Möc löc docx

Mửc lửc
Chữỡng 1. H m số mởt bián phực 3
1.1. Số phực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. _nh nghắa v cĂc php toĂn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2. DÔng lữủng giĂc cừa số phực _ Côn bêc n cừa số phực . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. H m số phực v _Ôo h m cừa nõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Tẵnh giÊi tẵch _ H m _iãu hỏa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4. CĂc h m phực sỡ cĐp cỡ bÊn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1. H m mụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2. H m lữủng giĂc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.3. H m hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.4. H m logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.5. H m lụy thứa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chữỡng 2. Lỵ thuyát tẵch phƠn trản mt phng phực 15
2.1. Tẵch phƠn trản chu tuyán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1. _ữớng cong trỡn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.2. Tẵch phƠn phực dồc theo mởt chu tuyán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3. CĂc chên _ối vợi tẵch phƠn _ BĐt _ng thực _ML_ . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.4. Cổng thực Green v mởt số _nh lỵ cỡ bÊn vã tẵch phƠn chu tuyán . . . . . . 17
2.1.5. Tẵch phƠn khổng xĂc _nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Cổng thực tẵch phƠn Cauchy v dÔng m rởng cừa nõ . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3. Mởt số ựng dửng cừa cổng thực tẵch phƠn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4. B i toĂn Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.1. Cổng thực Poisson cho trữớng hủp hẳnh trỏn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.2. Cổng thực Poisson cho trữớng hủp nỷa mt phng . . . . . . . . . . . . . . . 27
Chữỡng 3. Chuội h m phực 29
3.1. CĂc khĂi niằm v kát quÊ cỡ bÊn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2. Sỹ hởi tử _ãu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3. Chuội lụy thứa v chuội Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.4. Mởt số k thuêt _ nhên _ữủc khai trin Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.1. LĐy tẵch phƠn hay vi phƠn cĂc số hÔng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1
2 Mửc lửc
3.4.2. Khai trin theo nhĂnh cừa h m _a tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.3. NhƠn v chia cĂc chuội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.4. _ữa cĂc h m hỳu t vã cĂc phƠn thực _ỡn giÊn . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5. Chuội Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6. Mởt số tẵnh chĐt cừa h m giÊi tẵch liản quan _án chuội Taylor . . . . . . . . . . . . . 46
3.6.1. Tẵnh cổ lêp cừa cĂc khổng _im . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.6.2. Sỹ m rởng liản tửc tẵnh giÊi tẵch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Chữỡng 4. Thng dữ v ựng dửng trong php tẵnh tẵch phƠn 51
4.1. KhĂi niằm thng dữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.2. _im ký d cổ lêp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.1. PhƠn loÔi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.2. Tiảu chuân nhên biát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3. Tẵnh thng dữ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.4. Tẵnh cĂc tẵch phƠn thỹc loÔi I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.5. Tẵnh cĂc tẵch phƠn thỹc loÔi II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.6. Tẵnh cĂc tẵch phƠn thỹc loÔi III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.7. Tẵnh cĂc tẵch phƠn bao gỗm cĂc chu tuyán _trĂnh_ _im ký d . . . . . . . . . . . . . 69
4.8. Tẵnh cĂc tẵch phƠn thỹc bơng tẵch phƠn phực quanh _im vổ hÔn . . . . . . . . . . . 72
Chữỡng 1
HM Sẩ MậT BI.N PHC
1.1. Số phực
1.1.1. _nh nghắa v cĂc php toĂn
_nh nghắa 1.1. Số phực z l mởt biu thực _ữủc viát dữợi dÔng
z = a + bi hay z = a + ib;
trong _õ, a; b 2 R, i l mởt kỵ hiằu _ữủc qui ữợc thọa mÂn
i  i = i2 = Ă1: (1.1)
CĂc số a, b lƯn lữủt _ữủc gồi l phƯn thỹc v phƯn Êo cừa số phực z v _ữủc viát l
a = Re(z); b = Im(z):

Khi b = 0, thẳ số phực z = a+bi _ữủc xem l số thỹc a thổng thữớng. Têp hủp mồi số phực thữớng
_ữủc kỵ hiằu l C.
Hai số phực z = a + bi v w = c + di _ữủc gồi l _bơng nhau_, viát l z = w, náu v ch náu
a = c v b = d. CĂc php toĂn _Ôi số cởng, trứ, nhƠn v chia trản cĂc số phực _ữủc tẵnh theo cĂc
quy tc thổng thữớng, miạn l Ăp dửng (1.1). Cử th l vợi z = a + bi, w = c + di, ta cõ
z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
z Ă w = (a + bi) Ă (c + di) = (a Ă c) + (b Ă d)i
zw = (a + bi)(c + di) = (ac Ă bd) + (ad + bc)i
z
w
= a + bi
c + di
=
(a + bi)(c Ă di)
(c + di)(c Ă di)
= ac + bd
c2 + d2 + bc Ă ad
c2 + d2 i (w 6= 0):
_nh nghắa 1.2. Hai số phực _ữủc gồi l liản hủp vợi nhau náu chúng cõ cũng phƯn thỹc, cỏn phƯn
Êo thẳ _ối nhau.
Vêy, náu z = a+bi thẳ số phực liản hủp vợi z _ữủc kỵ hiằu l z v ta cõ z = aĂbi. Náu z1 v z2 l
cĂc số phực bĐt ký thẳ
z1 + z2 = z1 + z2
z1 Ă z2 = z1 Ă z2
z1z2 = z1 z2
z1
z2

= z1
z2

:
3
4 Chữỡng 1. H m số mởt bián phực
_ối vợi php nhƠn cĂc số phực, ta cõ chú ỵ quan trồng sau: vợi z;w 2 C, ta cõ
zw = 0 , z = 0 hoc w = 0: (1.2)
_ở lợn cừa mởt số phực z = a + bi, kỵ hiằu jzj, v _ữủc xĂc _nh bi giĂ tr
jzj = ja + bij =
p
a2 + b2:
Dạ d ng chựng minh _ữủc cĂc tẵnh chĐt sau:
zz = jzj2
jz1z2j = jz1jjz2j
z1
z2

= jz1j
jz2j
jz1 Đ z2j ã jz1j + jz2j jz1j Ă jz2j

ã jz1 + z2j:
Kát quÊ (1.2) cõ th _ữủc Ăp dửng _ giÊi phữỡng trẳnh
az2 + bz + c = 0 (a 6= 0); (1.3)
theo cĂc trữớng hủp _ữủc xt sau
(a) a; b; c 2 R v  = b2 Ă 4ac á 0:
(1.3) , z = Ăb Đ pÂ
2a
:
(b) a; b; c 2 R v  = b2 à 4ac < 0:
(1.3) ,
à

z + b
2a
ả2
= b2 Ă 4ac
4a2 = i2
àpĂÂ
2a
ả2
,
à
z + b + ipĂÂ
2a
ảà
z + b Ă ipĂÂ
2a
ả
= 0
, z = Ăb Đ ipĂÂ
2a
:
Ta cụng cõ th giÊi phữỡng trẳnh (1.3) trong trữớng hủp a; b; c 2 C. VĐn _ã n y _ữủc xt trong
trữớng hủp tờng quĂt hỡn dữợi _Ơy.
1.1.2. DÔng lữủng giĂc cừa số phực _ Côn bêc n cừa số phực
Số phực z = x + iy cõ th _ữủc biu diạn bi vector OĂĂM! trong mt phng Oxy (vợi M l _im
(x; y)). Ngo i ra, z = x + iy cụng cõ th _ữủc biu diạn bi tồa _ở cỹc (r; ') cừa _im M. Vêy,
z = x + iy = r(cos ' + i sin '); (1.4)
trong _õ r =
p
x2 + y2 = jzj, ' _ữủc kỵ hiằu l arg z v
tan ' = y=x:

1.2. H m số phực v _Ôo h m cừa nõ 5
Vá phÊi cừa (1.4) _ữủc gồi l dÔng cỹc hay dÔng lữủng giĂc cừa số phực z v chú ỵ rơng arg z _ữủc
xĂc _nh sai khĂc k2ẳ (k 2 Z). Vêy, náu z1 = r1(cos '1 + i sin '1), z2 = r2(cos '2 + i sin '2) thẳ
z1 = z2 khi v ch khi
r1 = r2; '1 = '2 + k2ẳ (k 2 Z):
Cho z1 = r1(cos '1 + i sin '1), z2 = r2(cos '2 + i sin '2). Khi _õ,
z1z2 = r1r2
Ê
cos('1 + '2) + i sin('1 + '2)
Ô
z1
z2
= r1
r2
Ê
cos('1 Ă '2) + i sin('1 Ă '2)
Ô
:
Tứ _õ, vợi n l số nguyản dữỡng, z = r(cos ' + i sin '), ta cõ
zn = rnÊ
cos(n') + i sin(n')
Ô
:
_nh nghắa 1.3. Cho số phực z0 v số nguyản dữỡng n. Côn bêc n cừa z0 l nhỳng số phực z thọa:
zn = z0:
Côn bêc n cừa z0 _ữủc kỵ hiằu l npz0.
GiÊ sỷ z0 = r0(cos '0 + i sin '0) v z = r(cos ' + i sin '). Khi _õ
zn = z0 , rnÊ
cos(n') + i sin(n')
Ô

= r0(cos '0 + i sin '0)
, r = npr0; n' = '0 + 2kẳ (k 2 Z)
, r = npr0; ' = '0
n
+
2kẳ
n
(k = 0; 1; : : : ; n Ă 1):
Vêy, ta cõ n côn bêc n cừa z0 v chúng _ữủc cho bi cổng thực:
z = npr0
h
cos
'0 + 2kẳ
n

+ i sin
'0 + 2kẳ
n
i
(k = 0; 1; : : : ; n Ă 1):
Chú ỵ rơng ta cụng chựng minh _ữủc cổng thực sau trong trữớng hủp n 2 Z:
Ê
r(cos ' + i sin ')
Ôn = rnÊ
cos(n') + i sin(n')
Ô
:
1.2. H m số phực v _Ôo h m cừa nõ
Náu vợi mội giĂ tr cừa bián (_ởc lêp) z trong mởt D ẵ C, cõ tữỡng ựng duy nhĐt mởt giĂ tr cừa
bián (phử thuyởc) w theo mởt quy luêt f bĐt ký thẳ ta nõi: f l mởt h m bián phực xĂc _nh trản

D v viát w = f(z). Thổng thữớng D l mởt miãn cừa mt phng phực. Ta cõ cĂc vẵ dử sau:
(a) w = 5z,
(b) w = ejzj,
(c) w = 4ijzj,
(d) w = (z Ă 2)(z2 + 4).
6 Chữỡng 1. H m số mởt bián phực
Trong cĂc trữớng hủp (a), (b), (c) thẳ z nhên mồi giĂ tr phực, những vợi trữớng hủp (d) thẳ z 6= Đ2i.
Mt khĂc, w = f(z) cụng cõ th _ữủc viát dữợi dÔng phử thuởc phƯn thỹc x v phƯn Êo y cừa z:
w(z) = w(x + iy) = u(x; y) + iv(x; y):
Chng hÔn vợi h m số
w(z) = 3x Ă iy + x + iy
x2 + y2 ; (1.5)
thẳ ta cõ
u = 3x + x
x2 + y2 ; v = Ăy + y
x2 + y2 :
Ngo i ra, ta cõ th biu diạn trỹc tiáp h m số trản theo z náu dũng cĂc _ỗng nhĐt thực:
x = z + z
2 ; y = z Ă z
2i
:
Theo _õ, h m (1.5) cõ th _ữủc viát dữợi dÔng
w(z) = z + 2z +
1
z
:
_nh nghắa 1.4. Cho h m số phực f(z) v số phực f0. Náu vợi mội số thỹc " > 0, tỗn tÔi số thỹc
(") > 0 sao cho
jf(z) Ă f0j < ";
_ối vợi mồi z thọa

0 < jz Ă z0j < ;
thẳ ta nõi f(z) cõ giợi hÔn l f0 khi z dƯn _án z0 v kỵ hiằu l
lim
z!z0
f(z) = f0:
Tứ _nh nghắa trản, ta cõ nhỳng nhên xt sau:
(a) f phÊi xĂc _nh trong mởt lƠn cên _thừng_ cừa z0.
(b) Giợi hÔn f0, náu tỗn tÔi, thẳ khổng phử thuởc v o _ữớng m dồc theo _õ, z ! z0.
Theo cĂc nhên xt trản, dạ d ng _i _án kát luên:
(i) H m f(z) = arg z (giĂ tr chẵnh) khổng cõ giợi hÔn tÔi nhỳng _im trản trửc thỹc Ơm.
(ii) H m
f(z) = f(x + iy) = x2 + x + i(y2 + y)
x + y
khổng cõ giợi hÔn khi z ! 0.
Trong trữớng hủp lim
z!z0
f(z) = f(z0) thẳ ta nõi f(z) liản tửc tÔi z = z0. Náu f(z) liản tửc tÔi mồi
_im trong mởt miãn D thẳ ta nõi f(z) liản tửc trản D.
_nh lỵ 1.1. Cho f(z) = u(x; y) + iv(x; y). Khi _õ:
f(z) liản tửc tÔi z0 = x0 + iy0 , u; v liản tửc tÔi (x0; y0):
_nh lỵ 1.2. Náu f(z) liản tửc trản mởt miãn _õng v b chên D thẳ tỗn tÔi z0 2 D sao cho
jf(z)j ã jf(z0)j vợi mồi z 2 D.
1.2. H m số phực v _Ôo h m cừa nõ 7
Ta cụng cõ cĂc tẵnh chĐt vã giợi hÔn khĂc tữỡng tỹ nhữ cĂc tẵnh chĐt cừa giợi hÔn h m mởt bián.
Cho h m số phực f(z). _Ôo h m cừa f(z) tÔi _im z0, viát l f0(z0) hay (df=dz)z=z0 , _ữủc cho
bi
f0(z0) = lim
Âz!0
f(z0 + Âz) Ă f(z0)
Âz

:
Náu f(z) cõ _Ôo h m tÔi z0 thẳ ta nõi f(z) khÊ vi tÔi z = z0. Trong trữớng hủp f(z) khÊ vi tÔi mồi
_im cừa mởt miãn D, ta nõi f khÊ vi trản D v khi _õ _Ôo h m f0(z) cừa f tÔi mởt _im z 2 D
thữớng _ữủc viát chung l df=dz.
Vợi n l số nguyản khổng Ơm, dạ d ng chựng minh _ữủc
d
dz
(zn) = nznĂ1:
Mt khĂc, ta cụng cõ th kim chựng rơng cổng thực trản cụng _úng khi n Ơm _ối vợi z 6= 0.
BƠy giớ vợi h m số phực f(z) _ữủc cho dữợi dÔng f(z) = u(x; y) + iv(x; y), ta hÂy thỷ xĂc _nh
biu thực _Ôo h m cừa f0(z0) tÔi _im z0 = x0 +iy0 náu nõ tỗn tÔi. Do f0(z0) khổng phử thuởc v o
cĂch m Âz ! 0 nản ta xt trữớng hủp Âz = Âx (Ây = 0) v ta cõ
f0(z0) = lim
Âx!0
f(z0 + Âx) Ă f(z0)
Âx
= lim
Âx!0
à
u(x0 + Âx; y0) Ă u(x0; y0)
Âx
+ i
v(x0 + Âx; y0) Ă v(x0; y0)
Âx
ả
:
Tứ _õ suy ra u; v phÊi cõ _Ôo h m riảng theo x tÔi (x0; y0) v ta cõ
f0(z0) = @u
@x
(x0; y0) + i

@v
@x
(x0; y0) =
à
@u
@x
+ i
@v
@x
ả
x0;y0
:
Lêp luên tữỡng tỹ (khi chồn Âz = iÂy), ta cụng suy ra u; v phÊi cõ _Ôo h m riảng theo y tÔi (x0; y0)
v
f0(z0) = @v
@y
(x0; y0) Ă i
@u
@y
(x0; y0) =
à
@v
@y Ă i
@u
@y
ả
x0;y0
:
Tứ cĂc kát quÊ trản, ta cõ kát luên sau: náu f = u + iv cõ _Ôo h m tÔi _im z n o _õ, thẳ tÔi
_im n y u; v cõ cĂc _Ôo h m riảng v thọa hằ thực

@u
@x
= @v
@y
(1.6)
@u
@y
= Ă
@v
@x
: (1.7)
CĂc hằ thực trản cỏn _ữủc gồi l cĂc phữỡng trẳnh Cauchy-Riemann.
_nh lỵ 1.3. GiÊ sỷ f(z) = u(x; y) + iv(x; y), u; v liản tửc v cõ cĂc _Ôo h m riảng liản tửc trản
mởt lƠn cên cừa _im z0 = x0 + iy0. Khi _õ, f khÊ vi tÔi z0 khi v ch khi cĂc phữỡng trẳnh
Cauchy-Riemann _ữủc thọa tÔi (x0; y0).
Vẵ dử 1.1. KhÊo sĂt tẵnh khÊ vi cừa f(z) = zz = jzj2. C
8 Chữỡng 1. H m số mởt bián phực
Vẳ php toĂn tẵnh _Ôo h m cụng cõ cũng dÔng nhữ _ối vợi h m mởt bián nản ta cụng cõ cĂc quy
tc tữỡng tỹ _ối vợi _Ôo h m cừa h m bián phực.
Trong trữớng hủp f(z) = u+iv _ữủc xt trong tồa _ở cỹc (r; à) thẳ f(z) = u(r; à)+iv(r; à). Khi
_õ, cõ th kim chựng _ữủc rơng cĂc phữỡng trẳnh Cauchy-Riemann (1.6), (1.7) tr th nh:
@u
@r
=
1
r
@v
@à
(1.8)
@v

@r
= Ă
1
r
@u
@à
: (1.9)
CĂc phữỡng trẳnh trản cụng chẵnh l cĂc _iãu kiằn cƯn v _ừ _ f khÊ vi tÔi nhỳng _im m tồa _ở
cỹc cừa chúng l (r; à), vợi r 6= 0. Tữỡng tỹ nhữ vĐn _ã _Â _ữủc khÊo sĂt, náu f0(z) tỗn tÔi thẳ nõ
cõ th _ữủc tẵnh bi mởt trong cĂc biu thực sau:
f0(z) =
à
@u
@r
+ i
@v
@r
ả
(cos à Ă i sin à); (1.10)
f0(z) =
à
@u
@à
+ i
@v
@à
ảà
Ăi
r
ả

(cos à Ă i sin à) (1.11)
1.3. Tẵnh giÊi tẵch _ H m _iãu hỏa
_nh nghắa 1.5. H m f(z) _ữủc gồi l giÊi tẵch tÔi z0 náu nõ khÊ vi trong mởt lƠn cên cừa z0.
Náu f(z) giÊi tẵch tÔi mồi _im cừa mởt miãn D thẳ ta nõi f(z) giÊi tẵch trong D. Náu f(z) l giÊi
tẵch trong to n bở mt phng phực thẳ nõ _ữủc gồi l h m nguyản.
Vẵ dử 1.2. H m f(z) = x2 + iy2 giÊi tẵch tÔi nhỳng giĂ tr n o cừa z? C
_nh nghắa 1.6. Náu f(z) khổng giÊi tẵch tÔi z0 những giÊi tẵch tÔi ẵt nhĐt mởt _im trong mội
lƠn cên cừa z0, thẳ z0 _ữủc gồi l _im ký d cừa f.
Vẵ dử 1.3. Tẳm nhỳng _im z m tÔi _õ f(z) = (z3 + 2)=(z2 + 1) khổng giÊi tẵch. C
Vẵ dử 1.4. Trong tồa _ở cỹc, hÂy khÊo sĂt tẵnh giÊi tẵch cừa
f(z) = r2 cos2 à + ir2 sin2 à;
vợi z 6= 0. C
BƠy giớ, ta hÂy xt vĐn _ã sau: vợi h m (x; y) cho trữợc, ta cõ th xĂc _nh _ữủc mởt h m
giÊi tẵch f(z) cõ dÔng f(z) = + iv hay f(z) = u + i hay khổng? Nõi cĂch khĂc, mởt h m h m
(x; y) cho trữợc cõ th xem l phƯn thỹc hay phƯn Êo cừa mởt h m giÊi tẵch _ữủc khổng? _ trÊ
lới cho cƠu họi n y, trữợc tiản ta xt mởt h m giÊi tẵch f(z) = u+iv. Khi _õ, theo cĂc phữỡng trẳnh
Cauchy-Riemann, ta cõ:
@u
@x
= @v
@y
(1.12)
@u
@y
= Ă
@v
@x
: (1.13)
1.4. CĂc h m phực sỡ cĐp cỡ bÊn 9
Ta giÊ sỷ l cõ th lĐy vi phƠn phữỡng trẳnh (1.12) theo x v phữỡng trẳnh (1.13) theo y:

@2u
@x2 = @
@x
à
@v
@y
ả
(1.14)
@2u
@y2 = Ă
@
@y
à
@v
@x
ả
: (1.15)
BƠy giớ náu giÊ sỷ v cõ cĂc _Ôo h m riảng cĐp hai liản tửc thẳ ta cõ @2v=@x@y = @2v=@y@x. Khi _õ,
tứ (1.14), (1.15), ta cõ
@2u
@x2 + @2u
@y2 = 0: (1.16)
Lêp luên tữỡng tỹ, ta cụng cõ
@2v
@x2 + @2v
@y2 = 0: (1.17)
Vêy, phƯn thỹc v phƯn Êo cừa mởt h m giÊi tẵch phÊi thọa phữỡng trẳnh Laplace sau _Ơy:
@2
@x2 + @2
@y2 = 0: (1.18)

_nh nghắa 1.7. H m thọa phữỡng trẳnh Laplace trong mởt miãn _ữủc gồi l h m _iãu hỏa trong
miãn _õ.
Tứ kát quÊ _Â xt, ta cõ _nh lỵ sau:
_nh lỵ 1.4. Náu f(z) = u + iv giÊi tẵch trong mởt miãn D thẳ u, v l cĂc h m _iãu hỏa trong D.
CĂc phƯn thỹc v Êo cừa mởt h m giÊi tẵch _ữủc gồi l cĂc h m liản hủp _iãu hỏa.
_nh lỵ 1.5. GiÊ sỷ (x; y) l mởt h m _iãu hỏa trong mởt miãn _ỡn liản D. Khi _õ, tỗn tÔi cĂc
h m giÊi tẵch trong D cõ dÔng: f(z) = + iv v g(z) = u + i.
Vẵ dử 1.5. Chựng tọ rơng = x3 Ă 3xy2 + 2y cõ th l phƯn thỹc cừa mởt h m giÊi tẵch. Tẳm
phƯn Êo cừa h m giÊi tẵch _õ. C
_nh lỵ sau cho ta mởt tẵnh chĐt hẳnh hồc rĐt thú v cừa cĂc h m liản hủp _iãu hỏa.
_nh lỵ 1.6. Cho h m giÊi tẵch f(z) = u(x; y) + iv(x; y) v cĂc hơng số C1, C2, . . . v D1, D2,
. . . . Khi _õ, hồ cĂc _ữớng cong u(x; y) = C1, u(x; y) = C2, . . . v v(x; y) = D1, v(x; y) = D2, . . . l
trỹc giao vợi nhau; nghắa l giao cừa mởt _ữớng cong cừa hồ thự nhĐt vợi mởt _ữớng cong cừa hồ
thự hai xÊy ra tÔi mởt gõc 900, trứ ra tÔi cĂc _im z thọa f0(z) = 0.
1.4. CĂc h m phực sỡ cĐp cỡ bÊn
1.4.1. H m mụ
Ta s _nh nghắa h m số ez (hay exp z), vợi z = x + iy, sao cho
(a) ez tr th nh h m số thỹc ex khi z nhên giĂ tr thỹc.
(b) ez l h m giÊi tẵch cừa z.
10 Chữỡng 1. H m số mởt bián phực
H m ex cos y + iex sin y s l _nh nghắa cho h m ez. Vêy:
ez = ex+iy = ex(cos y + i sin y):
Ta cõ th kim chựng _ữủc _nh nghắa trản thọa (a), (b) v ez l mởt h m nguyản cừa z. Ngo i
nhỳng tẵnh chĐt ho n to n tữỡng tỹ nhữ h m số mụ thổng thữớng, ta cõ cĂc mối quan hằ quan
trồng sau:
(a) jezj = ex, vợi z = x + iy.
(b) arg(ez) = y + 2kẳ, k 2 Z.
(c) eiẳ + 1 = 0.
1.4.2. H m lữủng giĂc
Tứ cổng thực Euler

eià = cos à + i sin à: (1.19)
ta cõ
sin à = eià Ă eĂià
2i
cos à = eià + eĂià
2 :
Theo _õ, mởt cĂch tỹ nhiản, ta _nh nghắa cĂc h m cos z, sin z nhữ sau:
sin z = eiz Ă eĂiz
2i
(1.20)
cos z = eiz + eĂiz
2 : (1.21)
Ta dạ d ng kim tra _ữủc cĂc kát quÊ sau
(a) Do eiz v eĂiz l cĂc h m nguyản nản cos z v sin z cụng l cĂc h m nguyản.
(b) d sin z=dz = cos z, d cos z=dz = Ăsin z, sin2 z +cos2 z = 1 v ta cụng cõ cĂc cổng thực cởng
nhữ _ối vợi trữớng hủp cĂc h m lữủng giĂc thỹc, chng hÔn:
sin(z1 Đ z2) = sin z1 cos z2 Đ cos z1 sin z2;
cos(z1 Đ z2) = cos z1 cos z2 ă sin z1 sin z2:
_ thuên tiằn khi tẵnh giĂ tr cừa cĂc h m (1.20), (1.21), _ối vợi z = x + iy, ta cõ
sin z = eĂyeix Ă eyeĂix
2i
= eĂy(cos x + i sin x)
2i Ă
eĂy(cos x Ă i sin x)
2i
= sin x
ey + eĂy
2
+ i cos x
ey Ă eĂy

2
= sin x cosh y + i cos x sinh y:
Tữỡng tỹ, ta cõ
cos z = cos x cosh y Ă i sin x sinh y:
CĂc h m lữủng giĂc phực cỏn lÔi _ữủc _nh nghắa nhữ sau:
tan z =
sin z
cos z
=
1
cot z
; sec z =
1
cos z
; csc z =
1
sin z
;
1.4. CĂc h m phực sỡ cĐp cỡ bÊn 11
v ta cụng tẵnh _ữủc cĂc _Ôo h m cừa chúng dạ d ng theo kát quÊ
d
dz
tan z = sec2 z
d
dz
sec z = tan z sec z
d
dz
csc z = Ăcot z csc z:
1.4.3. H m hyperbolic

Ta _Â biát, vợi số thỹc à, ta cõ
sinh à = eà Ă eĂà
2
cosh à = eà + eĂà
2 :
Theo _õ, vợi z l số phực, ta _nh nghắa
sinh z = ez Ă eĂz
2
(1.22)
cosh z = ez + eĂz
2 : (1.23)
Theo _nh nghắa trản thẳ sinh z v cosh z l cĂc h m nguyản. CĂc _ỗng nhĐt thực dữợi _Ơy cụng cõ
th _ữủc chựng minh dạ d ng:
cosh2 z Ă sinh2 z = 1
cosh(z1 Đ z2) = cosh z1 cosh z2 Đ sinh z1 sinh z2
sinh(z1 Đ z2) = sinh z1 cosh z2 Đ cosh z1 sinh z2:
Ngo i ra, vợi z = x + iy, ta cõ th tẵnh giĂ tr cừa cĂc h m (1.22), (1.23) dỹa theo cĂc cổng thực:
sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y;
cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y:
CĂc h m hyperbolic cỏn lÔi _ữủc _nh nghắa nhữ sau:
tanh z =
sinh z
cosh z
; coth z =
1
tanh z
:
1.4.4. H m logarithm
Ta s _nh nghắa h m logarithm cừa z, kỵ hiằu l ln z, l h m thọa
eln z = z: (1.24)

Chú ỵ rơng náu z l số thỹc dữỡng thẳ (1.24) _ữỡng nhiản _ữủc thọa.
BƠy giớ, ta _nh nghắa ln z bi cổng thực sau:
ln z = ln jzj + i arg z (z 6= 0) (1.25)
12 Chữỡng 1. H m số mởt bián phực
v kim tra hằ thực (1.24). Náu z _ữủc viát l z = reià thẳ r = jzj v à = arg z. Khi _õ:
eln z = eln r+ià = eln reià = r(cos à + i sin à)
= x + iy = z:
Do arg z khổng _ữủc xĂc _nh duy nhĐt nản ln z, _ữủc xĂc _nh bi (1.25), l h m _a tr, v mội
giĂ tr cừa ln z _ãu thọa mÂn hằ thực (1.24).
Khi à = àp l giĂ tr chẵnh cừa arg z thẳ giĂ tr cừa vá phÊi trong (1.25) _ữủc gồi l giĂ tr chẵnh
cừa ln z v kỵ hiằu l Ln z. Vêy, ta cõ
Ln z = Ln r + iàp; r = jzj > 0; Ăẳ < àp ã ẳ: (1.26)
Chú ỵ rơng ta _Â viát Ln r (thay cho ln r) vẳ giĂ tr logarithm tỹ nhiản cừa mởt số dữỡng thổng
thữớng chẵnh l giĂ tr chẵnh.
Vêy, mồi giĂ tr cừa ln z _ữủc nhên tứ biu thực:
ln z = Ln r + i(àp + 2kẳ); k = 0;Đ1;Đ2; : : : : (1.27)
Ta hÂy khÊo sĂt mởt số tẵnh chĐt cừa h m __a tr_ ln z. Xt quan hằ sau:
ln(z1z2) = ln z1 + ln z2: (1.28)
Do cĂc biu thực ln z1 v ln z2 l _a tr nản tờng ln z1 + ln z2 cụng vêy. Náu ta chồn cho mội biu
thực mởt giĂ tr riảng thẳ tờng cừa cĂc giĂ tr n y s l mởt trong cĂc giĂ tr cõ th cừa ln(z1z2).
Thỹc vêy, giÊ sỷ z1 = r1eià1 , z2 = r2eià2 thẳ
ln z1 = Ln r1 + i(à1 + 2k1ẳ); ln z2 = Ln r2 + i(à2 + 2k2ẳ):
Khi _õ:
ln z1 + ln z2 = Ln r1 + Ln r2 + i
Ê
à1 + à2 + 2ẳ(k1 + k2)
Ô
: (1.29)
Vẳ r1r2 = jz1z2j v à1 + à2 + 2ẳ(k1 + k2) l mởt trong cĂc giĂ tr cừa arg(z1z2) nản (1.29) l mởt
trong cĂc giĂ tr cừa ln(z1z2). Bơng quy nÔp, ta cụng dạ d ng chựng minh _ữủc cổng thực

ln zn = n ln z (n l số nguyản tũy ỵ)
cụng s cõ nghắa _ối vợi cĂc giĂ n o _õ cừa cĂc logarithm. Chú ỵ rơng, vợi z = x + iy thẳ
ln ez = Ln jezj + i(y + 2kẳ) = Ln ex + iy + i2kẳ
= x + iy + i2kẳ = z + i2kẳ (k = 0;Đ1;Đ2; : : :)
_ khÊo sĂt tẵnh giÊi tẵch cừa ln z, trữợc tiản ta hÂy khÊo sĂt tẵnh giÊi tẵch cừa h m _ỡn tr
Ln z = Ln r + ià; r > 0; Ăẳ < à ã ẳ:
Hin nhiản h m số trản khổng liản tửc tÔi z = 0 vẳ nõ khổng xĂc _nh tÔi _õ. Ngo i ra, h m số cụng
khổng liản tửc trản trửc thỹc Ơm. Tuy nhiản Ln z l _ỡn tr v liản tửc trong miãn D, bao gỗm mồi
_im trản mt phng z, trứ ra cĂc _im trản trửc thỹc Ơm v _im gốc; nghắa l
D = fz = reià : r > 0; Ăẳ < à < ẳg:
1.4. C¡c h m phùc sì c§p cì b£n 13
Ta s³ chùng minh Ln z l h m gi£i t½ch trong D. Thªt vªy, ta câ
Ln z = u(r; µ) + iv(r; µ) ´ Ln r + iµ:
Tø _â suy ra: u = Ln r, v = µ hiºn nhi¶n l c¡c h m li¶n töc v câ c¡c _¤o h m ri¶ng li¶n töc trong
D v ta câ
@u
@r
=
1
r
;
@v
@µ
= 1;
@v
@r
= 0;
@u
@µ
= 0:

Vªy:
@u
@r
=
1
r
@v
@µ
;
@v
@r
= ¡
1
r
@u
@µ
:
C¡c k¸t qu£ tr¶n cho ta k¸t luªn: Ln z l h m gi£i t½ch tr¶n D v ta câ
d
dz
Ln z =
µ
@u
@r
+ i
@v
@r
¶
(cos µ ¡ i sin µ) = e¡iµ
r

=
1
reià =
1
z
:
H m _ỡn tr w(z) = Ln z, vợi z ch giợi hÔn trong D, _ữủc gồi l nhĂnh cừa h m _a tr ln z. Mởt
cĂch chẵnh xĂc, ta cõ _nh nghắa sau:
_nh nghắa 1.8. NhĂnh cừa mởt h m _a tr l mởt h m _ỡn tr giÊi tẵch trong mởt miãn D n o
_õ. TÔi mội _im trong D, nhĂnh ch nhên _úng mởt trong cĂc giĂ tr cõ th thay _ời m h m _a
tr cõ th nhên.
Vêy, _ xĂc _nh mởt nhĂnh cừa mởt h m _a tr, ta phÊi cõ cĂch chồn mởt trong nhỳng giĂ tr cõ
th cừa h m n y v phÊi xĂc _nh miãn giÊi tẵch cừa h m _ỡn tr tữỡng ựng. Ta _Â dũng kỵ hiằu
Ln z _ ch giĂ tr chẵnh cừa ln z. Ta cụng s dũng Ln z _ ch nhĂnh chẵnh cừa h m ln z. CÊ hai giĂ
tr chẵnh v nhĂnh chẵnh _ãu sinh ra nhỳng giĂ tr giống nhau, trứ ra trữớng hủp z l mởt số thỹc
Ơm. Khi _õ, nhĂnh chẵnh khổng th tẵnh _ữủc, trong khi ta văn cõ th tẵnh _ữủc giĂ tr chẵnh.
Tỗn tÔi cĂc nhĂnh khĂc cừa ln z l giÊi tẵch trong miãn D. Náu _t k = 1 trong cổng thực (1.27),
ta nhên _ữủc h m f(z) = Ln r + ià, trong _õ ẳ < à ã 3ẳ. Náu z _ữủc php nhên mồi giĂ tr trong
mt phng phực thẳ ta nhên thĐy rơng h m n y giĂn _oÔn tÔi gốc v tÔi mồi _im trản trửc thỹc
Ơm. Khi z _ữủc hÔn chá trong D, ta cõ 0 < r v ẳ < à < 3ẳ, v df=dz = 1=z. Miãn D _ữủc tÔo
th nh bơng cĂch bọ _i nỷa _ữớng thng vổ hÔn y = 0, x ã 0, tứ mt phng xy. Nỷa _ữớng thng
n y _ữủc gồi l mởt nhĂt ct nhĂnh.
_nh nghắa 1.9. Mởt _ữớng _ữủc dũng _ tÔo ra mởt miãn giÊi tẵch _ữủc gồi l _ữớng nhĂnh hay
nhĂt ct nhĂnh.
Chú ỵ. Cõ th tÔo ra nhỳng nhĂnh khĂc nhau cừa ln z v chúng giÊi tẵch trong nhỳng miãn khĂc
vợi D. HÂy xt
f(z) = Ln r + ià; Ă3ẳ=2 < à ã ẳ=2:
Giống nhữ giĂ tr chẵnh Ln z, f(z) _ữủc xĂc _nh tÔi mồi z 6= 0. Nõ giĂn _oÔn tÔi gốc v tÔi mồi
_im trản trửc Êo dữỡng. TĐt nhiản, nõ khổng phÊi l nhĂnh cừa ln z, những khi z _ữủc hÔn chá
trong miãn

D1 = fz = reià : r > 0; Ă3ẳ=2 < à < ẳ=2g
thẳ f(z) l mởt nhĂnh. Hin nhiản D1 _ữủc tÔo th nh bơng cĂch bọ _i _im gốc, trửc Êo dữỡng tứ
mt phng phực. Ta cõ th chựng minh nhĂnh f(z) n y khÊ vi trong D1 v df=dz = 1=z.
14 Chữỡng 1. H m số mởt bián phực
Ta cõ th kim chựng mởt cĂch dạ d ng cĂc h m
f(z) = Ln r + ià; Ă
3ẳ
2
+ 2kẳ < à ã
ẳ
2
+ 2kẳ (k = 0;Đ1;Đ2; : : :)
l cĂc nhĂnh giÊi tẵch, miạn l z _ữủc hÔn chá trong D1. CĂc miãn D v D1 ch l hai trong vổ số
cĂc miãn m trong _õ, ta cõ th tẳm _ữủc cĂc nhĂnh cừa ln z. CÊ hai miãn n y _ữủc tÔo th nh bơng
cĂch dũng mởt _ữớng nhĂnh trong mt phng xy. Khi mồi _ữớng nhĂnh tẳm _ữủc cũng cõ mởt _im
chung thẳ ta gồi _im _õ l _im nhĂnh cừa h m _a tr. Trong trữớng hủp cừa ln z thẳ _im nhĂnh
chẵnh l _im gốc.
1.4.5. H m lụy thứa
Vợi z (6= 0) v c l cĂc số phực, ta _nh nghắa h m lụy thứa zc bi
zc = ec ln z: (1.30)
Náu khi tẵnh zc bi (1.30) ta dũng giĂ tr chẵnh cừa ln z thẳ kát quÊ nhên _ữủc _ữủc gồi l giĂ tr
chẵnh cừa zc.
Vẵ dử 1.6. Tẵnh 91=2, 9ẳ theo cổng thực (1.30).
GiÊi.
91=2 = e(1=2) ln 9 = e(1=2)(Ln 9+i2kẳ) = e(1=2)Ln 9+ikẳ
= e(1=2)Ln 9Ê
cos(kẳ) + i sin(kẳ)
Ô
= 3 cos(kẳ) = (Ă1)k3 (k = 0;Đ1;Đ2; : : :)
Vêy, 91=2 = Đ3 v giĂ tr chẵnh cừa 91=2 l 3 (ựng vợi k = 0).

Mt khĂc
9ẳ = eẳ ln 9 = eẳ(Ln 9+i2kẳ) = eẳLn 9+2kẳ2
ẳ e6:903Ê
cos(2kẳ2) + i sin(2kẳ2)
Ô
ẳ 995:04
Ê
cos(2kẳ2) + i sin(2kẳ2)
Ô
(k = 0;Đ1;Đ2; : : :)
Ta s thĐy khi k nhên cĂc giĂ tr khĂc nhau thẳ 9ẳ cụng nhên cĂc giĂ tr khĂc nhau. Thêt vêy, giÊ
sỷ tỗn tÔi cĂc giĂ tr khĂc nhau cừa k l k1 v k2 sao cho chúng sinh ra cũng giĂ tr cừa 9ẳ. Khi _õ,
ta phÊi cõ
cos(2k1ẳ2) + i sin(2k1ẳ2) = cos(2k2ẳ2) + i sin(2k2ẳ2);
v kát quÊ trản tữỡng _ữỡng vợi
2k1ẳ2 Ă 2k2ẳ2 = 2mẳ hay ẳ = m
k1 Ă k2
(m 2 Z):
_õ l kát quÊ vổ lỵ vẳ ẳ l số vổ t. C
Ta cõ mởt kát quÊ tờng quĂt nhữ sau:
Mằnh _ã 1.1. Náu z 6= 0 v z 6= e thẳ zc nhên mởt têp vổ hÔn cĂc giĂ tr trứ ra trữớng hủp c l
mởt số hỷu t.
Náu c khổng l số nguyản thẳ h m f(z) = zc l _a tr theo z. H m n y cõ nhỳng nhĂnh thay _ời
m ta cõ th tẵnh _ữủc _Ôo h m cừa chúng. Chng hÔn, ta cõ th tẳm _ữủc nhĂnh chẵnh bơng cĂch
dũng nhĂnh chẵnh cừa ln z. NhĂnh chẵnh n y cừa f(z) = zc l giÊi tẵch trong cũng mởt miãn nhữ
Ln z. Ta xĂc _nh _Ôo h m cừa mởt nhĂnh bĐt ký nhữ sau:
d
dz
zc = d
dz

ec ln z = cec ln z
z
= cec ln z
eln z = ce(cĂ1) ln z = czcĂ1 = czc
z
:
Chữỡng 2
Lị THUY.T TCH PH.N
TR.N MT PHNG PHC
2.1. Tẵch phƠn trản chu tuyán
2.1.1. _ữớng cong trỡn
_ữớng cong trỡn, _ữủc mổ tÊ mởt cĂch nổm na, l _ữớng cong m tÔi mồi _im cừa nõ _ãu cõ tiáp
tuyán v tiáp tuyán thay _ời mởt cĂch liản tửc khi ta dch chuyn dồc theo _ữớng cong. Ta gồi l
chu tuyán hay _ữớng cong trỡn tứng khúc náu _ữớng cong _ữủc tÔo th nh tứ mởt số hỳu hÔn cĂc
cung trỡn; nhỳng chờ nối giỳa cĂc cung trỡn, tiáp tuyán cừa chu tuyán cõ th khổng liản tửc.
Ta cõ th xt khĂi niằm trỡn theo php tham số hõa cừa _ữớng cong nhữ sau:
_nh nghắa 2.1. _ữớng cong (C) : ~r = ~r(t) (a ã t ã b) trong mt phng _ữủc gồi l trỡn khi
v(t) = jd~r=dtj liản tửc v v(t) 6= 0 trản [a; b].
2.1.2. Tẵch phƠn phực dồc theo mởt chu tuyán
BƠy giớ, ta xt mởt cung trỡn (C) nối cĂc _im A, B trong mt phng-xy (m bƠy giớ ta xem l
mt phng phực-z) v giÊ sỷ f(z) l h m _ữủc cho trản (C). Chia (C) th nh mởt số hỳu hÔn cĂc
cung nhọ bi cĂc _im chia liản tiáp trản (C) vợi tồa _ở l (X0; Y0), (X1; Y1),. . . (Xn; Yn). Khi _õ,
ta cụng cõ cĂc số phực tữỡng ựng l X0 + iY0, X1 + iY1, . . . , Xn + iYn. Gồi Âz1, Âz2, . . . Âzn lƯn
lữủt l cĂc vector nối (X0; Y0) ! (X1; Y1), (X1; Y1) ! (X2; Y2), . . . v (XnĂ1; YnĂ1) ! (Xn; Yn).
Nhữ vêy, ta cõ
Âzk = (Xk Ă XkĂ1) + i(Yk Ă YkĂ1) = Âxk + iÂyk (k = 1; 2; : : : ; n):
Trản cung thự k cõ cĂc _im mút l (XkĂ1; YkĂ1), (Xk; Yk) (k = 1; : : : ; n) lĐy _im zk = xk +iyk v
lêp tờng:
Xn
k=1

f(zk)Âzk: (2.1)
Náu tờng (2.1) luổn dƯn _án cũng mởt giợi hÔn I (l số phực n o _õ, khổng phử thuởc php chia
(C) v cĂch chồn cĂc _im zk) khi d = max
1ãkãn jÂzkj ! 0 thẳ I _ữủc gồi l tẵch phƠn _ữớng phực cừa
f(z) dồc theo (C) v ta viát:
_(C)
f(z)dz = lim
d!0
Xn
k=1
f(zk)Âzk: (2.2)
15
16 Chữỡng 2. Lỵ thuyát tẵch phƠn trản mt phng phực
Ta cõ th chựng minh _ữủc rơng: náu f(z) liản tửc trản mởt miãn chựa (C) thẳ tẵch phƠn (2.2) tỗn
tÔi. Ngo i ra, ta cõ th _nh nghắa tẵch phƠn trản mởt chu tuyán bơng cĂch Ăp dửng (2.2) trản mội
cung trỡn cừa _ữớng cong rỗi cởng lÔi cĂc tẵch phƠn n y.
Náu f(z) _ữủc cho dữợi dÔng f(z) = u(x; y) + iv(x; y) thẳ ta cõ th viát:
_(C)
f(z)dz = lim
d!0
Xn
k=1
Ê
u(xk; yk) + iv(xk; yk)
Ô
(Âxk + iÂyk)
= lim
d!0
àXn
k=1

u(xk; yk)Âxk Ă
Xn
k=1
v(xk; yk)Âyk + i
Xn
k=1
v(xk; yk)Âxk + i
Xn
k=1
u(xk; yk)Âyk
ả
= _(C)
u(x; y)dx Ă _(C)
v(x; y)dy + i _(C)
v(x; y)dx + i _(C)
u(x; y)dy
Chú ỵ rơng tẵnh liản tửc cừa u v v (hay cừa f(z)) _ừ _Êm bÊo sỹ tỗn tÔi cừa cĂc tẵch phƠn vá
phÊi. Cổng thực trản cõ th nhên _ữủc theo cĂch viát dạ nhợ nhữ sau:
_(C)
f(z)dz = _(C)
(u + iv)(dx + idy) = _(C)
udx Ă vdy + ivdx + iudy:
Náu ta viát tẵch phƠn dồc theo hữợng tứ _im mút A _án _im mút B trản _ữớng cong trỡn tứng
khúc (C) l
_ B
A
f(z)dz;
thẳ ta cõ cĂc tẵnh chĐt sau:
_ B
A

f(z)dz = Ă_ B
A
f(z)dz
_ B
A
đf(z)dz = đ _ B
A
f(z)dz (đ l hơng số)
_ B
A
Ê
f(z) + g(z)
Ô
dz = _ B
A
f(z)dz + _ B
A
g(z)dz
_ B
A
f(z)dz = _ Q
A
f(z)dz + _ B
Q
f(z)dz (Q l _im nơm trản (C)):
Xt php tham số hõa cừa _ữớng cong (C) : x(t)~i +y(t)~j (a ã t ã b). Khi _õ, cĂc _im z(t) trản
(C) cõ th _ữủc viát bi
z(t) = x(t) + iy(t) (t) + i(t)
v _ữủc xem l mởt h m phực mởt bián thỹc, vợi _Ôo h m:
dz

dt
= d
dt
+ i
d
dt
:
Khi _õ tẵch phƠn dồc theo (C) tứ A (t = a) _án B (t = b) _ữủc cho bi mởt tẵch phƠn cừa h m mởt
bián t:
_(C)
f(z)dz = _ b
a
f
Ê
z(t)
Ôdz
dt
dt = _ b
a
f
Ê
z(t)
Ôd
dt
+ i
d
dt

dt:
2.1. Tẵch phƠn trản chu tuyán 17

2.1.3. CĂc chên _ối vợi tẵch phƠn _ BĐt _ng thực _ML_
Trữợc tiản, ta cõ _nh nghắa sau:
_nh nghắa 2.2. Tẵch phƠn _(C) jf(z)jjdzj l _Ôi lữủng _ữủc xĂc _nh bi
_(C) jf(z)jjdzj = lim
d!0
Xn
k=1
jf(zk)jjÂzkj;
vợi d = max
1ãkãn jÂzkj.
_c biằt, trong _nh nghắa trản, khi jf(z)j = 1, ta cõ
_(C) jdzj = lim
d!0
Xn
k=1
jÂzkj = L;
vợi L l _ở d i cừa (C). BƠy giớ giÊ sỷ jf(z)j ã M, vợi mồi z thuởc mởt cung trỡn (C). Khi _õ,

Xn
k=1
f(zk)Âzk

ã
Xn
k=1
jf(zk)jjÂzkj ã
Xn
k=1
MjÂzkj = M
Xn

k=1
jÂzkj: (2.3)
Vêy, khi cho d = max
1ãkãn jÂzkj dƯn _án 0 trong (2.3), ta cõ

_(C)
f(z)dz

ã ML: (2.4)
2.1.4. Cổng thực Green v mởt số _nh lỵ cỡ bÊn vã tẵch phƠn chu tuyán
Trong trữớng hủp cĂc _im mút cừa mởt chu tuyán (C) trũng nhau, ta cõ mởt chu tuyán kẵn.
_nh nghắa 2.3. Chu tuyán kẵn _ỡn giÊn l mởt chu tuyán (C) tÔo th nh hai miãn trản mt phng:
mởt miãn b chên v mởt miãn khổng b chên. Mội miãn _ãu nhên (C) l m biản. Miãn b chên _ữủc
gồi l phƯn trong cừa chu tuyán.
_ối vợi tẵch phƠn _ữủc tẵnh trản mởt chu tuyán kẵn _ỡn giÊn, ta thữớng viát l
_ (C)f(z)dz;
v cõ quy ữợc vã hữợng trản (C) nhữ sau. Hữợng dữỡng trản (C), l hữợng m dồc theo _õ, phƯn
trong cừa chu tuyán s bản trĂi v tẵch phƠn theo hữợng n y thữớng _ữủc viát l
_(C)
f(z)dz:
Hữợng ngữủc lÔi l hữợng Ơm v tẵch phƠn theo hữợng n y _ữủc viát l
_(C)
f(z)dz:
18 Chữỡng 2. Lỵ thuyát tẵch phƠn trản mt phng phực
_nh lỵ 2.1. (Green) Cho P(x; y) v Q(x; y) l cĂc h m liản tửc cũng vợi cĂc _Ôo h m riảng
trong D l hủp cừa phƯn trong cừa mởt chu tuyán kẵn _ỡn giÊn (C) v bÊn thƠn (C). Khi _õ, ta cõ
cổng thực:
_(C)
Pdx + Qdy = _D
à

@Q
@x Ă
@P
@y
ả
dxdy:
_ xt mởt ựng dửng quan trồng cừa _nh lỵ trản, ta giÊ sỷ f(z) = u(x; y) + iv(x; y) l giÊi tẵch
trong D (cừa _nh lỵ trản) v cõ f0(z) liản tửc trong D. Vẳ
f0(z) = @u
@x
+ i
@v
@x
= @v
@y Ă i
@u
@y
nản suy ra cĂc _Ôo h m riảng cừa u v v liản tửc trong D. Vêy, theo _nh lỵ trản, ta cõ
_(C)
f(z)dz = _(C)
udx Ă vdy + i _(C)
vdx + udy
= _D
à
Ă
@v
@x Ă
@u
@y
ả

dxdy + i_D
à
@u
@x Ă
@v
@y
ả
dxdy:
(2.5)
Do u, v thọa phữỡng trẳnh Cauchy-Riemann nản
@u
@x
= @v
@y
;
@u
@y
= Ă
@v
@x
;
v khi kát quÊ n y _ữủc thay v o (2.5), ta cõ
_(C)
f(z)dz = 0: (2.6)
Ta nhĐn mÔnh rơng kát quÊ (2.6) _ữủc suy ra vợi giÊ thiát f(z) giÊi tẵch v f0(z) liản tửc trong D.
Tuy nhiản, _nh lỵ Cauchy-Goursat sau _Ơy chựng minh cụng kát quÊ _õ, những vợi ẵt giÊ thiát
hỡn.
_nh lỵ 2.2. Cho f(z) l h m giÊi tẵch trong D l hủp cừa phƯn trong cừa mởt chu tuyán kẵn _ỡn
giÊn (C) v bÊn thƠn (C). Khi _õ,
_(C)

f(z)dz = 0:
Chú ỵ rơng ta cụng cõ mởt phĂt biu khĂc vã _nh lỵ trản nhữ sau: _Cho f(z) l giÊi tẵch trong mởt
miãn _ỡn liản D. Khi _õ, vợi mồi chu tuyán kẵn _ỡn giÊn (C) trong D, ta cõ _(C) f(z)dz = 0._
Theo _nh lỵ trản, cĂc tẵch phƠn _l (C) sin zdz, _l (C)ezdz, _l (C) cosh zdz _ãu bơng 0, trong _õ,
(C) l mởt chu tuyán kẵn _ỡn giÊn bĐt ký, vẳ cĂc h m dữợi dĐu tẵch phƠn _ãu l cĂc h m nguyản.
Ta hÂy xt kát quÊ sau:
_(C) : jzĂz0j=r
(z Ă z0)ndz =
ẵ
0 n 6= Ă1;
2ẳi n = Ă1:
Thêt vêy, do
z 2 (C) : jz Ă z0j = r , z = z0 + reià (0 ã à ã 2ẳ)
2.1. Tẵch phƠn trản chu tuyán 19
nản
_(C)
(z Ă z0)ndz = _ 2ẳ
0
rneinàireiàdà = irn+1 _ 2ẳ
0
ei(n+1)àdà
=
ẵ
0 n 6= Ă1
2ẳi n = Ă1:
_nh lỵ 2.3. Cho hai chu tuyán kẵn _ỡn giÊn (C1) v (C2) sao cho mồi _im cừa (C2) nơm trong
phƯn trong cừa (C1). Náu f(z) giÊi tẵch khổng ch trản (C1), (C2) m cÊ trong miãn nh liản D cõ
biản l (C1) [ (C2), thẳ
_(C1)
f(z)dz = _(C2)

f(z)dz:
Ta cõ th chựng minh mởt kát quÊ tờng quĂt hỡn _nh lỵ trản v kát quÊ n y _ữủc gồi l nguyản lỵ
bián dÔng chu tuyán, _ữủc cho bi _nh lỵ sau.
_nh lỵ 2.4. CĂc tẵch phƠn _ữớng cừa h m giÊi tẵch f(z) quanh mội mởt chu tuyán kẵn _ỡn giÊn
(C1), (C2) s bơng nhau náu (C1) cõ th _ữủc l m bián dÔng th nh (C2) m trong quĂ trẳnh bián
dÔng, khổng cõ _im n o cừa (C1) _i qua _im ký d cừa f(z).
Ta cụng xt mởt kát quÊ cõ ẵch khĂc, _ữủc gồi l nguyản lỵ khổng phử thuởc _ữớng lĐy tẵch phƠn,
_ữủc cho bi _nh lỵ sau.
_nh lỵ 2.5. Cho f(z) l h m giÊi tẵch trong mởt miãn _ỡn liản D v z1, z2 l hai _im bĐt ký
trong D. Khi _õ, tẵch phƠn _(C) f(z)dz s khổng phử thuởc v o chu tuyán (C) nơm trong D, nối cĂc
_im z1 v z2.
2.1.5. Tẵch phƠn khổng xĂc _nh
Cho F(z) l h m giÊi tẵch trong mởt miãn D, z1, z2 l cĂc _im trong D v (C) l mởt cung trỡn
trong D nối hai _im n y. Xt tẵch phƠn _(C) f(z)dz, vợi dF=dz = f(z) trong D. GiÊ sỷ (C) cõ php
tham số hõa z(t) = x(t) + iy(t) (t1 ã t ã t2), _ữủc _nh hữợng tứ z1 = z(t1) _án z2 = z(t2). Khi _õ
_(C)
f(z)dz = _ t2
t1
f
Ê
z(t)
Ôdz
dt
dt = _ t2
t1
dF
dz
dz
dt
dt

= _ t2
t1
dF
dt
dt = F
Ê
z(t2)
Ô
Ă F
Ê
z(t1)
Ô
= F(z2) Ă F(z1):
Kát quÊ trản chựng tọ rơng tẵch phƠn _(C) f(z)dz khổng phử thuởc v o viằc chồn cung trỡn (C) nối
z1 v z2. Ngo i ra, ta cõ th chựng minh kát quÊ _õ cho trữớng hủp (C) l _ữớng cong trỡn tứng
khúc (chu tuyán). Tõm lÔi, ta cõ _nh lỵ sau.
_nh lỵ 2.6. Cho F(z) l h m giÊi tẵch trong mởt miãn D v dF=dz = f(z) trong D. Khi _õ, vợi
z1, z2 trong D, tẵch phƠn _(C) f(z)dz khổng phử thuởc chu tuyán (C) trong D nối tứ z1 _án z2 v ta
cõ
_(C)
f(z)dz = F(z2) Ă F(z1): (2.7)
Tẵch phƠn vá trĂi trong trữớng hủp n y s kỵ hiằu l _z2
z1
f(z)dz.
20 Chữỡng 2. Lỵ thuyát tẵch phƠn trản mt phng phực
GiÊ sỷ f(w) l giÊi tẵch trong miãn _ỡn liản D trong mt phng-w. Cho a v z l hai _im trong
D. Tứ nguyản lỵ khổng phử thuởc _ữớng lĐy tẵch phƠn, ta cõ th viát F(z) = _z
a f(w)dw v tẵch
phƠn khổng phử thuởc v o chu tuyán (C) trong D nối tứ a _án z. Vợi mội z 2 D, ta _t
g(Âz) =

F(z + Âz) Ă F(z)
Âz Ă f(z)

;
v s chựng minh: lim
Âz!0
g(Âz) = 0, cõ nghắa l dF=dz = f(z).
Thêt vêy, giÊ sỷ F(z) = _z
a f(w)dw lĐy dồc theo chu tuyán (C) v ta cõ th giÊ sỷ F(z +Âz) =
_z+Âz
a f(w)dw trữợc tiản lĐy dồc cụng theo (C) tứ a _án z, rỗi dồc theo _oÔn thng tứ z _án z+Âz.
Khi _õ
F(z + Âz) Ă F(z) = _ z+Âz
z
f(w)dw:
Vêy, g(Âz) _ữủc viát dữợi dÔng
g(Âz) =
1
jÂzj

_ z+Âz
z
f(w)dw Ă f(z)Âz

=
1
jÂzj

_ z+Âz

z
f(w)dw Ă f(z)Âz

=
1
jÂzj

_ z+Âz
z
Ê
f(w) Ă f(z)
Ô
dw

:
Trong bián _ời trản, theo (2.7), ta thay Âz = _z+Âz
z dw. Vẳ f(w) giÊi tẵch nản nõ phÊi liản tửc v
vợi " l số dữỡng bĐt ký cho trữợc, phÊi tỗn tÔi số > 0 sao cho ta cõ
jf(w) Ă f(z)j < ";
_ối vợi mồi w thọa jwĂzj < . Ta cõ th chồn Âz _ừ nhọ _ w = z+Âz cụng thọa jwĂzj = jÂzj < .
Khi _õ, theo bĐt _ng thực _ML_, ta cõ M = ", L = jÂzj v nhữ vêy:
g(Âz) =
1
jÂzj
"jÂzj = ":
Theo cĂc kát quÊ trản, ta cõ lim
Âz!0
g(Âz) = 0. Vêy, ta _Â chựng minh _ữủc _nh lỵ sau.
_nh lỵ 2.7. Náu f(w) l h m giÊi tẵch trong mởt miãn _ỡn liản D thẳ F(z) = _z
a f(w)dw l h m

giÊi tẵch trong D v ta cõ
d
dz _ z
a
f(w)dw = f(z): (2.8)
Náu dF=dz = f(z) thẳ F(z) _ữủc gồi l mởt nguyản h m cừa f(z) v tứ (2.8), _z
a f(w)dw l
mởt nguyản h m cừa f(z). TĐt nhiản, náu dF=dz = f(z) thẳ G(z) = F(z) + C (C l hơng số phực)
cụng cõ _Ôo h m l f(z). Tứ _õ, f(z) cõ vổ số nguyản h m. Kỵ hiằu _ f(z)dz _ữủc dũng _ ch mồi
nguyản h m cừa f(z) v _ữủc gồi l tẵch phƠn khổng xĂc _nh cừa h m giÊi tẵch f(z).
2.2. Cổng thực tẵch phƠn Cauchy v dÔng m rởng cừa nõ
Cho f(z) l h m giÊi tẵch trản mởt chu tuyán kẵn _ỡn giÊn (C) v tÔi mồi _im thuởc phƯn trong
cừa (C). GiÊ sỷ z0 l mởt _im thuởc phƯn trong cừa (C). Xt hẳnh trỏn (C0) : jz Ă z0j = r, r _ừ
2.2. Cổng thực tẵch phƠn Cauchy v dÔng m rởng cừa nõ 21
nhọ _ (C0) nơm ho n to n bản trong (C). Do h m f(z)=(zĂz0) l giÊi tẵch trản (C0), (C) v trong
miãn nh liản cõ biản l (C0) [ (C) nản theo nguyản lỵ bián dÔng chu tuyán, ta cõ
_(C)
f(z)
z Ă z0
dz = _(C0)
f(z)
z Ă z0
dz: (2.9)
Theo kát quÊ _Â xt, ta cõ
2ẳif (z0) = _(C0)
f(z0)
z Ă z0
dz: (2.10)
Tứ (2.9), (2.10) suy ra:
_(C0)

f(z)
z Ă z0
dz Ă 2ẳif (z0) = _(C0)
f(z) Ă f(z0)
z Ă z0
dz: (2.11)
Ta cõ nhên xt rơng, theo nguyản lỵ bián dÔng chu tuyán thẳ tẵch phƠn bản phÊi trản, dũ văn chữa
xĂc _nh _ữủc giĂ tr, phÊi _ởc lêp vợi r (l bĂn kẵnh cừa (C0)). _ nhên _ữủc mởt chên trản cừa
_ở lợn cừa tẵch phƠn vá phÊi, ta dũng bĐt _ng thực ML. é _Ơy L = 2ẳr l chu vi cừa (C0), cỏn
M l số thọa:
f(z) Ă f(z0)
jz Ă z0j ã M;
vợi mồi z thọa jz Ă z0j = r. Do f(z) liản tửc tÔi z0 nản vợi " l số dữỡng bĐt ký cho trữợc, tỗn tÔi
số dữỡng sao cho jf(z) Ă f(z0)j < ", vợi mồi z thọa jz Ă z0j < . Nhữ vêy, náu ta chồn r < thẳ
suy ra jf(z) Ă f(z0)j < " trản (C0). Tứ _õ, trản (C0) ta cõ

f(z) Ă f(z0)
z Ă z0

= jf(z) Ă f(z0)j
r
<
"
r
:
Vêy, ta cõ th chồn M = "=r v theo bĐt _ng thực ML ta nhên _ữủc:

_(C0)
f(z) Ă f(z0)
z Ă z0

ã
"
r
2ẳr = 2ẳ":
Do giĂ tr cừa tẵch phƠn trong dĐu _ở lợn bản trĂi trản thẳ _ởc lêp vợi r (nản ta cõ th chồn _ữủc
r < ) v vẳ nõ cõ _ở lợn cõ th l m cho nhọ tũy ỵ nản nõ phÊi bơng 0. Tứ (2.11), ta cõ
2ẳif (z0) = _(C0)
f(z)
z Ă z0
dz = _(C)
f(z)
z Ă z0
dz:
Tõm lÔi, ta _Â chựng minh _ữủc cổng thực tẵch phƠn Cauchy sau.
_nh lỵ 2.8. Cho f(z) l h m giÊi tẵch trản v trong phƯn trong cừa mởt chu tuyán kẵn _ỡn giÊn
(C). Vợi z0 l _im bĐt ký cừa phƯn trong cừa (C), ta cõ
f(z0) =
1
2ẳi _(C)
f(z)dz
z Ă z0
: (2.12)
Cổng thực tẵch phƠn Cauchy cho ta giĂ tr cừa mởt h m giÊi tẵch tÔi mởt _im z0, khi ta _Â biát
cĂc giĂ tr cừa h m n y trản mởt chu tuyán kẵn _ỡn giÊn bao quanh. Cổng thực cõ th _ữủc m
rởng _ tẵnh cÊ cĂc _Ôo h m cĐp bĐt ký cừa h m số tÔi chẵnh _im z0, miạn l ta biát giĂ tr cừa
h m dồc theo mởt chu tuyán bao quanh.
22 Chữỡng 2. Lỵ thuyát tẵch phƠn trản mt phng phực
Tứ (2.12), xt giợi hÔn:
lim

Âz!0
f(z0 + Âz) Ă f(z0)
Âz
= lim
Âz!0
1
Âz
ã
1
2ẳi _(C)
f(z)dz
z Ă (z0 + Âz) Ă
1
2ẳi _(C)
f(z)dz
z Ă z0
á
= lim
Âz!0
1
2ẳiÂz _(C)
ã
1
z Ă (z0 + Âz) Ă