Hạng của ma trậntcc

BÀI 4

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T

u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận

Một hệ phương trình tuyến tính luôn xảy ra
một trong 3 khả năng sau:
1. Hệ vô nghiệm.
2. Hệ có nghiệm duy nhất.
3. Hệ có vô số nghiệm.
Vấn đề đặt ra là nhờ vào đâu để ta biết hệ
phương trình ấy rơi vào trường hợp nào?

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T

u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận


Để giải quyết vấn đề này người ta đưa ra
khái niệm “Hạng ma trận”.

Nhờ sự so sánh hạng của ma trận hệ số của
hệ phương trình và hạng của ma trận hệ số
mở rộng (có cả vế phải) thì ta sẽ biết được
hệ phương trình đang xét rơi vào trường hợp
nào.

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ

ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u

y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận

Ví dụ:

1 2 3 4
2 4 6 8
3 5 7 9
A
 
 
=
 
 
 
12
12
A =
1 2
2 4
 
 
 
24
12
A =
2 4
4 8
 
 
 
234
123
A =
2 3 4

4 6 8
5 7 9
 
 
 
 
 

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ

i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y

ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn

Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
O
 
 
=
 
 
 
[ ]
2
1
0A =
24
13
0 0
0 0
A
 
=
 
 

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u

y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận
a b c d
A
x y z t
 
=
 
 

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y

ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận
a b c
A x y z
u v w

 
 
=
 
 
 
A có duy nhất 1 định
thức con cấp 3 và đó
là định thức con có
cấp lớn nhất

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h

∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u

y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h

∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận
11 12 1 1
22 2 2

0

0 0
0 0 0 0

0 0 0 0
r n

r n
r r r n
a a a a
a a a
a a
A
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
11 12 1
22 2
12
12

0

0 0
r
r
r
r

rr
a a a
a a
A
a
 
 
 
=
 
 
 
Các MT con cấp > r
chứa ít nhất 1 hàng = 0

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2

n
n
n n nn n
a a a b
a a a b
a a a b
 
 
 
 
 
 
11 12 1 1
22 2 2

0

0 0
n
n
nn n
a a a b
a a b
a b
 
 
 
 
 

 
“Sử dụng các phép biến
đổi sơ cấp trên ma trận”
Chú ý:

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S

ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận

Một vấn đề đặt ra là:
biến đổi sơ cấp

A B (có dạng hình thang)

Khi đó: r(A) = r(B)
?
det( ) det( ).
det( ) det( ).
det( ) det( ).
i
i j
i j
h
h h

h h
A B B A
A B B A
A B B A
λ
λ
λ
↔
+
→ ⇒ =
→ ⇒ = −
→ ⇒ =
Chú ý:

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T

í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n

h
∑
§4: Hạng ma trận

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận
1 3 2 0 1 4
0 3 3 4 0 1
0 0 5 8 9 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
A
−
 
 
 
 
=
−
 
 
 
 

Ví dụ: Tìm hạng ma trận:
( ) 3r A⇒ =

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑

Ví dụ: Tìm hạng của ma trận:
2 1
( 2)
1 1 2 0 1 1 2 0
2 1 1 3 0
4 5 2 1
1 7 3 2
h h+ −
   
   
−
   
→
   
− −
   
−
   

-5 3?-1
0
3 1
4h h+
9 10 -1
0
4 1
1h h+
8 5 2
§4: Hạng ma trận

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h

∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận
2 1
3 1
4 1
( 2)
4
1
1 1 2 0 1 1 2 0
2 1 1 3 0 1 5 3
4 5 2 1 0 9 10 1
1 7 3 2 0 8 5 2

h h
h h
h h
+ −
+
+
   
   
− − −
   
→
   
− − −
   
−
   
1 1 2 0
0 1 5 3
0 0
0
 
 
− −
 
→
 
 
 
3 2
9h h+

-35
26
0
4 2
8h h+
-35 26
4 3
( 1)
1 1 2 0
0 1 5 3
0 0 35 26
0 0 0 0
h h+ −
 
 
− −
 
→
 
−
 
 

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S

ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h

∑
§4: Hạng ma trận

Bài tập: Tìm hạng của ma trận sau:
3 1
4h h−
1 2 1 0
2 3 0 5
4 1 2 0
3 0 5 7
−
 
 
 
 
 
−
 
1 2 1 0
0
0
0
−
 
 
 
→
 
 
 

2 1
2h h−
4 1
3h h+
-1 2 5

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận

Ví dụ: Biện luận theo m hạng của ma trận
sau:
1 5 6
0 4 7
0 0
A
m
 
 
=
 
 
 
0

 r(A) = 2
 r(A) = 3
0m ≠
0m =

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Đ
ạ
i

S

ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận

Ví dụ: Biện luận theo m hạng của ma trận
sau:
2
1 9 0 7
0 2 4 8
0 0 ( 1) ( 1)
0 0 0 0
B
m m
 
 
 
=
 
− −

 
 
1m =
0 0
( ) 2r A⇒ =
1m = −
( ) 3r A⇒ =
1m ≠ ±
( ) 3r A⇒ =

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑

Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§4: Hạng ma trận

Bài tập: Biện luận theo m hạng của ma trận
sau:
1 2 2
2 1
1 4 5
A m
−
 
 
=

 
 
−
 
2 3
2 3
1 2 2
1 5 4
2 1
h h
c c
m
↔
↔
−
 
 
→ −
 
 
 