Nghiên cứu một số thuật toán chọn K láng giếng gần trong 2D và áp dụng cho phương pháp RBF FD giải phương trình Poisson

1









TRẦN XN TIỆP






NGHIÊN CỨU MỘT SỐ THUẬT TỐN
CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN TRONG 2D
VÀ ÁP DỤNG CHO PHƯƠNG PHÁP RBF-FD
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON







LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

THÁI NGUN - 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> 2






TRẦN XN TIỆP




NGHIÊN CỨU MỘT SỐ THUẬT TỐN
CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN TRONG 2D
VÀ ÁP DỤNG CHO PHƯƠNG PHÁP RBF-FD
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON




CHUN NGÀNH: KHOA HỌC MÁY TÍNH
MÃ SỐ: 60.48.01




LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Đặng Thị Oanh




THÁI NGUN - 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CƠNG NGHỆ THƠNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> i

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu riêng của tơi. Các số liệu, kết
quả nêu trong luận văn là trung thực và mới mẻ.
Tơi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã
được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
















Học viên thực hiện luận văn

Trần Xn Tiệp
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> ii
LỜI CẢM ƠN
Để hồn thành bản luận văn này, bên cạnh sự nỗ lực cố gắng của bản thân

còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của q Thầy Cơ, cũng như sự động viên ủng hộ
của gia đình và bạn bè trong suốt thời gian học tập nghiên cứu và thực hiện luận
văn thạc sĩ.
Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến cơ giáo TS. Đặng Thị Oanh, người đã
hết lòng giúp đỡ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tơi hồn thành luận văn này. Xin
gửi lời tri ân nhất của tơi đối với những điều mà cơ đã dành cho tơi.
Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến tồn thể q Thầy Cơ trong trường Đại
học Cơng nghệ thơng tin & Truyền thơng cũng như q Thầy Cơ đã tận tình truyền
đạt những kiến thức q báu và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tơi trong suốt q
trình học tập, nghiên cứu và cho đến khi thực hiện luận văn.
Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, những người đã khơng ngừng
động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tơi trong suốt thời gian học tập
và thực hiện luận văn.
Cuối cùng, tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến các anh chị và các bạn
bè đồng nghiệp đã hỗ trợ cho tơi trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và thực
hiện luận văn một cách hồn chỉnh.

Thái Ngun, tháng 3 năm 2014
Học viên thực hiện
Trần Xn Tiệp



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> iii

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT
Từ Ý nghĩa
RBF Radial Basic Function
FD Finite Different
LLF Lee Liu Fan

MQ Multiquadric
IMQ Inverse Multiquadric
Gauss Gaussian
BST Binary Search Tree
W33 Wendlend's C
6
RMS Root Mean Square

MỘT SỐ HÀM DÙNG TRONG LUẬN VĂN
Tên hàm Viết tắt Định nghĩa
Multiquadric MQ
2
()1
mq
rr
f
=+
Inverse Multiquadric IMQ
2
()11
imq
rr
f
=+
Gausian Gauss
2
()
r
g
re

f
-
=
Wendlend's C
6
W33
832
33
(1).(322581)rrrr
f
+
=-+++


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> iv
DANH MỤC HÌNH VẼ
Trang
Hình 1.1
Lưới sai phân
16
Hình 2.1
Cây tìm kiếm nhị phân
21
Hình 2.2
Phân hoạch Kdtree
23
Hình 2.3
Bốn cung phần tư, sử dụng 2 điểm trên mỗi cung phần tư
24
Hình 2.4

Tập các tâm rời rạc và tâm
z
(TT cung phần tư)
25
Hình 2.5
m điểm gần
z
nhất (TT cung phần tư)
26
Hình 2.6
Các điểm trên mỗi cung phần tư của hình tròn tâm
z

(TT cung phần tư)
26
Hình 2.7
Chọn 2 điểm trên mỗi cung phần tư gần
z
nhất
(TT cung phần tư)
27
Hình 2.8
Tập các tâm rời rạc và tâm
z
(TT Lee Liu Fan)
29
Hình 2.9
Bốn điểm gần
z
nhất (TT Lee Liu Fan)

30
Hình 2.10
Bán kính D của hình tròn tâm
z
(TT Lee Liu Fan)
30
Hình 2.11
Bộ tâm tìm được (TT Lee Liu Fan)
31
Hình 2.12
Tập các tâm rời rạc (TT Oleg&Oanh)
35
Hình 2.13
Số điểm gần tâm
z
nhất (TT Oleg&Oanh)
36
Hình 2.14
Số tâm cần tìm (TT Oleg&Oanh)
36
Hình 3.1
Giao diện của chương trình chính
43
Hình 3.2
Số tâm ban đầu và sau cùng (Bài tốn 1)
44
Hình 3.3
Đồ thị sai số của ba thuật tốn (Bài tốn 1)
44
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> v

Hình 3.4
Số tâm ban đầu và sau cùng (Bài tốn 2)
45
Hình 3.5
Đồ thị sai số của ba thuật tốn (Bài tốn 2)
46
Hình 3.6
Số tâm ban đầu và sau cùng (Bài tốn 3)
47
Hình 3.7
Đồ thị sai số của ba thuật tốn (Bài tốn 3)
48
Hình 3.8
Số tâm ban đầu và sau cùng (Bài tốn 4)
49
Hình 3.9
Đồ thị sai số của ba thuật tốn (Bài tốn 4)
50
Hình 3.10
Số tâm ban đầu và sau cùng (Bài tốn 5) 51
Hình 3.11
Đồ thị sai số của ba thuật tốn (Bài tốn 5)
52


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> vi

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii
DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT iii
DANH MỤC HÌNH VẼ iv
LỜI MỞ ĐẦU 1
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 3
1.1. Điều kiện vật lý dẫn đến phương trình Poisson 3
1.2. Hệ phương trình đại số tuyến tính 4
1.3. Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính 5
1.3.1. Chuẩn của véc tơ, chuẩn của ma trận 5
1.3.2. Phương pháp Gauss 6
1.4. Một số định nghĩa và khái niệm cơ bản của nội suy hàm RBF 8
1.5. Nội suy hàm RBF 10
1.5.1. Nội suy dữ liệu phân tán trong khơng gian
d
R
10
1.5.2. Nội suy với hàm cơ sở theo bán kính 11
1.5.3. Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dương có điều kiện 13
1.6. Phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Different - FD) 15
1.6.1. Bài tốn truyền nhiệt dừng trong miền chữ nhật 15
1.6.2. Lưới sai phân 15
1.6.3. Hàm lưới 16
Chương 2. MỘT SỐ THUẬT TỐN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN TRONG 2D 19
2.1. Một số kiến thức cơ sở về cây tìm kiếm nhị phân 19
2.2. Thuật tốn cung phần tư 23
2.2.1. Ý tưởng 23
2.2.2. Nội dung 23
2.2.3. Thuật tốn 24
2.2.4. Ví dụ 25
2.2.4. Ưu, nhược điểm 27

2.3. Thuật tốn Lee Liu Fan (LLF) 27
2.3.1. Ý tưởng 28
2.3.2. Nội dung 28
2.3.3. Thuật tốn 28
2.3.4. Ví dụ 29
2.2.5. Ưu, nhược điểm 31
2.3. Thuật tốn Oleg&Oanh – 2011 31
2.3.1. Ý tưởng 31
2.3.2. Nội dung 32
2.3.3. Thuật tốn 33
2.3.4. Ví dụ 35
2.3.5. Ưu, nhược điểm 37
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> vii
Chương 3. ÁP DỤNG THUẬT TỐN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN CHO PHƯƠNG PHÁP
RBF-FD TRONG KHƠNG GIAN 2D 38
3.1. Rời rạc hóa phương trình Poisson 38
3.2. Phương pháp RBF-FD (Radial Basis Function Finite Different) 39
3.2.1. Véc tơ trọng số dựa vào hàm nội suy theo cơ sở bán kính 39
3.2.2. Xây dựng ma trận hệ số (ma trận cứng) 41
3.2.3. Lược đồ phương pháp RBF-FD 42
3.3. Thử nghiệm số 43
3.3.1. Thử nghiệm trên miền hình chữ nhật 43
3.3.2. Thử nghiệm trên một số miền có hình học phức tạp 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO 54
NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN 56



Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> 1
LỜI MỞ ĐẦU

Nhiều hiện tượng khoa học và kỹ thuật dẫn đến các bài tốn biên của phương
trình vật lý tốn. Giải các bài tốn đó đến đáp số bằng số là một u cầu quan
trọng của thực tiễn. Trong một số ít trường hợp thật đơn giản, việc đó có thể làm
được nhờ vào nghiệm tường minh của bài tốn dưới dạng các cơng thức sơ cấp,
các tích phân hoặc các chuỗi hàm. Còn trong đại đa số trường hợp khác, đặc biệt
là đối với các bài tốn có hệ số biến thiên, các bài tốn phi tuyến, các bài tốn trên
miền bất kỳ thì nghiệm tường minh của bài tốn khơng có, hoặc có nhưng rất
phức tạp. Trong những trường hợp đó việc tính nghiệm phải dựa vào các phương
pháp giải gần đúng.
Trong suốt thế kỷ XX một loạt các phương pháp số đã hình thành và phát triển
như các phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn v.v… đã
đem lại những đóng góp to lớn trong việc ứng dụng các phương pháp tốn học vào
thực tiễn. Các phương pháp vừa nêu nói chung đều là các phương pháp lưới. Tuy
nhiên, các phương pháp này còn nhiều hạn chế khi áp dụng vào lớp các bài tốn
thực tế có cấu trúc phức tạp.
Vào khoảng những năm cuối của thế kỷ trước đã hình thành một xu hướng
mới của các phương pháp số: Phương pháp khơng lưới. Cũng như các phương pháp
lưới, lược đồ giải các bài tốn biên bằng phương pháp khơng lưới cũng cần thiết tạo
ra các tập hợp nút, mà ở đây gọi là các bộ tâm để tính tốn. Từ bộ tâm này ta xấp xỉ
các tốn tử vi phân bằng tổ hợp các giá trị của hàm tại các nút. Phương pháp tìm
các vectơ trọng số dựa trên các hàm cơ sở bán kính (RBF – Radial Basis Function)
gọi là phương pháp nội suy dữ liệu phân tán với các hàm cơ sở bán kính RBF – FD
(Radial Basis Function – Finite Different). Khi áp dụng phương pháp này, khó
khăn gặp phải là chọn bộ tâm cho nội suy hàm RBF để tìm véc tơ trọng số. Nhận
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> 2
thức được vấn đề trên và sự định hướng của TS. Đặng Thị Oanh, tơi đã mạnh dạn
chọn đề tài: “Nghiên cứu một số thuật tốn chọn k-láng giềng gần trong 2D và
áp dụng cho phương pháp RBF-FD giải phương trình Poisson”.
Mục đích của đề tài là tìm hiểu một số thuật tốn chọn tâm phổ biến hiện nay

và cài đặt thử nghiệm để so sánh hiệu quả của mỗi thuật tốn. Đồng thời tìm
ngun nhân gây ra sai số của mỗi thuật tốn, trên cơ sở đó phân loại lớp bộ tâm
phù hợp cho mỗi thuật tốn.
Nội dung luận văn bao gồm 3 chương:
Chương 1: Một số kiến thức cơ sở
Chương này trình bày một số kiến thức về hình học phẳng; Điều kiện
vật lý dẫn đến phương trình Poisson; Hệ phương trình đại số tuyến tính;
Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính; Một số định
nghĩa và khái niệm cơ bản của nội suy hàm RBF; Nội suy hàm RBF;
Phương pháp sai phân hữu hạn.
Chương 2: Một số thuật tốn chọn K-láng giềng gần trong 2D
Chương này sẽ tập trung nghiên cứu ba thuật tốn tìm K-Láng giềng
gần trong 2D là: thuật tốn bốn cung phần tư, thuật tốn Lee Liu Fan,
thuật tốn Oleg&Oanh-2011, phương pháp khơng lưới có sự hỗ trợ của
thuật tốn tìm K-Láng giềng gần.
Chương 3: Áp dụng thuật tốn chọn K-láng giềng gần cho phương
pháp RBF-FD trong khơng gian 2D
Chương này dành cho phần thử nghiệm nhằm so sánh hiệu quả của các
thuật tốn tìm K-Láng giềng gần khi áp dụng để hỗ trợ phương pháp khơng
lưới giải phương trình Poisson.

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> 3
Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1. Điều kiện vật lý dẫn đến phương trình Poisson
Xét một bản mỏng vật chất
W
, có đường biên là một đường cong khép kín
G

,
đặt trong mặt phẳng Oxy.
Khi đó ta có phương trình truyền nhiệt trong mơi trường phẳng đồng chất

22
22
uu
k
txy
ỉư
¶¶¶
=+
ç÷
¶¶¶
èø
,
(,), 0,xytỴW>

onskct=
(1.1)
Hay trường hợp tổng qt hơn:
12
(,,,)(,,,)(,,,)
uuu
kxytukxytufxytu
txxyy
éù
¶¶¶¶¶
éù
=++

êú
êú
¶¶¶¶¶
ëû
ëû
,
(,),0xytỴW>
(1.2)
Hay khi
1
k ,
2
k ,
f
khơng phụ thuộc vào
u
thì có phương trình tuyến tính

12
(,,)(,,)(,,)(,,)
uuu
kxytkxytqxytufxyt
txxyy
éù
¶¶¶¶¶
éù
=+-+
êú
êú
¶¶¶¶¶

ëû
ëû
;
(,),0
x
ytỴW>
(1.3)

Các phương trình (1.1), (1.2), (1.3) gọi là các phương trình truyền nhiệt hai
chiều.
Nếu đến một lúc nào đó phân bố nhiệt trên bản mỏng vật chất đã ổn định,
khơng thay đổi theo thời gian nữa thì ta nói hiện tượng truyền nhiệt đã dừng.
Từ lúc đó nhiệt độ khơng thay đổi theo thời gian nên
0
u
t
¶
=
¶
và ta có phương
trình truyền nhiệt dừng như sau:

22
22
0
uu
xy
¶¶
+=
¶¶

,
(,)xW
(1.4)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> 4
Hay

12
(,,)(,,)(,,)
uu
kxyukxyufxyu
xxyy
éù
¶¶¶¶
éù
+=
êú
êú
¶¶¶¶
ëû
ëû
,
(,)xW
(1.5)

12
(,)(,)(,)(,)
uu
kxykxyqxyufxy
xxyy
éù

¶¶¶¶
éù
+-=
êú
êú
¶¶¶¶
ëû
ëû
,
(,)xW
(1.6)
Khi vế phải (1.4) khác 0 ta có phương trình

22
22
(,)
uu
f
xy
xy
¶¶
+=
¶¶
,
(,)xW
(1.7)
Người ta gọi chúng là phương trình Poisson hai chiều.
Đối với phương trình Poisson hai chiều (1.7) điều kiện phụ cho tại biên
G
của

miền
W
.
Điều kiện phụ

(,)(,)uxygxy=
,
(,)xG
(1.8)
G ọ i là điều kiện biên loại một hay điều kiện biên Dirichlet.
Bài tốn tìm hàm số
(,)uuxy=
thỏa mãn phương trình (1.7) với điều kiện biên
(1.8) gọi là bài tốn biên loại một hay bài tốn biên Dirichlet đối với phương trình
Poisson (1.7)
Ý nghĩa vật lý của bài tốn này là mơ tả sự phân bố nhiệt đã ổn định trong mặt
phẳng
W
khi phân bố nhiệt độ tại biên
G
của
W
ổn định là (,)
g
xy. [14]
1.2. Hệ phương trình đại số tuyến tính
Xét một hệ phương trình gồm n phương trình tuyến tính với n ẩn số
12
,, ,
n

xxx
được cho bởi


11112211
21122222
1122




nn
nn
nnnnnn
axaxaxb
axaxaxb
axaxaxb
+++=
ì
ï
+++=
ï
í
ï
ï
+++=
ỵ
(1.9)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> 5
Hệ này có thể viết dưới dạng ma trận

A
xb
=
, trong đó

111
12


n
nnnn
aa
A
aaa
éù
êú
=
êú
êú
ëû
,
12
(,, )
T
n
x
xxx=
,
12
(,, ,)

T
n
bbbb=

Nếu
det0A ¹
thì hệ (1.9) có nghiệm duy nhất và nghiệm của nó có thể tính
theo cơng thức Cramer:

det
det
j
j
A
x
A
=
(1.10)
trong đó
j
A
là ma trận nhận được từ ma trận A bằng cách thay cột thứ j bởi
cột b.
Cơng thức (1.10) thường chỉ dành cho hệ với ma trận hệ số cỡ nhỏ, còn với
ma trận cỡ lớn thì chi phí cho tính tốn q lớn. Do đó, người ta đã đi xây dựng các
phương pháp nhanh để giải hệ phương trình đại số tuyến tính cỡ lớn là khai thác
triệt để các thơng tin về ma trận của hệ.
1.3. Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính
1.3.1. Chuẩn của véc tơ, chuẩn của ma trận
a) Chuẩn của véc tơ

12
(,, ,)
n
Xxxx=

- Chuẩn dòng
(
)
1,
ax
i
in
X
mx
¥
=
=

- Chuẩn cột
1
1
n
i
i
Xx
=
=
å

- Chuẩn Ơclit

1/2
2
2
1
n
i
i
Xx
=
ỉư
=
ç÷
èø
å


Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> 6
b) Chuẩn của ma trận
11121
21222
12




n
n
nnnn
aaa

aaa
A
aaa
éù
êú
êú
=
êú
êú
ëû

- Chuẩn dòng
ij
1
1
ax
n
in
j
A
ma
¥
££
=
ỉư
=
ç÷
èø
å

- Chuẩn cột
ij
1
1
1
ax
n
jn
i
A
ma
££
=
ỉư
=
ç÷
èø
å

- Chuẩn Ơclit
1/2
2
ij
2
11
nn
ij
Aa
==
ỉư

=
ç÷
èø
åå
[14]
1.3.2. Phương pháp Gauss
Đây là phương pháp trực tiếp giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Ý tưởng
của phương pháp khử Gauss là khử dần các ẩn để đưa hệ ban đầu về hệ với ma trận
tam giác trên bằng các phép biến đổi tương đương:
1) Đổi chỗ hai phương trình bất kì.
2) Nhân một phương trình với một số khác khơng.
3) Cộng vào phương trình một tổ hợp tuyến tính của một phương trình khác.
Như vậy phương pháp Gauss gồm hai q trình:
Q trình thuận: Đưa hệ về dạng tam giác trên.
Q trình ngược: Giải hệ tam giác trên từ dưới lên trên.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> 7
a) Q trình thuận: Để viết gọn ta xét hệ

11112211,1
21122222,1
1122,1




nnn
nnn
nnnnnnn
axaxaxa
axaxaxa

axaxaxa
+
+
+
+++=
ì
ï
+++=
ï
í
ï
ï
+++=
ỵ
(1.11)
Và đặt
(0)
, (1,2, ,; 1, ,1)
ijij
aainjn===+

Bước 1: Dùng phương trình đầu tiên để khử
1
x
trong n - 1 phương trình còn lại. Giả
sử
11
0a ¹ (ta ln có được điều này bằng cách đổi chỗ hai phương trình). Chia hai
vế của phương trình thứ nhất cho
11

a ta được phương trình:

112211,1

nnn
x
bxbxb
+
+++=
(1.12)
Với
(0)
1
1
(0)
11
,2, ,1.
j
j
a
bjn
a
==+

Cộng vào phương trình thứ i của hệ (1.11) phương trình (1.12) sau khi đã nhân
với
(0)
1
,2, ,
i

ain-= ta được hệ

(1)(1)(1)(1)
22223322,1
(1)(1)(1)(1)
32233233,1
(1)(1)(1)(1)
2222,1




nnn
nnn
nnnnnnn
axaxaxa
axaxaxa
axaxaxa
+
+
+
ì
+++=
ï
+++=
ï
í
ï
ï
+++=

ỵ
(1.13)
Với
(1)(0)(1)
ijiji11
,2, ,;2, ,1
j
aaabinjn=-==+
Như vậy sau bước 1 ta thu được phương trình (1.12) và hệ (1.13).
Bước 2: Dùng phương trình đầu tiên trong (1.13) khử x
2
trong các phương trình
còn lại tương tự như đã làm trong bước 1. Q trình được tiếp tục như vậy. Kết quả
sau bước thứ m ta thu được hệ

()()()
1,111,1,1
()()()
,11,,1
,11,,1



mmm
mmmmnnmn
mmm
nmmmnnnn
mmmmmnnmn
axaxa
axaxa

xbxbxb
++++++
+++
+++
++=
++=
+++=

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> 8

với

(-1)(-1)
()(-1)(-1)
/, 1, ,1
-, 1, ,; 1, ,1
mm
mjmjmm
mmm
ijijimmj
baajmn
aaabimnjmn
==++
==+=++

Cuối cùng, sau n bước khử ta thu được hệ phương trình với ma trận tam giác
trên sau đây:

112211,1

nnn
x
bxbxb
+
+++=

222,1

nnn
xbxb
+
++=
(1.14)




,1nnn
xb
+
=
Các hệ số được tính theo cơng thức
(1)(1)
/,1, ,;1, ,1
mm
mjmjmm
baamnjmn

===++

()(1)(1)
ijijim
;1, ,;1, ,1
mmm
mj
aaabimnjmn

=-=+=++ (1.15)
Các phần tử
(1)m
mm
a
-

1, ,mn=
a là các phần tử trụ hay các phần tử chủ đạo.
b) Q trình ngược: Giải hệ (1.14) từ dưới lên trên

,1nnn
xb
+
=


,1
1
,1, ,1
n
kknkjj
jk

xbbxkn
+
=+
=-=-
å
(1.16)
[14]
1.4. Một số định nghĩa và khái niệm cơ bản của nội suy hàm RBF
* Định nghĩa 1.1 (K - Láng giềng gần)
Cho tập các tâm rời rạc
z
X
với
z
là tâm, tất cả các điểm thuộc
z
X
nằm
xung quanh tâm
z
được gọi là K-láng giềng của
z

* Định nghĩa 1.2 (Tập các tâm rời rạc
z
X
)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> 9
Tập các tâm rời rạc
z

X
là tất cả các tâm, bao gồm cả các tâm nằm trong miền
và các tâm nằm trên biên. [12]
* Định nghĩa 1.3 (Véc tơ trọng số(stencil))
Cho D là tốn tử vi phân tuyến tính và
{
}
12
, ,
n
Xxxx= là bộ tâm phân tán đã
được chọn trong khơng gian
d
R
. Một xấp xỉ vi phân tuyến tính đối với tốn tử D.

() ()( )
1
w
n
ii
i
Duxxux
=
»
å
(1.17)
được xác định bởi các trọng số
(
)

ww
ii
x=
. Khi đó
[ ]
12
ww,w ,w
n
T
=
được gọi là
véc tơ trọng số hay còn được gọi là stencil đối với tốn tử vi phân D. [12]
* Định nghĩa 1.4 (Giá của véc tơ trọng số
V
º )
Giá của véc tơ trọng số
V
º là tập hợp các tâm bao gồm
V
và các tâm nằm
trong lân cận địa phương của nó.
Trong các phương pháp dựa trên lưới thì tập này bao gồm
V
và các đỉnh của
các tam giác mà được liên thơng với
V
bởi một cạnh. Còn đối với phương pháp
khơng lưới, cần một thuật tốn lựa chọn các tâm này mà chúng tơi gọi là thuật tốn
lựa chọn giá của véc tơ trọng số. [12]
* Định nghĩa 1.5 (Hàm bán kính (Radial function))

Một hàm
:
d
RR
F®
được gọi là hàm bán kính nếu ở đó tồn tại một hàm
[
)
:0,
R
f
+¥® sao cho
2
()(),
d
x
xxR
f
F="Ỵ

Trong đó
2
x
là chuẩn Euclide. [8]
* Định nghĩa 1.6 (Hàm xác định dương)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> 10
Một hàm liên tục
:
d
RR

F®
được gọi là xác định dương nếu với mọi bộ tâm
phân biệt từng đơi một
{
}
12
,,
d
n
x
xxR
z
X=Ì
,
nNỴ
và mọi vectơ
n
cRỴ thì dạng
tồn phương:

11
()0
nn
jkjk
jk
CCxx
==
-³
åå
(1.18)

Biểu thức (1.18) là đẳng thức khi và chỉ khi c là véc tơ khơng. [8]
* Định nghĩa 1.7. Hàm một biến
[
)
:0,
R
f
+¥®
được gọi là xác định dương trên
d
R

nếu hàm nhiều biến tương ứng
(
)
2
():,
d
xxxR
f
F=Ỵ
là xác định dương. [8]
1.5. Nội suy hàm RBF
1.5.1. Nội suy dữ liệu phân tán trong khơng gian
d
R

Cho
(,), 1,2, ,), ,
d

iiii
x
yinxRyR=ỴỴ
với
i
x
là các vị trí đo,
i
y là các kết
quả đo đạc. Giả sử rằng dữ liệu phân tán, nghĩa là các vị trí dữ liệu khơng nằm
trên lưới đều.
Cho
12
,, ,
n
BBB
là các hàm cơ sở của khơng gian tuyến tính
1
, 1,2, ,
n
ki
k
F
cBin
=
==
å

Bài tốn nội suy: Tìm
PfFỴ

sao cho

(), 1,2, ,
ii
P
fxyin==
(1.19)
Vì
PfFỴ
nên

1
(),
n
d
kk
k
P
fxcBxR
=
=Ỵ
å
(1.20)
Từ (1.19) - (1.20) ta có

A
cy=
(1.21)
Trong đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> 11

111
1
() ()

() ()
n
nnn
B
xBx
A
B
xBx
éù
êú
=
êú
êú
ëû
(1.22)
[
]
[
]
11
, ,, , ,
TT
nn
cccyyy==

Bài tốn (1.21) - (1.22) có thể giải được nếu
det0A ¹
. Vì vậy câu hỏi đặt ra ở
đây là chọn cơ sở
12
{,, ,B}
n
BB
như thế nào để sao cho
det0A ¹
. Trong trường hợp
nội suy đa thức thì các cơ sở
21
12
{,, ,B}{1,,, ,}
n
n
B
Bxxx
-
=
[8]
* Định nghĩa 1.8. Cho
()FCÌW
là khơng gian tuyến tính hữu hạn chiều có cơ
sở là
12
{,, ,B}
n
BB . Khi đó

F
là khơng gian Haar trên
dd
R
WÌ
nếu
det0A ¹
với
mọi tập phân biệt
12
{,, ,}
n
x
xx
trong
W
, trong đó ma trận A đã được định
nghĩa bởi (1.22). [8]
Định lý 1.2 (Mairhuber Curtis). Giả sử rằng
d
R
WÌ
, chứa một điểm trong.
Khi đó khơng tồn tại khơng gian Haar của các hàm liên tục trên
W
, trừ khi
đối với khơng gian một chiều. [8]
Định lý Maihuber Curtis cho thấy rằng nếu muốn giải được bài tốn nội suy
dữ liệu phân tán nhiều biến thì cơ sở cần phụ thuộc vào các vị trí dữ liệu. Để thu
được các khơng gian xấp xỉ phụ thuộc dữ liệu, chúng ta cần xét các hàm xác định

dương và các ma trận dương.
1.5.2. Nội suy với hàm cơ sở theo bán kính
Cho bộ
,1,2, ,
k
knF=
sao cho

2
()(-)(-,
d
kkk
x
xxfxxxRF=F=Ỵ
(1.23)
Nội suy hàm cơ sở theo bán kính có nghĩa cần tìm
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> 12
( )
11
()()
nn
kkkk
kk
P
fxcxcxx
f
==
=F=-
åå

* Lưu ý:
1) Hàm cơ sở phải gắn liền với đối tượng nghiên cứu vì vây để giải
phương trình đạo hàm riêng thì các hàm cơ sở theo bán kính phải là các hàm
khả vi liên tục và thâm chí là khả vi liên tục vơ hạn lần.
2) Để bài tốn nội suy có nghiệm duy nhất, ta cần phải chọn hàm
F
phù
hợp sao cho det
0A ¹
.
Bảng 1.1. Một số hàm nội suy theo bán kính dùng trong luận văn
Tên hàm Viết tắt Định nghĩa
Multiquadric MQ
2
()1
mq
rr
f
=+
Inverse Multiquadric IMQ
2
()11
imq
rr
f
=+
Gausian Gauss
2
()
r

g
re
f
-
=
Wendlend's C
6
W33
832
33
(1).(322581)rrrr
f
+
=-+++

Trong đó
2
k
rxx=-

Nếu
()
k
x
F
là hàm xác định dương thì theo điều kiện nội suy ta có

(), 1,2, ,
ii
P

fxyin==
(1.24)
Nghĩa là
( )
1
-, 1,2, ,
n
kiki
k
cxxyin
f
=
==
å

Suy ra

A
cy=
(1.25)
Trong đó
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> 13

121
212
12
(0)() ()
()(0) ()

()() (0)

n
n
nn
x
xxx
x
xxx
A
xxxx
FF-F-
éù
êú
F-FF-
êú
=
êú
êú
F-F-F
ëû
(1.26)
Theo định nghĩa hàm xác định dương thì
det0A ¹
. [8]
1.5.3. Nội suy với độ chính xác đa thức và hàm xác định dương có điều kiện
Cho bộ
,1,2, ,
k
knF=
sao cho
( )

2
()(),
d
kkk
x
xxxxxR
f
F=F-=-"Ỵ

Nội suy hàm cơ sở theo bán kính với độ chính xác đa thức có nghĩa là cần tìm
( )
11
()-(),
nM
d
kkll
kl
PfxcxxdpxxR
f
==
=+Ỵ
åå

Trong đó
1
11
(1)!
dim
(1)!!
ddm

mm
dm
MC
md
+-

+-
=P==
-

và
12
,, ,
M
ppp
là cơ sở của khơng gian các đa thức nhỏ hơn hoặc bằng
1m -
của
d
biến.
Vì điều kiện nội suy nên
(),1,2, ,
ii
P
fxyin==
. Điều này dẫn đến hệ
n
phương
trình với
nM+

ẩn
k
c
và
d
l
. Vì vậy để hệ có nghiệm duy nhất, ta phải thêm vào
1
()0, 1,2, ,
n
kk
k
cpxM
=
==
å
l
l

Do đó ta có điều kiện nội suy suy rộng

( )
11
(), ,
nM
d
kikii
k
cxxdpxyxR
f

==
-+=Ỵ
åå
ll
l


1
()0, 1,2, ,
n
kk
k
cpxM
=
==
å
l
l
(1.27)
Ký hiệu
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> 14

121
212
12
(0)() ()
()(0) ()

()() (0)
n

n
nn
x
xxx
x
xxx
A
xxxx
FF-F-
éù
êú
F-FF-
êú
=
êú
êú
F-F-F
ëû
(1.28)
[ ]
112,
, ,,, ,
T
T
nn
cccyyyy
éù
==
ëû

(), (), 1,2, ,, 1,2, ,
iii
ppppxMin====
lll
l

Suy ra

00
T
Apcy
pd
éùéùéù
=
êúêúêú
ëûëûëû
(1.29)
[8]
* Định nghĩa 1.9 (Hàm xác định dương có điều kiện). Hàm chẵn, liên tục
:
d
RR
F®
được gọi là xác định dương có điều kiện bậc
l
nếu với mọi hộ
tâm phân hiệt từng đơi một
{
}
12

,, ,,
d
n
x
xxRnNỴỴ
, mọi véc tơ
n
cRỴ
và mọi
đa thức
p
giá trị thực bậc nhỏ hơn
l
, thỏa mãn

1
()0
n
jj
j
cx
=
=
å
(1.30)
thì dạng tồn phương

11
()0
nn

jkjk
jk
ccxx
==
F->
åå
(1.31)
(1.31) là đẳng thức khi và chỉ khi c là véc tơ khơng. [8]
Nhận xét:
1) Nếu một hàm là xác định dương có điều kiện bậc
l
trong khơng gian
d
R
thì
hơn nữa nó sẽ là xác định dương có điều kiện với mọi bậc lớn hơn
l
. Cụ thể là nếu
một hàm là xác định dương (
0=l
) thì sẽ là xác định dương với mọi bậc
NỴl
.
2) Ma trận A với các phần tử
,
()
jkjk
Axx=F-
tương ứng với hàm chẵn,
liên tục và xác định dương có điều kiện bậc

l
, có thể được sáng tỏ như là
hàm xác định dương trên khơng gian véc tơ c sao cho
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> 15
1
()0
n
jj
j
cpx
=
=
å
,
trong đó
p
là đa thức bậc nhỏ hơn
l
.
Thật vậy, với cách này, ma trận A là xác định dương trên khơng gian
véc tơ trực giao c đối với đa thức bậc nhỏ hơn hằng
1-l
.
1.6. Phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Different - FD)
1.6.1. Bài tốn truyền nhiệt dừng trong miền chữ nhật
Cho các số a, b, c, d với a < b, c < d. Xét trong mặt phẳng toạ độ vng góc
với Oxy một miền chữ nhật Ω có cạnh song song với các trục toạ dộ Ox và Oy.

{(,);}
x

yaxbcydW=<<<<

Đường biên của Ω kí hiệu là
G
, đó là các đoạn thẳng:
{(,)}, {(,)}aycydbycyd££££

{(,)}, {(,)}
x
aaxbxdayb££££

Xét bài tốn (1.7)-(1.8)
1.6.2. Lưới sai phân
Ta chia Ω thành những ơ nhỏ (hình 1.1)
Chọn trước 2 số ngun N >1 và M > 1 và đặt
ba
h
N
-
=
gọi là bước đi theo x
và
dc
k
M
-
=
gọi là bước đi theo y.
Đặt:

,
ii
xaihycik=+=+
(1.32)
Mỗi điểm
(,)
ii
xy
là một nút lưới và còn kí hiệu là (i, j). Các nút nằm trong
miền Ω được gọi là nút trong, tập tất cả các nút trong kí hiệu là Ω
hk
. Nút ở trên
G

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu /> 16
được gọi là các nút biên và tập tất cả các nút này kí hiệu là
G
hk
. Tập
hk
hkhk
W=WÈG
gọi là một lưới sai phân trên
W
.

Hình 1.1. Lưới sai phân
1.6.3. Hàm lưới
Kí hiệu
()

m
C W
là tập các hàm số 2 biến x, y có các đạo hàm riêng đến cấp m
liên tục trong
W=WÈG

Giả sử bài tốn (1.7) – (1.8) có nghiệm
4
()uCỴW
khi đó:

4
1
4
,
ax(,)ons.
xy
u
M
xyCct
x
ỴW
¶
£=
¶

4
2
4
,

ax(,)ons.
xy
u
M
xyCct
x
ỴW
¶
£=
¶

do đó cơng thức Taylor:

2
()1
()()
()()()() ()(())
1!2!!
m
mm
xxx
FxxFxFxFxFxOx
m
+
DDD
¢¢¢
+D=+++++D

từ đó ta có:
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu />