Giáo trình hình học vi phân (dành cho hệ đào tạo từ xa)

Đại Học Huế
Trung tâm đào tạo từ xa
ts. Trần đạo dõng - ts. Trần vui - ts. lê anh vũ

Giáo trình

Hình học vi phân
Sách dùng cho hệ đào tạo từ xa

HuÕ - 2008

1


Lời nói đầu
Hình học vi phân là một ngành của hình học trong đó các đối tượng
hình học được nghiên cứu bằng phương pháp của giải tích toán học mà
trước hết đó là phép tính vi phân.
Các đối tượng quan trọng nhất của hình học vi phân là các đường,
các mặt trong không gian Euclide thông thường và các họ (liên tục) của
chúng.
Nếu hình học sơ cấp và hình học giải tích nói riêng, hình học tuyến
tính (tổng quát nhiều chiều của hình học sơ cấp) nói chung cũng nghiên
cứu các đường, các mặt một cách tách biệt hoặc đôi khi cũng khảo sát
một vài họ đặc biệt nào đó của đường và mặt thì bao quát hơn hẳn là hình
học vi phân ưu tiên khảo sát tất cả các đường, các mặt bất kì miễn là có
thể mô tả chúng bằng các phương trình giải tích. Đặc trưng cơ bản của
hình học vi phân là nghiên cứu các tính chất của các đối tượng hình học
(các đường, các mặt và các họ của chúng). Các tính chất này được gọi là
các tính chất vi phân.
Phần đầu trong hình học vi phân người ta nghiên cứu các tính chất

vi phân của các đối tượng hình học mà các tính chất này không thay đổi
(bất biến) qua các phép biến hình. Phần này của hình học vi phân gọi là
hình học cổ điển.
Các hướng nghiên cứu mới của hình học vi phân bao gồm :
1) Lí thuyết nghiên cứu các tính chất vi phân của các đối tượng hình
học trong không gian Euclide bất biến đối với các phép affine, xạ ảnh hay
các biến đổi khác.
2) Lí thuyết nghiên cứu các tính chất vi phân của các đối tượng
hình học trong không gian phi Euclide.
Loại bỏ các tính chất riêng biệt của các đối tượng hình học được
nghiên cứu trong hình học vi phân, tổng quát hoá các tính chất chung

2


nhất của chúng, người ta đi đến khái niệm đa tạp vi phân chứa các khái
niệm về các đường, các mặt, họ các đường, các mặt trong không gian
Euclide
và
phi Euclide cũng như chính các không gian ấy như là các trường hợp đặc biệt.
Như vậy, các đa tạp vi phân chính là các đối tượng tổng quát của hình học vi
phân.
Giáo trình này được viết trên cơ sở tóm lược những bài giảng về hình
học vi phân mà các tác giả đà giảng trong nhiều năm tại Khoa Toán
Trường Đại học Sư phạm Huế, có cân nhắc đến tính vừa sức đối với các
đối tượng mới-các học viên đào tạo từ xa.
Về bố cục và nội dung, giáo trình gồm 3 chương :
Chương 1 : Phép tính vi phân trong n.
Chương 2 : Lí thuyết đường trong mặt phẳng và không gian.
Chương 3 : Lí thuyết mặt trong không gian.

Ngoài ra còn có một hệ thống bài tập sau mỗi chương và phần hướng
dẫn giải bài tập.
Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở, Chương 2 và Chương 3 dành
cho việc giới thiệu những nội dung cơ bản nhất của lí thuyết các đường và
mặt trong mặt phẳng và không gian.
Do khuôn khổ hạn chế của giáo trình, đồng thời cũng để phù hợp với
đối tượng, chúng tôi đà không đưa vào phần nhập môn về lí thuyết các
đa tạp vi phân cũng như các kiến thức cơ sở khác có liên quan.
Vì là lần đầu tiên biên soạn cho hệ đào tạo mới nên chắc chắn không
thể tránh khỏi những thiếu sót. Các tác giả rất mong nhận được nhiều ý
kiến đóng góp của đồng nghiệp gần xa cũng như của bạn đọc với mục
đích chung là góp phần cùng Trung tâm Đào tạo từ xa của Đại học Huế
có mộthệ thống giáo trình hoàn thiện hơn.
Các tác giả chân thành cảm ơn PTS. Lê Văn Thuyết đà đọc và cho
những góp ý giúp hoàn thiện giáo trình này.
Huế, tháng 12 năm 1997
Các tác giả

3


Hướng dẫn đọc giáo trình
(dành cho học viên)
Để có thể đọc tốt giáo trình này, học viên cần phải nắm vững
những kiến thức cơ bản về Đại số tuyến tính, về các bộ môn Hình học
cao cấp và Hình học giải tích (Affine, Euclide) và phép tính vi tích
phân một chiều.
Về phương pháp nghiên cứu giáo trình, học viên cần lưu ý một số điểm
sau :
1. Đọc thật cẩn thận lí thuyết, đặc biệt là các khái niệm, nhận xét, các

tính chất, định lí. Các nhận xét sau mỗi khái niệm hay định lí thường là
những bổ sung, giải thích nhằm giúp việc hiểu và vận dụng các khái
niệm, định lí được sâu sắc hơn.
2. Cố gắng độc lập giải các bài tập trước khi xem hướng dẫn. Hoặc
ít ra cũng nên tự giải lại cẩn thận bài tập sau khi đà xem hướng dẫn.
Các tác giả mong và chúc các bạn thành công.

4


Học phần : Hình học vi phân
Chương 1
Phép tính vi phân trong n

Đ1. Sơ lược về TôPô trong n.
1.1. Nhắc lại các không gian n và n
Tập hợp
n = x = (x1, ..., xn)x1, ..., xn  
víi hai phÐp to¸n



 


n
1
n
 1
 x , ..., x  y , ..., y


1
n
. x , ..., x







:   x , ..., x  ,   
:  x 1  y1 , ..., x n  y n
1

n

lËp thµnh một không gian vector n - chiều trên . Cơ sở chính tắc của n
là
e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en = (0, ..., 0, 1).
Có thể xem n là không gian affine n - chiều liên kết với chính nó bởi
ánh xạ liªn kÕt


(x, y)  xy = y - x, x, y n.

Trong n xét tích vô hướng chính tắc
(x1, ..., xn).(y1, ..., yn) =

n

x y
i

i 1

5

i


thì n với tích vô hướng này lập thành một không gian vector Euclide

n - chiều, kí hiệu là n .

Khi ®ã x = (x1, ..., xn)   n ta định nghĩa
x =

x. x

n

x
i

2

i 1

gọi là độ dài hay chuẩn của vector x.

Từ định nghĩa ta cã

(1) x  0, x   n , x = 0  x = 0.

(2) x.y  x.y, x, y   n , dÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi hƯ x,
y phơ thc tun tÝnh.


(3) x  y  x  y  x  y , x, y   n .


(4) x   . x ,   , x   n .

Ta thấy cơ sở chính tắc e1, ..., en) của n chính là cơ sở trực chuẩn

của không gian vector Euclide  n .
Kh«ng gian affine n víi tÝch v« hướng chính tắc gọi là không gian
Euclide n - chiều  n . LÊy O   n th× O ; e1, ..., en là một mục tiêu trực
chuẩn của n , gọi là mục tiêu chính tắc.

Ta định nghÜa d(x, y) = x  y , x, y n , gọi là khoảng cách giữa
hai điểm x, y trong  n .
1.2. TËp con më, ®ãng vµ sù héi tơ trong n
Ta gäi B(x0, ) = x  n x  x 0 <  lµ hình cầu mở n - chiều tâm x0,
bán kính .

6


1.2.1. Định nghĩa. U n gọi là tập mở nÕu x0  U, tån t¹i  =  (x0) >

0 sao cho B(x0, )  U.
HƯ c¸c tËp më của n lập thành một tôpô gọi là tôpô thông thường
trên n.
Tập V n gọi là đóng nếu U = n \V më trong n.
TËp S  n gäi là lân cận của x n nếu tồn tại  > 0 sao cho B(x, ) 
S.
1.2.2. Héi tô
D·y xk  n gäi lµ héi tơ vỊ x0  n nÕu d·y sè x  x0  0 trong
. KÝ hiƯu xk  x0. §iĨm x  n gäi là hội tụ đến x0 n cho trước nếu
dÃy sè x  x0  0 trong . KÝ hiÖu x x0.

Đ2. Hàm vector. Đạo hàm của hàm vector
2.1. Hàm vector
Cho U n và xét ánh xạ
f:

U

m

x

f(x) = (y1, ..., ym).

Với mỗi j = 1, m ánh x¹
j :

m

 

(y1, ..., ym)  yj
7


gọi là phép chiếu chính tắc thứ j.
Khi đó f j = j  f : U   lµ hàm trên U, gọi là hàm thành phần (thứ
j) của f. Hơn nữa ta có
f(x) = (f 1(x), ..., f m(x)), x  U.
Ta gäi f lµ hµm vector víi m hàm thành phần f 1, ..., f m. Kí hiệu f = (f 1, ..., f
m

).
2.2. Hàm vector liên tục
2.2.1. Định nghĩa. Hàm vector f : U n m gọi là liên tục tại x0 U

nếu
> 0,  > 0 : x  U, x  x0 <   f  x   f  x 0    .
Ta nãi f liên tục trên U nếu f liên tục tại mọi x  U.
2.2.2. NhËn xÐt
(1) NÕu U  n vµ f : U thì định nghĩa trên trùng với định nghĩa
về hàm liên tục thông thường.
(2) f = (f 1, ..., f m) liªn tơc trªn U  f i liªn tơc trªn U, i = 1, m .
(3) Cho f : U  n  m vµ g : V m p liên tục.
Khi đó g  f : U  p liªn tơc.
2.2.3. VÝ dụ
(1) Mọi ánh xạ tuyến tính f : n m đều liên tục.
(2) Mọi phép tịnh tiến

t x0 : n  n, x  x0 + x,

víi x0  n cho trước, đều liên tục.
2.3. Hàm vector khả vi

8


2.3.1. Định nghĩa. Cho U mở trong n. Hàm vector
f : U m
gọi là khả vi tại x0 U nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính
:   n  m
sao cho

lim

f  x0  h   f  x0     h
h

h0

0.

ánh xạ tuyến tính được gọi là đạo hàm của f tại x0, kí hiệu =
Df(x0).
Ta gọi f khả vi trên U nếu f khả vi tại mọi x0 U. Nếu f khả vi tại x0, ta
định nghĩa hạng của f tại x0, kí hiệu rank x 0 ( f ), là hạng của ánh xạ tuyến tính
Df(x0).
2.3.2. Định lí. Đạo hàm của hàm vector f : U  m t¹i x0  U nÕu tån
t¹i thì duy nhất.
Chứng minh
Giả sử f khả vi tại x0  U vµ  = Df(x0).

NÕu cã  : n m là ánh xạ tuyến tính cũng thoả mÃn
lim

f  x0  h   f  x 0     h 
h

h0

th×

 0,

  h     h     h   f  x0  h   f  x0   f  x0   f  x0  h    h 
 f  x0  h   f  x 0     h   f  x 0  h   f  x0     h 

nªn
lim

h0

 ( h)   ( h)
 0.
h

Râ rµng (0) = (0) = 0.

9


Ngoµi ra x  0, t  , tx  0 t 0. Do đó và tuyÕn tÝnh

nªn x  n ta cã

0  lim

  tx     tx 

t0

 lim

tx

x  x
x

t0

=

x  x
x

.

Hay (x) = (x), x  n. Nãi c¸ch khác : = .
2.3.3. Ví dụ và nhận xét
(1) f : n  m, f(x) = c, c lµ h»ng sè, x  n. Ta cã
Df (x0) = 0, x0  n.
(2) NÕu f : n  m lµ ánh xạ tuyến tính thì
Df(x0) = f, x0 n.

(3) Gäi
x = x - x0 = h
lµ sè gia cđa biÕn vµ
f = f(x) - f(x0)
lµ sè gia cđa hµm f.
Rõ ràng f khả vi tại x0 nếu và chỉ nÕu
f    x   o  x



(v« cùng bé cấp cao hơn x ) ; tức là số gia f của hàm f được xấp xỉ bởi
một biĨu thøc tun tÝnh (x) cđa sè gia cđa biÕn khi bỏ qua một vô
cùng bé cấp cao hơn số gia của biến.
Ta cũng nói (một cách nôm na) nếu f khả vi tại x0 thì khi x đủ gần x0, có
thể xấp xỉ f bởi một ánh xạ tuyến tính (mà được gọi là đạo hàm của f t¹i
x0).
10


(4) Khi m = n = 1, hµm
f : I = (a, b)
là khả vi (theo định nghĩa trên) tại x0 I khi và chỉ khi f có đạo hàm f ( x0 )
(ánh xạ tuyến tính chính là ánh xạ cho bởi phép nhân với f ( x 0 ))
(5) Hàm f : A m (A là tập con không nhất thiết mở trong n) gọi
là khả vi trên A nếu tån t¹i mét U më trong n, A  U và một hàm
f : U m
khả vi sao cho
f = f.
2.3.4. TÝnh chÊt
(1) f = (f 1, ..., f m) khả vi tại x0 f i khả vi tại x0, i = 1, m và ta có

Df(x0) = (Df 1(x0), ..., Df m(x0)).
(2) D(f + g)(x0) = Df(x0) + Dg(x0),
D(g  f)(x0) = Dg(f(x0))  Df(x0).
(3) Cho f, g : n n khả vi tại x0. Khi đó f g khả vi tại x0 và ta cã
D(f  g)(x0) = g(x0)  Df(x0) + f(x0)  Dg(x0).
2.4. Ma trận Jacobi và đạo hàm riêng
2.4.1. Ma trận Jacobi
Ma trận của ánh xạ tuyến tính Df(x0) đối với cặp cơ sở chính tắc của
n và m gọi là ma trËn Jacobi cđa f t¹i x0, kÝ hiƯu f (x0).
Nh­ vËy, f (x0) lµ ma trËn thùc cÊp m n (m dòng n cột). Ngoài ra
h = (h1, ..., hn)  n ta cã
Df(x0)(h) = f (x0)  [h],
víi [h] lµ ma trËn cét cđa vector h.
11


Khi m = n, có thể xét định thức det f (x0), kí hiệu Jf(x0) gọi là định
thức hàm Jacobi cđa f t¹i x0 hay Jacobien cđa f t¹i x0.
Tõ ®Þnh nghÜa ta suy ra :
(g  f)(x0) = g(f(x0)) f (x0).
2.4.2. Đạo hàm riêng
Cho U mở trong n vµ f : U  , x0  U. NÕu tån t¹i

lim







f x 10 , ..., x0i  1 , x 0i  h, x0i  1 , ..., x 0n f x 01 , ..., x0n



h
thì giá trị này gọi là đạo hàm riêng thứ i của f tại x0, kí hiệu là
f
Di f(x0) hay i x0 , với i = 1, n .
x
Từ định nghĩa ta cã :
h0

(1) Di f(x0)  , i = 1, n .
(2) Nếu f có đạo hàm riêng Dif(x0) tại mọi x U, ta xác định được
ánh xạ Di f : U .
Từ đó ta xác định được đạo hàm riêng của Dif tại x0
k.h

Dj (Di f)(x0) Dij (x0)
gọi là đạo hàm riêng hỗn hợp cấp 2 của f tại x0.
Tương tự, ta có thể định nghĩa đạo hàm riêng hỗn hợp cấp k tuỳ ý t¹i
x0 (k  1) kÝ hiƯu Di1 ... ik f(x0) xác định bởi





Di1 ... ik f(x0) = Dik Dik  1 ... Di1 f

  ...  x  .
0

2.4.3. Nhận xét
(1) Nếu Dij và Dji liên tục trên mét tËp më chøa x0 th× Dij f(x0) = Dji
f(x0).
(2) Ta cịng cã nhËn xÐt t­¬ng tù nhËn xÐt (1) đối với các đạo hàm
riêng hỗn hợp cấp k 1 t ý (nÕu chóng tån t¹i).

12


Trường hợp f có đạo hàm riêng mọi cấp, ta viết f C . Khi đó thứ tự
lấy đạo hàm trong Di1 ....ik f x0 là không quan trọng.
2.4.4. Định nghĩa
Hàm f : U m, U mở trong n, gọi là khả vi lớp C r, r 1, trên U nếu
các hàm thành phần f 1, ..., f m của f khả vi líp C r, tøc lµ víi mäi k  r, tồn tại
các đạo hàm riêng

k f i
liên tục, với ki  0, i = 1, 2,..., n vµ k1 + k2 + ...
 k1 x 1 ... kn x n

+ kn = k.
Hàm f liên tục được gọi là khả vi lớp C0.
Quy ước. Từ nay trở đi nếu không nhấn mạnh, ta chỉ xét những hàm
f C gọi là hàm trơn.
2.5. Các định lí cơ bản
2.5.1. Định lí (Biểu thức tính đạo hàm nhờ đạo hàm riêng)
Cho ánh x¹

f = (f 1, f 2, ..., f m) : n m
khả vi tại a n. Khi đó tồn tại các đạo hàm riêng
Dj f i(a), i = 1, m , j = 1, n
vµ ta cã

 D1 f 1  a   Dn f 1  a  


f (a) =  

 
 D f m  a  D f m  a 
n
 1


k.h



  Dj f i  a 
mn

Chøng minh
XÐt tr­êng hỵp m = 1 : Ta cã f : n . Xác định
h : n, h(x) = (a1, ..., aj ฀ 1, x, aj + 1, ..., an)
ta có theo quy tắc đạo hàm của hàm số hỵp

13



mn

.


0
 

j
j
Dj f(a) = (f  h)(a ) = f (a)h (a ) = f (a).  1   vÞ trÝ thø j.
 

0
 
Do (f  h)(a j) có Dj f(a) là phần tử duy nhất chứng tỏ Dj f(a) tồn tại và
là phần tử thứ j của ma trËn f (a) cÊp 1  n.
Tr­êng hỵp m tuỳ ý, định lí suy ra từ tính chất 2.3.4 ; theo đó mỗi
hàm thành phần f i là khả vi và dòng thứ i của ma trận f (a) là (f i)(a).
2.5.2. Định lí. (Tiêu chuẩn khả vi)
Cho f = (f 1, f 2, ..., f m) : n m và a n. Nếu tất cả các đạo hàm
riêng Dj f(x) tồn tại trên một tập mở chứa a và liên tục tại a thì f khả vi tại
a.
Chứng minh
Cũng như khi chứng minh định lí 2.5.1, chỉ cần xét trường hợp m = 1,
tức là
f : n  .
Ta cã :

f(a + h) - f(a) = f(a1 + h1, a2, ..., a n) - f(a1, a2, ..., a n)
+ f(a1 + h1, a2 + h2, a3, ..., a n) - f(a1 + h1, a2, ..., a n) + ... +
+ f(a1 + h1, ..., a n + h n) - f(a1 + h1, ..., a n - 1 + h n - 1, a n).
Do Di f(x) là đạo hàm của hàm g(x) = (x, a 2, ..., a n) nên áp dụng định
lí giá trị trung b×nh ta cã :
f(a1 + h1, a2, ..., a n) - f(a1, ..., a n ) = h1D1(b1, a2, ..., a n).
trong đó b1 là số nằm giữa a1 và a1 + h1.
Tương tự, ta tính được số hạng thø i cđa tỉng b»ng :
hiDif(a1 + h1, ..., a i - 1 + h i - 1, b i, a i + 1, ..., a n) = hiDi f(c i),
với c i nào đó, i = 1, n .
Suy ra :

14


n

lim

f  a  h   f  a   Df  a  h 
h

h0

 lim

h0

n

i

i 1

i

i

i

i

i

i

h

h0

  D f c   D f  a
i 1

 lim

 D f c   D f a h

0,

do Di f liên tục tại a.

Trường hợp m t ý, ¸p dơng tÝnh chÊt 2.3.4 ta suy ra được tính khả vi
của f tại a.
2.5.3. Định lí. (Quy tắc lấy đạo hàm của hàm số hợp)
Cho f = (f 1, ..., f m) : n  m, x f(x) = y khả vi tại a n và
g : m khả vi tại f(a). Khi đó F = g f khả vi tại a vµ ta cã :
Di F(a) = Di (g  f)(a) =


(hc i (g  f) =
x

m

  D g  (f(a)).D f
j 1

j

i

j

(a), i = 1, n

g f j
. i , i = 1, n ).

j
x
j  1 y

m

Chøng minh. Ta cã
F(a) = (g  f)(a) = g(f(a)).f(a)
 D1 f 1  a  Dn f 1  a  


= (D1g(f(a))  Dmg(f(a))) 


 D f m  a  D f m  a  
n
 1


= (D1F(a) DnF(a)).
Đồng nhất hai vế theo từng hạng tử ta suy ra điều cần chứng minh.
2.6. Hạng của ánh xạ khả vi và vi phôi
2.6.1. Hạng của ánh xạ kh¶ vi

15


Cho U më trong n vµ f : U  m khả vi lớp C

r

tại a U. Theo

định nghĩa ë 2.3.1 h¹ng cđa f t¹i a, kÝ hiƯu ranka(f), chính là hạng của ma

đn

trận Jacobi của f tại a, tức là ranka(f) rankf (a).
Từ định nghĩa ta suy ra ranka(f)  min(n, m).
NÕu ranka(f) = min(n, m) ta gọi a là điểm chính quy của f và gọi a là
điểm kì dị trong trường hợp ranka(f) < min(n, m).
2.6.2. Vi phôi
Cho U, V mở trong n và f : U V là song ánh. Nếu f và f
khả vi lớp C k thì f gọi là vi phôi lớp C k. Vi phôi lớp C
trơn.



1

đều

gọi là vi phôi

Cho U mở trong n và f : U   n , x0  U. Ta nãi f vi phôi trơn
địa phương tại x0 nếu tồn tại một lân cận U0 x0 sao cho
f

U0

: U0 f(U0)

là vi phôi trơn.
2.7. Định lí hàm ẩn và định lí hàm ngược
2.7.1. Ví dụ mở đầu

Giả sử U, V lần lượt là các tập mở trong n, m và
f : U V m
là hàm vector khả vi liên tục trên U V.
Xét phương trình
f(x, y) = 0, (x, y) U V.
(1)
Ta đặt câu hỏi : Khi nào thì phương trình (1) có thể giải được theo x,
tức là tìm được một biểu thức (hàm)
y = y(x)

16


sao cho f(x, y(x)) = 0 ?
Để trả lời câu hỏi này, trước hết ta hÃy xét một trường hợp đặc biệt
nhưng lí thú.
Xét họ phương trình tuyến tính thuần nhÊt trªn .
a11 x1  ...  a1n x n  a1 n  1 y1  a1 n  m  y m  0

(2)

a x 1  ...  a x n  a
1
m
y  ...  am n  m  y  0
mn
m  n  1
m1
gồm m phương trình n + m ẩn x1, ..., xn, y1, ..., ym víi ma trËn hƯ sè
A = (aij)m (m + n)

trên .
Để chuyển hệ phương trình (2) về hệ phương trình (1), đặt
f : n m m
là ánh xạ tuyến tính nhận A làm ma trận trong cơ sở chính tắc của
n m n + m và m.
Lúc đó (2) cã d¹ng
f(x, y) = 0,
víi x = (x 1, ..., x n)  n, y = (y 1, ..., y m) m, tức là dạng phương trình (1).
Lí thuyết về các dạng hệ phương trình tuyến tính khẳng ®Þnh r»ng :
NÕu
det(aij)1  i m, n + 1  j n + m 0
thì hệ phương trình (2) có thể giải được theo các ẩn tự do x 1, x 2, ..., x n.
Cơ thĨ lµ tån tại duy nhất ánh xạ tuyến tính
g : n m,
xác định bởi
g(x 1, x 2, ..., x n) = (y 1(x 1, ..., x n), ..., y m(x 1 ..., x n))
sao cho
17


f(x, g(x)) = 0,
víi mäi x = (x 1, ..., x n) n.
Trở lại trường hợp tổng quát, vì hàm f trong phương trình (1) được
giả thiết là khả vi liên tục (lớp C1), tức là ở địa phương có thể xấp xỉ f bởi
một ánh xạ tuyến tính (đạo hàm của nó) nên ta hi vọng có thể dùng được
kết quả ở trường hợp đặc biệt về hệ phương trình tuyến tính (2). Cần lưu ý
rằng ở đây, chỉ có lời giải địa phương (chứ không phải toàn cục như
trường hợp ánh xạ tuyến tính). Ngoài ra, thay cho ma trận
A = (aij)m (n + m)
và giả thiÕt

det(aij)1  i  m , n + 1  j  n + m  0
lµ ma trËn Jacobi f (x, y) và cần có
det(Dn + j f i(x, y)) 0.
Từ đó ta có định lí dưới đây gọi là định lí hàm ẩn. Đây là một trong những
định lí trung tâm của giải tích nhiều chiều. Ta sẽ thừa nhận định lí này.
2.7.2. Định lí (định lí hàm ẩn)
Cho U, V tương ứng là các tập mở trong n, m vµ f : U  V  n là một
hàm khả vi liên tục trên U V. Giả sử f(x0, y0) = 0 tại một điểm (x0, y0)  U  V
vµ
det(Dn + j f i(x0, y0))m n 0.
Khi đó tồn tại các lân cận V(x0), W(y0) tương ứng của x0 và y0 trong U,
V và tồn tại duy nhất một hàm
g : U(x0) W(y0)
khả vi liên tục sao cho
f(x, g(x)) = 0, x U(x0)
Hàm g được gọi là hàm ẩn (địa phương) xác định bởi phương trình f(x, y)
= 0.
Sử dụng định lí hàm ẩn ta thu được kết quả sau.
2.7.3. Định lí (định lí hàm ngược địa phương)
18


Cho U më trong n vµ f : U  n là một hàm khả vi liên tục . Giả sử x0
U là điểm chính quy của f. Khi đó tồn tại lân cận U(x0) của x0 trong U sao
cho
f : U(x0) f(U(x0))
là vi phối lớp C1.
Nói riêng tồn tại hàm ngược (địa phương)
g = f - 1 : f(U(x0)) U(x0)
gọi là hàm ngược (địa phương) của f trong l©n cËn cđa x0.

Chøng minh
XÐt
F : n  U  n
(y, x)  F(y, x) = y - f(x)
và đặt y0 = f(x0). Khi đó F khả vi liên tục do f khả vi liên tục, và ta cã
F(y0, x0) = 0.
Ngoµi ra F i(y, x) = y i - f i(x), i = 1, n nªn

 F 
 x 

 y0 , x 0 

 f 1
f 1 




1
x n 
 x
    

n
n 
  f  f 
1
x n 
 x

 y0 , x0 

tho¶ m·n
det(

F
)  y0 , x0  = (-1)n.detf (x0) 0.
x

áp dụng định lí hàm ẩn, tồn tại lân cận mở W(y0) trong n và tồn tại
duy nhất g : W(y0) U khả vi liên tục sao cho g(y0) = x0 vµ y  W(y0) ta
cã F(y, g(y)) = 0.
Đặt U(x0) = g(W(y0)) = f - 1(W(y0)) më do f liªn tơc nªn g : W(y0)  U(x0)
thoả mÃn điều kiện y = f(g(y)) hay g = f -1 trên W( f(x0). Định lí được chứng
minh.

19


2.8. Định hướng trong n
Hai cơ sở () và ( ) cđa n gäi lµ cïng h­íng nÕu ma trËn chuyÓn
S = (sij) tõ () sang () cã det S > 0. Dễ dàng kiểm tra đây là một quan hệ
tương đương trên tập hợp các cơ sở của n và chỉ có hai lớp tương đương.
Ta nói mỗi lớp xác định một hướng trong n, hai cơ sở thuộc cïng mét
líp cïng h­íng víi nhau. Líp cđa c¬ së chính tắc xác định trên n gọi là
hướng dương (hay hướng chính tắc), hướng còn lại là hướng âm (hay ®èi
chÝnh t¾c).
PhÐp biÕn ®ỉi tun tÝnh  : n  n gọi là bảo toàn hướng (t. ư.
đổi hướng) nếu det > 0 (t. ­. det < 0). PhÐp affine của n gọi là bảo

toàn hướng nếu phép biến đổi tuyến tính nền của f là bảo toàn hướng.
Phép đẳng cự của n bảo toàn hướng (t. ư. đổi hướng) gọi là phép dời
hình thuận (t. ư. phép dời nghịch).

Đ3. Trường vector và trường mục tiêu
3.1. Trường vector
3.1.1. Không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc
Với mỗi x0  n, tËp  nx0 = (x0, x)x  n = x0 n là một không
gian vector Euclide với 2 phÐp to¸n
 x 0 , x    x 0 , y    x 0 , x  y 

  x 0 , x 
 x 0 , x
và tích vô hướng < (x0, x), (x0, y) > = < x, y>.

20


Ta gọi nx0 là không gian tiếp xúc với n tại x0. Có thể hình dung nx0
là không gian các vector của n với gốc đặt tại x0. Mỗi điểm (x0, x) nx0



được kí hiệu là x x0 . Trong  nx0 cã c¬ së trùc chuẩn e1x , ..., enx
0

0

ứng với

cơ sở chính tắc cđa n.
Cho U më trong n, x0  U th× nx0 cũng gọi là không gian tiếp xúc
đn

của U tại x0. Ta còn kí hiệu Tx0 U nx0 .
Tập hợp TU = TpU gọi là phân thớ tiếp xúc của U (trên U).
p U

Khi đó
: TU  U, x x0  x0
gäi lµ phÐp chiếu phân thớ TU lên đáy U.
Bây giờ cho U më trong n vµ f : U  m lµ ánh xạ khả vi.
Ta đà có
Df(x0) : n m
là ánh xạ tuyến tính, x0 U. Khi đó, với mỗi x0 U, f cảm sinh
f*x ( x x0 ) = (Df(x0)(x)) f  x0  .
0

DÔ thÊy f*x là ánh xạ tuyến tính (do Df(x0) là ánh xạ tuyến tính). Khi
0

đó ta xây dựng được ánh xạ cảm sinh trên các phân thớ tiếp xúc sau :

Tm
f* : TU 
x x0 

®n

f*( x x0 )   f*x ( x x0 ).

0

3.1.2. Tr­êng vector
Cho U më trong n. ánh xạ

21


X : U 
 TU
k/h

X(x)   Xx   nx



x

gọi là trường vector trên U.
Do nx có cơ së trùc chuÈn  e1x , ..., enx  nªn tån t¹i 1, ..., n : U  
sao cho X x =

n

 xe
i

i 1

ix

. KÝ hiÖu X = ( 1, ..., n), các hàm 1, ..., n gọi

là các hàm thành phần của trường vector X ®èi víi c¬ së trùc chn
 e1x , ..., enx .
Trường vector X gọi là khả vi lớp C k nÕu mäi i (i = 1, n ) kh¶ vi líp C
k
trªn U.
Gäi  (U) =  X : tr­êng vector khả vi lớp C trên U
(U) = f : U , f là hàm trơn.
3.1.3. Tính chất
(1) (U) là không gian vector thực với 2 phép toán

X  Y  x  X x  Yx

 . X x
 X  x
(2) (U) lµ mét vµnh giao hoán có đơn vị.
đn

(3) f (U), (f X)x f(x).X x. Khi đó (U) là một (U) môđun.
3.1.4. Đạo hàm theo hướng
Cho U mở trong n vµ f : U  ,   n, x0  U,  x0 = (x0, ).
NÕu tån t¹i lim

t0

f  x 0  t   f  x 0
t

thì giới hạn này được gọi là đạo

hàm của f theo h­íng  t¹i x0. KÝ hiƯu  x0 f là giới hạn này, ta có x0 f
.
Đặc biệt, lấy hướng = ei, i = 1, n ta cã
22


eix f  lim

f  x 0  t   f  x0 
t

t0

0

KÝ hiƯu : eix 
0

Khi ®ã


x i

x0



f

 x0  .
x i

.


 TU
: U 
x i

n
x
x = eix   x
x i

lµ mét tr­êng vector vµ i (U).
x


, ..., n là cơ sở của (U) - môđun (U), tức là
1
x
x
n

X (U), !X i (U) : X = X i i
x
i 1

Hơn nữa 

hay X x =


 X  x  x
n

i

i 1

i

x

, x U.

3.2. Trường mục tiêu
3.2.1. Định nghĩa.
Cho U mở n. ánh xạ
x U x ; 1x , , nx
biến mỗi x U thành một mục tiêu Affine của n gốc tại x (hay một cơ sở
của nx ) gọi là trường mục tiêu trên U. Nếu các mục tiêu này trực giao
(trực chuẩn) thì trường mục tiêu tương ứng cũng gọi là trùc giao (trùc
chuÈn).
Gäi Tx = ( t ij (x))n  m ma trận chuyển từ cơ sở chính tắc (x) cđa  nx
sang (), tøc lµ

23

 jx 

n

t xe
i 1

i
j

ix

, j = 1, n .

Khi đó ta có thể xem trường mục tiêu là ánh xạ
: U GLn()
x (x) = Tx.
Xét các hµm
t ij : U  , x  t ij (x).
Trường mục tiêu gọi là khả vi lớp C k nếu các hàm t ij khả vi lớp C k, i,
j = 1, n .
2

3.2.2. Chó ý. Thùc chÊt nếu nhúng chính tắc GLn() vào n thì ánh xạ
: U GLn()
khả vi nếu nó khả vi theo nghĩa thông thường.

Bài tập Chương 1
1.1. Cho hàm

f : 2 , f(x, y) = sinx.
Dùng định nghĩa chứng minh Df(a, b) = , với xác định bởi (x, y) =
(cosa).x
1.2. Cho hàm f : n thoả mÃn điều kiện
f x x .
2

Chứng minh f khả vi tại x = 0 và Df(0) = 0.
1.3. Cho hàm f : 2 xác định bởi :

24



xy

f(x, y) =  x 2  y 2

0,





1
2

,  x, y   0

 x, y   0

a) Tính D1f(0, 0) và D2f(0, 0).
b) Chứng minh f không khả vi tại (0, 0).
1.4. Tìm đạo hàm (tức là tìm ma trận Jacobi) của các ánh xạ :
a) f(x, y, z) = xy, x > 0 ;
b) f(x, y, z) = (xy, 0), x > 0 ;
c) f(x, y) = sin(xsiny) ;
d) f(x, y) = (sin(xy), sin(xsiny), xy).
1.5. Sö dông vÝ dô
x
1
2
  x sin   , x 0
f(x) = 2
x
0,
x0

chứng tỏ rằng điều kiện liên tục trong Định lí hàm ngược không thể bỏ
được.
1.6. Cho hàm g liên tục trên đường tròn đơn vị S1 thoả mÃn điều kiện
g 0, 1 g 1, 0   0

 g   x   g  x  .
XÐt hµm f : 2 xác định bởi :

x
x .g 
 , x  0
f(x) = 

 x 

x0
0,
víi mäi x  2.
a) Chøng minh víi x  2 cè định cho trước, hàm số
25