DE THI CD NM 2006 doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (156.76 KB, 13 trang )
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÀM SỐ MŨ,LOGARIT,LƯNG GIÁC. PT,HPT,BPT…
Hàm số mũ và logarit
I.Tóm Tắt Về Luỹ Thừa Và Hàm Số Mũ.
1.Các phép toán về luỹ thừa với số mũ thực.
2.Hàm số mũ.
a.Đònh nghóa: Hàm số mũ cơ số a( a>0) là hàm số được xác đònh bởi công thức:
x
y a=
vd:
1
2 ; ( )
3
x x
y y= =
b.Các tính chất .
• Hàm số mũ có tập xác đònh là R.Liên tục trên R.
•
0,
x
a x R> ∀ ∈
• Nếu a=1 hàm số không đổi trên R:y=1
•
1a
>
: Hàm số đồng biến trên R
•
0 1a
< <
: Hàm số nghòch biến trên R
• Với
1
1 0
m n
m
a a m n
a
a m
> ⇔ >
> ⇒
> ⇔ >
• Với
0 1
1 0
m n
m
a a m n
a
a m
> ⇔ <
< < ⇒
> ⇔ <
•
m n
a a= ⇔
≠
M,N tuỳ y ùnếu a =1
M = N nếu a 1
• Đồ thò hàm số mũ luôn luôn đi qua điểm I(0,1)
• Đồ thò hàm số mũ luôn luôn nằm ỏ trên trục hoành .
c.Đồ thò của hàm số mũ:
II.Tóm tắt về hàm số lôgarit:
a.Đònh nghóa: Cho số thực a>0 và
1a
≠
,lôgarit cơ số a của một số dương N là một số M sao cho
M
N a=
.Ký hiệu :
log
a
N
Ta có:
b.Các phép toán về logarit:
Giả sử a>0 và
1a ≠
,A,B,N…>0.Ta có các công thức sau đây:
TRẦN HƯŨ QUYỀN - 1 -
0
1
( ) 1, 0;
;( ) ;( )
m n m n m n mn n
n
m m
m n m m m m
n m
a a a a a a a a
a
a a a
a ab a b
a b b
+ −
−
= = = ∀ ≠ =
= = =
; ;
a>1 0< a<1
X
Y
O
X
Y
O
1
log
M
a
N M N a= ⇔ =
log 1 0; 1;
n
a
a a n
= = =
a a
log log
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÀM SỐ MŨ,LOGARIT,LƯNG GIÁC. PT,HPT,BPT…
Bài tập 1: Giải các phương trình sau đây:
1.
2
5
6
2
2 16 2
x x− −
=
2.
1 1 3
5 5 2 2
x x x x+ + +
− = +
3.
2 2 3 3
2 .5 2 .5
x x x x+ +
=
4. 3
2
4 2 5 3
3 9
x x x− − −
=
5.
2
3 5 6
2 5
x x x− − +
=
6.
1
5 .8 500
x
x
x
−
=
7.
3 2 1
2 .3 .5 4000
x x x+ − +
=
8.
4 2 6 0
x x
+ − =
9.
25 23.5 5 0
x x
− − =
10.
2 2
1 1
9 3 6 0
x x+ +
− − =
11.
5.4 7.10 2.25 0
x x x
− + =
12.
1 1 1
(49) (35) (25)
x x x
− =
13.
8 18 2.27
x x x
+ =
14.
3.16 2.81 5.36
x x x
+ =
15.
(2 3) (2 3) 14
x x
− + + =
16.
(4 15) (4 15) 62
x x
− + + =
17.
3
(5 21) 7(5 21) 2
x x x+
− + + =
18.
4 (2 5).2 6 24 0
x x
x x+ − + − =
19.
2
2 2 2 4
x x
x x
−
+ + = −
20.
9 2( 2)3 2 5 0
x x
x x+ − + − =
2 2
5 1 5
4 12.2 8 0
x x x x− − − − −
− + =
21.
2 4
3.2 7.2 10
x x
+ =
22.
2 1
2 1
2
2 2
3.( ) 7.( ) 6 0
3 3
x
x
−
−
+ − =
23.
2 2 8
x
x= − +
24.
2.12 3.6 3 0
x x x
− + + =
25.
2 3 5
x x x
+ =
26.
2 2
1 sin
4 4 10
cos x x+
+ =
27.
2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x− + + + + +
+ = +
28.
2 2
sin
81 81 30
x cos x
+ =
29.
3.8 4.12 18 2.27 0
x x x x
+ − − =
30.
2 2
2 1 2
4 5.2 6 0
x x x x+ − − + −
− − =
Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
1.
4 4 4
log ( 3) log ( 1) 2 log 8x x+ − − = −
2.
lg( 2) lg( 3) 1 lg 5x x− + − = −
3.
3 1
3
3
log log log 6x x x+ + =
4.
2
log (2 7 12) 2
x
x x− + =
5.
2
log (9 2 ) 3
x
x− = −
6.
2
log (3.2 1) 2 1
x
x− = +
7.
3 3
log (1 log (2 7)) 1
x
+ − =
8.
2
5
log ( 2 65) 2
x
x x
−
− + =
9.
4
7
log 2 log 0
6
x
x− + =
10.
2 2
3 3
log ( 1) log 2x x x x x+ + − = −
11.
2
2
log 64 log 16 3
x
x
+ =
22.
2 2
3 3
log log 1 5 0x x+ + − =
12.
lg4 lg
4 32
x
x + =
23.
4 2 2 4
log (log ) log (log ) 2x x+ =
13.
lg9 lg
4.3 3 0
x
x − + =
14.
3 3
l g 3 l g
2(3 ) 27
o x o x
x x+ =
15.
2
3 3
log log
3 6
x x
x+ =
16.
2 4
log 4 log 5 0x x− − =
17.
2
2 2
log ( 1) log 2 6 0x x x x+ − + − =
18.
7 3
log log ( 2)x x= +
19.
2 3
4 8
2
log ( 1) 2 log 4 log (4 )x x x+ + = − + +
20.
2 2
9 3
3
1 1
log ( 5 6) .log log 3
2 2
x
x x x
−
− + = + −
21.
2 7 2 7
log 2log 2 log logx x x x+ = +
Bài tập 3:Giải các bất phương trình sau đây?
1.
2 1
5 26.5 5 0
x x+
− + >
2.
6.
1
5
4 6
log 0
x
x
+
≥
10.
2
1 2
2
6 9
log log ( 1)
2( 1)
x x
x
x
+ +
< − +
+
TRẦN HƯŨ QUYỀN - 2 -
log ( . ) log log ;log log log
1
log log ;log log
1
log log ;log log
log
1
.log log
log log
a a a a a a
n
a a a a
a a
a a
b
b a
b b
A
A B A B A B
B
N N N N
n
N N N N
x
b c c b x
a a
α α
β
β
β
β
α α
= + = −
= =
= =
= = =
a a a
log ; log ; log
10
log ln
log lg
e
x x
x x
=
=
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÀM SỐ MŨ,LOGARIT,LƯNG GIÁC. PT,HPT,BPT…
3.
2 4
3.2 7.2 10
x x
+ >
4.
1 2 4 3
7.3 5 3 5
x x x x+ + + +
− ≥ −
5.
3
(7 3 5) 7(7 3 5) 2
x x x+
+ + − ≤
7.
2
3 3
log log
3 6
x x
x+ ≤
8.
1
5
log (6 36 ) 2
x x+
− ≤
9.
3
log (log (9 72)) 1
x
x
− ≤
11.
4 2 2
0
4 2 2
x x
x x
+ −
>
− −
12.
3 2
log ( ) 1
2
x
x
x
+
>
+
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC
I.KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1.phương trình căn thức:
Dạng 1:
2
( ) 0
( ) ( )
( ) ( )
g x
f x g x
f x g x
>
= ⇔
=
Dạng 2:
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
g x
f x g x
f x
f x g x
>
= ⇔
>
=
Chú ý: để giải phương trình chứa căn bậc hai,ta chỉ cần đặt điều kiện và làm cách nào đó “làm mất
căn”
Bài tập 1: Giải các phương trình sau đây:
2. Bất phương trình căn thức:
Dạng 1: Dạng 2:
TRẦN HƯŨ QUYỀN - 3 -
1.
7 3 4x x+ = −
2.
2 1 2 1 2x x x x+ − − − − =
3.
3 2 8 7x x x+ = − + −
4.
5 1 3 2 1 0x x x− − − − − =
5.
5 4 5 4 4x x− + + =
6.
2 2
2 5 2 2. 2 5 6 1x x x x+ + − + − =
7.
2 2
3 1 ( 3). 1x x x x+ + = + +
8.
(2 3) (2 3) 4
x x
+ + − =
9.
( 2 3) ( 2 3) 4
x x
− + + =
10.
2
3 2 1 4 9 2. 3 5 2x x x x x− + − = − + − +
11.
2 2
7 5 3 2x x x x x− + + = − −
12.
2 9 4 3 1x x x+ = − + +
13.
3 6 (3 )(6 ) 3x x x x+ + − − + − =
14.
2 2
2 8 6 1 2 2x x x x+ + + − = +
Dạng 3:
( ) ( ) ( )f x g x h x+ =
*Đặt điều kiện để các biểu thức trong căn có
nghóa .
* Bình phương 2 vế
2
( ) 0
( ) 0
( ) ( )
( ) 0
( ) ( )
f x
g x
f x g x
g x
f x g x
≥
≤
≥ ⇔
≥
≥
2
( ) 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
f x
f x g x g x
f x g x
≥
≤ ⇔ ≥
≤
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÀM SỐ MŨ,LOGARIT,LƯNG GIÁC. PT,HPT,BPT…
Dạng 3:
Bài tập 2: Giải các bất phương trình sau đây:
1.
2 2
2 5 4. 2 4 3( : 1 2 6 1 2 6)x x x x ds x+ + ≤ + + − − ≤ ≤ − +
2.
2
9
4 3( : )
2
x x x ds x− > − >
3.
2
2( 16)
7
3 ( : 10 34)
3 3
x
x
x ds x
x x
−
−
+ − > > −
− −
4.
5 1 1 2 4( : 0 10)x x x ds x− − − > − ≤ <
5.
2 2
1
( 3 ). 2 3 2 0( : 2 3 )
2
x x x x ds x x x− − − ≥ = ∨ ≥ ∨ ≤ −
6.
2
1 5
(2 5). 2 5 2 0( : 2 )
2 2
x x z ds x x x− − + ≥ = ∨ = ∨ ≥
7.
2 3 5 2 ( : 2 2)x x x ds x+ − − < − − ≤ <
8.
2 2
1
4 3 2 3 1 1( : )
1
2
x
x x x x x ds
x
=
− + − − + ≥ −
≤
9.
2 1 2
3
3 4.3 1(log 1) 0
x x
x
+
− + − ≥
(ds:
3
1
0
3
x
x
≥
< ≤
10.
3 2 8 7
( : 4 5 6 7)
x x x
ds x x
+ ≥ − + −
≤ ≤ ∨ ≤ ≤
11.
2
( 1)( 4) 5. 5 28
( : 9 4)
x x x x
ds x
+ + < + +
− < <
12.
4 1 2
5 13
( : 1)
2
x x
ds x
− − > −
− +
< ≤
13.
5 4 5 4 4
( : 0 1)
x x
ds x
− + + ≥
≤ ≤
14.
1 9 2
( : 1 0)
x x
ds x
+ < + −
− ≤ <
Bài tập 3: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt:
2
2 3 1x mx x+ − = +
(Đs:
1)m ≤ −
Bài tập 4: Tìm tất cả các giá trò của m để phương trình sau đây có nhiệm:
2 2
2 2 2 1 2 4x x m x x− + = + − +
(Đs:
1m ≥ −
)
Bài tập 5:Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của hàm số :
[ ]
1 9y x x= − + − ∈ ,x 3;6
(Đs:y
max
=4 với x=5.y
min
=
2 6+
với x=3)
Bài tập 6:Cho phương trình :
2 2
3 3
log log 1 2 1 0x x m+ + − − =
.Tìm m để phương trình có ít nhất một
nghiệm thuộc đoạn
3
1;3
.(Đs:
0 2m≤ ≤
).
Bài tập 7:Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
2
4
4
x
y = −
và
2
4 2
x
y =
(ĐS:
4
2
3
S
π
= +
)
Bài tập 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
2
4y x= − −
và
2
3 0x y+ =
(ĐS:
4 3
3
S
π
+
=
)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ :
TRẦN HƯŨ QUYỀN - 4 -
[ ]
( ) 0; ( )
( ). ( ) 0
( ) 0
( ). ( ) 0
( ) 0
( ). ( ) 0
( ) 0
( ) 0
f x x D g x
g x f x
g x
g x f x
f x
g x f x
f x
g x
= ∈
=
=
≥ ⇔ ⇔
≥
>
>
>
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÀM SỐ MŨ,LOGARIT,LƯNG GIÁC. PT,HPT,BPT…
Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau:
1.
6 2
3
3 4
1
x y
x y
+ =
− = −
2.
13
6
5
x y
y x
x y
+ =
+ =
3.
2 2
2 2
4( 2 ) 3( ) 10
5( 2 ) 2( ) 1
x x y y
x x y y
− − − = −
− + − = −
4.Tìm k nguyên để hệ phương
trình sau đây có nghiệm
nguyên duy nhất
1x y
kx y k
+ = −
− =
B. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I :
Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau:
1.
2 2
13
3( ) 2 9 0
x y
x y xy
+ =
+ + + =
2.
4 4
34
2
x y
x y
+ =
+ =
3.
2 2
2
3
x y xy
x y xy
+ =
+ + =
4.
2 2
30
11
x y xy
x y xy
+ =
+ + =
5.
2 2
4 4 2 2
7
21
x y xy
x y x y
+ + =
+ + =
6.
2 2
3( ) 28
11
x y x y
x y xy
+ + + =
+ + =
7.
2 2 3 3
( )( ) 280
4
x y x y
x y
+ + =
+ =
8.
3 3
8
2 2
x y
x y xy
+ =
+ + =
9.
2 2
1
1 2
x y
x y xy
+ =
+ = −
C. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II :
Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau:
1.
3
3
2
2
x x y
y y x
= +
= +
2.
2
2
2
1
2
1
y
x
y
x
y
x
=
−
=
−
3.
2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x
x
y
+
=
+
=
4.
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x x y
y y x
− = −
− = −
5.
2
2
3
2
3
2
x y
x
y x
y
+ =
+ =
6.
3
1 1
2 1
x y
x y
y x
− = −
= +
7.
2
2
3
3
x x y
y y x
= −
= −
8. Tìm
m để phương trình có
nghiệm duy nhất
2 3 2
2 3 2
4
4
x y y my
y x x mx
= − +
= − +
9.
2 2
2 2
2 3 1
2 3 1
x x y y
y y x x
− = + +
− = + +
D.HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP
Bài tập 4: Giải các hệ phương trình sau:
TRẦN HƯŨ QUYỀN - 5 -
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÀM SỐ MŨ,LOGARIT,LƯNG GIÁC. PT,HPT,BPT…
E.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC
Bài tập 5: Giải các hệ phương trình sau:
F. HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
TRẦN HƯŨ QUYỀN - 6 -
1.
3 3
2 2
7
2 3 16
y x
x y xy
− =
+ =
2.
2 2
2
4 1
3 4
x xy y
y xy
− + =
− =
3.
2 2
2 2
2 3 9
2 2 2
x xy y
x xy y
+ + =
+ + =
4.
2
2 2
3 2 16
3 2 8
x xy
x xy y
− =
− − =
5.
2 2
2 2
2 3 9
2 13 15 0
x xy y
x xy y
− + =
− + =
6.
3 3
2 2
35
30
x y
x y xy
+ =
+ =
7.
2 2
2 2
3 11
2 3 12
x xy y
x xy y
− + =
+ + =
8.
2 2
2 2
3 5 4 3
9 11 8 6
x xy y
y xy x
− − = −
+ − =
9.
2 2
2 3 0
2
x xy y
x x y y
+ − =
+ = −
1.
35
30
x x y y
x y y x
+ =
+ =
2.
2
2
3
1
4
3
1
4
x y
y x
− =
− =
3.
2 2
6
20
x y y x
x y y x
+ =
+ =
4.
5 2 7
2 5 7
x y
x y
+ + − =
− + + =
5.
2 2 2 2
2
4
x y x y
x y x y
+ − − =
+ + − =
6.
1 7 4
1 7 4
x y
y x
+ + − =
+ + − =
7.
3
2
x y x y
x y x y
− = −
+ = + +
8.
2 2
2 2
x y
y x
+ − =
+ − =
9.
7
1
78
0, 0
x y
y x
xy
x xy y xy
x y
+ = +
+ =
> >
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÀM SỐ MŨ,LOGARIT,LƯNG GIÁC. PT,HPT,BPT…
Bài tập 6: Giải các hệ phương trình sau:
1.
2 2
2
2
2 log 2 log 5
4 log 5
x x
x
y y
y
+ + =
+ =
2.
5
3 .2 1152
log ( ) 2
x y
x y
−
=
+ =
3.
8 8
log log
4 4
4
log log 1
y x
x y
x y
+ =
− =
4.
1 4
4
2 2
1
log ( ) log 1
25
y x
y
x y
− − =
+ =
5
2
2
2
2 2
3( ) 7( ) 6 0
3 3
lg(3 ) lg( ) 4lg 2 0
x y
x y
x y y x
−
−
+ − =
− + + − =
6.
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+
= −
+
=
+
7.
3
2
log 3
(2 12)3 81
x
x y
y y y
+ =
− + =
8.
log (3 2 ) 2
log (2 3 ) 2
x
y
x y
x y
+ =
+ =
9.
2 3
9 3
1 2 1
3log (9 ) log 3
x y
x y
− + − =
− =
10.
2 3
2 3
log 3 5 log 5
3 log 1 log 1
x y
x y
+ − =
− − = −
11.
3 3
4 32
log ( ) 1 log ( )
x y
y x
x y x y
+
=
− = − +
LƯNG GIÁC
A. CÔNG THỨC LƯNG GIÁC :
1.công thức cộng
*sin( ) sin cos sin
* ( ) sin sin
* ( )
1
a b acosb a b
cos a b cosacosb a b
tga tgb
tg a b
tgatgb
± = ±
± =
±
± =
m
m
2.công thức nhân đôi.
2 2 2 2
2
*sin 2 2sin sin 2sin
2 2
* 2 2cos 1 1 2sin sin
2
* 2
1
a a
a acosa a cos
cos a a a cos a a
tga
tg a
tg a
= ⇒ =
= − = − = −
=
−
Hệ quả.
3
3
*sin 3 3sin 4sin
* 3 4 3
a a a
cos a cos a cosa
= −
= −
3.công thức hạ bậc
2 2
2 2
2 4 4
1 2 1 4
* 2
2 2
1 2 1 4
*sin sin 2
2 2
1 2
* sin ?; ?
1 2
cos a cos a
cos a cos a
cos a cos a
a a
cos a
tg a a cos a
cos a
+ +
= ⇒ =
− −
= ⇒ =
−
= ⇒ = =
+
4.công thức tính sina,cosa,tga theo
2
a
t tg=
Đặt
2
a
t tg=
;(
)
2 2
a
k
π
π
≠ +
2
2
2
2
2
*sin
1
1
*
1
2
*
1
t
a
t
t
cosa
t
t
tga
t
=
+
−
=
+
=
−
6.công thức biến đổi tổng thành tích
* sin 2sin
2 2
* sin 2 sin
2 2
* 2
2 2
* 2sin sin
2 2
sin( )
*
a b a b
sina b cos
a b a b
sina b cos
a b a b
cosa cosb cos cos
a b a b
cosa cosb
a b
tga tgb
cosacosb
+ −
+ =
+ −
− =
+ −
+ =
+ −
− = −
±
± =
Hệ quả:
*sin 2 sin( ) 2 ( )
4 4
*sin 2 sin( ) 2 ( )
4 4
a cosa a cos a
a cosa a cos a
π π
π π
+ = + = −
− = − = − +
7.công thức về cung liên kết.
a.Cung đối nhau:
* ( ) sin( ) sin
* ( ) cot ( ) cot
cos cos
tg tg g g
α α α α
α α α α
− = − = −
− = − − = −
*
*
b.cung bù nhau:
* ( ) sin( ) sin
* ( ) cot ( ) cot
cos cos
tg tg g g
π α α π α α
π α α π α α
− = − − =
− = − − = −
*
*
c.cung phụ nhau.
* ( ) sin sin( )
2 2
* ( ) cot ( ) t
2 2
cos cos
tg cotg g g
π π
α α α α
π π
α α α α
− = − =
− = − =
*
*
d.cung hơn kém
π
TRẦN HƯŨ QUYỀN - 7 -
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÀM SỐ MŨ,LOGARIT,LƯNG GIÁC. PT,HPT,BPT…
5.công thức biến đổi tích thành tổng.
[ ]
[ ]
[ ]
1
* . ( ) ( )
2
1
*sin .sin ( ) ( )
2
1
*sin . sin( ) sin( )
2
cosa cosb cos a b cos a b
a b cos a b cos a b
a cosb a b a b
= + + −
= − − +
= + + −
* ( ) sin( ) sin
* ( ) cot ( ) cot
cos cos
tg tg g g
π α α π α α
π α α π α α
+ = − + = −
+ = + =
*
*
Hệ quả:
*sin( 2 ) sin ( 2 )
* ( ) cot ( ) cot
x k x cos x k cosx
tg x k tgx g x k gx
π π
π π
± = ± =
± = ± =
*
*
A.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN:
Bài 1:Giải các phương trình sau đây.
2
1 3
1) sin ; ; 1
2 2
2)(1 )(2sin ) sin
5 7
3)sin(2 ) 3 ( ) 1 2sin ; ;3
2 2 2
4) 2(2sin 1) 4(sin 1) (2 ) sin(2 )
4 4
1
5)sin sin
2 3 2 3 4
x cosx tgx
cosx x cosx x
x cos x x x
x x cos x x
x x
cos cos
π π π
π
π π
π π
= = − =
+ − =
+ − − = + ∈
− = − − + − +
− =
3 3
2 2
2
6) sin sin
6 6 2
3
7) ( ) 2 sin( )
2
8)2sin 3 2 3 sin 0
9) 3 2sin 3 0
10)1 sin sin sin 2 ( )
2 2 4 2
cos cosx x
cos x x cosx
xcosx cosx x
tg x x
x x x
x cos x cos
π π
π
π
π
− =
+ = +
+ − − =
− =
+ − = −
B.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CHỨA (COSX+SINX);(SINX-COSX) VÀ SINX.COSX
Phương pháp:
(sin ) sin 0a x cosx b xcosx c± + + =
Dạng 1:PTLG chứa sinx+cosx
và sinx.cosx
* Đặt
sin 2 ( )
4
t x cosx cos x
π
= + = −
Điều kiện:
2 2t− ≤ ≤
2
1
sin .
2
t
x cosx
−
⇒ =
⇒
ptc tìm.
Dạng 2:PTLG chứa sinx-cosx
và sinx.cosx
* Đặt
sin 2 sin( )
4
t x cosx x
π
= − = −
Điều kiện:
2 2t− ≤ ≤
2
1
sin .
2
t
x cosx
−
⇒ =
⇒
ptc tìm.
Dạng 3:PTLG chứa
sinx cosx ±
và sinx.cosx
* Đặt
sin 2 sin( )
4
t x cosx x
π
= + = +
Điều kiện:
2 2t− ≤ ≤
2
1
sin .
2
t
x cosx
−
⇒ =
⇒
ptc tìm.
Bài 2:Giải các phương trình sau đây
1) sin 4sin 1 0
1 1 10
2) sin
sin 3
3) sin 4sin 2 1
4)2( sin ) 3(cot ) 5 0
x cosx xcosx
cosx x
cosx x
x cosx x
tgx x gx cosx
+ − − =
+ + + =
− + =
− + − + =
3
2 3 3
3
3 3
2 2
1 1
5) 2 2
3 sin 3
1
6) sin 2 sin
1 sin
1 2 sin
8)
1 sin
cos x x
cos x
tg x cos x x xcosx
x
x cos x
cos x x
− =
−
= + =
−
− −
=
−
7)
C.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC SỬ DỤNG CÔNG THỨC HẠ BẬC
Chú ý:* Khi PTLG chứa sinx,cosx có chứa luỹ thừa bậc chẵn thì ta thường sử dụng công thức hạ bậc.
*Ta thường sử dụng các kết quả sau:
2 2 2
3 3 2 2
* ( ) 2
* ( )( )
x y x y xy
x y x y x y xy
+ = + −
+ = + + −
6 6 2 3 2 3
8 8 4 2 4 2
* ( ) ( )
* ( ) ( )
x y x y
x y x y
+ = +
+ = +
4 4 2
6 6 2
1 3 1
*sin 1 sin 2 4
2 4 4
3 5 3
*sin 1 sin 2 4
4 8 8
x cos x x cos x
x cos x x cos x
+ = − +
+ = − +
=
=
Bài 3:Giải các phương trình sau đây
TRẦN HƯŨ QUYỀN - 8 -
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÀM SỐ MŨ,LOGARIT,LƯNG GIÁC. PT,HPT,BPT…
D.PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2 ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Dạng:
2 2
.sin .sin .a x b xcosx c cos x d+ + =
PP:* Xem thử cosx=0 (
2
sin 0)x =
có là nghiệm của phương trình hay không?
* Trong trường hợp cosx=0 không là nghiệm ,chia 2 vế của phương trình cho
2
0cos x ≠
ta được 1 pt
bậc 2 theo tgx:
2
. . 0a tg x b tgx c+ + =
,giải phương trình này tìm được nghiệm của phương trình.
Bài 4:Giải các phương trình sau đây
E.PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX
Dạng :
.sin .a x b cosx c+ =
Bài 5:Giải các phương trình sau đây
F.PHƯƠNG TRÌNH Lượng Giác Khác
Bài 6:Giải các phương trình sau đây
TRẦN HƯŨ QUYỀN - 9 -
6 6
4 4
4 6
8 8
1
1) sin
4
1
2)sin ( )
4 4
3) 2 2sin 0
1
4)sin
8
x cos x
x cos x
cos x cos x x
x cos x
π
+ =
+ + =
− + =
+ =
2 2
2 2 2 2
6 6 2
4 4
17
5)sin 2 8 sin( 10 )
2
6)sin sin 3 2 4
1
7) sin 2
16
1
8)sin ( )
4 4
x cos x x
x x cos x cos x
cos x x cos x
x cos x
π
π
− = +
+ = +
+ = +
+ + =
[ ]
2 2
2 2
3
1)3sin (3 3) sin 3 0, 0; 2
2) 3 sin (1 3) sin 1 3 0
3)6sin 2 5sin 2
x xcosx cos x x
x xcosx cos x
x cos x xcosx
π
− + + = ∈
+ − − + − =
− =
3
3
3 3
5sin 4
4)6sin 2
2 2
5)2 sin 3
sin
6) 2
2 sin
xcosx
x cos x
cos x
cos x x
x cos x
cos x
cosx x
− =
=
+
=
−
1)3sin 2 2
2)2 3 3 sin 0
2
3)2 cot 3
sin 2
x cosx
cos x x cosx
tgx gx
x
− =
+ + =
+ = +
4)4sin 2 3 cot
3 1
5)8sin
sin
x gx
x
cosx x
= +
= +
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÀM SỐ MŨ,LOGARIT,LƯNG GIÁC. PT,HPT,BPT…
MỘT SỐ ĐỀ THI VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC NHỮNG NĂM GẦN ĐÂY
Bài 7:Giải các phương trình sau đây
( )
2
2 2
2 2 2 2
2
3 sin 3
1)5(sin ) 2 3; 0;2
1 2sin 2
2 1
2) cot 1 sin sin 2
1 2
3) 3 2 0
4)sin 3 4 sin 5 6
2
5)cot 4sin 2
sin 2
6)5sin 2 3(1 sin )
7)1 sin sin 2 2
cos x x
x cos x x
x
cos x
gx x x
tgx
cos xcos x cos x
x cos x x cos x
gx tgx x
x
x x tg x
x cosx x cos
π
+
+ = + ∈
+
− = + −
+
− =
− = −
− + =
− = −
+ + + +
[ ]
0
8) 3 4 2 3 4 0; 0;14
x
cos x cos x cosx x
=
− + − = ∈
3 3 3 3
2
2
2 3
3 3
21) sin sin cot 2sin 2
22)2sin(3 ) 1 8sin 2 2
4
23) 3 sin 2 2 2 2 2 2
24)sin 3 3 2 0
25)sin sin 0
26)1 sin sin 2
27)2 2(sin ) 3 2
28)
2
x cos x x gx cos xtgx x
x xcos x
x cos x cos x
x cos x cosx
x x cos x
cos x x x
x cosx cosx cos x
x
tg cosx
π
+ + + =
+ = +
− = +
+ + =
+ + =
+ − =
+ = +
sin 2 0x+ =
TRẦN HƯŨ QUYỀN - 10 -
( )
2
2
1) 3 4 2 2
2) 1 8sin 2 2 2sin(3 )
4
sin 3 sin
3) sin 2 2 ; 0;2
1 2
4) sin sin sin 1 0
5)3 1(sin 2 ) 5(sin 3 )
6)sin sin 2 sin 3 2 3
cos x cosx
xcos x x
x x
x cos x x
cos x
x x x cosx
tgx x cosx x cosx
x x x cosx cos x cos x
π
π
+ =
+ = +
−
= + ∈
−
+ + + − =
+ + = +
+ + = + +
3 3
2
2 2
2007 2007
7) sin (1 cot ) (1 ) 2 sin
3 4
8)2 1 3
5 5
sin 5
9) 1
5sin
3
10) 2 2 0
4
11) sin 2 sin sin 2 sin 3
12)sin 1
x gx cos x tgx xcosx
x x
cos cos
x
x
x
cos x cos
x x x x
x cos x
+ + + =
+ =
=
+ − =
+ − + − =
+ =
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÀM SỐ MŨ,LOGARIT,LƯNG GIÁC. PT,HPT,BPT…
2 2 2
4 4
6 6
2 2
4 4
9)sin ( ) 0
2 2 2
10)(2 1)(2sin ) sin 2 sin
3
11) sin ( ) sin(3 ) 0
4 4 2
2( sin ) sin
12) 0
2 2sin
13)sin sin 1 2 ( )
2 4 2
sin 1
14) ( cot
sin 2 2
x x
tg x cos
cosx x cosx x x
x cos x cos x x
cos x x xcosx
x
x x
x cos x cos
x cos x
tgx gx
x
π
π π
π
− − =
− + = −
+ + − − − =
+ −
=
−
− + = −
+
= +
3 3
2
)
sin 3 sin 5
15)
3 5
16)3sin 2 2 3
17) sin 2 2 2 1 sin 4
18)4sin 3 4 sin 3 3 3 4 3
19)sin 3 . 2 .( 2 )
20) 2cot 2 sin 2
x x
x cosx tgx
x cos x x cosx
xcos x cos x x cos x
x cosx cos x tg x tg x
tgx g x x
=
+ = +
+ = + −
+ + =
= +
+ =
2
2
6 6 2
3
3 3
2
2 3 3 2
cot cot
sin sin
29)4 4 3
13
30) sin 2
8
31)4 3 2 sin 2 8
32) sin 2
sin 3
33)sin ( 3 sin sin 3 ) sin sin 3
3sin 4
34)1 3 2sin 2
35)9 3 2 0
36)( 5 2 6 ) ( 5 2 6 )
cos x cos x
gx gx
x x
cos x x cos x
cos x x cosx
cos x x cos x
x
x cos x x xcos x x x
x
tgx x
+ =
− =
+ =
+ =
+ + =
+ =
+ − =
+ + −
2 2 2
3
2
37)4 3 sin . . 2 sin 8
38)2 2 2 2 3 3 4 (2sin 2 1)
39)sin ( ) 2 sin
4
40)3sin 2 2 3
1 1 2
41)
sin 2 sin 4
42)sin 3 ( 2sin 3 ) 3 (1 sin 2 3 ) 0
x cosx cos x x
cos x cos x cos x cos x x
x x
x cosx tgx
cosx x x
x cosx x cos x x cos x
π
=
=
+ + − = +
+ =
+ = +
+ =
− + + − =
HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC
Bài tập 8.CMR tam giác ABC thoả các hệ thức sau là tam giác vuông.
2
sin sin
1) sin
2)sin 4 sin 4 sin 4 0
3) 2 sin sin
B C
A
cosB cosC
A B C
S R B C
+
=
+
+ + =
=
2 2 2
4)2cot 2 cot cot
5)sin 2 sin 2 4sin .sin
6)sin sin sin 1 cos cos
7) 1
g C gC gB
A B A B
A B C cosA B C
cos A cos B cos C
= −
+ =
+ + = + + +
+ + =
Bài tập 8.CMR tam giác ABC thoả các hệ thức sau là tam giác cân.
2 2
1) 2
2) ( )
2
1 cos 2
3)
sin
4
a bcosC
A B
atgA btgB a b tg
B a c
B
a c
=
+
+ = +
+ +
=
−
2
2 2 2
4) 2 cot
2
5)2 cot 2 cot cot
6) 2 .
7) sin 2 sin 2 cot
2
C
tgA tgB g
g C gC gB
tgA tgB tgA tg B
C
a B b A c g
+ =
= −
+ =
+ =
Bài tập 9.CMR tam giác ABC thoả các hệ thức sau là tam giác đều.
3 3 3
2
1)
2
a b c
a
a b c
a bcosB
− −
=
− −
=
2 2
2 3 3 3
1 cos 2
sin
2)
4
( )
C a b
C
a b
a b c a b c a
+ +
=
−
+ − = + −
Bài tập 10.Tính số đo các góc của
ABC
∆
biết chúng thoả.
2 2
1
sin sin
2
A A cos B cosB− + − = −
Bài tập 11. Tính số đo các góc của
ABC
∆
biết chúng thoả.
3
cos sin sin
2
A B C= + −
Bài tập 12. Tính số đo các góc của
ABC
∆
biết chúng thoả.
3
sin 2 sin 2
2
A B cosC+ + =
Bài tập 13.Tính góc C của
ABC
∆
biết:
2 2 1 sin sin
2 2
A B
cos cos A B= + +
TRẦN HƯŨ QUYỀN - 11 -
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÀM SỐ MŨ,LOGARIT,LƯNG GIÁC. PT,HPT,BPT…
BẤT ĐẲNG THỨC
1.Đònh nghóa:
0a b a b
≥ ⇔ − ≥
2.Tính chất :
2
0,a a≥ ∀
dấu “=” xảy ra khi a=0.
* ,
, 0
*
, 0
* 0 ,
n n
a b a c b c c R
ac bc c
a b
ac bc c
a b a b n Z
+
≥ ⇔ + ≥ + ∀ ∈
≥ >
≥ ⇔
≤ <
> > ⇒ > ∀ ∈
0
*
0
0
*
0
*
a b
a c b d
c d
a b
ac bd
c d
a b
a c
b c
≥ >
⇒ + ≥ +
≥ >
≥ >
⇒ ≥
≥ >
>
⇒ >
>
1 1
* 0
* 0, 0
1 1 2
* , 0
x y
x y
a a
a x y
x y
x y
x y x y
> > ⇔ <
∀ > > > ⇔ <
> ⇔ + ≥
+
Bài 1: Sử dụng đònh nghóa:
0a b a b≥ ⇔ − ≥
1.CMR,
2 2 2
, , :a b c R a b c ab bc ca∀ ∈ + + ≥ + +
2.CMR với 5 số a,b,c,d,e tuỳ ý ta luôn có :
2 2 2 2 2
( )a b c d e a b c d e+ + + + ≥ + + +
3.CMR,
4 4 3 3
, :x y R x y xy x y∀ ∈ + ≥ +
Hệ quả:
4 4 2 2
3 3 3 3
2 2
, : 2
, 0 :
, : 2
x y R x y x y
x y x y xy x y
x y R x y xy
∀ ∈ + ≥
∀ ≥ + ≥ +
∀ ∈ + ≥
4.Cho a,b,c là các số dương .CMR ta luôn có
5 5 3 2 2 3
a b a b a b+ > +
5.CMR.
2
( ) 3( )a b c ab bc ca+ + ≥ + +
6.a)CMR,với x>0,y>0 ta có:
1 1 4
x y x y
+ ≥
+
Chú ý quan trọng
1 1 1 1
( )
4x y x y
⇒ ≤ +
+
b) Nếu
ABC∆
thoả mãn hệ thức sau
1 1 1 1 1 1
sin sin sin
2 2 2
A B C
A B C
cos cos cos
+ + = + +
thì
ABC∆
đều
7.Cho x,y,z >0 và
1 1 1
4
x y z
+ + =
.CMR
1 1 1
1
2 2 2x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +
8. CMR,với
1ab
≥
thì
2 2
1 1 2
1 1 1a b ab
+ ≥
+ + +
Bài 2: Sử dụng các BĐT quen thuộc
1.CMR,
1 1
, 0 : ( )( ) 4a b a b
a b
∀ > + + ≥
2. CMR,
1 1 1
, , 0 : ( )( ) 9a b c a b c
a b c
∀ > + + + + ≥
3. CMR,
, , 0 : 6
a b a c c b
a b c
c b a
+ + +
∀ > + + ≥
4. CMR,
3
, , 0 :
2
a b c
a b c
b c c a a b
∀ > + + ≥
+ + +
(nesbit)
5. . CMR,
2 2 2
, , 0 :
2
a b c a b c
a b c
b c c a a b
+ +
∀ > + + ≥
+ + +
6.CMR,
, , 0a b c∀ >
ta luôn có.
15
2
a b c a b a c c b
b c c a a b c b a
+ + +
+ + + + + ≥
+ + +
7.Cho a,b,c>0,abc=1 Tìm GTNN của biểu thức.
2 2 2
a b c
P
b c a c a b
= + +
+ + +
8.Cho
1
a b
b
≥
≥
CMR:
1 1a b b a ab− + − ≤
13.Cho 2a+3b=5.CMR.
2 2
2 3 5a b+ ≥
9. Chứng minh rằng với mọi x
∈
R, ta có
xxx
xxx
543
3
20
4
15
5
12
++≥
+
+
10. Cho các số x, y, z thoả mãn xyz=1.Chúng
minh rằng
3 3 3 3
3 3
1 1
1
3 3
x y y z
z x
xy yz xz
+ + + +
+ +
+ + ≥
11.Cho
3
, ,
4
a b c
−
≥
và
3a b c+ + =
.CMR
4 3 4 3 4 3 3 7a b c+ + + + + ≤
12.Cho a,b,c>0.CMR nếu
1a b c
+ + =
thì
6a b b c c a+ + + + + ≤
14.Cho a,b,c>0.CMR
2 2 2
3( )
2( )
a b c ab bc ca
b c a c a b a b c
+ +
+ + ≥
+ + + + +
15.Cho a,b,c,d>0.CMR
a)
2
( )
2
2 2
a b c d
ab ac ad bc bd cd
+ + +
≥
+ + + + +
b)
2
a b c d
b c c d d a a b
+ + + ≥
+ + + +
TRẦN HƯŨ QUYỀN - 12 -
TÀI LIỆU LUYỆN THI ĐẠI HỌC HÀM SỐ MŨ,LOGARIT,LƯNG GIÁC. PT,HPT,BPT…
TRẦN HƯŨ QUYỀN - 13 -
