ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2012 MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT NINH GIANG potx

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG
TRƯỜNG THPT NINH GIANG
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2012
Môn thi: TOÁN, Khối A và B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề


PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số
 


2
x m
y
x
có đồ thị là (C
m
)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
1
m

.
2) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d:
2 2 1 0
x y
  

cắt (C
m
) tại hai điểm A và B sao cho tam
giác OAB có diện tích bằng 1 (O là gốc tọa độ).
Câu II (2,0 điểm)
1) Giải phương trình
2 2
sin sin 3
tan 2 (sin sin3 )
cos cos3
x x
x x x
x x
  
2) Giải phương trình
2 2
2 1 1 3
x x x x x
     
.
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
1
3 2
0
( 1) 2
x x x dx
 


Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng

. ' ' '
ABC A B C
có đáy ABC là tam giác cân tại C, cạnh đáy AB
bằng 2a và góc ABC bằng 30
0
. Tính thể tích của khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C
biết khoảng cách giữa hai
đường thẳng AB và
'
CB
bằng
2
a

Câu V (1,0 điểm) Cho x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện
2 2
1
x y xy
  
. Tìm giá trị lớn
nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
S x y xy
 

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (Phần A hoặc B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)

1) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đường cao AH, trung tuyến CM và phân giác trong
BD. Biết
17
( 4;1), ( ;12)
5
H M và BD có phương trình
5 0
x y
  
. Tìm tọa độ đỉnh A của tam
giác ABC.
2) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
1 1
:
2 3 1
x y z
 
  

và hai điểm
(1;2; 1),
A


(3; 1; 5)
B
 
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng  sao cho
khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất, nhỏ nhất.
Câu VII.a (1,0 điểm) Tính môđun của số phức

z
, biết
3
12
z i z
 
và z có phần thực dương.
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C):
2 2
( 2) ( 3) 4
x y
   
và đường thẳng d:
3 4 7 0
x y m
   
. Tìm m để trên d có duy nhất một điểm M mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến
MA, MB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho góc AMB bẳng 120
0
.
2) Trong không gian Oxyz, cho điểm
A(1;4;2)
và hai đường thẳng lần lượt có phương trình
1 2 1 1 1
: , ':
1 1 2 2 1 1
x y z x y z
    

     

. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A,
cắt đường thẳng  và cách đường thẳng
'

một khoảng lớn nhất.
Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm trái dấu
( 3)25 (2 1)5 1 0
x x
m m m
     

…………………………Hết…………………………



Họ và tên thí sinh:…………………………………………Số báo danh:…………………………………
Chữ kí của giám thị 1:……………………………………Chữ kí của giám thị 2:…………………………
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM
Câu Ý

Nội dung Điểm
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
 


1
2
x

y
x

1,00
TXĐ :

.
2
3
' 0, 2
( 2)
y x
x

    


0,25
Hàm số nghịch biến trên
( ; 2)và( 2; )
   

lim 1
x
y

  
TCN:
1
y

 

2 2
lim , lim
x x
y y
 
 
    
TCĐ:
2
x
 

0,25
Lập BBT 0,25
1

Đồ thị
4
2
-2
-4
-5
-1
O
1-2

0,25
2 2 1 0

x y
  
cắt (C
m
) tại hai điểm A và B
1,00
1
2 2 1 0
2
x y y x
     
. Pt hoành độ giao điểm của d và (C
m
) là
 
        

2
1
2 2 0 (1), 2
2 2
x m
x x x m x
x

0,25
D cắt (C
m
) tại 2 điểm A, B


(1) có 2 nghiệm pb khác -2
2
' 1 4(2 2) 0
9
2
8
( 2) ( 2) 2 2 0
m
m
m
    

   

     


0,25
Gọi
1 2
,
x x
là 2 nghiệm của (1). Khi đó
1 1 2 2
1 1
; , ;
2 2
A x x A x x
   
 

   
   

2 2 2
2 1 1 2 1 2 1 2
( ) ( ) 2 ( ) 4 2(9 8 )
AB x x x x x x x x m
 
        
 

0,25
I
2

1 1 1 1 7
. ( , ) 2(9 8 ). 9 8 1
2 2 4 8
2 2
OAB
S AB d O d m m m
        
(tm)
Vậy
7
8
m
 

0,25

Giải phương trình
2 2
2 1 1 3
x x x x x
     

1,00
2
2 1 0
x x
  
và
2
1 0,x x x
     
 TXĐ:


TH 1.
0
x

. Pt luôn TM
0,25
TH 2. x > 0. PT
2 2
1 1 1 1
2 1 3

x x x x
      
. Đặt
1
, 0
t t
x
 

Ta được
2 2 2 2
2 1 3 2 3 1
t t t t t t t t
            

2 2 2 2
2 9 1 6 1 3 1 4
t t t t t t t t t
              

0,25
2 2 2
1
4 0 4
7
9(1 ) 16 8 8 7 0
8
t
t t
t

t t t t t t


  
 

  
 

 
       
 


0,25
1

Đối chiếu với t > 0 ta được
1 1
t x
  

Thử lại thấy x = 1 thỏa mãn pt. Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 1
0,25
Giải phương trình
2 2
sin sin 3
tan 2 (sin sin3 )
cos cos3
x x

x x x
x x
  
1,00
ĐK:
cos 0,cos3 0
x x
 

Pt
tan sin tan 3 sin3 tan 2 (sin sin3 )
x x x x x x x
   

0,25
sin( ) sin( )
(tan tan 2 )sin (tan3 tan 2 )sin 3 0 sin sin3 0
cos cos2 cos3 cos2
x x
x x x x x x x x
x x x x

       


0,25
sin 0
sin3 sin
0
cos3 cos

x
x x
x x





 


0,25
II
2

sin 0 sin 0 ( )
sin 2 0 cos 0 ( )
x x TM
x x L
 
 
 
 
 
 

0,25
Tính tích phân
1
3 2

0
( 1) 2
x x x dx
 


1,00
1 1
3 2 2 2
0 0
( 1) 2 ( 2 1) 2 ( 1)
I x x x dx x x x x x dx
       
 
.
Đặt
2 2 2
2 2 (1 ) . (0) 0, (1) 1
t x x t x x tdt x dx t t
         

0,25
1
2
0
(1 ) ( )
I t t t dt
  

0,25

1
1
5 3
4 2
0
0
( )
5 3
t t
t t dt
 
   
 
 


0,25
III
1 1 2
5 3 15
  

0,25
Tính thể tích khối lăng trụ
. ' ' '
ABC A B C

1,00
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và
A'B'

. Tam giác CAB cân tại C
suy ra AB  CM. Mặt khác AB 
CC' ( ') ' ' ( ')
AB CMNC A B CMNC
   
. Kẻ
( ). ( ') ' ' ( ' ')
MH CN H CN MH CMNC MH A B MH CA B
      

0,25
IV
mp
( ' ')
CA B
chứa
'
CB
và song song với AB nên
0,25


( , ') ( ,( ' ')) ( ,( ' '))
2
a
d AB CB d AB CA B d M CA B MH
   

Tam giác vuông
0

.tan30
3
a
BMC CM BM  

Tam giác vuông
2 2 2 2 2 2
1 1 1 4 3 1
CMN MN a
MH MC MN a a MN
       

0,25
Từ đó
3
. ' ' '
1
. .2 . .
2
3 3
ABC A B C ABC
a a
V S MN a a  
N
M
A'
B'
C
A
B

C'
H

0,25
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
S x y xy
 
1,00
2 2 2 2 2
( ) ( ) ( 2 ) ( ) (1 3 )
S xy x y S xy x y xy xy xy
       
0,25
Đặt
t xy


2 2 2
1
1 1 3 ( ) 0
3
x y xy xy x y t
         

2 2 2
1 ( ) 1 0 1
x y xy x y xy t
          
.

0,25
2 2
1
( ) (1 3 ), 1;
3
S f t t t t
 
     
 
 
.
2
0
'( ) 2 9 0
2
9
t
f t t t
t



   




2
1 2 4
( 1) 4, (0) 0, 4 2 2

3 9 243
f f f f S S
   
          
   
   

0,25
V
2 1, 1 max 2
2 1, 1 min 2
S x y S
S x y S
      
        

0,25
Tìm tọa độ đỉnh A của tam giác ABC
1,00
Đt  qua H và  BD có pt
5 0
x y
  
.
(0;5)
BD I I
   
.
0,25
Giả sử

'
AB H
  
. Tam giác
'
BHH
có BI là phân giác và cũng là
đường cao nên
'
BHH
cân  I là trung điểm của
' '(4;9)
HH H

.
0,25
AB đi qua H’ và có vtcp
3
' ;3
5
u H M
 
  
 
 
 
nên có pt là
5 29 0
x y
  

.
0,25
VI.a
1

Tọa độ B là nghiệm của hệ
5 29
(6; 1)
5
x y
B
x y
 

 

 

. M là trung điểm của
0,25


AB
4
;25
5
A
 

 

 

Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và cắt đường thẳng  sao
cho khoảng cách từ B đến đường thẳng d là lớn nhất, nhỏ nhất.
1,00
Gọi d là đt đi qua A và cắt  tại M
( 1 2 ;3 ; 1 )
M t t t
    

( 2 2 ;3 2; ), (2; 3; 4)
AM t t t AB
       
 

0,25
Gọi H là hình chiếu của B trên d. Khi đó ( , )
d B d BH BA
 
. Vậy
( , )
d B d
lớn nhất bằng BA
H A
 
. Điều này xảy ra
. 0
AM AB AM AB
   
 

2( 2 2 ) 3(3 2) 4 0 2
t t t t
        

(3;6; 3)
M
 
. Pt d là
1 2 1
1 2 1
x y z
  
 


0,25
Mặt phẳng (P) chứa d và  có pt là:
Gọi K là hình chiếu của B trên (P)
BH BK
 
. Vậy
( , )
d B d
nhỏ nhất
bằng BK
H K
 
. Lúc đó d là đường thẳng đi qua A và K
0,25
2

Tìm được K và viết pt d 0,25
Tính môđun của số phức
z
, biết
3
12
z i z
 

1,00
Giả sử , ,z x yi x y
  

.
3 3
12 ( ) 12
z i z x yi i x yi
      

0,25
3 2
3 2 2 3
2 3
3 (1)
3 (3 12)
3 12 (2)
x xy x
x xy x y y i x yi
x y y y


 

       

   



0,25
Do
2 2
0 (1) 3 1
x x y
    
. Thế vào (2) ta được
2 3 3
3(3 1) 12 2 3 0
y y y y y y
        
(3)
0,25
VII.a
Giải pt (3) ta được
2
1 4
y x
   
. Do x > 0 nên x = 2
Vậy

2 5
z i z   
0,25
Tìm m để trên d có duy nhất một điểm M mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến
MA, MB tới (C) (A, B là các tiếp điểm) sao cho góc AMB bẳng 120
0

1,00

0,25
0,25
0,25
1

0,25
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, cắt đường thẳng  và
cách đường thẳng
'

một khoảng lớn nhất.
1,00

0,25
0,25

0,25
VI.b
2

0,25

( 3)25 (2 1)5 1 0
x x
m m m
     
có 2 nghiệm trái dấu
1,00
0,25
0,25
0,25
VII.b
0,25