skkn mới nhất skkn phát triển tư duy cho học sinh khối 8 9 thông qua giải một số bài toán thcs

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.84 MB, 20 trang )

1. Mở đầu:
1.1 Lí do chọn đề tài
Trong chương trình THCS, tốn học chiếm một vai trị rất quan trọng. Với
đặc thù là mơn khoa học tự nhiên, tốn học không chỉ giúp học sinh phát triển tư
duy, sáng tạo, khả năng tìm tịi và khám phá tri thức, vận dụng những hiểu biết
của mình vào trong thực tế, cuộc sống mà tốn học cịn là cơng cụ giúp các em
học tốt các mơn học khác và góp phần giúp các em học sinh phát triển một cách
toàn diện.
Từ vai trị quan trọng đó mà việc giúp các em học sinh u thích, say mê
tốn học giúp các em học sinh khá giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức là
một yêu cầu tất yếu đối với giáo viên dạy tốn. Trong q trình giảng dạy tốn
cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn
lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng trong cuộc sống của học sinh.
Đối với học sinh khá giỏi, việc rèn luyện cho các em linh hoạt, tính độc lập,
tính sáng tạo là những điều kiện cần thiết vô cùng trong việc học tốn. Nhất là
đất nước ta đang trong thời kỳ cơng nghiệp hoá, hiện đại hoá, rất cần những con
người năng động, sáng tạo có hiểu biết sâu và rộng …Chính vì vậy bồi dưỡng
học sinh khá giỏi khơng đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số vốn thông
qua việc làm bài tập càng nhiều, càng tốt, càng khó càng hay mà phải cần thiết
rèn luyện khả năng sáng tạo tốn cho học sinh, khuyến khích học sinh giải bài
toán bằng nhiều cách hay từ một bài toán ban đầu có thể phát triển thành nhiều
bài tốn khác nhưng vẫn giữ nguyên được những yếu tố của bài toán…
1.2 Mục đích nghiên cứu
Thực tế trong q trình dạy và học tốn có rất nhiều bài tốn mang tính
điển hình, từ bài tốn đó ta có thể phát triển thêm các bài tốn khác mang các
thuộc tính tương tự. Bao giờ cũng vậy có những bài tốn mang tính chất điển
hình chứa đựng nhiều nội dung, nhiều mối liên kết lơgíc. Những bài tốn điển
hình có thể coi là phần tử đại diện cho một lớp các bài tốn có tính chất chung.
Vì vậy trong q trình dạy theo tơi người dạy phải biết trong sâu, rộng của toán
học, đâu là những bài toán mấu chốt, đâu là những bài toán đại diện và vấn đề
cơ bản của các bài tốn ấy là vấn đề gì.

Với những ý nghĩ đó tôi đã viết đề tài “ Phát triển tư duy cho học sinh
khối 8;9 thông qua giải một số bài toán THCS”. Đây là những bài toán mà khi
dạy bồi dưỡng cho học sinh THCS qua nhiều năm mà tôi đã giới thiệu cho học
sinh.Với mong muốn góp một phần nhỏ bé trong công tác bồi dưõng học sinh
với đồng nghiệp.
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
- Phần kiến thức: Lý thuyết bài tập vận dụng kiến thức về bất đẳng thức, tìm
tịi lời giải, khai thác triệt để của từng bài toán.
- Học sinh: Học sinh khá giỏi khối 8; 9 tại trường THCS Thị Trấn - Triệu Sơn.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp quan sát: Thực trạng về công tác chỉ đạo, công tác bồi

download by :

1

dưỡng học sinh khá, giỏi, quá trình học tập, chất lượng học tập của học sinh khá, giỏi.
Phương pháp nghiên cứu tài liệu như nghiên cứu sách, giáo trình có liên
quan đến kiến thức, bài tập vận đụng kiến thức về bất đẳng thức, khai triển một
bài tốn hình học . Nghiên cứu chất lượng học sinh. Nghiên cứu công tác chỉ đạo
của nhà trường đối với công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề:
Trong q trình giảng dạy tốn cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh các
phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng
trong cuộc sống của học sinh. Đối với học sinh khá giỏi, việc rèn luyện cho các
em tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán của trí tuệ là những
điều kiện cần thiết vơ cùng quan trọng trong việc học tốn.

Với mục đích thứ nhất là rèn luyện khả năng sáng tạo Tốn học, trước mỗi bài
tập tơi đã cho học sinh tìm hiểu cách giải, đồng thời người thầy giáo cũng phải
gợi ý và cung cấp cho học sinh nhiều cách giải. Trên cơ sở đó học sinh tự tìm ra
cách giải hợp lí nhất. Phát hiện ra những cách giải tương tự và khái quát đường
lối chung. Trên cơ sở đó với mỗi bài tốn cụ thể các em có thể khái quát hoá bài
toán thành bài toán tổng quát và xây dựng bài tốn tương tự.
§iỊu mong mn thø hai đó là mong muốn thay đổi phơng
pháp bồi dỡng cho học sinh khá giỏi từ trớc đến nay. Xây dựng
một phơng phỏp mới đó là rèn luyện khả năng sáng tạo Toán cho
học sinh sao cho mọi lúc mọi nơi các em có thể tự phát huy
năng lực độc lập sáng tạo của mình.
2.2 Thc trng ca vn :
2.2.1 Thc trng vn
Qua các năm giảng dạy trực tiếp bồi dỡng cho học sinh khá
giỏi, qua trắc nghiệm hứng thú học toán của học sinh tôi thấy
chỉ có 20% c¸c em thùc sù cã høng thó häc to¸n (Cã t duy sáng
tạo), 40% học sinh thích học toán (cha có tính độc lập, t duy
sáng tạo) và 40% còn lại nữa thích nữa không. Qua gần gi tìm
hiểu thì c¸c em cho biÕt cịng rÊt mn häc xong nhiỊu khi
häc mét c¸ch thơ động, cha biÕt c¸ch t duy để tạo cho mình
một sáng tạo trong cách giải một bài toán nào đó, bởi vì do
điều kiện khách quan của địa phơng và của trờng, học sinh
chỉ đợc bồi dỡng một thời gian nhất định trớc khi đi thi, do vậy
chỉ đợc học một phơng pháp, vì vậy học sinh cha có hứng thú
học toán.
Xuất phát từ điều mong muốn học sinh rèn luyện đợc khả
năng sáng tạo, tìm đợc nhiều cách giải do đó bản thân ngời
thầy, ngời cô phải là ngời tìm ra nhiều cách giải nhất.
2.2.2 Kết quả khảo sát đánh giá học sinh

download by :

2

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

Trước khi viết đề tài này “ Phát triển tư duy cho học sinh khối 8;9 thông
qua giải một số bài toán THCS”. khi chưa giảng dạy cho học sinh phương pháp
phát triển tư duy cho học sinh tôi đã khảo sát chất lượng 40 học sinh khá, giỏi
lớp 9 trường THCS Thị Trấn bằng cách làm một số bài kiểm tra về bài toán Phát
triển tư duy cho học sinh thì thấy kết quả như sau:
Điểm
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Tổng số HS
25
60,25
10
25
5
14,75
0
0

40
Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã thu được kết quả đáng kể trong việc
nâng cao chất lượng học sinh củng như đạt kết quả cao các kỳ thi học sinh giỏi
các cấp.
2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện:
2.3.1 Kế hoạch và thời gian nghiên cứu
Chủ đề này tôi áp dụng trong trường THCS Thị Trấn trong thời gian từ
đầu năm học 2017 - 2018 và tiếp trong những năm học sau với tinh thần rút ra
những bài học kinh nghiệm và có sửa chữa, bổ sung cho phù hợp với các đối
tượng và giai đoạn cụ thể.
* Năm 2014 - 2017: Tìm hiểu, xây dựng khung chương trình, nghiên cứu
tài liệu và xây dựng đề cương.
* Năm 2017 - 2018: Thực nghiệm và so sánh kết quả.
2.3.2. Nội dung nghiên cứu
Phần thứ nhất: Một số bài toán thức liên quan đến đại số tìm tịi có nhiều
cách giải có mốt cách sử dụng đến kiến thức về bất đẳng thức.
Phần thứ hai: Một số bài toán thức liên quan đến hình học tìm tịi được nhiều
cách giải, và một số bài tốn hình học có thể phát triển thành bài tốn khác.
2.3.3 Định hướng chung
Trong bài tốn mà có nhiều cách giải thì giáo viên nên để học sinh tự tìm tịi
lời giải, sau đó nếu khơng có học sinh nào tìm ra lời giải khác thì giáo viên sẽ
gợi mở cho học sinh để học sinh tự tìm tịi lời giải tiếp theo.
Bài tốn 1: Cho các số x ; y thoả mãn x
và x+ y = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x2 + y2
Hướng dẫn:
CÁCH 1 :
Ta có x + y = 1 nên y = - x + 1 thay vào A = x2 + y2 ta có :
x2 + ( -x + 1)2 - A = 0 hay 2x2 - 2x + ( 1- A) = 0 (*)
Do đó để biểu thức A tồn tại giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi phương trình (*)

có nghiệm hay

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là
kép hay x =

mà x + y = 1 thì y =

khi phương trình (*) có nghiệm

. Vậy Min A = 1/2 khi x = y = 1/2 ( t/m)

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

download by :

3

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

CÁCH 2 : Theo Bất đẳng thức Bunhiacơpxky ta có 1 = x + y hay
1= (x + y)2

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y mà x + y =1 hay x =y = 1/2 ( t/m)
CÁCH 3 :
Khơng mất tính tổng quát ta đặt

với

Mà A= x2 + y2 . Do đó A = ( 1- m)2 + m2 hay A= 2m2 - 2m +1
hay 2A = (4m2 - 4m + 1) + 1 hay 2A = (2m- 1)2 + 1 hay
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi m= 1/2 hay x = y = 1/2.
CÁCH 4 :
Ta có A = x2 + y2 = ( x+ y)2 - 2xy = 1 -2xy ( vì x + y =1 )
mà xy

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2.
CÁCH 5 :
Xét bài toán phụ sau : Với a , b bất kì và c ; d > 0 ta ln có :
(*) , dấu “=” xảy ra khi
Thật vậy : có

(ĐPCM)

ÁP DỤNG
Cho a = x và b = y ,từ (*) có : A= x2 + y2 =
Nên A

mà x+ y =1

.Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2.

CÁCH 6 :
Ta có A = x2 + y2 hay xy =

(*) mà x + y =1 (**)

Vậy từ (*) ;(**) có hệ phương trình
Hệ này có nghiệm

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x+ y =1 và x2 + y2 =

hay x = y = 1/2.

CÁCH 7 :
Ta có A = x2 + y2 = x2 + y2 + 1 - 1 mà x + y =1 nên A = x2 + y2 - x - y -1
Hay A =

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2.
CÁCH 8 :

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

download by :

4

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

Ta có A= x2 + y2 =
Mà x + y =1 nên A

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2. khi x = y = 1/2.
CÁCH 9 :
Ta có x + y =1

. Vậy để chứng minh A

với A = x2 + y2 thì ta chỉ cần chứng minh

.

Thật vậy : Ta có
Hay

( ln đúng ) Vậy A

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y =1/2.
CÁCH 10 :
Khơng mất tính tổng quát ta đặt
.Do đó A = x2 + y2 hay (2-m)2 + (m-1)2 - A =0 hay 2m2 - 6m +5 = A
Hay

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1/2 khi x = y = 1/2.
CÁCH 11 : Khơng mất tính tổng qt ta đặt
Do đó A = x2 + y2 hay (3 - m)2 + (m - 2)2 - A = 0 hay 2m2 - 10m +13 = A
Hay

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1/2 khi x = y = 1/2.
CÁCH 12 :
Ta có x + y =1 hay (x+1) + (y +1) = 3 mà A = x2 + y2 hay
A = (x2 + 2x + 1) + ( y2 + 2y +1) - 4 hay A = (x+1)2 + ( y+1)2 - 4
Do đó ta đặt
. Khi ta có bài tốn mới sau :
Cho hai số a , b thoả mãn
và a + b =3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
2
2
thức A = a + b - 4
Thật vậy :
Ta có A = a2 + b2 - 4 = (a+b)2 - 2ab - 4 = 5 - 2ab ( vì a+b=3)
Mặt khác theo cơsi có :

do đó A

.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x = y = 1/2.
CÁCH 13 :
Khơng mất tính tổng qt ta đặt
( với a > b vì a - b =1 hay a = b+ 1 hay a > b )

Do đó A = x2 + y2 hay (a-m)2 + (m-b)2 - A =0 hay
2m2 - 2m (a+b) +(a2 + b2) = A hay

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

download by :

5

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

Hay

(Vì a - b= 1)
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1/2 khi x = y = 1/2.

CÁCH 14 :
Ta có x + y =1 hay y = 1 - x mà y
Do đó x2 + y2 - A = 0 hay 2 x2 - 2x +( 1 - A ) = 0 .
Khi đó ta có bài tốn mới sau :
Tìm A để phương trình 2 x2 - 2x +( 1 - A ) = 0 (*) có nghiệm
Với x1 ; x2 là nghiệm của phương trình (*)
Thật vậy để phương trình (*) có nghiệm

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 1/2 khi x =y = 1/2.
Bài toán 2: Cho các số thực a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
Cách 1: Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

(ĐPCM)

Cách 2: Cộng thêm vào hai vế của BĐT (1) với 3 Ta có

Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
(ĐPCM)
Cách 3: Khơng mất tính tổng qt giả sử
Ta chứng minh:

(*)

Ta có
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

download by :

6

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

Vì

nên

và

(*) đúng

(ĐPCM)
Cách 4: Khơng mất tính tổng qt giả sử
Ta chứng minh:

Theo BĐT AM – GM ta có:

Lại có:

Ta có
(ĐPCM)

Cách 5: Sử dụng bất đẳng thức phụ để chứng minh:
Ta có
(*)
Ta chứng minh
Khơng mất tính tổng qt giả sử
Bất đẳng thức trở thành:
(đúng)
(2*)
Từ (*) và (2*) syt ra:

(ĐPCM)

Cách 6: Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
(1) ;

(2)

(3)
Từ (1) (2) và (3) suy ra:

+

+

+

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

download by :

7

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

(ĐPCM)
(Khi dạy đối với học sinh lớp 8 tôi thường sử dụng từ cách 1 đến cách 6
đối với học sinh khá, giỏi, các em thấy được một bài toán có thể giải được nhiều
cách khác nhau, làm tăng sự hứng thú, đam mê, sáng tạo tìm tịi cách giải cho
học sinh và học sinh có thêm một cơng cụ để khai thác và giải quyết những bài
tốn khó hơn.)
Cách 7: Dùng phương pháp đổi đặt ẩn phụ:
Đặt
Khi đó BĐT (1) trở thành:

Ta có
(ĐPCM)
Cách 8: Đặt
(2) ;

(3)
(4)

Từ (3) và (4) suy ra:

(5)

Từ (1) và (5) suy ra:

(ĐPCM)

Cách 9: Cộng thêm vào hai vế của BĐT (1) với

Đặt

Ta có:

Theo BĐT AM-GM ta có:
(2)

Ta cần c/m:

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

download by :

8

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

Theo BĐT AM-GM ta có:

Tương tự:
Từ (3) (4) và (5) Suy ra:

(3)
(5)

(4) ;

(ĐPCM)
Cách 10: Sử dụng cách đổi biến
Đặt
Ta biến đổi:
(*) . Ta chứng minh
Giả sử

khi đó theo BĐT AM – GM ta có:
(2*)

Ta có (2*) mâu thuẫn với (*) nên điều giả sử
Vậy

là sai

(ĐPCM)

Cách 11: Sử dụng cách đổi biến
Đặt

Khi đó

Theo BĐT AM – GM ta có:

(*)
Chứng minh tương tự:
Từ (*) và (2*) suy ra:

(2*)
(ĐPCM)

Cách 12: Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:
(*)
Chứng minh tương tự:

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

download by :

9

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

Từ (*) (2*) và (3*) suy ra:

(ĐPCM)

Cách 13: Sử dụng bổ đề:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:

Vậy

(ĐPCM)

Cách 14: Khơng mất tính tổng qt giả sử
Ta có:

và
(*)

Chứng minh tương tự:
Từ (*) (2*) và (3*) suy ra:

+

+

+

(bất đẳng thức Cauchy – Schwarz )

(ĐPCM)`

(Khi dạy đối với học sinh lớp 9 tôi thường sử dụng từ cách 7 đến cách 14
đối với học sinh khá giỏi, các em thấy được một bài tốn có thể giải được nhiều
cách khác nhau, làm tăng sự hứng thú, đam mê, sáng tạo tìm tịi cách giải cho
học sinh và học sinh có thêm kiến thức để khai thác và giải quyết những bài tốn
khó hơn bằng nhiều cách suy luận dẫn đến lời giải nhanh hơn.)
Bài toán 3: Cho tứ giác ABCD có
và AB = CD.Chứng minh tứ giác
ABCD là hình thang cân.

Hướng dẫn: Sau khi học sinh tìm hiểu đề bài,giáo viên yêu cầu học sinh chỉ ra
hướng giải là cần chứng minh AD // BC.
CÁCH 1:
B

Kẻ BK  AD ; CH  AD
Suy ra: BK // CH (1)

A

K

C

H

D

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

download by :

10

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

Xét 2 tam giác vng AKB và DHC có:

;

AB = CD

 ABK = DHC (cạnh huyền và góc nhọn)
Do đó : BK = CH (2)
Từ (1) và (2) suy ra BKHC là hình bình hành  BC//AD
 Tứ giác ABCD là hình thang cân
CÁCH 2: Kẻ BE//CD (E  AD) (1)
C

B

A

Suy ra:
Mà

D

E

(góc đồng vị )
(gt) 

Do đó :ABE cân tại B nên AB=BE(2)
Từ (1) và (2) suy ra BEDC là hình bình hành  BC//AD
 ABCD là hình thang cân
CÁCH 3:
Dựng KH là trung trực của đoạn thẳng AD
B

A

K

C

H

D

Ta thấy: A đối xứng với D qua KH
Vì
; AB = CD
nên B và C đối xứng với nhau qua KH
Hay BC  KH  BC//AD
Suy ra: ABCD là hình thang cân
CÁCH 4:
Giả sử BC không song song với AD.
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

download by :

11

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

Vậy từ B kẻ BC’ // AD
B

C

C'

D

A

Suy ra: Tứ giác ABC’D là hình thang cân
(vì
)
Do đó : AB = C’D
Nhưng theo gt : AB = CD  CD = C’D hay C C’
Vậy BC//AD  Tứ giác ABCD là hình thang cân
CÁCH 5:
B
C
Ta xét hai trường hợp:

A

D

a)Trường hợp 1: Nếu
= 900
Suy ra:AB//CD Mà AB = CD (gt)
 ABCD là hình bình hành
Do đó: BC//AD nên tứ giác ABCD là hình thang cân
b)Trường hợp 2: Nếu

≠ 900
Suy ra: AB không song song với DC
Do đó: AB cắt CD tai M
Khi đó: MAD cân  MA = MD mà AB = CD
Nên : MB =MC  MBC cân 
Mặt khác: BMC và MAD có


mà

và

M

chung

ở vị trí động vị

 BC//AD
Do đó: tứ giác ABCD là hình thang cân

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

B 1

A

download by :

C

D

12

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

Bài toán 4: Cho  ABC nội tiếp trong đường trịn tâm O với AB> AC.Kẻ
đường cao AH, bán kính OA.Chứng minh:
Hướng dẫn:
A
CÁCH 1: (Hình 1)

B

C

H

(Hình 1)
Kẻ OI  AC cắt AH ở M
Ta có:
(góc có cạnh tương ứng vng góc )
(cùng bằng sđ
)
Trong  OAM thì :
(Góc ngồi của tam giác)
Hay
Vậy

CÁCH 2: (Hình 2)
A

B

H

D

C

(Hình 2)
Kẻ tiếp tuyến với đường trịn tại A cắt BC ở D
Ta có:
(1) (cùng chắn cung
)
(2)(Góc có cạnh tương ứng vngAgóc)
Cộng từng vế của (1) và (2) ta được:
mà
(Góc ngồi tam giác)

Vậy
CÁCH 3: (Hình 3)
B

C

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

D

download by :
(Hình 3)

13

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

Kẻ đường kính AOD,đường caoAH kéo dài cắt CD tại M
Ta có:

(1) (Góc có cạnh tương ứng vng góc)
(2) (Góc nội tiếp cùng chắn cung

)

Trừ từng vế của (1) và (2) ta được:
Mà:
(Góc ngồi của tam giác)
Vậy
CÁCH 4: (Hình 4)
A

B

I

C

(Hình 4)

Kẻ OI  BC và OK  AB
Ta có:

H

(1) (So le trong)
(2)

(Góc có cạnh tương ứng vng góc)

A

Cộng từng vế của (1) và (2) ta có:
Mà

) 

(cùng bằng sđ

Vậy
CÁCH 5: (Hình 5)
B

H

C

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

D

download by :
(Hình 5)

14

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

Kẻ đường kính AOD,kẻ DK  BC
Ta có:

(1) (so le trong)
(2) (Góc nội tiếp cùng chắn cung

)

Cộng từng vế (1) và (2) ta có:
Mà

(góc có cạnh tương ứng vng góc)


CÁCH 6: (Hình 6)

.

Vậy

A

B

H

C

D
Kẻ đường kính AOD, kẻ CK  AD

(Hình 6)

Ta có:
(1)
(Góc có cạnh tương ứng vng góc)
(2) (Góc nội tiếp cùng chắn cung
x
Cộng từng vế (1) và (2) ta có:
Mà


)

(Góc có cạnh tương ứng vng góc) A
y

Vậy
CÁCH 7: (Hình 7)
Tại A kẻ tiếp tuyến Ax

B

H

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

download by :
(Hình 7)

C

15

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

và đường thẳng Ay//BC
Ta có:

(1)

(góc có cạnh tương ứng vng góc)
(2) (So le trong)
Cộng từng vế của (1) và (2) ta có:
Mà
(góc nội tiếp cùng chắn cung

)



Vậy
Từ một bài tốn phát triển thành bài tốn khác
Trong q trình dạy học việc giáo viên khái quát hoá một bài toán ban đầu
thành các bài tốn khác giúp học sinh có thói quen nhìn nhận một bài tốn dưới
nhiều cấp độ để học sinh tìm được cái chung và hiểu rõ hơn bản chất của bài toán.
Bài toán 5: Trên một nữa mặt phẳng bờ là đường thẳng d cho 2 điểm A và B(A
khác B).Tìm trên đường thẳng d một điểm M sao cho MA + MB là nhỏ nhất.
Hướng dẫn: Vì A ,B vai trị như nhau nên khơng mất tính tổng quát,lấy D đối
xứng với B qua đường thẳng d.
Rõ ràng nối AD thì AD cắt d tại M và có MA +MB = MA +MD là nhỏ nhất(H1)
Từ lời giải bài tốn 5 ta có thể phát triển thành
A
bài tốn 5.1 như hình vẽ 2 sau:

B
d

K

A
I
M
B

D

C

M

H1

H2

nh

I1
1
Bài tốn 5.1: Cho ABC có 3 góc nhọn và điểm I nằm trên AB, K nằm trên
AC.Tìm điểm M trên cạnh BC sao cho chu vi KIM là nhỏ nhất?
Bằng cách khai thác như vậy ta mở rộng dần các biến bằng cách cố định
một trong 3 điểm I, K, M. Gợi ý nếu ta cố định một điểm M trên BC,Hãy nêu đề
bài tốn:
Bài tốn 5.2: Cho ABC có 3 góc nhọn,một điểm M trên cạnh BC.Hãy tìm
điểm I nằm trên AB và điểm K nằm trên AC sao cho KIM có chu vi nhỏ nhất ?
skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

download by :

16

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

Bằng cách giải như bài toán 5. gợi ý học sinh lấy M1, M2 là các điểm đối xứng
với M qua AB và AC.Nối M1M2 nhận xét giao của M1M2 với AB,AC của tam
giác ABC và từ đó suy ra lời giải bài toán (H3)
A

M1

I

K

B

M2

C

M
H.3

Bài toán 6: Cho tứ giác ABCD có AB < CD.Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung
điểm của AB,AC,CD,BD.Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Hướng dẫn
Xét ABD có: MA = MB(vì M là rung điểm của AB)
QB = QD(vì Q là rung điểm của DB)
 MQ là đường trung bình của tam giác ABD
Suy ra: MQ//AD và MQ = AD
Chứng minh tương tự: NP//AD và NP = AD
Do đó: MQ//NP và MQ = NP

M

A
Q

B

N

j

C
 Tứ giác MNPQ là hình bình hành
D
P
Qua bài tốn 6 ta thấy hình bình hành sẽ đặc biệt hơn nếu tứ giác ABCD
thoả mãn thêm các điều kiện nào đó.
Dễ thấy hình bình hành MNPQ trở thành hình thoi khi và chỉ khi tứ giác
ABCD có hai cạnh đối bằng nhau.Ta có bài tốn sau:
Bài tốn 6.1: Cho tứ giác ABCD có AD = BC,ABlượt là trung điểm của AB,AC,CD,BD.CMR: tứ giác MNPQ là hình thoi.
Ta cịn nhận thấy: Đường chéo NQ của hình thoi MNPQ là đáy của tam giác
cân NPQ nên đườngthẳng QN cắt AD,BC lần lượt tại I,K thì

và
(các cặp góc so le trong).Do đó:
nên ta lại có thêm
bài tốn sau:
Bài tốn 6.2: Cho tứ giác ABCD có AD = BC,ABtrung điểm của hai đường chéo AC,BD.
CMR: Đường thẳng NQ tạo với AD và BC các góc bằng nhau.

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

download by :

17

và MN//CE nên

mà

Suy ra:  EGH cân tại E
Từ bài toán này ta lại thấy:
, suy ra nếu gọi ER(R AB) là phân
giác của của tam giác EDC.Khi đó ta lại có
.
Suy ngay ra được ER// GP.Từ đây ta có bài tốn sau:
G

E

H
A
M
l

D

B

N

P

C

Bài tốn 6.4: Cho EAB có EA< EB.Gọi D và C lần lượt chạy trên các tia
đối của tia AE và tia BE sao cho DA = CB
CMR: Trung điểm P của CD chạy trên một đường thẳng cố định.
G
E

H
R

A

M

B
N

D

m

P

C

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

download by :

18

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

Từ đây ta chứng minh được điểm P đi qua điểm M cố định.
Mặt khác: MP luôn song song với đường thẳng ER là phân giác của tam
giác EAB cố định.Vậy quỹ tích điểm P nằm trên đường thẳng d cố định đi qua
điểm M cố định và song song với phân giác ER của tam giác EAB.
2.4 HIỆU QUẢ CA SNG KIN KINH NGHIM
Trong thực tế giảng dạy việc bồi dỡng học sinh khá giỏi môn
toán, với cách làm trên đây đÃ mang lại hiệu quả cao trong việc
rèn luyện năng lực sáng tạo toán cho học sinh. Cụ thể 80% các
em học sinh đÃ thực sự có hứng thú học toán bồi dỡng cho học
sinh khá giỏi, đÃ tự độc lập tìm tòi ra nhiều cách giải khác
nhau mà không cần sự gợi ý của giáo viên. 20% các em còn cần
gợi ý các trờng hợp, song rất mong muốn đợc tham dự lớp bồi dỡng học sinh giỏi này. Qua sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong
muốn và tin chắc có nhiều bất ngờ từ kết quả đạt đợc ở trên.
Sau õy l kt qu kho sỏt học sinh sau khi tôi đã dạy cho học sinh dạng
toán này:
Điểm
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Tổng số HS 0
0
0

0
8
20
32
80
40

3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1 Kết luận
- Giảng dạy áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên đây đã mang lại hiệu quả của
việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn. Nhiều học sinh đã chủ động tìm tịi, định
hướng và sáng tạo ra nhiều cách giải tốn khơng cần sự góp ý của giáo viên. Từ
đó giúp các em phát triển năng lực tư duy hơn trong q trình học tốn.

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

download by :

19

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

skkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcsskkn.moi.nhat.skkn.phat.trien.tu.duy.cho.hoc.sinh.khoi.8.9.thong.qua.giai.mot.so.bai.toan.thcs

skkn mới nhất skkn phát triển tư duy cho học sinh khối 8 9 thông qua giải một số bài toán thcs

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về