công thức toán cao cấp

1

BÀI GIẢNG TÓM TẮT

MÔN TOÁN C2
(GV: Trần Ngọc Hội - 200
9)

CHƯƠNG 2


ĐỊNH THỨC

§1. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CĂN BẢN
1.1. Đònh nghóa:
Cho A = (a
ij
) là một tam trận vuông cấp n với hệ số trong R. Ta đònh nghóa
đònh thức của A, ký hiệu detA hay ⏐A⏐, là một số phức có được bằng quy nạp
theo n như sau:
a) Với n = 1 thì A có dạng A = (a). Ta đặt:
det A = a
b) Với n = 2 thì A có dạng
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝

⎛
=
dc
ba
A
. Ta đặt:
detA =
dc
ba
= ad – bc
c) Với n = 3 thì A có dạng
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A

Ta đặt:
22 23 12 13 12 13
11 21 31
32 33 32 33 22 23
11 22 33 23 32 21 12 33 13 32 31 12 23 13 22
aa aa aa
det A a a a
aa aa aa
a(aa aa) a(aa aa)a(aa aa)
=−+
=−−−+−


2
d) Tổng quát, giả sử đònh thức của các ma trận vuông cấp (n – 1) đã được
đònh nghóa. Với mỗi cặp (i,j): 1 ≤ i, j ≤ n, gọi A(i,j) là ma trận vuông cấp (n – 1)
có được từ A bằng cách bỏ dòng i, cột j:
11 1j 1n
i1 ij in
n1 nj nn
a a a

a a a
A

a a a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟

=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

Đặt:

i+j
ij ij
det A(i,j) nếu i+j chẵn
A = (-1) det A(i,j) nghóa là A =
-det A(i,j) nếu i+j lẻ
⎧
⎨
⎩

Ta gọi A
ij
là phần phụ đại số của phần tử a
ij
trong ma trận A và đònh nghóa
đònh thức của A như sau:
det A = a
11
A
11
+ a
21
A

21
+ … + a
n1
A
n1
=
1i
n
1i
1i
Aa
∑
=

Ví dụ: Ta có:
1)
1sincos
cossin
sincos
22
=θ+θ=
θθ−
θθ

2)
21 2
354 28
412
−
=−

−−


Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 3: A = (a
ij
)
3×3
ta có thể tính detA theo
quy tắc Sarrus như sau:

Đònh thức det A sẽ bằng tổng các tích số của từng bộ 3 hệ số được nối bởi
các đường (đường thẳng hoặc tam giác) được đánh dấu + trừ đi tổng các tích số
của từng bộ 3 hệ số được nối bởi các đường được đánh dấu - . Như vậy,
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com

3
detA = a
11
a
22
a
33
+ a
12
a
23
a
31
+ a
13

a
21
a
32
+ a
13
a
21
a
32
– a
13
a
22
a
31
– a
12
a
21
a
33
– a
11
a
23
a
32

Ví dụ: Tính:

214
453
212
Adet
−−
−
=

1.2. Đònh lý:
Cho A = (a
ij
) là một ma trận vuông cấp n. Khi đó với mỗi 1 ≤ i, j ≤ n cố
đònh ta có:

1) Xét dòng i của ma trận A:
11 1j 1n
i1 ij in
n1 nj nn
a a a

a a a
A

a a a
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟

⎜
⎟
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

Ta có công thức khai triển detA theo dòng i:

detA = a
i1
A
i1
+ a
i2
A
i2
+ + a
in
A
in
=
ik
n
1k

ik
Aa
∑
=

trong đó A
ik
(1 ≤ k ≤ n) là phần phụ đại số của hệ số a
ik
trong A.

2) Xét cột j của ma trận A:

Ta có công thức khai triển detA theo cột j:
11 1j 1n
i1 ij in
n1 nj nn
a a a

a a a
A

a a a
⎛⎞
⎜⎟
⎜
⎟
⎜⎟
=
⎜⎟

⎜
⎟
⎜⎟
⎝
⎠

detA = a
1j
A
1j
+ a
2j
A
2j
+ + a
nj
A
nj
=
n
kj kj
i1
aA
=
∑

trong đó A
kj
(1 ≤ k ≤ n) là phần phụ đại số của hệ số a
kj

trong A.

4

Nhờ Đònh lý 1.2 để tính đònh thức của một ma trận ta thường khai triển
theo dòng hay cột nào nhiều số 0 nhất (khi đó không cần tính các phần phụ đại
số của các hệ số 0).
Ví dụ: Tính đònh thức:
2121
0040
det A
4124
1021
−
=
−
−−
−

Đáp số: detA = 4.
1.3. Hệ quả:
1) Nếu ma trận vuông A có một dòng hay một cột bằng không thì detA = 0.
2) Nếu A là một ma trận tam giác (trên hay dưới) thì detA bằng tích các
phần tử trên đường chéo của A, nghóa là:

11 12 1n
22 2n
11 22 nn
nn
11

21 22
11 22 nn
n1 n2 nn
a a a
0 a a
a a a

0 0 a
a0 0
aa 0
a a a

a a a
=
=


1.4. Đònh lý:
Cho A, B là hai ma trận vuông có cùng cấp n. Khi đó:
1) det(A
T
) = det(A);
2) det(AB) = (detA) (detB);
3) det(A
k
) = (detA)
k
với mọi k ≥ 1.
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com

5
4) Nếu A khả nghòch thì detA ≠ 0 và det(A
–1
) =
A
det
1
.
Nhận xét: Thông thường ta có det(A + B) ≠ det(A) + det(B);
1.5. Đònh lý:
Cho e là phép biến đổi sơ cấp trên dòng và A là ma trận vuông cấp n. giả
sử A
⎯⎯→⎯
e
A'. Khi đó:
1) Nếu e thuộc loại 1 (d
i
↔ d
k
, i ≠ k) thì
detA' = – detA
2) Nếu e thuộc loại 2 (d
i
: = αd
i
, α ≠ 0) thì
detA' = αdetA
nghóa là
1
detA detA

′
=
α
.
3) Nếu e thuộc loại 3 (d
i
: = d
i
+ βd
k
, i ≠ k) thì
detA' = detA
4) Nếu e là phép biến đổi có dạng:
d
i
: = αd
i
+ β
1
1
k
d
+ + β
r
r
k
d

(α ≠ 0; k
1

, , k
r
≠ i) thì
detA' = αdetA
nghóa là
1
detA detA
′
=
α
.
Chú ý: Do 1.4, Đònh lý 1.5 vẫn còn đúng nếu thay các phép biến đổi trên
dòng bằng các phép biến đổi trên cột.
1.6. Hệ quả:
1) Thừa số chung của các hệ số trên cùng một dòng (một cột) của một đònh
thức có thể đưa ra ngoài dấu đònh thức.
2) Nếu ma trận A có hai dòng (hai cột) bằng nhau hay tỷ lệ nhau thì
detA = 0.

Nhờ Đònh lý 1.5 ta có thể tính các đònh thức phức tạp bằng cách đưa chúng
về những đònh thức đơn giản hơn qua những phép biến đổi sơ cấp trên dòng hay
cột. Trong thực hành ta thường dùng các phép biến đổi sau:
a) Đem các thừa số chung của các hệ số trên cùng một dòng hay trên cùng
một cột ra ngoài dấu đònh thức.

6
b) Nếu các hệ số trên một dòng hay một cột là các số hữu tỉ thì ta có thể
quy đồng mẫu số và đem mẫu số chung ra ngoài dấu đònh thức.
c) Chọn một hệ số thuận lợi nhất trong đònh thức (chẳng hạn, 1 hay –1) rồi
dùng các phép biến đổi sơ cấp để khử các hệ số khác trên dòng hay trên cột chứa

hệ số đó. Sau đó khai triển đònh thức theo dòng hay theo cột tương ứng.
d) Dùng các phép biến đổi sơ cấp sao cho đònh thức mới có dòng i hoặc cột j
nào đó có chứa nhiều số 0 hoặc những hệ số của chúng có thừa số chung khác 1
(hoặc xuất hiện một hệ số thật thuận tiện để khử các hệ số khác).

Ví dụ: Ta tính được các đònh thức sau:

137
1) 2 6 8 594
512 4
−=−
−
;
23 45
3524
2) 2858
543 2
42 5 3
−
−
=−
−
−

11/21/3
1
3)1/2 1/3 1/4
2160
1/3 1/4 1/5
=

111
4) a b c 0
bccaab
=
++ +

3
xaaa
axaa
5) = (x + 3a)(x - a)
aaxa
aaax

m1 1 2
6)m2m3 1 = m(m - 4)(m - 2)
m2 3 m1
+
−−
+−

§2. ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN KHẢ NGHỊCH
2.1. Đònh lý:
Cho A là một ma trận vuông. Ta có: A khả nghòch ⇔ detA ≠ 0.
Hơn nữa, khi đó:
1
1
A
adj(A)
det A

−
=

trong đó adj(A) là ma trận phó của A, đònh bởi:
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com

7
T
11 1j 1n
i1 ij in
n1 nj nn
A A A

A A A
adj(A)

A A A
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

với A
ij
là phần phụ đại số của a

ij
trong A.
2.2. Chú ý:
Trong thực hành ta khảo sát tính khả nghòch của ma trận A và tìm A
–1

tương ứng như sau:
a) Tính detA:
• detA = 0: A không khả nghòch.
• detA ≠ 0: A khả nghòch.
b) Giả sử detA ≠ 0. Ta tìm A
–1
như sau:
• Dùng công thức:
1
1
Aadj(A)
det A
−
= .
• Tìm ma trận phó adjA bằng cách tính tất cả các phần phụ đại số A
ij

(1≤ i, j ≤ n).
Ví dụ: Xét xem các ma trận sau có khả nghòch không và tìm ma trận
nghòch đảo tương ứng:
a)
⎟
⎟
⎟

⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−=
141319
835
522
A
b)
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
1551
1041
631
A

Đáp số: a) detA = 0 nên A không khả nghòch.

b) det A 1=
nên A khả nghòch. Ta có:
1
1
A
adj(A)
det A
−
=

trong đó:
T
T
11 12 13
21 22 23
31 32 33
A A A 10 5 1 10 15 6
adj(A) A A A 15 9 2 5 9 4
AAA 641 1 21
−−
⎛⎞
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
==−−=−−
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟

−−
⎝⎠⎝⎠⎝⎠

Suy ra

8
1
10 15 6
1
AadjA594
det A
121
−
−
⎛⎞
⎜⎟
==−−
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠



§3. QUY TẮC CRAMER
Xét hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn.
AX = B (4)
trong đó:
A =
11 12 1n

21 22 2n
n1 n2 nn
aa a
aa a

a a a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
; B =
1
2
m
b
b

b
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
;
1
2
n

x
x
X

x
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Với mỗi 1≤ j ≤ n, gọi A
j
là ma trận có từ A bằng cách thay cột j bởi B, ta có:
1 12 1n 11 1 1n 11 12 1
2 22 2n 21 2 2n 21 22 2
12 n
nn2 nn n1n nn
b a a a b a a a b
b a a a b a a a b
A ; A ; ;A

b a a a b a
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
== =
⎜⎟⎜⎟

⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
n1 n2 n

a a b
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

Đặt Δ = detA; Δ
j
= detA
j
1 ≤ j ≤ n. Ta có Qui tắc Cramer sau:

3.1. Đònh lý:
1) Nếu Δ ≠ 0 thì hệ AX = B có duy nhất một nghiệm đònh bởi:
Δ
Δ
=
j
j
x
, 1 ≤ j ≤ n
2) Nếu Δ = 0 và Δ
j
≠ 0 với một j nào đó thì hệ AX = B vô nghiệm.

3) Nếu Δ = 0 và Δ
j
= 0 với mọi 1 ≤ j ≤ n thì hệ AX = B có thể vô nghiệm, có
thể có vô số nghiệm).

Chú ý: Trong trường hợp 3, để biết chính xác tập nghiệm của hệ AX = B ta
cần giải hệ bằng phương pháp Gauss.
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com

9
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình tuyến tính:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=−−
=++
0x2x4x3
0xx6x2
11xxx
321
321
321

Giải:
Ta có:
11 1
26111

34 2
Δ= − − =
;
11 1 1
061 88
042
Δ= − − =−
;
2
111 1
20 1 77;
30 2
Δ= − =−

3
1111
2 6 0 286
34 0
Δ= − =

Vậy hệ đã cho có duy nhất một nghiệm là:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧

=
Δ
Δ
=
−=
Δ
Δ
=
−=
Δ
Δ
=
26x
7x
8x
3
3
2
2
1
1

Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m ∈ R:
(m 7)x 12y 6z m
10x (m 19)y 10z 2m
12x 24y (m 13)z 0
−+ −=
⎧
⎪
−++ −=

⎨
⎪
−+ +− =
⎩
(1)
Giải:
Ta có:
2
m7 12 6
10 m 19 10 = (m - 1)(m - 1)
12 24 m 13
−−
Δ= − + −
−−

2
1
m12 6
2m m 19 10 m(m 18m 17)
024m13
−
Δ= + − = − +
−


10

2
2
m7 m 6

10 2m 10 2m(m 15m 14)
12 0 m 13
−−
Δ= − − = − +
−−


3
m7 12 m
10 m 19 2m = -36m(m - 1)
12 24 0
−
Δ= − +
−

Như vậy,
2
0 (m - 1)(m - 1) = 0 m = 1Δ= ⇔ ⇔ ±
.
Ta có các trường hợp sau:
a) m ≠ ± 1: Δ ≠ 0 nên hệ (1) có duy nhất một nghiệm đònh bởi:
2
2
m(m 17)
x
m1
Δ
−
==
Δ

−
;
2
2
m(m 14)
y
m1
Δ
−
==
Δ
−
;
3
2
36m
z
m1
Δ
−
==
Δ
−

b) m = –1: Δ = 0, Δ
1
= –36 ≠ 0 nên hệ (1) vô nghiệm.
c) m = 1: Hệ (1) trở thành
6x 12y 6z 1
10x 20y 10z 2

12x 24y 12z 0
−+ − =
⎧
⎪
−+ − =
⎨
⎪
−+ −=
⎩

và dễ thấy hệ này vô nghiệm.
3.2. Hệ quả:
Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn: AX = B có duy
nhất nghiệm khi và chỉ khi detA ≠ 0.
3.3. Hệ quả:
Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có số phương trình bằng số ẩn: AX
= O có vô số nghiệm khi và chỉ khi detA = 0.
Chú ý: Đối với hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn:
AX = B, nếu detA = 0 thì hệ này có thể vô nghiệm nhưng cũng có thể có vô số
nghiệm.

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com