đề ôn thi thpt nặm 2024 đề ôn thi thpt không có đáp án
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (398.65 KB, 27 trang )
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2023
NGUYÊN HÀM
Chuyên đề
Dạng. Nguyên hàm cơ bản
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)
0dx = C .
kdx = kx + C .
ắắđ ũ
ũ
xn+1
1 (ax + b)n+1
n
n
x
d
x
=
+
C
.
(
ax
+
b
)
d
x
=
+C .
ũ
ũ
n +1
a n +1
ắắđ
1
1
dx = ln x +C .
ũ
x
1
1
dx = - + C .
ò
2
x
x
ò sin xdx = -
ò cosxdx = sin x +C .
1
2
ắắđ
ắắđ
ũ (ax + b)
ắắđ
ũ sin(ax + b)dx = -
ắắđ
ũ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) +C .
ắắđ
ũ sin (ax + b) = -
ắắđ
ũ cos (ax + b) = a tan(ax + b) +C .
1
cosx +C .
dx = ò
sin x
cot x + C .
2
ịe dx = e
x
ịa dx =
dx = -
dx
2
dx
1
x
2
1
1
×
+C .
a ax + b
1
cos(ax + b) +C .
a
1
ò cos x dx = tan x +C .
x
1
ò ax + b dx = a ln ax + b +C .
1
cot(ax + b) + C .
a
1
2
1
dx = eax+b +C .
a
ắắđ
1 aax+b
ax+b
a
d
x
=
+C .
a lna
ắắđ ũ
+C .
ũe
ax+b
ax
+C .
lna
1
×
(
ax
+
b
)
a
x
♦ Nhận xét. Khi thay bằng
thì khi lấy ngun hàm nhân kết quả thêm
Một số nguyên tắc tính cơ bản
PP
g Tớch ca a thc hoc ly tha ắắ
ắ
đ khai trin.
PP
g Tớch cỏc ham m ắắ
ắ
đ khai trin theo cụng thc mũ.
1 1
1 1
sin2 a = - cos2a, cos2 a = + cos2a.
2 2
2 2
g Bậc chẵn của sin và cosin Þ Hạ bậc:
PP
g Chứa tích các căn thức của x ¾¾
¾
® chuyển về lũy thừa.
Câu 1.
(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng
K nếu
A. F '( x ) f ( x ), x K .
B. f '( x ) F ( x ), x K .
C. F '( x) f ( x), x K .
D. f '( x) F ( x ), x K .
2
Câu 2.
x dx
(Mã 101 - 2020 Lần 1)
LỚP TOÁN CÔ MTPU
bằng
Trang 1
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
A. 2x C .
Câu 3.
3
C. x C .
(Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số
4
A. 4x C .
Câu 4.
1 3
x C
B. 3
.
2
3
D. 3x C
f x x3
là
C. x C .
1 4
x C
D. 4
.
5
C. x C
5
D. 5x C
6
C. x C .
6
D. 6x C .
5
C. 5x C .
3
D. 20x C .
1 6
x C
C. 6
.
4
D. 30x C .
4
B. 3x C .
x 4 dx
(Mã 103 - 2020 Lần 1)
bằng
1 5
x C
3
A. 5
B. 4x C
5
Câu 5.
(Mã 104 - 2020 Lần 1)
4
A. 5x C .
x dx
bằng
1 6
x C
B. 6
.
4
Câu 6.
5x dx
(Mã 101- 2020 Lần 2)
1 5
x C
A. 5
.
bằng
5
B. x C .
5
Câu 7.
(Mã 102 - 2020 Lần 2)
6
A. 6x C .
6x dx bằng
6
B. x C .
2
Câu 8.
3 x dx
(Mã 103 - 2020 Lần 2)
3
A. 3x C .
bằng
B. 6x C .
C.
1 3
x C
3
.
3
D. x C .
3
Câu 9.
4 x dx
(Mã 104 - 2020 Lần 2)
bằng
4
A. 4x C .
Câu 10.
1 4
x C
B. 4
.
2
C. 12x C .
(Mã 103 2018) Nguyên hàm của hàm số
1 5 1 3
x x C
4
2
3
A. 5
B. x x C
f x x 4 x2
là
5
3
C. x x C .
f x 2 x 4
Câu 11. (Mã 104 - 2019) Họ tất cả nguyên hàm của hàm số
là
2
2
2
A. x C .
B. 2x C .
C. 2 x 4 x C .
Câu 12.
(Mã 102 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2
A. x C .
Câu 13.
Câu 14.
2
f x 2 x 6
2
B. x 6 x C .
4
D. x C .
3
D. 4 x 2 x C
2
D. x 4 x C .
là
2
D. 2 x 6 x C .
C. 2x C .
f x cos x 6 x
(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số
là
2
2
2
A. sin x 3 x C .
B. sin x 3 x C . C. sin x 6 x C .
D. sin x C .
(Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
LỚP TOÁN CÔ MTPU
f x 2 sin x
Trang 2
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
2 sin xdx 2 cos x C
2 sin xdx sin x C
C.
2 sin xdx 2 cos x C
2 sin xdx sin 2 x C
D.
A.
B.
2
Câu 15.
Câu 16.
Câu 17.
(Mã 101 2018) Nguyên hàm của hàm số
1 4 1 2
x x C
2
2
A. 4
B. 3x 1 C
f x x3 x
là
3
C. x x C
4
2
D. x x C
f x 2 x 3
(Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
là
2
2
2
2
A. x 3x C .
B. 2 x 3x C .
C. x C .
D. 2x C .
f x 2 x 1.
(Đề Minh Họa 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
2
1
f x dx 2 x 1 2 x 1 C.
f x dx 2 x 1 2 x 1 C.
3
3
A.
B.
1
f x dx 3
C.
1
2 x 1 C.
f x dx 2
D.
2 x 1 C.
2
x2 .
Câu 18. (Đề Tham Khảo 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
x3 1
x3 2
f
x
d
x
C
f
x
d
x
C
3 x
3 x
A.
.
B.
.
x3 1
x3 2
f
x
d
x
C
f
x
d
x
C
3 x
3 x
C.
.
D.
.
f x x2
Câu 19.
(Mã 110 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
dx
1
ln 5 x 2 C
A. 5 x 2 5
dx
f x
dx
ln 5 x 2 C
B. 5 x 2
1
dx
5ln 5 x 2 C
D. 5 x 2
ln 5 x 2 C
2
C. 5 x 2
Câu 20.
Câu 21.
Câu 22.
(Mã123 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
f x cos 3 x
sin 3 x
C
3
A.
cos 3xdx 3 sin 3x C
cos 3xdx
B.
C.
cos 3xdx sin 3 x C
cos 3xdx
D.
(Mã 104 2018) Nguyên hàm của hàm số
1 4 1 3
x x C
2
3
A. 4
B. 3x 2 x C
f x x3 x 2
A. e 1 C
x
2
B. e x C
sin 3x
C
3
là
3
2
C. x x C
(Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số
x
Câu 23.
1
5x 2 .
C.
f x e x x
ex
4
3
D. x x C
là
1 2
x C
2
(Mã 101 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ) 2 x 5 là
LỚP TOÁN CÔ MTPU
Trang 3
1 x 1 2
e x C
2
D. x 1
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
2
2
A. x C .
Câu 24.
B. x 5 x C .
x
7
C.
x
7 dx
Câu 28.
Câu 29.
Câu 31.
Câu 32.
7 x 1
C
x 1
7
B.
x
dx 7 x 1 C
7
x
dx 7 x ln 7 C
D.
16
C
B.
1 2
x 7
32
16
C
Câu 34.
Câu 35.
2
1 2
x 7
C. 16
15
7 dx
16
C
?
1 2
x 7
D. 32
16
C
3x
(THPT Ba Đình -2019) Họ nguyên hàm của hàm số f (x) e là hàm số nào sau đây?
1 3x
1 x
e C
e C
x
3x
A. 3e C .
B. 3
.
C. 3
.
D. 3e C .
x sin 2 x dx .
(THPT Cẩm Giàng 2 2019) Tính
x2
cos 2 x C
B. 2
.
cos 2 x
x
C
2
C.
.
2
x 2 cos 2 x
C
2
D. 2
.
2 x 1
(THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Nguyên hàm của hàm số y e
là
1 2 x 1
1 x
e C
e C
2 x 1
2 x 1
A. 2e C .
B. e C .
C. 2
.
D. 2
.
f x
1
2x 3
(THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1
1
1
ln 2 x 3 C
ln 2 x 3 C
lg 2 x 3 C
ln 2 x 3 C
A.
.
B. 2
.
C. ln 2
. D. 2
.
y x 2 3x
(THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
x 3 3x
1
x3
1
2 C, C
3x 2 C , C
x
A. 3 ln 3 x
.
B. 3
.
x 3 3x
ln x C , C
C. 3 ln 3
.
Câu 33.
.
x
x2
sin x C
A. 2
.
Câu 30.
f x 7 x
x x
(THPT An Lão Hải Phịng 2019) Tìm ngun hàm
1 2
x 7
A. 2
2
D. 2x C .
C. 2 x 5 x C .
(Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
7 dx ln 7 C
A.
Câu 27.
2
1
x.
x 3 3x
ln x C , C
D. 3 ln 3
.
f ( x) = sin 3x
(THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
1
1
cos3 x + C
- cos3 x + C
A. - 3cos3x + C .
B. 3cos3x + C .
C. 3
.
D. 3
.
f x 3x 2 sin x
(Chuyên KHTN 2019) Họ nguyên hàm của hàm số
là
3
3
A. x cos x C .
B. 6 x cos x C .
C. x cos x C .
D. 6 x cos x C .
(Chuyên Bắc Ninh -2019) Công thức nào sau đây là sai?
1
1
ln x dx C
dx tan x C
2
x
A.
.
B. cos x
.
LỚP TOÁN CÔ MTPU
Trang 4
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
C.
Câu 36.
sin x dx cos x C .
D.
e
x
x
dx e C
.
y x 2 3x
(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Họ nguyên hàm của hàm số
x3 3x 2
ln x C.
2
A. 3
C.
1
x là
x3 3x 2
ln x C.
2
B. 3
x3 3x 2
ln x C.
3
2
x 3 3x 2 1
2 C.
2
x
D. 3
1
f x sin x
x
Câu 37. (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Họ nguyên hàm của hàm số
là
1
2 cos x C
ln x cos x C
ln x cos x C
A. ln x cos x C .
B. x
.
C.
.
D.
.
Câu 47.
1
F x x3
3 là một nguyên hàm của hàm số nào
(THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Hàm số
sau đây trên
A.
Câu 38.
; ?
f x 3x 2
.
B.
f x x3
.
C.
f x x2
1
f x x4
4 .
D.
.
(THPT - n Định Thanh Hóa 2019) Tìm ngun hàm của hàm số
x3 1
f x dx 3 x C .
A.
C.
f x dx
f x
x4 2
x2 .
x3 2
f x dx 3 x C .
B.
x3 1
C
3 x
.
D.
f x dx
x3 2
C
3 x
.
2018e x
f x e x 2017
x5
Câu 39. (Quảng Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số
.
2018
2018
f x dx 2017e x
C
f x dx 2017e x 4 C
4
x
x
A.
.
B.
.
f x dx 2017e
C.
x
504,5
C
x4
.
f x dx 2017e
D.
x
504,5
C
x4
.
e x
y e x 2
cos 2 x
Câu 67. (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số
là
1
1
2e x
C
2e x
C
x
x
cos x
cos x
A. 2e tan x C
B. 2e tan x C
C.
D.
Câu 40.
(Chuyên Hạ Long 2019) Tìm nguyên
A.
C.
F x
của hàm số
f x x 1 x 2 x 3 ?
F x
x4
11
6 x3 x2 6 x C
4
2
.
B.
F x x 4 6 x 3 11x 2 6 x C
.
F x
x4
11
2 x3 x2 6x C
4
2
.
D.
F x x 3 6 x 2 11x 2 6 x C
.
LỚP TOÁN CÔ MTPU
Trang 5
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
Câu 41.
f ( x)
(Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số
1
\
2
xác định trên
thỏa mãn
2
, f 0 1, f 1 2
f 1 f 3
2x 1
. Giá trị của biểu thức
bằng
2
ln15
3
ln15
ln15
A.
B.
C.
D. 4 ln15
f x
Câu4 2.
F x
(Sở Phú Thọ 2019) Cho
là một nguyên hàm của
F e 1 4
F x
mãn
Tìm
.
2 ln x 1 2
ln x 1 3
A.
B.
Câu 43.
(THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho
biết
F 1 2.
Giá trị của
A. 2 ln 2.
Câu 44.
C.
F 0
F x
f x
1
x 1 trên khoảng 1; thỏa
4 ln x 1
D.
ln x 1 3
là một nguyên hàm của hàm số
f x
1
,
x 2
bằng
B. ln 2.
C.
2 ln 2 .
(KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho
1
2 x 1 ; biết F 0 2 . Tính F 1 .
1
F ( 1) = ln3 - 2
F ( 1) = ln3 + 2
2
A.
. B.
.
D.
F x
ln 2 .
là một nguyên hàm của hàm
f x
Câu 45.
C.
F ( 1) = 2ln3 - 2
(THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho hàm số
f x
1
F ( 1) = ln3 + 2
2
. D.
.
xác định trên
1
x 1 , f 0 2017 , f 2 2018 . Tính S f 3 f 1 .
A. S ln 4035 .
B. S 4 .
C. S ln 2 .
R \ 1
thỏa mãn
f x
Câu 46.
D. S 1 .
3
F 0
x
f
(
x
)
e
2
x
2.
(Mã 105 2017) Cho F x là một nguyên hàm của hàm số
thỏa mãn
Tìm F x .
A.
C.
Câu 47.
F x e x x 2
1
2
F x e x x 2
3
2
B.
D.
F x e x x 2
5
2
F x 2 e x x 2
1
2
(THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Biết
F ln 3
F 0 0
và
. Giá trị của
bằng
A. 2.
B. 6.
LỚP TOÁN CÔ MTPU
F x
C. 8.
Trang 6
là một nguyên hàm của hàm số
D. 4.
f x e 2 x
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2022
Câu 48.
(Sở Bình Phước 2019) Biết
1
F
2 là
1
e 200
A. 2
Câu 49.
F x
là một nguyên hàm của hàm số e
1
e 50
C. 2
B. 2e 100
(Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Hàm số
2x
và
F 0
201
2 Giá trị
1
e 100
D. 2
f x
có đạo hàm liên tục trên và:
f x 2e 2 x 1, x, f 0 2
x
A. y 2e 2 x .
Câu 50.
f x
. Hàm
là
x
B. y 2e 2 .
(Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số
2x
C. y e x 2 .
f x 2 x e x
F 0 2019
thỏa mãn
.
2
x
F x x e 2018
A.
.
2
x
F x x e 2017
C.
.
2x
D. y e x 1 .
. Tìm một nguyên hàm
B.
F x x 2 e x 2018
F x
của hàm số
f x
.
x
D.
F x e 2019
.
F 2
F x
f x sin x cos x
Câu 51. (Mã 104 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số
thoả mãn 2
.
F x cos x sin x 3
F x cos x sin x 1
A.
B.
C.
Câu 52.
Câu 53.
F x cos x sin x 1
(Mã 123 2017) Cho hàm số
đây đúng?
D.
f x
thỏa mãn
F x cos x sin x 3
f ' x 3 5 sin x
và
f 0 10
A.
f x 3x 5 cos x 15
B.
f x 3x 5 cos x 2
C.
f x 3x 5 cos x 5
D.
f x 3x 5 cos x 2
(Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Biết
f x cos 3x
F x
là một nguyên hàm của hàm
2
F
F
và 2 3 . Tính 9 .
3 2
F
6
A. 9
3 2
F
6
B. 9
3 6
F
6
C. 9
3 6
F
6
D. 9
Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
f u x .u ' x dx F u x C ”.
I f x dx
Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm
, trong đó ta có thể phân tích
f x g u x u ' x dx
t u x
thì ta thức hiện phép đổi biến số
“ Nếu
f x dx F x C
LỚP TOÁN CÔ MTPU
. Mệnh đề nào dưới
thì
Trang 7
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
dt u ' x dx
. Khi đó:
I g t dt G t C G u x C
Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay
t u x
1. Đổi biến số với một số hàm thường gặp
b
f (ax b)
b
n
PP
x dx t ax b.
a
b
1
PP
x
b
PP
f (sin x) cos xdx t sin x.
PP
f (cos x) sin xdx t cos x.
a
1
f (tan x )
dx PP
t tan x.
2
cos x
a
b
f (sin x cos x).(sin x cos x)dx t sin x cos x.
a
f (
2
2
2n
PP
f ( a x ) x dx x a sin t.
x
a
a
b
PP
x
f (ln x) x dx t ln x. f (e )e dx t e .
a
b
f ( x) f ( x)dx PP
t n f ( x).
n
a x
PP
f
dx x a cos 2t.
a x
Câu 19.
(Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết
F x e x 2 x 2
F x e x x 2
(Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết
đó
f x
trên . Khi
1 2x
e 2 x 2 C.
C. 2
2x
2
D. e 4 x C.
là một nguyên hàm của hàm số
f x
trên . Khi
2x
2
C. e 8 x C.
1 2x
e 2 x 2 C.
2
D.
là một nguyên hàm của hàm số
f x
trên . Khi
f 2 x dx bằng
1 2x
e 2 x2 C
A. 2
.
2x
x
2
B. e 4 x C .
(Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết
đó
là một nguyên hàm của hàm số
1 2x
e 4 x 2 C.
2
B.
2
A. 2e 4 x C.
Câu 56.
F x e x x 2
f 2 x dx bằng
x
Câu 55.
ax b cx d .
1 2x
e x 2 C.
B. 2
2
A. 2e 2 x C.
đó
dx
(ax b)(cx d ) t
f 2 x dx bằng
x
Câu 54.
(Mã 101 – 2020 Lần 2) Biết
đó
x 2 a 2 ) m x 2 n dx PP
x a tan t.
F x e x 2 x 2
2
C. 2e 2 x C .
1 2x
e x2 C
D. 2
.
là một nguyên hàm của hàm số
f x
trên . Khi
f 2 x dx bằng
2x
2
A. e 8 x C .
x
2
B. 2e 4 x C .
1 2x
e 2 x2 C
2
C.
.
Câu 57. [DS12.C3.1.D09.b] (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội lần V 2019) Biết
f 2 x dx sin
LỚP TOÁN CÔ MTPU
2
x ln x C
. Tìm nguyên hàm
Trang 8
f x dx ?
1 2x
e 4 x2 C
2
D.
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
f x dx sin
A.
2
f x dx 2sin
C.
x
ln x C
2
.
2
x
2ln x C
2
.
Câu 58. [DS12.C3.1.D09.b] Cho
A.
C.
f x dx 2sin
B.
x2
2x C
4
.
f ( x 2) dx
x2
4x C
4
.
Câu 59. [DS12.C3.1.D09.b] Cho
f x dx 2sin
D.
f (4 x) dx x
f ( x 2) dx
2
3x c
f ( x 2) dx x
D.
f x dx 4 x
3
2 x 2 ln x C
2
x 2 ln x C
.
.
. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
B.
10
2
. Tính
7x C
.
x2
4x C
2
.
f ( x 2) dx
2 x C0
2
I xf x 2 dx
.
6
x
x
C
6
2
I
2
x
x
C
10
6
A.
. B.
.
6
2
2
C. I 4 x 2 x C . D. I 12 x 2 .
I
Câu 60.
(Sở Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số
f x x 2 .e x
3
1
.
3
A.
f x dx
x x3 1
.e C
3
.
C.
Câu 61.
B.
1
f x dx 3 e
D.
3
x 1
f x dx e C
.
x
f x dx 3e
3
x 1
C
(THPT Hà Huy Tập - 2018) Nguyên hàm của
3
1
C
.
f x sin 2 x.esin
2
x
là
2
2
sin
A. sin x.e
2
x 1
Câu 62. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số
A.
2
esin x 1
C
2
B. sin x 1
.
C .
esin x 1
C
2
D. sin x 1
.
2
sin x
C .
C. e
f x
1
1
x4
f x dx 3x 4 36 ln x4 3 C
1
x 3x 5
B.
9
1
1
x4
f x dx 12x 4 36 ln x 4 3 C
4
C.
Câu 63.
f x dx
1
1
x
ln 4
C
4
3x 36 x 3
D.
f x dx
(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm hàm số
F 0 1
A.
1
1
x4
ln
C
12x 4 36 x 4 3
F x
x3
F x 4 dx
x 1
biết
và
.
F x ln x 4 1 1
1
3
F x ln x 4 1
4
4.
B.
.
1
F x ln x 4 1 1
4
C.
.
D.
Câu 64
LỚP TOÁN CÔ MTPU
.
Trang 9
F x 4 ln x 4 1 1
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
2017
x 1 dx 1 . x 1
x 1 2019
a x 1
Biết
A. a 2b .
b
C , x 1
B. b 2a .
với a , b ¥ . Mệnh đề nào sau đây đúng?
C. a 2018b .
D. b 2018a .
Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ
1. Cơng thức thường áp dụng
g
1
1
ị ax + b dx = a ln ax + b +C . g
1
ò (ax + b)
2
dx = -
1
1
×
+C .
a ax + b
a
g lna - lnb = ln ×
b
g lna + lnb = ln(ab).
g lnan = n lna. g ln1 = 0.
I =ò
P (x)
dx.
Q(x)
2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ
PP
g Nếu bậc của tử số P (x) ³ bậc của mõu sụ Q(x) ắắ
ắ
đ Chia a thc.
PP
g Nờu bc ca tử số P (x) < bậc của mẫu số Q(x) ¾¾
¾
® phân tích mẫu Q(x) thành tích sớ, rồi sử dụng
phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm sớ 01.
PP
g Nếu mẫu khơng phân tích được thành tích sụ ắắ
ắ
đ thờm bt i biờn hoc lng giỏc hóa bằng
2
2
cách đặt X = a tant, nếu mẫu đưa được về dạng X + a .
Câu 65.
(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
1;
A.
C.
3
x 1
2
B.
C.
x 3ln x 1 C.
x
D.
3
x 1
2
C.
f x
Câu 66.
(Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
2;
A.
C.
3x 2
x 2
3ln x 2
2
C
x 2
3ln x 2
4
C
x 2
B.
D.
3ln x 2
2
C
x 2
3ln x 2
4
C
x 2
.
(Mã đề 101 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
1;
A.
là
2 ln x 1
LỚP TOÁN CÔ MTPU
2
trên khoảng
là
f x
Câu 67.
x2
x 1 trên khoảng
là
x 3ln x 1 C.
x
f ( x)
2
C
x 1
.
B.
Trang 10
2 ln x 1
3
C
x 1
.
2x 1
x 1
2
trên khoảng
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
2
2 ln x 1
C
x 1
C.
.
Câu 68.
D.
2 ln x 1
3
C
x 1
.
(Chun Lê Q Dơn Diện Biên 2019) Tìm một ngun hàm
f x ax
F x
của hàm số
b
x 0 ,
F 1 1, F 1 4, f 1 0
x2
biết rằng
3
3 7
F x x2
2
4x 4 .
A.
3
3 7
F x x2
4
2x 4 .
C.
3
3 7
F x x2
4
2x 4 .
B.
3
3 1
F x x2
2
2x 2 .
D.
2 x 13
x 1 x 2 dx a ln x 1 b ln x 2 C
.
Câu 69. Cho biết
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a 2b 8 .
B. a b 8 .
1
Câu 70. Cho biết
x3
x
C. 2a b 8 .
D. a b 8 .
dx a ln x 1 x 1 b ln x C
A. 0.
. Tính giá trị biểu thức: P 2a b .
1
C. 2 .
D. 1.
B. -1.
4 x 11
Câu 71. Cho biết
A. 12.
x 2 5 x 6dx a ln x 2 b ln x 3 C
Câu 72. Cho hàm số
bằng
3
A. 2 .
2
2
. Tính giá trị biểu thức: P a ab b .
C. 14.
D. 15.
B. 13.
f ( x)
thỏa món
f Â( x ) = ax 2 +
ổử
1ữ
1
b
fỗ
=ữ
ỗ
ữ
Â
3
ỗ
12 . Khi đó 2a + b
x , f ( 1) = 3 , f ( 1) = 2 , è2 ø
B. 0 .
3
D. 2 .
C. 5 .
f ( x)
Câu 73.
(Mã 102 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
1
2
3ln( x 1)
c
3ln( x 1)
c
x 1 . B.
x 1 .
A.
C.
3ln( x 1)
3x 1
( x 1) 2 trên khoảng (1; ) là
2
1
c
3ln( x 1)
c
x 1 . D.
x 1 .
f x
Câu 74.
2 x 1
2
x 2 trên khoảng 2;
(Mã 103 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
là
3
1
2 ln x 2
C
2 ln x 2
C
x2
x2
A.
.
B.
.
1
3
2 ln x 2
C
2 ln x 2
C
x2
x2
C.
.
D.
.
LỚP TOÁN CÔ MTPU
Trang 11
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
Câu 75.
(THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho F ( x ) là một nguyên hàm của hàm số
f x
2x 1
x 2x3 x 2
4
trên khoảng
0;
S F 1 F 2 F 3 F 2019
2 x 3 dx
1
2 . Giá trị của biểu thức
bằng
2019.2021
2020 .
B.
2019
A. 2020 .
Câu 76.
thỏa mãn
F 1
C.
2018
1
2020 .
D.
2019
2020 .
1
x x 1 x 2 x 3 1 g x C
Giả sử
( C là hằng số).
g x 0
Tính tổng các nghiệm của phương trình
.
A. 1 .
B. 1 .
C. 3 .
D. 3 .
1
I 3
dx a b ln x 2c ln 1 x 2 C
x 1 x2
x2
Câu 77. (Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho
. Khi
đó S a b c bằng
3
B. 4 .
1
A. 4 .
Câu 78. Cho hàm số
f x
xác định trên
7
C. 4 .
R \ 1;1
thỏa mãn
D. 2 .
f ' x
1
x 1 . Biết f 3 f 3 4 và
2
1
1
f f 2
f 5 f 0 f 2
3
3
. Giá trị của biểu thức
bằng
1
1
1
5 ln 2
6 ln 2
6 ln 2
2
2
2
A.
.
B.
.
C.E[OA
D.
.
Câu 79. (Quảng Xương - Thanh Hóa - 2018) Cho hàm số
f x
f x
xác định trên
1
1
f 0
f
3
f
3
0
x x 2,
3 . Giá trị của biểu thức f 4 f 1 f 4
và
1 4
ln ln 2 1
S. 3 5
.
B. ln 80 1 .
Câu 80. (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Dồng Tháp - 2018) Cho hàm số
thỏa mãn
A. S 1 .
f x
f 2 f 2 0
6
ln 1
A. 5 .
1 8
ln 1
D. 3 5 .
f x
xác định trên
\ 1
1
x 1 , f 0 2017 ,, f 2 2018 . Tính S f 3 2018 f 1 2017 .
2
2
B. S 1 ln 2 .
C. S 2 ln 2 .
D. S ln 2 .
(Sở Phú Thọ - 2018) Cho hàm số
LỚP TOÁN CÔ MTPU
thỏa mãn
2
bằng
1
1
ln 2
3.
A. 3
Câu 81.
\ 2;1
f x
xác định trên
\ 1;1
thỏa mãn
f x
1
1
f f 2
f 3 f 0 f 4
2
và 2
. Tính
được kết quả
6
4
4
ln 1
ln 1
ln 1
B. 5 .
C. 5 .
D. 5 .
Trang 12
2
x 1,
2
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
Nguyên hàm từng phần
a; b
a; b
Cho hai hàm số u và v liên tục trên
và có đạo hàm liên tục trên
. Khi đó:
udv uv vdu
b
Để tính tích phân
I f x dx
bằng phương pháp từng phần ta làm như sau:
f x dx udv
dv v ' x dx
Bước 1: Chọn u, v sao cho
(chú ý:
).
Tính
v dv
a
và du u '.dx .
Bước 2: Thay vào cơng thức
vdu
và tính .
Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân
vdu
dễ tính hơn
udv . Ta thường gặp các dạng sau
sin x
I P x
dx
cos
x
, trong đó P x là đa thức
Dạng 1 :
sin x
u P x , dv
dx
cos
x
.
Với dạng này, ta đặt
Dạng 2 :
I x e ax b dx
u P x
ax b
P x
Với dạng này, ta đặt dv e dx , trong đó là đa thức
Dạng 3 :
I P x ln mx n dx
u ln mx n
dv P x dx
Với dạng này, ta đặt
.
sin x x
I
e dx
cos x
Dạng 4 :
Với dạng này, ta đặt
Câu 82.
sin x
u
cos x
x
dv e dx
để tính
f x
(Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hàm số
g x x 1 . f x
2
A. 2 x 2
LỚP TOÁN CÔ MTPU
x 2
C
.
.
x
2
x 2 . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
là
2
x 2x 2
vdu ta đặt
sin x
u
cos x
x
dv e dx
B.
x2 2
x2 x 2
C
.
Trang 13
C.
x2 2
x2
C
.
2
D. 2 x 2
C
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
x
f x
Câu 83.
g x x 1 f x
là
2
x 2x 3
2
A. 2 x 3
Câu 84.
x 2 3 . Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số
(Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hàm số
x 3
C
.
2
B. 2 x 3
2x 2 x 3
C
.
(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số
x2 3
C.
f x
x 3
C
.
D.
x2 3
C
.
liên tục trên . Biết cos 2x là một nguyên hàm
f x ex
f x ex
của hàm số , họ tất cả các nguyên hàm của hàm số là:
A. sin 2 x cos 2 x C .
B. 2 sin 2 x cos 2 x C .
C. 2sin 2 x cos 2 x C .
D. 2 sin 2 x cos 2 x C .
Câu 85.
(Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số
2
2
A. 2 x ln x 3x .
Câu 86. Họ các nguyên hàm của hàm số
F x x cos x sin x C.
A.
F x x cos x sin x C.
C.
Câu 87.
2
2
D. 2 x ln x x C .
f x x sin x
là
B.
F x x cos x sin x C.
D.
F x x cos x sin x C.
2x
(Chuyên Phan Bội Châu 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f ( x) x.e là :
1
1
1
F ( x) e 2 x x C
F ( x) e 2 x x 2 C
2
2
2
A.
B.
C.
Câu 88.
là:
2
2
B. 2 x ln x x .
2 x 2 ln x 3x 2 C .
C.
f x 4 x 1 ln x
1
F ( x) 2e 2 x x C
2
D.
F ( x) 2e 2 x x 2 C
(Chuyên Thái Bình - Lần 3 - 2020) Giả sử
số
f x x 2e x
A. 4 .
F x ax 2 bx c e x
.Tính tích P abc .
B. 1 .
là một nguyên hàm của hàm
C. 5 .
D. 3 .
Dạng. Nguyên hàm của hàm ẩn hoặc liên quan đến phương trình f(x),f’(x),f’’(x)
'
Dạng 1. Bài tốn tích phân liên quan đến đẳng thúrc u ( x) f ( x) u ( x) f ( x) h( x)
Phương pháp:
Dễ dàng thấy rằng u ( x) f ( x) u ( x ) f ( x ) [u ( x) f ( x)]
Do dó u ( x) f ( x) u ( x) f ( x) h( x) [u ( x) f ( x)] h( x)
u ( x ) f ( x ) h( x )dx
Suy ra
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x )
Dang 2. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúrc f ( x) f ( x) h( x)
Phương pháp:
LỚP TOÁN CÔ MTPU
Trang 14
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
x
e x f ( x ) e x f ( x ) e x h( x) e x f ( x) e x h( x )
Nhân hai vế vói e ta durọc
e x f ( x) e x h ( x)dx
Suy ra
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x )
Dang 3. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúc f ( x) f ( x) h( x)
Phương pháp:
e x f ( x) e x f ( x) e x h( x) e x f ( x) e x h( x )
Nhân hai vế vói e ta durọc
e x f ( x) e x h( x)dx
Suy ra
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x )
x
Dạng 4. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúrc f ( x ) p ( x) f ( x) h( x )
(Phương trình vi phân tuyên tinh cấp 1)
Phương pháp:
p ( x ) dx
Nhân hai vế với e
ta được
p ( x ) dx
f ( x) e
p ( x ) dx
p ( x ) e
p ( x ) dx
Suy ra
f ( x ) e
p ( x ) dx
f ( x) h( x ) e
p ( x ) dx
e
p ( x ) dx
p ( x ) dx
f ( x) e
h
(
x
)
e
h( x)dx
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x )
Dang 5. Bài tốn tích phân liên quan đến biếu thúc f ( x ) p( x) f ( x) 0
Phương pháp:
f ( x)
f ( x)
p ( x) 0
p ( x)
f
(
x
)
f
(
x
)
f
(
x
)
Chia hai vế với
ta đựơc
f ( x)
dx p( x)dx ln | f ( x) | p( x)dx
Suy ra f ( x)
Từ đây ta dễ dàng tính được f ( x )
n
Dạng 6. Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức f ( x) p( x) [ f ( x)] 0
Phương pháp:
f ( x)
f ( x)
p
(
x
)
0
p( x)
n
n
n
[
f
(
x
)]
[
f
(
x
)]
[
f
(
x
)]
Chia hai vế với
ta được
f ( x)
[ f ( x )] n 1
d
x
p
(
x
)d
x
p ( x )dx
n
n 1
Suy ra [ f ( x)]
Từ dầy ta dễ dàng tính được f ( x )
Câu 89.
(Mã 103 2018) Cho hàm số
. Giá trị của
391
A. 400
Câu 90.
f 1
f x
thỏa mãn
f 2
1
2
3
25 và f x 4 x f x với mọi x
bằng
B.
1
40
C.
41
400
D.
(Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hàm số
liên tục trên thỏa mãn
nào sau đây?
LỚP TOÁN CÔ MTPU
f x
2
f x .e x , x
Trang 15
và
y f x
f 0 2
1
10
đồng biến và có đạo hàm
. Khi đó
f 2
thuộc khoảng
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
A.
Câu 91.
12;13 .
B.
9;10 .
A.
. Giá trị của
1
B. 2 .
2
3.
f 1 2 ln 2
C. 1 .
D.
y f x
x. x 1 . f x f x x x
liên tục trên
. Biết
3
C. 4 .
B. 9 .
(Hải Hậu - Nam Định - 2020) Cho hàm số
0;
liên tục trên khoảng
trị của biểu thức
2020
A. 2021 .
4
19
và
3
4.
\ 1;0
thỏa mãn
f 2 a b.ln 3 a b
( ,
).
2 a2 b2
Giá trị
là
27
A. 4 .
f x
f 2
thỏa mãn
2
và
13;14 .
bằng
(Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số
điều kiện:
Câu 93.
f 1
D.
y f x
(Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hàm số
f x x 3 f 2 x x
Câu 92.
11;12 .
C.
thỏa mãn
f 1 f 2 ... f 2020
B.
y f x
f x 2 x 1 f 2 x , x 0
C.
y f x
f x 0, x 0
thỏa mãn
và
và có đạo hàm
f 1
1
2 . Giá
bằng
2015
2019 .
Câu 94. (Bắc Ninh 2019) Cho hàm số
9
D. 2 .
2019
2020 .
liên tục trên
D.
\ 1;0
2016
2021 .
thỏa mãn
f 1 2 ln 2 1
,
x x 1 f x x 2 f x x x 1 x \ 1;0
f 2 a b ln 3
,
. Biết
, với a , b là hai
2
số hữu tỉ. Tính T a b .
3
21
T
T
16 .
16 .
A.
B.
Câu 95.
(Chuyên Thái Nguyên 2019) Cho hàm số
f x x 1. f x
A.
96.
C.
T
f x 2
3
2.
f x 0
D. T 0 .
với mọi x ,
với mọi x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
2 f x 4
f x 6
B.
C.
(Sở Bắc Ninh 2019) Cho hàm số
f x
D.
f 0 1
4 f x 6
f 0 2 2,
liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện:
f x . f x 2 x 1 1 f 2 x , x
f x 0, x
f 1
và
. Khi đó giá trị
bằng
A.
26 .
LỚP TOÁN CÔ MTPU
B.
và
C. 15 .
24 .
Trang 16
D.
23 .
TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2022
Dạng. Sử dụng tính chất, bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân
1.Định nghĩa: Cho hàm số
y f x
f x
là một nguyên hàm của
F x
liên tục trên K ; a, b là hai phần tử bất kì thuộc K ,
F b F a
f x
trên K . Hiệu số
gọi là tích phân của của từ a
b
f x dx F x
b
a
F b F a
đến b và được kí hiệu:
2. Các tính chất của tích phân:
.
a
a
b
f x dx 0
a
a
b
f x dx f x dx
b
b
b
f x g x dx f x dx g x dx
a
b
a
c
a
b
f x dx f x dx f x dx
a
a
c
Nếu f x g x x a; b thì
a
b
b
a
a
b
b
k. f x dx k.f x dx f x dx g x dx .
a
a
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp
1
1
x
x .dx 1 C
1 ax b
ax b dx a . 1 C
1
1
ax b dx a .ln ax b C
1
1 1
ax b 2 dx a . ax b C
1
x dx ln x C
1
x
2
dx
1
C
x
1
sin x.dx cos x C
sin ax b .dx a .cos ax b C
cosx.dx sin x C
cos ax b .dx a .sin ax b C
1
sin
2
x
x
2
1
sin ax b .dx a .cot ax b C
.dx tan x C
cos ax b .dx a .tan ax b C
x
e .dx e
x
2
1
1
.dx .e ax b C
a
dx
1
x a
x 2 a 2 2a ln x a C
C
e
ax
a .dx ln a C
Nhận xét. Khi thay x bằng
Câu 98.
ax b
ax b
1
thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm a .
(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Nếu
A. 3 .
B. 1 .
2
3
3
f x dx 2
f x dx 1
f x dx
và
C. 1 .
1
(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Nếu
LỚP TOÁN CÔ MTPU
1
2
x
Câu 97.
1
.dx cot x C
1
cos
1
2
1
f x dx 4
2 f x dx
Trang 17
thì
1
D. 3 .
1
0
thì
0
bằng
bằng
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
A. 16 .
Câu 99.
B. 4 .
(Mã 101 - 2020 Lần 1) Biết
A. 5 .
3
3
f x dx 3
2 f x dx
1
. Giá trị của
B. 9 .
Câu 100. (Mã 101 - 2020 Lần 1) Biết
D. 8 .
C. 2 .
1
bằng
3
D. 2 .
C. 6 .
F x x 2
f x
là một nguyên hàm của hàm số
trên . Giá trị của
2
2 f x dx
1
bằng
A. 5 .
13
C. 3 .
B. 3 .
5
5
f x dx 4
Câu 101. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Biết 1
4
A. 7 .
B. 3 .
Câu 102. (Mã 102 - 2020 Lần 1) Biết
7
D. 3 .
3 f x dx
. Giá trị của
1
bằng
C. 64 .
F x x3
D. 12 .
f x
là một nguyên hàm của hàm số
trên . Giá trị của
2
2 f ( x) dx
1
bằng
23
A. 4 .
B. 7 .
C. 9 .
3
3
3
f x dx 3
g x dx 1
f x g x dx
Câu 103. (Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết
A. 4 .
B. 2 .
2
và
2
. Khi đó
2
2
f x dx 2
và
1
bằng
D. 3 .
C. 2 .
2
Câu 105. (Mã 103 - 2019) Biết
A. 8 .
15
D. 4 .
2
g x dx 6
1
B. 4 .
, khi đó
f x g x dx
1
bằng
D. 8 .
C. 4 .
Câu 106. (THPT Ba Đình 2019) Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng với mọi hàm f , g liên
tục trên K và a , b là các số bất kỳ thuộc K ?
b
f ( x)dx
f ( x)
a
dx b
g ( x)
a
g ( x)dx
b
b
A.
b
f ( x) 2 g ( x) dx f ( x)dx +2 g ( x)dx
a
b
C.
b
a
b
a
a
B.
a
LỚP TOÁN CÔ MTPU
.
2
b
f ( x)dx = f ( x)dx
a
.
D. a
2
.
2
Câu 107. (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho
a
b
b
f ( x).g ( x) dx f ( x)dx . g ( x)dx
a
.
4
f x dx 1 f t dt 4
,
2
Trang 18
2
4
. Tính
f y dy
2
.
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
A. I 5 .
Câu 108.
B. I 3 .
C. I 3 .
D. I 5 .
2
2
2
0
0
0
C. 24 .
D. 10 .
f x dx 3
g x dx 7
f x 3g x dx
(THPT Cù Huy Cận -2019) Cho
và
, khi đó
bằng
A. 16 .
B. 18 .
Câu 109. (THPT - YÊN Định Thanh Hóa2019) Cho
A. 1.
B. 4.
1
3
f ( x)
f ( x)
0
dx 1 ;
0
3
dx 5 . Tính
C. 6.
f ( x)
1
dx
D. 5.
2
Câu 110. Cho hàm số
bằng
A. 1.
f x
liên tục, có đạo hàm trên
f ' x dx
1; 2 , f 1 8; f 2 1 . Tích phân 1
B. 7.
C. 9.
D. 9.
3
1;3
Câu 111. Cho f , g là hai hàm số liên tục trên thỏa mãn điều kiện
3
3
2 f x g x dx=6
f x g x dx
1
A. 9 .
. Tính 1
B. 6 .
f x 3g x dx=10
1
đồng thời
.
C. 7 .
D. 8 .
1;3
Câu 112. (THPT Đơng Sơn Thanh Hóa 2019) Cho f , g là hai hàm liên tục trên thỏa:
3
3
f x 3g x dx 10
2 f x g x dx 6
3
và 1
B. 7.
1
A. 8.
Câu 113. (Mã 104 2017) Cho
A. I 7
1
C. 9.
2
D. 6.
. Tính
I 5
2
B.
I f x 2sin x dx 5
0
.
C. I 3
D. I 5
2
2
4 f x 2 x dx 1
Câu 114. (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định -2019) Cho 1
. Khi đó
A. 1 .
B. 3 .
C. 3 .
D. 1 .
1
1
f x dx 1
2 f x 3x dx
Câu 115. Cho 0
A. 1 .
f x dx
1
2
tích phân
0
B. 0 .
bằng
C. 3 .
D. 1 .
0
Câu 116. (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tính tích phân
A. I 0 .
LỚP TOÁN CÔ MTPU
.
2
f x dx 5
0
. Tính
I f x g x dx
B. I 1 .
I 2 x 1 dx
C. I 2 .
Trang 19
1
.
D.
I
1
2.
bằng:
TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022
4
Câu 117. (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Giả sử
a b là
A.
1
6
B.
I sin 3 xdx a b
0
1
6
C.
2
2
a, b . Khi đó giá trị của
3
10
1
D. 5
f x
Câu 118. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số
liên tục trên và
2
2
2
f x 3x dx 10
0
. Tính
A. 2 .
f x dx
0
.
C. 18 .
B. 2 .
D. 18 .
F x
Câu 119. (Mã 110 2017) Cho
1
I
2
A.
là một nguyên hàm của hàm số
1
I
e
B.
C. I 1
f x
ln x
x . Tính: I F e F 1 ?
D. I e
Dạng 1. Tích phân cơ bản có điều kiện
1.Định nghĩa: Cho hàm số
y f x
f x
là một nguyên hàm của
F x
liên tục trên K ; a, b là hai phần tử bất kì thuộc K ,
F b F a
f x
trên K . Hiệu số
gọi là tích phân của của từ a
b
f x dx F x
b
a
F b F a
đến b và được kí hiệu:
2. Các tính chất của tích phân:
.
a
a
b
f x dx 0
a
a
b
f x dx f x dx
b
b
b
f x g x dx f x dx g x dx
a
b
a
c
a
b
f x dx f x dx f x dx
a
a
c
Nếu f x g x x a; b thì
a
b
b
a
a
b
b
k. f x dx k.f x dx f x dx g x dx .
a
a
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp
1
x
x .dx 1 C
1
x dx ln x C
1
x
2
dx
1
C
x
sin x.dx cos x C
LỚP TOÁN CÔ MTPU
1
1 ax b
ax b dx a . 1 C
1
1
ax b dx a .ln ax b C
1
1 1
ax b 2 dx a . ax b C
1
sin ax b .dx a .cos ax b C
Trang 20
