếu
1

và

2

. (Xem ví dụ hình 1-03)

Hình 1-03

2.2. Các điểm đặc biệt (hình 1-04)
- Điểm B thuộc mặt phẳng hình chiếu đứng
trục hình chiếu x :

B

1

-

2

D

2

thì có hình chiếu đứng C1 nằm trên

 C1  x

Điểm D thuộc mặt phẳng phân giác
bằng D2 trùng nhau :

thì có hình chiếu bằng B2 nằm trên

 B2  x

- Điểm C thuộc mặt phẳng hình chiếu bằng
trục hình chiếu x : C 

1

thì có hình chiếu đứng D1 và hình chiếu

 D1  D2

14


CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

- Trục hình chiếu x thuộc mặt phẳng phân giác
hình chiếu trùng nhau : E  x

nên mọi điểm trên x cũng có hai

 E1  E2

Hình 1-04

3. ĐƯỜNG THẲNG
3.1. Thành lập đồ thức của một đường thẳng (thường)

Hình 1-05
15


CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Ta có định nghĩa :
- Đường thẳng nối 2 tâm chiếu S1∞ và S2∞ được gọi là đường thẳng tâm chiếu6.

- Đường thẳng thường là đường thẳng không cắt đường thẳng tâm chiếu7.
- Đồ thức của đường thẳng thường là một cặp đường thẳng khơng vng góc với
trục hình chiếu x. (hình 1-05)
3.2. Các đường thẳng thường gặp
- Đường thẳng bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng
2

. (hình 1-06)

Hình 1-06

Tính chất : Hình chiếu đứng của đường thẳng bằng là một đường thẳng song song
với trục hình chiếu x.
b là đường thẳng bằng  b1 // x
Ghi chú : Mọi đường thẳng d nằm trên mặt phẳng hình chiêu bằng

2

đều có hình

chiếu đứng d1  x. Ta vẫn có thể xem d như là một đường thẳng bằng.
- Đường thẳng mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng

1

. (hình 1-07)

Do nối hai điểm vơ tận S1∞ và S2∞ nên đường thẳng tâm chiếu là đường thẳng vơ tận của những mặt
phẳng vng góc với trục hình chiếu x. (ta khơng thể thấy được đường thẳng này trên hình vẽ)
6

Đường thẳng cắt đường thẳng tâm chiếu khi và chỉ khi nó nằm trên một mặt phẳng vng góc với
trục hình chiếu x. Đường thẳng cắt đường thẳng tâm chiếu là những đường thẳng đặc biệt.

7

16


CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 1-07

Tính chất : Hình chiếu bằng của đường thẳng mặt là một đường thẳng song song với
trục hình chiếu x.
m là đường thẳng mặt  m2 // x
Ghi chú : Mọi đường thẳng n nằm trên mặt phẳng hình chiêu đứng

1

đều có hình

chiếu bằng n2  x. Ta vẫn có thể xem n như là một đường thẳng mặt.
➢Đường thẳng chiếu bằng là đường thẳng vng góc với mặt phẳng hình chiếu

bằng

2

. (hình 1-08)

Hình 1-08
17


HÌNH HỌC HỌA HÌNH

CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC

Tính chất : Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu bằng bị suy biến thành một điểm
: d2  A2 . Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu bằng là một đường thẳng vng
góc trục x. d là đường thẳng chiếu bằng  d2 là một điểm và d1 ⊥ x
- Đường thẳng chiếu đứng là đường thẳng vng góc với mặt phẳng hình chiếu
đứng

1

. (hình 1-09)

Hình 1-09

Tính chất : Hình chiếu đứng của đường thẳng chiếu đứng bị suy biến thành một
điểm : a1  D1 . Hình chiếu bằng của đường thẳng chiếu đứng là một đường thẳng
vng góc trục x. a là đường thẳng chiếu đứng  a1 là một điểm và a2 ⊥ x
- Đường thẳng cạnh là đường thẳng (thuộc mặt phẳng) vng góc với trục hình
chiếu x. (hình 1-10)
Đối với đường thẳng cạnh, ta không thể biểu diễn hai hình chiếu của nó bằng ký hiệu
của đường thẳng bình thường như (a1,a2), (b1,b2), … vì có rất nhiều đường thẳng

cạnh khác nhau có các hình chiếu trùng nhau trên hình vẽ. Do đó để đảm bảo tương
ứng 1-1, ta bắt buộc phải biểu diễn đồ thức của đường thẳng cạnh bằng đồ thức của
hai điểm A, B bất kỳ thuộc nó.
Tính chất : Hình chiếu bằng và hình chiếu đứng của đường thẳng cạnh là một cặp
đường thẳng trùng nhau và cùng vng góc với trục hình chiều x.
AB là đường thẳng cạnh  (đường thẳng) A1B1  (đường thẳng) A2B2 và ⊥ x
18


CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 1-10

4. SỰ LIÊN THUỘC GIỮA ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG
4.1. Điểm thuộc đường thẳng thường (hình 1-11)
Điểm thuộc đường thẳng thường khi và chỉ khi các hình chiếu của điểm thuộc các
hình chiếu có cùng chỉ số của đường thẳng và thỏa mối liên hệ ràng buộc của điểm.
Điểm I thuộc đường thẳng d  I1  d1 , I2  d2 và

I1I2 ⊥ x

Hình 1-11
19


CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

4.2. Điểm thuộc đường thẳng cạnh

(hình 1-12)

Hình 1-12

Nhìn trên hình 1-12, ta có nhận xét là điểm J không thuộc đường thẳng cạnh AB
nhưng vẫn có các hình chiếu J1  (đường thẳng) A1B1 và J2  (đường thẳng) A2B2 .
Do đó, đối với đường thẳng cạnh cho dù các hình chiếu của điểm có thuộc các hình
chiếu có cùng chỉ số của đường thẳng thì cũng chưa chắc là điểm đó thuộc đường
thẳng cạnh.
Ta có điều kiện để một điểm thuộc đường thẳng cạnh như sau :
Điểm thuộc đường thẳng cạnh khi và chỉ khi tỉ số đơn của ba điểm (có chứa điểm đó)
trên hình chiếu đứng bằng tỉ số đơn của ba điểm (có chứa điểm đó) trên hình chiếu
bằng.
Điểm I thuộc đường thẳng cạnh AB  (A1B1I1) = (A2B2I2)
➢ Dựa vào điều kiện về tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng như trên, ta có cách xét
một điểm I xem có thuộc đường thẳng cạnh AB hay khơng bằng hình vẽ gọi là phép
gióng song song : (hình 1-13)
- Trên hình chiếu đứng, vẽ hai tia song song bất kỳ đi qua A1, B1 .
- Trên hình chiếu bằng, vẽ hai tia song song theo một hướng bất kỳ khác đi qua A2
và B2 .
- Các tia qua A1 và A2 cắt nhau tại điểm A’, Các tia qua B1 và B2 cắt nhau tại điểm
B’. Nối A’B’.
- Từ I1 vẽ tia song song với A1A’ cắt A’B’ tại điểm I’.
- Từ I’ vẽ tia song song với A’A2 cắt A2B2 tại một điểm. Nếu điểm này trùng với vị trí
của điểm I2 thì có nghĩa là trong khơng gian I  AB. Ngược lại là I  AB .
20

CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 1-13

5. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
5.1. Trường hợp hai đường thẳng thường
Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng thường cắt nhau là giao điểm của các hình
chiếu có cùng chỉ số của chúng nằm trên cùng một đường gióng vng góc với trục
x (hình 1-14). Nếu khơng thỏa có nghĩa là hai đường

Hình 1-14
21


CHUN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Hình 1-15

Điều kiện cần và đủ để hai đường thẳng song song nhau là các hình chiếu có cùng
chỉ số của chúng cũng phải song song nhau. (hình 1-16)

Hình 1-16

5.2. Trường hợp đường thẳng thường và đường thẳng cạnh
Một đường thẳng thường và một đường thẳng cạnh chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo

nhau. Chúng không thể song song với nhau được.
22


CHUYÊN NGÀNH KIẾN TRÚC

HÌNH HỌC HỌA HÌNH

Đường thẳng thường d giao với đường thẳng cạnh AB tại điểm I nếu như các hình
chiếu của các điểm A, B, I thỏa tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng : (A1B1I1) = (A2B2I2)
(Thỏa phép gióng song song trên hình vẽ) (hình 1-17). Nếu khơng thỏa có nghĩa là
hai đường thẳng chéo nhau. (hình 1-18)

Hình 1-17

Hình 1-18
23