Problems in mathematical alnalysis i kaczkornowak

Mục lục
Lời nói đầu

iii

Các ký hiệu và khái niệm

vii

Bài tập
1

Số thực
1.1
1.2

2

3

3

Cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số thực. Liên
phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Một số bất đẳng thức sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

D·y sè thùc

19

2.1

D·y ®¬n ®iƯu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2

Giíi h¹n. TÝnh chÊt cđa d·y héi tơ . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3

Định lý Toeplitz, định lý Stolz và ứng dụng

2.4

Điểm giới hạn. Giới hạn trên và giới hạn d-ới . . . . . . . . 42

2.5

Các bài toán hỗn hỵp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Chuỗi số thực

. . . . . . . . . 37

63

3.1

Tổng của chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.2

Chuỗi d-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.3

DÊu hiƯu tÝch ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.4

Héi tơ tut đối. Định lý Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.5

Tiªu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel . . . . . . . . . . . . 99
i


ii

Mục lục

3.6

Tích Cauchy của các chuỗi vô hạn

. . . . . . . . . . . . . . 102

3.7

Sắp xếp lại chuỗi. Chuỗi kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.8

Tích vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Lời giải
1

2

3

Số thực

121

1.1

Cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số thực. Liên
phân sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

1.2

Một số bất đẳng thức sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

DÃy số thực

145

2.1

DÃy đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

2.2

Giíi h¹n. TÝnh chÊt cđa d·y héi tơ . . . . . . . . . . . . . . 156

2.3

Định lý Toeplitz, định lí Stolz và ứng dụng . . . . . . . . . . 173

2.4

Điểm giới hạn. Giới hạn trên và giới hạn d-ới . . . . . . . . 181

2.5

Các bài toán hỗn hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Chuỗi số thực

231

3.1

Tổng của chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

3.2

Chuỗi d-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

3.3

DÊu hiƯu tÝch ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

3.4

Héi tơ tut đối. Định lý Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . 291

3.5

Tiªu chuẩn Dirichlet và tiêu chuẩn Abel . . . . . . . . . . . . 304

3.6

TÝch Cauchy của các chuỗi vô hạn

3.7

Sắp xếp lại chuỗi. Chuỗi kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

3.8

TÝch v« h¹n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

Tµi liƯu tham kh¶o

. . . . . . . . . . . . . . 313

354


Lời nói đầu
Bạn đang có trong tay tập I của một trong những sách bài tập giải tích
(theo chúng tôi) hay nhất thế giới .
Tr-ớc đây, hầu hết những ng-ời làm toán của Việt Nam th-ờng sử dụng
hai cuốn sách nổi tiếng sau (bằng tiếng Nga và đà đ-ợc dịch ra tiếng Việt):
1. "Bài tập giải tích toán học" của Demidovich (B. P. Demidovich;
1969, Sbornik Zadach i Uprazhnenii po Matematicheskomu Analizu,
Izdatelp1stvo "Nauka", Moskva)
và
2. "Giải tích toán học, các ví dụ vµ bµi tËp" cđa Ljaszko, Bojachuk,
Gai, Golovach (I. I. Lyashko, A. K. Boyachuk, YA. G. Gai, G. P.
Golobach; 1975, Matematicheski Analiz v Primerakh i Zadachakh,
Tom 1, 2, Izdatelp1stvo Vishaya Shkola).
®Ĩ giảng dạy hoặc học giải tích.
Cần chú ý rằng, cuốn thứ nhất chỉ có bài tập và đáp số. Cuốn thứ hai
cho lời giải chi tiết đối với phần lớn bài tập của cuốn thứ nhất và một số
bài toán khác.
Lần này chúng tôi chọn cuốn sách (bằng tiếng Ba Lan và đà đ-ợc dịch
ra tiếng Anh):
3. "Bài tập giải tích. Tập I: Số thực, DÃy số và Chuỗi số" (W. J.
Kaczkor, M. T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czesc Pierwsza, Liczby Rzeczywiste, Ciagi i Szeregi Liczbowe, Wydawnictwo
Universytetu Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1996),
4. "Bài tập giải tích. Tập II: Liên tục và Vi phân " (W. J. Kaczkor, M.
T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czesc Druga, Funkcje

iii


iv

Lời nói đầu

Jednej Zmiennej{Rachunek Rozniczowy, Wydawnictwo Universytetu
Marii Curie - Sklodowskiej, Lublin, 1998).
để biên dịch nhằm cung cấp thêm một tài liệu tốt giúp bạn đọc học và dạy
giải tích. Khi biên dịch, chúng tôi đà tham khảo bản tiếng Anh:
3*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Problems in Mathematical Analysis I, Real Numbers, Sequences and Series, AMS, 2000.
4*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Problems in Mathematical Analysis II, Continuity and Differentiation, AMS, 2001.
Sách này có các -u điểm sau:
ã Các bài tập đ-ợc xắp xếp từ dễ cho tới khó và có nhiều bài tập hay.
ã Lời giải khá đầy đủ và chi tiết.
ã Kết hợp đ-ợc những ý t-ởng hay giữa toán học sơ cấp và toán học
hiện đại. Nhiều bài tập đựơc lấy từ các tạp chí næi tiÕng nh-, American Mathematical Monthly (tiÕng Anh), Mathematics Today (tiếng
Nga), Delta (tiếng Balan). Vì thế, sách này có thể dùng làm tài liệu

cho các học sinh phổ thông ở các lớp chuyên cũng nh- cho các sinh
viên đại học ngành toán.
Các kiến thức cơ bản để giải các bài tập trong sách này có thể tìm trong
5. Nguyễn Duy Tiến, Bài Giảng Giải Tích, Tập I, NXB Đại Học Quèc
Gia Hµ Néi, 2000.
6. W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw -Hil
Book Company, New York, 1964.
Tuy vậy, tr-ớc mỗi ch-ơng chúng tôi trình bày tóm tắt lý thuyết để giúp
bạn đọc nhớ lại các kiến thức cơ bản cần thiết khi giải bài tập trong ch-ơng
t-ơng ứng.

Tập I và II của sách chỉ bàn đến hàm số một biến số (trừ phần không
gian metric trong tập II). Kaczkor, Nowak chắc sẽ còn viết Bài Tập Giải
Tích cho hàm nhiều biến và phép tính tích phân.
Chúng tôi đang biên dịch tập II, sắp tới sẽ xuất bản.


Lời nói đầu

v

Chúng tôi rất biết ơn :
- Giáo s- Phạm Xuân Yêm (Pháp) đà gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng
Anh tập I của sách này,
- Giáo s- Nguyễn Hữu Việt H-ng (Việt Nam) đà gửi cho chúng tôi bản
gốc tiếng Anh tập II của sách này,
- Giáo s- Spencer Shaw (Mỹ) đà gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh
cuốn sách nổi tiếng của W. Rudin (nói trên), xuất bản lần thứ ba, 1976,
- TS D-ơng Tất Thắng đà cổ vũ và tạo điều kiện để chúng tôi biên dịch
cuốn sách này.
Chúng tôi chân thành cám ơn tập thể sinh viên Toán - Lý K5 Hệ Đào
Tạo Cử Nhân Khoa Học Tài Năng, Tr-ờng ĐHKHTN, ĐHQGHN, đà đọc
kỹ bản thảo và sửa nhiều lỗi chế bản của bản đánh máy đầu tiên.
Chúng tôi hy vọng rằng cuốn sách này sẽ đ-ợc đông đảo bạn đọc đón
nhận và góp nhiều ý kiến quí báu về phần biên dịch và trình bày. Rất mong
nhận đ-ợc sự chỉ giáo của quý vị bạn đọc, những ý kiến góp ý xin gửi về:
Chi đoàn cán bộ, Khoa Toán Cơ Tin học, tr-ờng Đại học Khoa
học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, 334 Nguyễn TrÃi, Thanh
Xuân, Hà Nội.

Xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, Xuân 2002.
Nhóm biên dịch
Đoàn Chi



Các ký hiệu và khái niệm
ã R - tập các số thực
ã R+ - tập các số thực d-ơng
ã Z - tập các số nguyên
ã N - tập các số nguyên d-ơng hay các số tự nhiên
ã Q - tập các số hữu tỷ
ã (a, b) - khoảng mở có hai đầu mút là a và b
ã [a, b] - đoạn (khoảng đóng) có hai đầu mút là a và b
ã [x] - phần nguyên của số thực x
ã Với x ∈ R, hµm dÊu cđa x lµ


1
sgn x = −1


0

víi
víi
víi

x > 0,
x < 0,

x = 0.

• Víi x ∈ N,
n! = 1 · 2 · 3 · ... · n,
(2n)!! = 2 · 4 · 6 · ... · (2n − 2) · (2n),
(2n − 1)!! = 1 · 3 · 5 · ... · (2n − 3) · (2n − 1).


• Ký hiƯu nk =
thøc Newton.

n!
,
k!(n−k)!

n, k ∈ N, n ≥ k, lµ hƯ sè cđa khai triĨn nhÞ

vii


viii

Các ký hiệu và khái niệm

ã Nếu A R khác rỗng và bị chặn trên thì ta ký hiệu sup A là cận
trên đúng của nó, nếu nó không bị chặn trên thì ta quy -ớc rằng
sup A = +.
ã Nếu A R khác rỗng và bị chặn d-ới thì ta ký hiệu inf A là cận
d-ới đúng của nó, nếu nó không bị chặn d-ới thì ta quy -ớc rằng
inf A = .
ã DÃy {an } các số thực đ-ợc gọi là đơn điệu tăng (t-ơng ứng đơn điệu

giảm) nếu an+1 an (t-ơng ứng nếu an+1 ≤ an ) víi mäi n ∈ N. Líp
c¸c d·y đơn điệu chứa các dÃy tăng và giảm.
ã Số thực c đ-ợc gọi là điểm giới hạn của dÃy {an } nÕu tån t¹i mét d·y
con {ank } cđa {an } hội tụ về c.
ã Cho S là tập các ®iĨm tơ cđa d·y {an }. CËn d-íi ®óng vµ cận trên
đúng của dÃy , ký hiệu lần l-ợt là lim an và lim an đ-ợc xác định
n

n

nh- sau



+
lim an =
n


sup S



lim an = +

n

inf S

ã Tích vô hạn

Q

nếu {an } không bị chặn trên,
nếu {an } bị chặn trên và S = ,
nếu {an } bị chặn trên và S 6= ,
nếu {an } không bị chặn d-ới,
nếu {an } bị chặn d-ới và S = ,
nếu {an } bị chặn d-ới và S 6= ,

an hội tụ nÕu tån t¹i n0 ∈ N sao cho an 6= 0 víi

n=1

n ≥ n0 vµ d·y {an0 an0 +1 · ... · an0 +n } héi tô khi n → ∞ tíi mét giíi
h¹n P0 6= 0. Sè P = an0 an0 +1 · ... · an0 +n · P0 đ-ợc gọi là giá trị của
tích vô hạn.
ã Trong phần lớn các sách toán ở n-ớc ta từ tr-ớc đến nay, các hàm
tang và côtang cũng nh- các hàm ng-ợc của chúng đ-ợc ký hiệu
là tg x, cotg x, arctg x, arccotg x theo c¸ch ký hiƯu cđa c¸c s¸ch có
nguồn gốc từ Pháp và Nga, tuy nhiên trong các sách toán của Mỹ
và phần lớn các n-ớc châu Âu, chúng đ-ợc ký hiệu t-ơng tự là
tan x, cot x, arctan x, arccot x. Trong cuốn sách này chúng tôi sẽ
sử dụng những ký hiệu này để bạn đọc làm quen với những ký hiệu
đà đ-ợc chuẩn hoá trên thế giíi.


Bµi tËp

Ch-ơng 1
Số thực
Tóm tắt lý thuyết

ã Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R = (, ).
Số thực x R đ-ợc gọi là một cËn trªn cđa A nÕu
a 6 x, ∀x ∈ A.
TËp A đ-ợc gọi là bị chặn trên nếu A có ít nhất một cận trên.
Số thực x R đ-ợc gäi lµ mét cËn d-íi cđa A nÕu
a ≥ x, a A.
Tập A đ-ợc gọi là bị chặn d-ới nếu A có ít nhất một cận d-ới.
Tập A đ-ợc gọi là bị chặn nếu A vừa bị chặn trên và vừa bị chặn d-ới.
Rõ ràng A bị chặn khi và chỉ khi tồn tại x > 0 sao cho
|a| 6 x, a A.
ã Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R = (, ).
Số thực x R đ-ợc gọi là giá trị lín nhÊt cđa A nÕu
x ∈ A,

a 6 x, ∀a ∈ A.

Khi ®ã, ta viÕt
x = max{a : a ∈ A} = max a.
a∈A

3


4

Ch-ơng 1. Số thực

Số thực x R đ-ợc gọi là giá trị bé nhất của A nếu
x A,

a ≥ x, ∀a ∈ A.

Khi ®ã, ta viÕt
x = min{a : a A} = min a.
aA

ã Cho A là tập con không rỗng của tập các số thực R = (, ). Giả
sử A bị chặn trên.
Số thực x R đ-ợc gọi là cận trên đúng của A, nếu x là một cận
trên của A và là cận trên bé nhất trong tập các cận trên của A. Tøc lµ,
a 6 x, ∀a ∈ A,
∀ > o, ∃a ∈ A,

a > x − .

Khi ®ã, ta viÕt
x = sup{a : a ∈ A} = sup a.
a∈A

Cho A lµ tập con không rỗng của tập các số thực R = (, ). Giả
sử A bị chặn d-ới.
Số thực x R đ-ợc gọi là cận d-ới đúng của A, nÕu x lµ mét cËn
d-íi cđa A vµ lµ cËn trên lớn nhất trong tập các cận d-ới của A. Tøc lµ,
a ≥ x, ∀a ∈ A,

∀ > o, ∃a ∈ A,

a < x + .

Khi ®ã, ta viÕt
x = inf{a : a A} = inf a.
aA

ã Tiên đề về cận trên đúng nói rằng nếu A là tập con không rỗng,
bị chặn trên của tập các số thực, thì A có cận trên đúng (duy nhất).
Tiên đề trên t-ơng đ-ơng với: nếu A là tập con không rỗng, bị chặn
d-ới của tập các số thực, thì A có cËn d-íi ®óng (duy nhÊt).
Tõ ®ã suy ra r»ng A là tập con không rỗng, bị chặn của tập các số thực,
thì A có cận trên đúng, và có cận d-ới đúng.
ã Nếu tập A không bị chặn trên, thì ta qui -íc sup A = +∞; NÕu tËp
A kh«ng bị chặn d-ới, thì ta qui -ớc inf A = −∞;


Tóm tắt lý thuyết

5

ã Cho hai số nguyên a, b. Ta nãi r»ng b chia hÕt cho a hc a chia b,
nếu tồn tại số nguyên c, sao cho b = a.c. Trong tr-ờng hợp đó ta nói a là
-ớc của b (hoặc b là bội của a) và viết a|b.
Cho hai số nguyên a1, a2. Số nguyên m đ-ợc gäi lµ -íc chung cđa
a1, a2 nÕu m|a1, m|a2. Sè nguyên m đ-ợc gọi là bội chung của a1, a2
nếu a1|m, a2|m.
¦íc chung m ≥ 0 cđa a1 , a2 cã tÝnh chÊt lµ chia hÕt cho bÊt kú -íc
chung nào của a1 , a2) đ-ợc gọi là -ớc chung lớn nhất của a1, a2 và

đuợc ký hiệu là (a1, a2).
Béi chung m ≥ 0 cña a1 , a2 cã tÝnh chÊt lµ -íc cđa bÊt kú béi chung
nµo cđa a1 , a2 đ-ợc gọi là bội chung nhỏ nhất của a1, a2 và đuợc ký
hiệu là [a1, a2].
Nếu (a, b) = 1 thì ta nói a, b nguyên tố cùng nhau.
Số nguyên d-ơng p N đ-ợc gọi là số nguyên tố, nếu p chỉ có hai
-ớc (tầm th-ờng) là 1 và p.
Gỉa sử m là số nguyên d-ơng. Hai số nguyên a, b đ-ợc gọi là đồng dtheo modulo m, nếu m|(a b). Trong tr-ờng hợp đó ta viết
a=b

(mod m).

ã Ta gọi r là số hữu tỷ (hay phân số), nếu tồn tại p, q Z sao cho
r = p/q. Phân số này là tối giản nếu (p, q) = 1.
Số vô tỷ là số thực nh-ng không phải là số vô tỷ. Tập hợp các số
tức là, giữa hai số thực khác
nhau bất ký (a < b) tồn tại ít nhất một số hữu tỷ (r: a < r < b).

h÷u tû trï mËt trong tập các số thực,

ã Phần nguyên của số thực x, đ-ợc ký hiệu là [x], là số nguyên (duy
nhất) sao cho x 1 < [x] 6 x. Phần lẻ của số thực x, đ-ợc ký hiệu là
{x}, là số thực xác định theo công thức {x} = x [x].
ã Các hàm số sơ cấp ax, loga x, sin x, cos x, arcsin x, arccos x đ-ợc định
nghĩa theo cách thông th-ờng. Tuy nhiên, cần chú ý rằng, tài liệu này dùng
các ký hiệu tiêu chuẩn quốc tế sau
tan x = sin x/ cos x,
ex + e−x
,
2

tanh x = sinh x/ cosh x,
cosh x =

cot x = cos x/ sin x,
ex − e−x
,
2
coth x = cosh x/ sinh x.

sinh x =

T-ơng tự ta có các ký hiệu về hàm ng-ỵc arctan x, arccot x.


6

Ch-ơng 1. Số thực

1.1

Cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các
số thực. Liên phân số

1.1.1. Chứng minh rằng
sup{x ∈ Q : x > 0, x2 < 2} =
1.1.2. Cho
minh rằng


2.

A R khác rỗng. Định nghĩa A = {x : −x ∈ A}. Chøng

sup(−A) = − inf A,
inf(−A) = − sup A.
1.1.3. Cho A, B ⊂ R lµ không rỗng. Định nghĩa
A + B = {z = x + y : x ∈ A, y ∈ B} ,
A − B = {z = x − y : x ∈ A, y ∈ B} .
Chøng minh r»ng

sup(A + B) = sup A + sup B,
sup(A − B) = sup A inf B.
Thiết lập những công thức t-ơng tự cho

inf(A + B) và inf(A B).

1.1.4. Cho các tập không rỗng A và B những số thực d-ơng, định nghÜa
A · B = {z = x · y : x ∈ A, y ∈ B} ,


1
1
= z= : x∈A .
A
x
Chøng minh r»ng

sup(A · B) = sup A · sup B,
và nếu

inf A > 0 thì
sup

khi inf A
chặn thì

= 0 thì sup

1
A






1
A



=

1
,
inf A

= +. Hơn nữa nếu A và B là các tập số thực bị

sup(A Ã B)
= max {sup A · sup B, sup A · inf B, inf A · sup B, inf A · inf B} .

1.1. Cận trên đúng và cận d-ới đúng. Liên phân số

7

1.1.5. Cho A và B là những tập con khác rỗng các số thực. Chứng minh rằng
sup(A B) = max {sup A, sup B}
vµ

inf(A ∪ B) = min {inf A, inf B} .
1.1.6. Tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của A1 , A2 xác định bởi
A1 =
A2 =




2(1)

n+1

+ (1)

n(n+1)
2



3

2+
n





: nN ,


2n
n1
cos
:nN .
n+1
3

1.1.7. Tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của các tập A và B, trong ®ã
A = {0, 2; 0, 22; 0, 222; . . . } và B là tập các phân số thập phân giữa 0 và 1
mà chỉ gồm các chữ số 0 và 1.

1.1.8. Tìm cận d-ới đúng và cận trên đúng của tập các số
n N.
1.1.9. Tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số
n, m N.

(n+1)2
,
2n

trong đó

(n+m)2
,
2nm

trong đó

1.1.10. Xác định cận trên đúng và cận d-ới đúng của các tập sau:
(a)
(b)

A=

nm

o

: m, n N, m < 2n ,
n
√

√
B=
n − [ n] : n ∈ N .

1.1.11. H·y t×m
(a)
(b)
(c)



sup x ∈ R : x2 + x + 1 > 0 ,


inf z = x + x−1 : x > 0 ,
o
n
1
x
x
inf z = 2 + 2 > 0 .


8

Ch-ơng 1. Số thực

1.1.12. Tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của những tập sau:


m 4n
(a)
+
: m, n N ,
A=
n
m



mn
B=
(b)
: m ∈ Z, n ∈ N ,
4m2 + n2


m
(c)
: m, n ∈ N ,
C=
m+n


m
D=
(d)
: m ∈ Z, n ∈ N ,
|m| + n


mn
E=
(e)
: m, n ∈ N .
1+m+n
1.1.13. Cho n ≥ 3, n ∈ N. XÐt tÊt c¶ dÃy d-ơng hữu hạn (a1 , . . . , an ), hÃy
tìm cận trên đúng và cận d-ới đúng của tập các số
n

X
k=1

trong đó an+1

ak
ak + ak+1 + ak+2

,

= a1, an+2 = a2 .

1.1.14. Chứng minh rằng với mỗi số vô tỷ và với mỗi n N tồn tại một số
nguyên d-ơng qn và một số nguyên pn sao cho








p
n

α −
< 1 .


qn

nqn
Đồng thời có thể chọn dÃy

{pn } và {qn } sao cho