Lý Thuyết Toán Giữa Kì 1.Docx

PHẦN 1: ĐẠI SỐ
Lý thuyết Hàm số lượng giác
1. Hàm số sin và hàm số cosin
a) Hàm số sin
- Định nghĩa:
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x đối với số thực sin x
sin: R → R
x → y = sin x
được gọi là hàm số sin, kí hiệu là: y = sinx.
- Tập xác định của hàm số sin là R.
- Là hàm số lẻ.
b) Hàm số côsin
- Định nghĩa:
Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x đối với số thực cos x
cos: R → R
x → y = cos x
được gọi là hàm số cosin, kí hiệu là: y = cos x.
- Tập xác định của hàm số cosin là R.
- Là hàm số chẵn.
2. Hàm số tang và hàm số cotang
a) Hàm số tang


- Định nghĩa: Hàm số tang là hàm số được xác định bới cơng thức:

(cos x ≠ 0)
- Kí hiệu là: y = tan x
- Tập xác định của hàm số y = tan x là D = R\{π/2 + kπ, k π/2 + kπ, k ∈ Z}.
- Là hàm số lẻ.
b) Hàm số cotang
- Định nghĩa:

Hàm số cotang là hàm số được xác định bới công thức:
(sin x ≠ 0)
- Kí hiệu là y = cot x
- Tập xác định của hàm số y = cot x là D = R\{π/2 + kπ, k kπ, k ∈ Z}.
- Là hàm số lẻ.
3. Tính tuần hồn của hàm lượng giác
- Các hàm số y = sin x và y = cos x là những hàm số tuần hoàn với chu kì
2π.
- Các hàm số y = tan x và y = cot x là những hàm số tuần hoàn với chu kì
π.
4. Sự biến thiên và đồ thị của hàm số lượng giác
a) Hàm số y = sin x
- Sự biến thiên và đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [0; π]:


Hàm số y = sin x đồng biến trên [0; π/2] và nghịch biến trên [π/2; π]

- Lưu ý: Vì y = sin x là hàm số lẻ nên lấy đối xứng đồ thị hàm số trên đoạn
[0; π] qua gốc tọa độ O, ta được đồ thị hàm số trên đoạn [–π; 0]π; 0]

- Đồ thị hàm số y = sin x trên R: Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số trên đoạn
[–π; 0]π; π] theo các vecto v→ = (2π; 0) và –π; 0]v→ = (–π; 0]2π; 0)
- Tập giá trị của hàm số y = sin x là [–π; 0]1; 1]

b) Hàm số y = cos x


- Bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y = sin x theo vectơ u→ = (-π/2; 0), ta
được đồ thị của hàm số y = cos x.

- Hàm số y = cos x đồng biến trên [–π; 0]π; 0] và nghịch biến trên [0; π]
- Tập giá trị của hàm số y = cos x là [–π; 0]1; 1]
c) Hàm số y = tan x
- Hàm số y = tan x đồng biến trên [0; π/2 )
- Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là gốc tọa độ O
=> Lấy đối xứng qua tâm O đồ thị hàm số y = tan x trên [0; π/2 ), ta được
đồ thị hàm số y = tan x trên (–π; 0]π/2; 0]


- Tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng (–π; 0]π/2 ; π/2) songsong với trục hồnh
từng đoạn có độ dài π, ta được đồ thị hàm số y = tan x trên D.
Tập giá trị của hàm số y = tan x là khoảng (–π; 0]∞; +∞)

d) Hàm số y = cot x
- Hàm số y = cot x nghịch biến trên khoảng (0; π)


- Tịnh tiến đồ thị hàm số trên khoảng (0; π) song song với trục hồnh từng
đoạn có độ dài π, ta được đồ thị hàm số y = cot x trên D.
- Tập giá trị của hàm số y = cot x là khoảng (–π; 0]∞; +∞)

‘
Lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình
sin x = a (1)
- Trường hợp |a| > 1: Phương trình (1) vơ nghiệm
- Trường hợp |a| ≤ 1: Phương trình (1) có các nghiệm là

+ Nếu số thực α thoả mãn điều kiện

- Lưu ý:
+ Phương trình sin x = sin α, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:
x = α + k2π

k ∈ Z và x = π –π; 0] α + k2π

k∈Z

Tổng quát: sin f(x) = sin g(x)

+ sin x = sin β°

+ Các trường hợp đặc biệt:
a = 1: Phương trình sin x = 1 có các nghiệm là: x = π/2 + k2π

k ∈ Z.

a = –π; 0]1: Phương trình sin x = –π; 0]1 có các nghiệm là: x = -π/2 + k2π
Z.
a = 0: Phương trình sin x = 0 có các nghiệm là: x = x = kπ
2. Phương trình
cos x = a (2)
- Trường hợp |a| > 1: Phương trình (2) vơ nghiệm
- Trường hợp |a| ≤ 1: Phương trình (2) có các nghiệm là
x = ±α + k2π, k α + k2π, k ∈ Z.

k ∈ Z.

k∈


+ Nếu số thực α thoả mãn điều kiện:

- Lưu ý:
+ Phương trình cos x = cosα, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:
x = ±α + k2π, k α + k2π, k ∈ Z.
Tổng quát: cos f(x) = cos g(x) ⇔ f(x) = x = ±α + k2π, k g(x) + k2π, k ∈ Z.
+ cos x = cos β° ⇔ x = ±α + k2π, k β° + 360°, k ∈ Z.
+ Các trường hợp đặc biệt:
a = 1: Phương trình cos x = 1 có các nghiệm là: x = k2π, k ∈ Z
a = –π; 0]1: Phương trình cos x = –π; 0]1 có các nghiệm là: x = π + k2π, k ∈ Z
a = 0: Phương trình cos x = 0 có các nghiệm là: x = π/2 + kπ, k ∈ Z.
3. Phương trình
tan x = a (3)
- Điều kiện của phương trình là x ≠ π/2 + kπ, k ∈ Z.
- Nghiệm của phương trình tan x = a là:
x = arctan α + kπ, k ∈ Z.
- Lưu ý:
+ Phương trình tan x = tan α, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:
x = α + kπ, k ∈ Z.
Tổng quát: tan f(x) = tan g(x) ⇒ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z.


+ tan x = tan β° ⇔ x = β° + k180°, k ∈ Z.
4. Phương trình
cot x = a (4)
- Điều kiện của phương trình là x ≠ kπ, k ∈ Z.
- Nghiệm của phương trình cot x = a là:

x = arccot α + kπ, k ∈ Z.
- Lưu ý:
+ Phương trình cot x = cot α, với α là một số cho trước, có các nghiệm là:
x = α + kπ, k ∈ Z.
Tổng quát: cot f(x) = cot g(x) ⇒ f(x) = g(x) + kπ, k ∈ Z.
+ Phương trình cot x = cot β° có các nghiệm là x = β° + k180° , k ∈ Z.

Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp
1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác:
- Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là
phương trình có dạng: at + b = 0, trong đó a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t
là một trong các hàm số lượng giác.
- Ví dụ: 2sin x + 1 = 0 là phương trình bậc nhất đối với sin x,…
2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
- Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là
phương trình có dạng: at 2 + bt + c = 0, trong đó a, b, c là các hằng số (a ≠
0) và t là một trong các hàm số lượng giác.
- Ví dụ: 3tan2 x 2tan x 1 = 0 là phương trình bậc hai đối với tan x


3. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x
- Công thức biến đổi biểu thức asin x + bcos x :
asin x + bcos x =

(1)

với
- Xét phương trình: asin x + bcos x = c

(a2 + b2 ≠ 0)

(2)

với a, b, c ∈ R; a, b không đồng thời bằng 0 (a2 + b2 ≠ 0).
+ Nếu a = 0, b ≠ 0 hoặc a ≠ 0, b = 0, phương trình (2) có thể đưa ngay về
phương trình lượng giác cơ bản.
+ Nếu a ≠ 0, b ≠ 0, ta áp dụng công thức (1)

II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Phương trình bậc nhất với một hàm số lượng giác:
- Cách giải:
+ Bước 1: Chuyển vế
+ Bước 2: Chia hai vế của phương trình đã cho cho a
+ Bước 3: Giải phương trình lượng cơ bản.
- Ví dụ: Giải phương trình: 2sin x –π; 0] √3 = 0
Ta có: 2sin x –π; 0] √3 = 0 ⇔ 2sin x = √3


2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
- Cách giải:
+ Bước 1: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn
phụ (nếu có)
+ Bước 2: Giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ này
+ Bước 3: Ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.
- Ví dụ: Giải phương trình:
3cos2x –π; 0] 2cos x –π; 0] 1 = 0
Đặt cos x = t với điều kiện –π; 0]1 ≤ t ≤ 1 (*)
Khi đó phương trình đã cho có dạng: 3t 2 –π; 0] 2t –π; 0] 1 = 0 (**)
Giải phương trình (**) ta được hai nghiệm t 1 = 1 và t2 = -1/3 thoả mãn điều
kiện (*)
Vậy ta có:

TH1: cos x = 1 ⇔ x = k2π

(k ∈ Z).

TH2: cos x = -1/3 ⇔ x = ±α + k2π, k arccos (-1/3) + k2π

(k ∈ Z)

Lý thuyết Quy tắc đếm
1. Quy tắc cộng
- Quy tắc: Một cơng việc được hồn thành bởi một trong hai hành động.
Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực
hiện khơng trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì cơng việc
đó có m+n cách thực hiện.
- Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.


2. Quy tắc nhân
- Quy tắc: Một công việc được hồn thành bởi hai hành động liên tiếp.
Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó
có n cách thực hiện hành động thứ hai thì có m.n cách hồn thành cơng
việc.
- Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động.

Lý thuyết Hốn vị - Chỉnh hợp - Tở hợp
1. Hốn vị
a) Định nghĩa:
- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là
một hoán vị của n phần tử.

- Lưu ý: Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp.
b) Số các hốn vị:
- Kí hiệu Pn là số các hoán vị của n phần tử.
- Định lý:
Pn = n(n –π; 0] 1)…2.1 = n!
2. Chỉnh hợp
a) Định nghĩa:
- Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1).
Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và
sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k
của n phần tử đã cho.
b) Số các chỉnh hợp:


- Kí hiệu: Ank là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n).
- Định lý:

- Lưu ý: Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n
của n phần tử đó. Vì vậy, ta có: Pn = Ann
3. Tở hợp
a) Định nghĩa:
- Giả sử A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập hợp gồm k phần tử của A được
gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. (1 ≤ k ≤ n).
- Quy ước: Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.
b) Số các tổ hợp:
- Kí hiệu Cnk là số các tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n).
- Định lý:

c) Tính chất của các số Cnk
- Tính chất 1:

Cnk = Cnn - k (0 ≤ k ≤ n)
- Tính chất 2:


PHẦN 2: HÌNH HỌC
Lý thuyết Phép biến hình, Phép tịnh tiến
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho vectơ v→. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành
điểm M’ sao cho MM'→ = v→ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v→
Phép tịnh tiến theo vectơ v→ thường được lí hiệu là Tv→, v→ được gọi là
vectơ tịnh tiến.

Như vậy
Tv→(M) = M’ ⇔ MM'→ = v→
Phép tịnh tiến theo vectơ –π; 0] khơng chính là phép đồng nhất.
2. Tính chất
Tính chất 1. Nếu Tv→(M) = M’, Tv→(N) = N’ thì M'N'→ = MN→ và từ đó
suy ra M’N = MN.

Tính chất 2. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song
song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến
tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường trịn thành đường trịn cùng
bán kính.


3. Biểu thức toạ độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v→ = (a; b). Với mỗi điểm M(x; y)
ta có M’(x’, y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo v→. Khi đó

Biểu thức trên được gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tv

Lý thuyết Phép quay
1. Định nghĩa

Cho điểm O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến điểm O thành chính
nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc
lượng giác (OM; ON’) bằng α được gọi là phép quay tâm O góc α.
- Điểm O được gọi là tâm quay, α được gọi là góc quay của phép quay đó.


- Phép quay tâm O góc α thường được kí hiệu là Q (O, α)
Nhận xét
- Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác
nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ.

- Với k là số ngun ta ln có:
+ Phép quay Q(O, 2kπ) là phép đồng nhất.
+ Phép quay Q(O, (2k + 1)π) là phép đối xứng tâm O
2. Tính chất
Tính chất 1
Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.
Tính chất 2
Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến
đường trịn thành đường trịn cùng bán kính.


Lý thuyết Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau
1. Định nghĩa
Phép dời hình là phép biến hình bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm

bất kì.
Nhận xét
Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép
quay đều là những phép dời hình.
Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình
là một phép dời hình.
2. Tính chất
Phép dời hình:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự
giữa các điểm;
Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn
thẳng thành đọan thẳng bằng nó;
Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó;
Biến đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính.


3. Khái niệm hai hình bằng nhau
Định nghĩa
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình
này thành hình kia.

Lý thuyết Phép vị tự
1. Định nghĩa
Cho điểm O và số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’
sao cho OM'→ = kOM→ được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.
Phép vị tự tâm O tỉ số k thường được kí hiệu là V (O;k).

Nhận xét
Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.
Khi k = 1, phép vị tự là đồng nhất.

Khi k = –π; 0]1, phép vị tự là phép đối xứng tâm.
M’ = V(O; k)(M) ⇔ M = V(O; 1/k)(M’)
2. Tính chất
Tính chất 1


Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M’, N’
thì M'N'→ = kMN→ và M’N’ = |k|.MN.
Tính chất 2
Phép vị tự tỉ số k:
Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự
giữa các điểm ấy;
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến
tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;
Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng
nó;
Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính |k| R.

Lý thuyết Phép đồng dạng
1. Định nghĩa
Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai
điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta ln có M’N’ =
k.MN.


Nhận xét
Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|.
2. Tính chất
Phép đồng dạng tỉ số k:

Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự
giữa các điểm ấy;
Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn
thẳng thành đọan thẳng;
Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng
nó;
Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính kR.
3. Hình đồng dạng
Định nghĩa
Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng
biến hình này thành hình kia.

Lý thuyết Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
1. Mở đầu về hình học không gian