Problems in mathematical alnalysis ii kaczkornowak

Môc lôc

i


ii


Lời nói đầu
Bạn đang có trong tay tập I của một trong những sách bài tập giải tích (theo
chúng tôi) hay nhất thế giới .
Trước đây, hầu hết những người làm toán của Việt Nam thường sử dụng hai cuốn
sách nổi tiếng sau (bằng tiếng Nga và đ được dịch ra tiếng Việt):
1. Bài tập giải tích toán học của Demidovich (B. P. Demidoviq; 1969,
Sbornik Zadaq i Upraẳneniá
i po Matematiqeskomu Analizu, Izdatel~stvo
"Nauka", Moskva)

và
2. Giải tích toán học, các ví dụ và bài tập của Ljaszko, Bojachuk, Gai,
á G. P. Golobaq; 1975, MatemGolovach (I. I. LÂxko, A. K. BoÂquk, º. G. Ga³,
¸ Analiz v Primerah i Zadaqah, Tom 1, 2, Izdatel~stvo Vixa
atiqeski
Xkola).

để giảng dạy hoặc học giải tích.
Cần chú ý rằng, cuốn thứ nhất chỉ có bài tập và đáp số. Cuốn thứ hai cho lời
giải chi tiết đối với phần lín bµi tËp cđa cn thø nhÊt vµ mét sè bài toán khác.
Lần này chúng tôi chọn cuốn sách (bằng tiếng Ba Lan và đ được dịch ra tiếng
Anh):
3. Bài tập giải tích. Tập I: Số thực, DÃy số và Chuỗi số (W. J. Kaczkor, M.

T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Cze´sc´ Pierwsza, Liczby Rzeczywiste, Ciagi i Szeregi Liczbowe, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie Sklodowskiej, Lublin, 1996),
iii


Lời nói đầu

iv

4. Bài tập giải tích. Tập II: Liên tục và Vi phân (W. J. Kaczkor, M.
T. Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Czes´c´ Druga, Funkcje Jednej
Zmiennej–Rachunek Ro´ zniczowy, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie Sklodowskiej, Lublin, 1998).
để biên dịch nhằm cung cấp thêm một tài liệu tốt giúp bạn đọc học và dạy giải tích.
Khi biên dịch, chúng tôi đ tham kh¶o b¶n tiÕng Anh:
3*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Problems in Mathematical Analysis I,
Real Numbers, Sequences and Series, AMS, 2000.
4*. W. J. Kaczkor, M. T. Nowak, Problems in Mathematical Analysis II,
Continuity and Differentiation, AMS, 2001.
Sách này có các ưu điểm sau:
Các bài tập được xắp xếp từ dƠ cho tíi khã vµ cã nhiỊu bµi tËp hay.
² Lời giải khá đầy đủ và chi tiết.
Kết hợp được những ý tưởng hay giữa toán học sơ cấp và toán học hiện đại.
Nhiều bài tập đựơc lấy từ các tạp chí nổi tiếng như, American Mathematical Monthly (tiếng Anh), Mathematics Today (tiếng Nga), Delta
(tiếng Balan). Vì thế, sách này có thể dùng làm tài liệu cho các học sinh
phổ thông ở các lớp chuyên cũng như cho các sinh viên đại học ngành toán.
Các kiến thức cơ bản để giải các bài tập trong sách này có thể tìm trong
5. Nguyễn Duy Tiến, Bài Giảng Giải Tích, Tập I, NXB Đại Học Quốc Gia Hà
Nội, 2000.
6. W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw -Hil Book
Company, New York, 1964.
Tuy vậy, trước mỗi chương chúng tôi trình bày tóm tắt lý thuyết để giúp bạn đọc

nhớ lại các kiến thức cơ bản cần thiết khi giải bài tập trong chương t­¬ng øng.


Lời nói đầu

v

Tập I và II của sách chỉ bàn đến hàm số một biến số (trừ phần không gian
metric trong tập II). Kaczkor, Nowak chắc sẽ còn viết Bài Tập Giải Tích cho hàm
nhiều biến và phép tính tích phân.
Chúng tôi đang biên dịch tập II, sắp tới sẽ xuất bản.
Chúng tôi rất biết ơn :
- Giáo sư Phạm Xuân Yêm (Pháp) đ gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh tập I
của sách này,
- Giáo sư Nguyễn Hữu Việt Hưng (Việt Nam) đ gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng
Anh tập II của sách này,
- Giáo sư Spencer Shaw (Mỹ) đ gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh cuốn sách
nổi tiếng của W. Rudin (nói trên), xuất bản lần thứ ba, 1976,
- TS Dương Tất Thắng đ cổ vũ và tạo điều kiện để chúng tôi biên dịch cuốn
sách này.
Chúng tôi chân thành cám ơn tập thể sinh viên Toán - Lý K5 Hệ Đào Tạo Cử
Nhân Khoa Học Tài Năng, Trường ĐHKHTN, ĐHQGHN, đ đọc kỹ bản thảo và sửa
nhiều lỗi chế bản của bản đánh máy đầu tiên.
Chúng tôi hy vọng rằng cuốn sách này sẽ được đông đảo bạn đọc đón nhận và
góp nhiều ý kiến quí báu về phần biên dịch và trình bày. Rất mong nhận được sự chỉ
giáo của quý vị bạn đọc, những ý kiến góp ý xin gửi về: Chi đoàn cán bộ, Khoa
Toán Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia
Hà Nội, 334 Nguyễn TrÃi, Thanh Xuân, Hà Nội.

Xin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, Xuân 2002.
Nhóm biên dịch
Đoàn Chi



Các ký hiệu và khái niệm
R - tập các số thực
R+ - tập các số thực dương
Z - tập các số nguyên
N - tập các số nguyên dương hay các số tự nhiên
Q - tập các số hữu tỷ
(a; b) - khoảng mở có hai đầu mút là a và b
[a; b] - đoạn (khoảng đóng) có hai đầu mút là a và b
[x] - phần nguyên của số thực x
Với x 2 R, hµm dÊu cđa x lµ

8
>
<1
sgn x = ¡1
>
:
0

² Víi x 2 N,

víi x > 0;
víi x < 0;
víi x = 0:

n! = 1 ¢ 2 ¢ 3 ¢ ::: ¢ n;

(2n)!! = 2 ¢ 4 ¢ 6 ¢ ::: ¢ (2n ¡ 2) ¢ (2n);

² Ký hiÖu
Newton.

¡n¢
k

(2n ¡ 1)!! = 1 ¢ 3 ¢ 5 ¢ ::: ¢ (2n ¡ 3) ¢ (2n ¡ 1):
=

n!
;
k!(n¡k)!

n; k 2 N; n á k, là hệ số của khai triển nhÞ thøc
vii


Các ký hiệu và khái niệm

viii

Nếu A ẵ R khác rỗng và bị chặn trên thì ta ký hiệu sup A là cận trên đúng
của nó, nếu nó không bị chặn trên thì ta quy ước rằng sup A = +1.
Nếu A ẵ R khác rỗng và bị chặn dưới thì ta ký hiệu inf A là cận dưới đúng
của nó, nếu nó không bị chặn dưới thì ta quy ­íc r»ng inf A = ¡1.

² D∙y fan g các số thực được gọi là đơn điệu tăng (tương ứng đơn điệu giảm)
nếu an+1 á an (tương ứng nÕu an+1 ∙ an ) víi mäi n 2 N. Lớp các dy đơn
điệu chứa các dy tăng và giảm.
Số thực c được gọi là điểm giới hạn của d∙y fan g nÕu tån t¹i mét d∙y con
fank g cđa fan g héi tơ vỊ c.
² Cho S lµ tập các điểm tụ của dy fan g. Cận dưới đúng và cận trên đúng của
dy , ký hiệu lần lượt là lim an và lim an được xác định nh­ sau
n!1

8
>
<+1
lim an = ¡1
n!1
>
:
sup S
8
>
<¡1
lim an = +1
>
n!1
:
inf S

² Tích vô hạn

1
Q

n=1

n!1

nếu fan g không bị chặn trên;
nếu fan g bị chặn trên và S = ;;
nếu fan g bị chặn trên và S 6= ;;
nếu fan g không bị chặn dưới;
nếu fan g bị chặn dưới và S = ;;
nếu fan g bị chặn dưới và S 6= ;;

an héi tơ nÕu tån t¹i n0 2 N sao cho an 6= 0 với n á n0 và

dy fan0 an0 +1 ¢ ::: ¢ an0 +ng héi tơ khi n ! 1 tíi mét giíi h¹n P0 6= 0. Sè
P = an0 an0 +1 ¢ ::: ¢ an0 +n  P0 được gọi là giá trị của tích vô hạn.
Trong phần lớn các sách toán ở nước ta từ trước đến nay, các hàm tang và
côtang cũng như các hàm ngược của chúng được ký hiệu là tg x, cotg x,
arctg x, arccotg x theo c¸ch ký hiƯu của các sách có nguồn gốc từ Pháp và
Nga, tuy nhiên trong các sách toán của Mỹ và phần lớn các nước châu Âu,
chúng được ký hiệu tương tự là tan x, cot x, arctan x, arccot x. Trong cuèn
s¸ch này chúng tôi sẽ sử dụng những ký hiệu này để bạn đọc làm quen với
những ký hiệu đ được chuẩn hoá trên thế giới.


Bµi tËp

1

Chương 1
Giới hạn và tính liên tục
1.1 Giới hạn của hàm số
Chúng ta dùng các định nghĩa sau.
Định nghĩa 1. Hàm f gọi là tăng (tương ứng, tăng thực sự, giảm, giảm thực
sự) trên tập khác rỗng A 2 R nÕu x1 < x2 ; x1 ; x2 2 A kÐo theo f (x1 ) ∙ f (x2 )

(t­¬ng øng f (x1 ) < f (x2 ), f (x1 ) ¸ f (x2 ), f (x1 ) > f (x2 ) ). Hàm tăng hay giảm
(tương ứng, tăng thực sự hay giảm thực sự) gọi là hàm đơn điệu (tương ứng,
đơn điệu thực sự)
Định nghĩa 2. Tập (a Ă "; a + ") n fag, ở đây " > 0 gọi là lân cận khuyết của

điểm a 2 R

1.1.1. Tìm các giới hạn hoặc chứng minh chúng không tồn tại.
¸
1
1
;
(b) lim x
(a) lim x cos ;
x!0
x!0
x
x
∙ ¸
x b
[x]
(c) lim

; a; b > 0;
(d) lim
;
x!0 a
x!0 x
x
p
p
cos( ¼2 cos x)
3
:
(e) lim x( x2 + 1 ¡ x3 + 1);
(f) lim
x!1
x!0 sin(sin x)
1.1.2. Gi¶ sư f : (¡a; a) n f0g ! R. Chøng minh r»ng
(a) lim f (x) = l nÕu vµ chØ nÕu lim f (sin x) = l,
x!0

x!0

3


Chương 1. Giới hạn và tính liên tục

4

(b) lim f (x) = l thì lim f (jxj) = l. Điều ngược lại có đúng không ?
x!0

x!0

1
1.1.3. Giả sử hàm f : (¡a; a) n f0g ! (0; +1) tho¶ m∙n lim (f (x) + f (x)
) = 2.
x!0

Chøng minh r»ng lim f (x) = 1.
x!0

1
1.1.4. Giả sử f được xác định trên lân cận khuyết của a và lim (f (x)+ jf (x)j
)=
x!a
0. T×m lim f (x).
x!0

1.1.5. Chøng minh r»ng nếu f là hàm bị chặn trên [0; 1] thoả m∙n f (ax) =
bf(x) víi 0 ∙ x ∙ a1 và a; b > 1 thì lim+ f (x) = f(0).
x!0

1.1.6. TÝnh
1
lim (x2 (1 + 2 + 3 + ¢ ¢ ¢ + [ jxj
]));

(a)

x!0

lim (x([ x1 ] + [ x2 ] + ¢ ¢ ¢ + [ xk ])); k 2 N.

(b)

x!0+

[P (x)]
,
x!1 P (jxj)

1.1.7. Tính lim

ở đây P (x) là đa thức với hệ số dương.

1.1.8. Chỉ ra b»ng vÝ dơ r»ng ®iỊu kiƯn
lim (f (x) + f (2x)) = 0

(Ô)

x!0

không suy ra f có giới hạn tại 0. Chứng minh rằng nếu tồn tại hàm ' sao
cho bất đẳng thức f (x) á '(x) được thoả mn trong một lân cận khuyết của

0 và lim '(x) = 0 , thì (Ô) suy ra lim f (x) = 0.
x!0

x!0

1.1.9.
(a) Cho ví dụ hàm f thoả mn điều kiện

lim (f (x)f (2x)) = 0

x!0

và lim f (x) không tồn tại.
x!0

(b) Chứng minh rằng nếu trong một lân cận khuyết của 0, các bất đẳng
thức f (x) á jxjđ ;

lim f (x) = 0.

x!0

1
2

< đ < 1; và f(x)f(2x) á jxj được thoả mn, thì


5

1.1.10. Cho trước số thực đ, giả sử lim

x!1

f (ax)

xđ
đ

= g(a) với mỗi số dương a.

Chứng minh rằng tồn tại c sao cho g(a) = ca .
f (2x)
x!1 f (x)

1.1.11. Giả sử f : R ! R là hàm đơn ®iÖu sao cho lim
f (cx)
x!1 f (x)

minh r»ng lim

= 1. Chøng

= 1 víi mäi c > 0.

1.1.12. Chøng minh r»ng nếu a > 1 và đ 2 R thì
(a)

ax
= +1;
x!1 x
lim

(b)

ax

= +1:
x!1 x®
lim

ln x
®
x!1 x

1.1.13. Chøng minh r»ng nÕu ® > 0, th× lim

= 0.-

1.1.14. Cho a > 0, chøng minh lim ax = 1. Dùng đẳng thức này để chứng
x!0
minh tính liên tục của hàm mũ.
1.1.15. Chứng minh rằng
à
ảx
1
= e;
(a) lim 1 +
x!1
x
(c)

(b)

1

lim

x!Ă1

à

1
1+
x

ảx

= e;

lim (1 + x) x = e:

x!1

1.1.16. Chøng minh r»ng lim ln(1 +x) = 0. Dïng đằng thức này, suy ra hàm
x!0
logarit liên tục trên (0; 1).
1.1.17. Tính các giới hạn sau :
(a)
(c)

ln(1 + x)
lim
;
x!0
x
(1 + x)® ¡ 1

lim
; ® 2 R:
x!0
x

ax ¡ 1
; a > 0;
(b) lim
x!0
x

1.1.18. T×m
(a)
(c)
(e)

1

lim (ln x) x ;

x!1

1

lim (cos x) sin2 x ;

x!0

1

lim (sin x) ln x :

x!0

(b)
(d)

lim xsin x;

x!0+

1

lim (ex ¡ 1) x ;

x!1


Chương 1. Giới hạn và tính liên tục

6

1.1.19. Tìm các giíi h¹n sau:
sin 2x + 2 arctg 3x + 3x2
;
x!0 ln(1 + 3x + sin2 x) + xex
p
p
1 ¡ e¡x ¡ 1 ¡ cos x
p

;
lim
x!0+
sin x

(a)

(b)

lim

(c)

(d)

ln cos x
;
x!0 tg x2
lim

lim (1 + x2 )cotg x :

x!0

1.1.20. TÝnh
(a)

lim (tg

x!1

¼x 1
)x ;
2x + 1

(b)

x
x
lim x(ln(1 + ) ¡ ln ):
x!1
2
2

1.1.21. Gi¶ sư rằng lim+ g(x) = 0 và tồn tại đ 2 R , các số dương m; M sao
x!0

cho m

f (x)
xđ

M với những giá trị dương của x trong lân cận của 0. Chứng
minh rằng nếu đ lim+ g(x) ln x = °; th× lim+ f (x)g(x) = e° . Trường hợp = 1
x!0

x!0

hoặc = Ă1, ta giả sử e1 = 1 và eĂ1 = 0.

1.1.22. Biết r»ng lim f (x) = 1 vµ lim g(x) = 1. Chøng minh r»ng nÕu
x!0

x!0

lim g(x)(f (x) ¡ 1) = , thì lim f(x)g(x) = e .

x!0

x!0

1.1.23. Tính
Ă
Âx
p
p
(a) lim+ 2 sin x + x sin x1 ,
x!0

³

¡ 12
x

(b) lim 1 + xe
x!0

³

¡

(c) lim 1 + e
x!0

1
x2

sin x14

arctg

´e x12

1
x2

,

+ xe

¡

1
x2

sin

1
x4

´e x12

.

1.1.24. Cho f : [0; +1) ! R lµ hµm sao cho mỗi dyf (a + n); a á 0; hội tụ
tới không. Hỏi giới hạn lim f (x) có tồn tại không ?
x!1

1.1.25. Cho f : [0; +1) ! R là hàm sao cho với mọi số dương a, dyff(an)g,
hội tụ tới không. Hỏi giới hạn lim f(x) có tồn tại không ?
x!1

1.1.26. Cho f : [0; +1) ! R là hàm sao cho với mọi a á 0 và mọi b > 0,
dyff (a + bn)g; a á 0; hội tụ tới không. Hỏi giới hạn lim f(x) có tồn tại
x!1
không ?


7

(x)
1.1.27. Chøng minh r»ng nÕu lim f (x) = 0 và lim f (2x)Ăf
= 0 thì lim f (x)
=
x
x!0
x!0
x!0 x
0.

1.1.28. Giả sử f xác định trên (a; +1), bị chặn trên mỗi khoảng hữu hạn
(a; b) ; a < b. Chøng minh r»ng nÕu lim (f (x + 1) ¡ f(x)) = l, th× lim f (x)
= l.
x
x!+1

x!0

1.1.29. Cho f xác định trên (a; +1), bị chặn dưới trên mỗi khoảng hữu
hạn (a; b) ; a < b. Chứng minh r»ng nÕu lim (f(x + 1) ¡ f (x)) = +1, thì
x!+1

lim f (x)
x!0 x

= +1.

1.1.30. Cho f xác định trên (a; +1), bị chặn trên mỗi khoảng hữu hạn
(x)
(a; b) ; a < b. Nếu với số nguyên không âm k , lim f (x+1)Ăf
tồn tại, thì
xk
x!+1

f (x)
1
f (x + 1) ¡ f (x)
lim
=
:

k+1
x!+1 x
k + 1 x!+1
xk
lim

1.1.31. Cho f xác định trên (a; +1), bị chặn trên mỗi khoảng hữu hạn
(a; b) ; a < b và giả sư f(x) ¸ c > 0 víi x 2 (a; +1). Chứng minh rằng nếu
1
lim f (x+1)
tồn tại, thì lim f(x) x cũng tồn tại và
f (x)
x!+1

x!+1

1

lim (f (x)) x = lim

x!+1

1.1.32. Giả thiết rằng lim f
x!0
không ?

x!+1

Ê Ô
1 ¡1

x

f(x + 1)
:
f (x)

= 0. Tõ ®ã cã suy ra lim f (x) tồn tại
x!0

â
ê
1.1.33. Cho f : R ! R sao cho víi mäi a 2 R, d∙y f( na ) hội tụ tới không.
Hỏi f có giới hạn tại 0 không ?
Ă Ă
Ê ÔÂÂ
1.1.34. Chứng minh rằng nếu lim f x x1 ¡ x1
= 0, th× lim f (x) = 0.
x!0

x!0

1.1.35. Chứng minh rằng nếu f đơn điệu tăng ( giảm ) trên (a; b), thì với
mọi x0 2 (a; b),
(a) f (x+
0 ) = lim+ f(x) = inf f (x)
x!x0

x>x0

(f(x+

0 ) = sup f (x));
x>x0


Chương 1. Giới hạn và tính liên tục

8

(b) f (xĂ
0 ) = lim¡ f (x) = sup f (x)
x!x0

x
+
(c) f (x¡
0 ) ∙ f (x0 ) ∙ f (x0 )

(f (x¡
0 ) = inf f (x));
x
+
(f(x¡
0 ) ¸ f (x0 ) á f(x0 )).

1.1.36. Chứng minh rằng nếu f đơn điệu tăng trên (a; b), thì với mọi x0 2
(a; b),
lim+ f (x¡ ) = f (x+
0 );

(a)

x!x0

lim¡ f (x+ ) = f (xĂ
0 ):

(b)

x!x0

1.1.37. Chứng minh định lí Cauchy sau đây. Để f có giới hạn hữu hạn
khi x ! a, điều kiện cần và đủ là với mọi " > 0 tån t¹i ± > 0 sao cho
0
0
jf (x) ¡ f (x )j < " bÊt cø khi nµo 0 < jx ¡ aj < ± vµ 0 < jx Ă aj < . Lập công
thức và chứng minh điều kiện cần và đủ tương tự để lim f (x) tån t¹i.
x!1

1.1.38. Chøng minh r»ng nÕu lim f(x) = A và lim g(y) = B , thì lim g(f (x)) =
x!a

x!a

y!A

B víi gi¶ thiÕt (g ± f )(x) = g(f (x)) được xác định và f không nhận giá trị A
trong lân cận khuyết của a.
1.1.39. Tìm các hàm f và g sao cho lim f (x) = A vµ lim g(y) = B , nh­ng

x!a

y!A

lim g(f (x)) 6= B .

x!a

1.1.40. Gi¶ sư f : R ! R là hàm tăng và x 7! f (x) Ă x có chu kì 1. Kí hiệu
f n là phép lặp thứ n của f ; tức là, f 1 = f vµ f n = f ± f n¡1 víi n ¸ 2. Chøng
n
n
n
minh r»ng nÕu lim f n(0) tồn tại, thì với mọi x 2 R; lim f n(x) = lim f n(0)
n!1

n!1

n!1

1.1.41. Gi¶ sư f : R ! R là hàm tăng và x 7! f (x) Ă x có chu kì 1. Ngoài
ra, giả sử f (0) > 0 và p là số nguyên dương cố định. Kí hiệu f n là phép lặp
thứ n của f . Chứng minh rằng nếu mp là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho
f mp (0) > 0, thì
p
p
f n (0)
f n (0)
1 + f(0)
∙ lim

∙
∙ lim
+
:
n!1 n
mp n!1 n
mp
mp
1.1.42. Giả sử f : R ! R là hàm tăng và x 7! f(x) Ă x có chu kì 1. Chứng
n
minh rằng lim f n(x) tồn tại và nhận cùng giá trị với mọi x 2 R, ở đây f n kÝ
n!1
hiƯu phÐp lỈp thø n cđa f .


9

1.2 Các tính chất của hàm liên tục
1.2.1. Tìm tất cả các điểm liên tục của hàm f xác định bởi
(
0
nếu x vô tỷ,
f (x) =
sin jxj nếu x hữu tỷ.
1.2.2. Xácđịnh tập các điểm liên tục của hàm f được cho bởi
(
x2 Ă 1 nếu x vô tỷ,
f (x) =
0
nếu x hữu tỷ.

1.2.3. Nghiên cứu tính liên tục của các hàm sau:
8
>
<0 nếu x vô tỷ hoặc x = 0,
f(x) = 1q nÕu x = p=q; p 2 Z; q 2 N, và
(a)
>
:
p; q nguyên tố cùng nhau,
8
>
nếu x vô tỷ hoặc x = 0,
(b)
f (x) = qx=(qx + 1) nÕu x = p=q; p 2 Z; q 2 N, và
>
:
p; q nguyên tố cùng nhau,

(Hàm định nghĩa ở (a) được gọi là hàm Riemann.)

1.2.4. Chứng minh rằng nếu f 2 C([a; b]), th× jf j 2 C([a; b]). Chỉ ra bằng ví
dụ rằng điều ngược lại không đúng.
1.2.5. Xác định tất cả các an và bn sao cho hàm xác định bởi
(
an + sin ẳx nếu x 2 [2n; 2n + 1]; n 2 Z ,
f(x) =
bn + cos ¼x nÕu x 2 (2n ¡ 1; 2n); n 2 Z ,
liªn tơc trªn R.

1.2.6. Cho f(x) = [x2 ] sin ẳx với x 2 R. Nghiên cứu tính liªn tơc cđa f .
1.2.7. BiÕt

1
f (x) = [x] + (x ¡ [x])[x] víi x ¸ :
2
Chøng minh r»ng f liên tục và tăng thực sự trên [1; 1).


Chương 1. Giới hạn và tính liên tục

10

1.2.8. Nghiên cứu tính liên tục của các hàm sau đây và vẽ ®å thÞ cđa chóng
nx ¡n¡x
x
¡x ;
n!1 n +n

x 2 R;

x2 enx +x
;
nx
n!1 e +1

x 2 R;

(a)

f (x) = lim

(b)

f (x) = lim

(c)

f (x) = lim

(d)

q
f (x) = lim n 4n + x2n +

(e)

f (x) = lim

ln(en +xn )
;
n
n!1

n!1

n!1

x ¸ 0;
1

;
x2n

p
cos2n x + sin2n x;

2n

x 6= 0;
x 2 R:

1.2.9. Chøng minh rằng nếu f : R ! R liên tục và tuần hoàn thì nó có giá
trị lớn nhất và giá trÞ nhá nhÊt.
1.2.10. Cho P (x) = x2n + a2n¡1 x2n¡1 + ¢ + a1 x + a0 , chøng minh rằng tồn tại
xÔ 2 R sao cho P (xÔ ) = inffP (x) : x 2 Rg. Còng chøng minh rằng giá trị
tuyệt đối của mọi đa thức P có giá trị nhỏ nhất; tức là, tồn tại xÔ 2 R sao
cho jP (xÔ )j = inffjP (x)j : x 2 Rg.
1.2.11.
(a) Cho ví dụ về hàm bị chặn trên [0; 1] nhưng không có giá trị nhỏ nhất,
cũng không có giá trị lớn nhất.
(b) Cho ví dụ về hàm bị chặn trên [0; 1] nhưng không có giá trị nhỏ nhất
trên mọi đoạn [a; b] ẵ [0; 1]; a < b.

1.2.12. Cho f : R ! R; x0 2 R và > 0, đặt
!f (x0 ; ) = supfjf(x) ¡ f (x0 )j : x 2 R; jx ¡ x0 j < ±g
vµ !f (x0 ) = lim+ !f (x0 ; ±). Chøng minh r»ng f liªn tục tại x0 nếu và chỉ nếu
!0

!f (x0 ) = 0.
1.2.13.

11

(a) Cho f; g 2 C([a; b]) vµ víi x 2 [a; b], đặt h(x) = minff (x); g(x)g và

H(x) = maxff (x); g(x)g. Chøng minh r»ng h; H 2 C([a; b]).

(b) Cho f1 ; f2 ; f3 2 C([a; b]) và với x 2 [a; b], đặt f (x) là một trong ba giá trị

f1 (x); f2 (x) và f3 (x) mà nằm giữa hai giá trị còn lại. Chøng minh r»ng
f 2 C([a; b]).

1.2.14. Chøng minh r»ng nÕu f 2 C([a; b]), thì các hàm được xác định bëi
m(x) = infff (³) : ³ 2 [a; x]g vµ M (x) = supff (³) : ³ 2 [a; x]g
còng liên tục trên [a; b].

1.2.15. Gọi f là hàm bị chặn trên [a; b]. Chứng minh rằng các hàm được xác
định bởi
m(x) = infff () : 2 [a; x)g vµ M (x) = supff (³) : ³ 2 [a; x)g
cũng liên tục trên (a; b).

1.2.16. Với các giả thiết của bài toán trước, kiểm tra các hàm
mÔ (x) = infff () : 2 [a; x]g và M Ô (x) = supff(³) : ³ 2 [a; x]g
cã liªn tơc trái trên (a; b) hay không ?

1.2.17. Giả sử f liên tục trên [a; 1) và lim f (x) hữu hạn. Chứng minh rằng
x!1
f bị chặn trên [a; 1).
1.2.18. Cho f là hàm liên tục trên R và đặt fxn g là dy bị chặn. Các bất

đẳng thức sau
lim f (xn ) = f ( lim xn ) vµ lim f (xn ) = f( lim xn )
n!1

n!1

n!1

n!1

có đúng không ?

1.2.19. Cho f : R ! R là hàm liên tục, tăng và gọi fxn g là dy bị chặn.
Chứng minh r»ng


Chương 1. Giới hạn và tính liên tục

12

(a)

lim f(xn ) = f ( lim xn );
n!1

(b)

n!1

lim f(xn ) = f ( lim xn ):

n!1

n!1

1.2.20. Cho f : R ! R là hàm liên tục, giảm và gọi fxn g là dy bị chặn.
Chứng minh rằng
(a)

lim f(xn ) = f ( lim xn );
n!1

(b)

n!1

lim f(xn ) = f ( lim xn ):

n!1

1.2.21. Giả sử f liên tục trên R;

n!1

lim f (x) = Ă1 và lim f (x) = +1. Xác

x!Ă1

x!1

định g bằng cách đặt

g(x) = supft : f (t) < xg víi x 2 R:
(a) Chøng minh r»ng g liªn tơc trái.
(b) g có liên tục không ?

1.2.22. Cho f : R ! R là hàm tuần hoàn liên tục với hai chu kì không thông
ước T1 và T2 ; tức là TT12 vô tỷ. Chứng minh rằng f là hàm hằng. Cho ví dụ
hàm tuần hoàn khác hàm hằng có hai chu kì không thông ước.
1.2.23.
(a) Chứng minh rằng nếu f : R ! R là hàm liên tục, tuần hoàn, khác hàm
hằng, thì nó có chu kì dương nhỏ nhất, gọi là chu kì cơ bản.

(b) Cho ví dụ hàm tuàn hoàn khác hàm hằng mà không có chu kì cơ bản.
(c) Chứng minh rằng nếu f : R ! R là hàm tuần hoàn không có chu kì cơ
bản, thì tập tất cả các chu kì của f trï mËt trong R.

1.2.24.


13

(a) Chứng minh rằng định lí trong mục (a) của bài toán trước vẫn còn đúng
khi tính liên tục của f trên R được thay thế bởi tính liên tục tại một
điểm.
(b) Chứng minh rằng nếu f : R ! R là hàm tuần hoàn không có chu kì cơ
bản và nếu nó liên tục tại ít nhất một điểm, thì nó là hàm hằng.

1.2.25. Chứng minh rằng nếu f; g : R ! R là hàm liên tục, tuần hoàn và
lim (f (x) Ă g(x)) = 0 thì f = g .

x!1

1.2.26. Cho ví dụ hai hàm tuần hoàn f và g sao cho mọi chu kì của f không
thông ước với mọi chu kì của g và sao cho f + g
(a) không tuần hoàn,
(b) tuần hoàn.

1.2.27. Cho f; g : R ! R là các hàm liên tục và tuần hoàn lần lượt với chu
kì cơ bản dương T1 và T2 . Chứng minh rằng nếu TT12 2
= Q, thì h = f + g không
là hàm tuần hoàn.
1.2.28. Cho f; g : R ! R là các hàm tuần hoàn .Giả sử f liên tục và không
có chu kì nào của g thông ước với chu kì cơ bản của f . Chứng minh rằng
f + g không là hàm tuần hoàn.
1.2.29. Chứng minh rằng tập các điểm gián đoạn của hàm đơn điệu f : R !
R không quá đếm được.
1.2.30. Giả sử f liên tơc trªn [0; 1]. Chøng minh r»ng
n

1X
k
(¡1)k f ( ) = 0:
n!1 n
n
k=1
lim

1.2.31. Cho f liªn tơc trªn [0; 1]. Chứng minh rằng
à ả

n
k
1 X
k n
lim n
(Ă1)
f ( ) = 0:
n!1 2
k
n
k=0


Chương 1. Giới hạn và tính liên tục

14

1.2.32. Giả sử f : (0; 1) ! R là hàm liên tục sao cho f (x) ∙ f(nx) víi mäi
sè d­¬ng x và mọi số tự nhiên n. Chứng minh rằng lim f (x) tồn tại (hữu
x!1
hạn hoặc vô hạn).
1.2.33. Hàm f xác định trên khoảng I ẵ R được gọi là lồi trên I nếu
f (áx1 + (1 Ă á)x2 ) ∙ ¸f (x1 ) + (1 ¡ ¸)f(x2 )
víi mäi x1 ; x2 2 I và á 2 (0; 1). Chứng minh rằng nếu f lồi trên khoảng mở,

thì nó liên tục. Hàm lồi trên khoảng bất kì có nhất thiết liên tục không ?

1.2.34. Chứng minh rằng nếu dy ffn g các hàm liên tục trên A hội tụ đều
tới f trên A, thì f liên tục trên A.

1.3 Tính chất giá trị trung gian
Ta nhắc lại định nghĩa sau:
Định nghĩa 3. Hàm thực f có tính chất giá trị trung gian trên khoảng I
chứa [a; b] nếu f (a) < v < f (b) hc f (b) < v < f (a); tức là, nếu v nằm giữa

f (a) và f (b), thì tồn tại c nằm giữa a vµ b sao cho f (c) = v .
1.3.1. Cho các ví dụ các hàm có tính chất giá trị trung gian trên khoảng I
nhưng không liên tục trên khoảng này.
1.3.2. Chứng minh rằng hàm tăng thực sự f : [a; b] ! R có tính chất giá trị
trung gian thì liên tục trên [a; b].
1.3.3. Cho f : [0; 1] ! [0; 1] liªn tơc. Chøng minh r»ng f có điểm cố định
trong [0; 1]; tức là, tồn t¹i x0 2 [0; 1] sao cho f (x0 ) = x0 .
1.3.4. Gi¶ sư f; g : [a; b] ! R liªn tơc sao cho f (a) < g(a) và f(b) > g(b).
Chứng minh rằng tồn tại x0 2 (a; b) sao cho f (x0 ) = g(x0 ).


15

1.3.5. Cho f : R ! R liên tục và tuần hoàn với chu kì T > 0. Chứng minh
rằng tồn tại x0 sao cho
ả
à
T
= f (x0 ):
f x0 +
2
1.3.6. Hàm f : (a; b) ! R liên tục. Chứng minh r»ng, víi x1 ; x2 ; : : : ; xn cho
tr­íc trong (a; b), tån t¹i x0 2 (a; b) sao cho
f (x0 ) =

1
(f(x1 ) + f (x2 ) + ¢ + f(xn )):
n

1.3.7.
(a) Chøng minh r»ng phương trình (1 Ă x) cos x = sin x cã Ýt nhÊt mét
nghiƯm trong (0; 1).

(b) Víi ®a thøc khác không P , chứng minh rằng phương trình jP (x)j = ex
cã Ýt nhÊt mét nghiƯm.

1.3.8. Víi a0 < b0 < a1 < b1 < ¢ ¢ ¢ < an < bn , chøng minh r»ng mäi nghiƯm
cđa ®a thøc
n
n
Y
Y
P (x) =
(x + ak ) + 2 (x + bk ); x 2 R;
k=0

k=0

đều là thực.

1.3.9. Giả sử f và g có tính chất giá trị trung gian trên [a; b]. Hỏi f + g có
tính chất giá trị trung gian trên khoảng đó không ?
1.3.10. Giả sử f 2 C([0; 2]) vµ f (0) = f (2). Chøng minh rằng tồn tại x1 và
x2 trong [0; 2] sao cho
x2 ¡ x1 = 1 vµ f(x2 ) = f (x1 ):

Giải thích ý nghĩa hình học kết quả trên.

1.3.11. Cho f 2 C([0; 2]). Chøng minh r»ng tån t¹i x1 vµ x2 trong [0; 2] sao
cho
1
x2 ¡ x1 = 1 vµ f (x2 ) ¡ f (x1 ) = (f(2) ¡ f(0)):
2


Chương 1. Giới hạn và tính liên tục

16

1.3.12. Với n 2 N, gäi f 2 C([0; n]) sao cho f (0) = f (n). Chứng minh rằng
tồn tại x1 và x2 trong [0; n] tho¶ m∙n
x2 ¡ x1 = 1 và f(x2 ) = f (x1 ):
1.3.13. Hàm liên tục f trên [0; n]; n 2 N, thoả mn f (0) = f (n). Chøng minh
0
0
r»ng víi mäi k 2 f1; 2; : : : ; n ¡ 1g, tån tại xk và xk sao cho f(xk ) = f (xk ), ở
0
0
đây xk Ă xk = k hoặc xk ¡ xk = n ¡ k . Hái víi mäi k 2 f1; 2; : : : ; n ¡ 1g, có tồn
0
0
0
tại xk và xk sao cho f (xk ) = f (xk ), ở đây xk Ă xk = k ?
1.3.14. 6 Víi n 2 N, gäi f 2 C([0; n]) sao cho f (0) = f (n). Chứng minh rằng
phương trình f (x) = f (y) có Ýt nhÊt n nghiƯm víi x ¡ y 2 N.
1.3.15. Giả sử các hàm thực liên tục f và g xác định trên R giao hoán với

nhau; tức là, f (g(x)) = g(f(x)) víi mäi x 2 R. Chøng minh rằng nếu phương
trình f 2 (x) = g 2 (x) có nghiệm, thì phương trình f (x) = g(x) cũng có nghiệm
(ở đây f 2 (x) = f (f (x)) vµ g 2 (x) = g(g(x)) ).
ChØ ra vÝ dơ rằng giả thiết về tính liên tục của f và g trong bài toán trên
không thể bỏ qua.
1.3.16. Chứng minh rằng đơn ánh liên tục f : R ! R thì hoặc tăng thực sự,
hoặc giảm thực sự.
1.3.17. Giả sử f : R ! R là dơn ánh liên tục. Chứng minh rằng nếu tồn tại
n sao cho phép lặp thứ n của f là ánh xạ đồng nhất, tức lµ, f n (x) = x víi
mäi x 2 R, th×
(a) f (x) = x; x 2 R, nÕu f tăng thực sự,
(b) f 2 (x) = x; x 2 R, nÕu f gi¶m thùc sù.

1.3.18. Gi¶ sư f : R ! R thoả mn điều kiện f (f (x)) = f 2 (x) = ¡x; x 2
R.Chøng minh r»ng f không thể liên tục.
1.3.19. Tìm tất cả các hàm f : R ! R có tính chất giá trị trung gian và tồn
tại n 2 N sao cho f n (x) = Ăx; x 2 R, ở đây f n kÝ hiƯu phÐp lỈp thø n cđa f .


17

1.3.20. Chøng minh r»ng nÕu f : R ! R có tính chất giá trị trung gian và
f Ă1 (fqg) đóng với mọi q hữu tỷ, thì f liên tục.
1.3.21. Giả sử f : (a; 1) ! R liên tục và bị chặn. Chứng minh rằng, với T
cho trước, tồn tại dy fxng sao cho
lim xn = +1 và lim (f(xn + T ) ¡ f (xn )):

n!1

n!1

1.3.22. Cho vÝ dụ hàm liên tục f : R ! R đạt mỗi giá trị của nó đúng ba
lần. Hỏi có tồn tại hay không hàm liên tục f : R ! R đạt mỗi giá trị của nó
đúng hai lần ?
1.3.23. Cho f : [0; 1] ! R liên tục và đơn điệu thực sự từng mảnh. (Hàm f
gọi là đơn điệu thực sự từng mảnh trên [0; 1], nếu tồn tại phân hoạch của
[0; 1] thành hữu hạn khoảng con [tiĂ1 ; ti ], ở đây i = 1; 2; : : : ; n vµ 0 = t0 < t1 <
¢ ¢ ¢ < tn = 1, sao cho f đơn điệu trên mỗi khoảng con đó.) Chứng minh rằng
f nhận một trong các giá trị của nó một số lẻ lần.
1.3.24. Hàm liên tục f : [0; 1] ! R nhận mỗi giá trị của nó hữu hạn lần và
f (0) 6= f (1). Chứng minh rằng f nhận một trong các giá trị của nó một số
lẻ lần.
1.3.25. Giả sử f : K ! K liên tụctrên tập con compact K ẵ R. Ngoài ra,
giả sử x0 2 K là số sao cho mọi điểm giới hạn của dy lặp ff n (x0 )g là điểm
cố định cña f . Chøng minh r»ng ff n (x0 )g hội tụ.
1.3.26. Hàm f : R ! R liên tục, tăng sao cho F xác định bởi F (x) = f (x) Ă x
n
tuần hoàn với chu kì 1. Chứng minh r»ng nÕu ®(f ) = lim f n(0) , thì tồn tại
n!1

x0 2 [0; 1] sao cho F (x0 ) = đ(f ). Chứng minh thêm rằng f có ®iĨm bÊt ®éng
trong [0; 1] nÕu vµ chØ nÕu ®(f ) = 0. (Xem các bài toán 1.1.40 - 1.1.42.)
1.3.27. Hàm f : [0; 1] ! R thoả mn f (0) < 0 và f(1) > 0, và tồn tại hàm
g liên tục trên [0; 1] sao cho f + g giảm. Chứng minh rằng phương trình
f (x) = 0 cã nghiƯm trong kho¶ng më (0; 1).